Último teorema de Fermat

Na matemática , e mais precisamente na teoria dos números , o último teorema de Fermat , ou o grande teorema de Fermat , ou desde sua prova do teorema de Fermat-Wiles , é afirmado da seguinte forma:

Teorema - Não há inteiros estritamente positivos $x$ , $y$ e $z$ tais que:

{\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n},}

assim que $n$ for um número inteiro estritamente maior que 2.

Dito por Pierre de Fermat de maneira semelhante em uma nota marginal ao seu exemplar de um livro de Diofanto , no entanto, ele esperou mais de três séculos por uma prova publicada e validada, estabelecida pelo matemático britânico Andrew Wiles em 1994 . É sobretudo através das ideias que tiveram de ser implementadas para o demonstrar, através das ferramentas que foram criadas para o fazer, que adquiriu um valor considerável.

Contexto

No caso em que $n = 1$ , a equação $x n + y n = z n$ corresponde à adição usual e, portanto, possui uma infinidade de soluções.

No caso em que $n = 2,$ esta equação ainda tem uma infinidade de soluções em inteiros positivos diferentes de zero, os triplos pitagóricos , o menor dos quais é (3, 4, 5): 3 2 + 4 2 = 5 2 .

O teorema de Fermat-Wiles afirma que para $n > 2$ , essa equação não tem solução em inteiros positivos diferentes de zero (as outras soluções, da forma $x n + 0 n = x n$ , são freqüentemente chamadas de soluções triviais ).

Se a equação não tem solução (em inteiros positivos diferentes de zero) para um determinado expoente $n$ , ela não tem solução para nenhum dos múltiplos de $n$ (uma vez que $x kn = ( x k ) n$ ) e, portanto, é suficiente para prove o teorema geral, prove-o para $n$ primo ímpar e para $n = 4$ .

Histórico

Declaração de Fermat

O teorema deve o seu nome a Pierre de Fermat, que o afirma à margem de uma tradução (do grego para o latim) da Aritmética de Diofanto , a respeito de um problema relativo aos triplos pitagóricos: “Ao contrário, é impossível dividir um cubo em dois cubos, ou um quadrado em dois quadrados, ou em geral qualquer potência maior que o quadrado em duas potências do mesmo grau: descobri uma demonstração verdadeiramente maravilhosa de que esta margem é estreita demais para conter " .

Não sabemos o destino dessas notas marginais, que no entanto parecem ter sido reservadas ao uso exclusivo do matemático, ainda que possamos descobrir que estão escritas "em um estilo que supõe a presença de um leitor".

Eles chegaram até nós por meio de uma transcrição feita por seu filho Samuel, que publicou uma reedição de Diofantino de Bachet, acrescida das anotações de seu pai 5 anos após a morte de seu pai. Não temos outra descrição da cópia com as anotações de Fermat, que se perdeu muito cedo, talvez destruída por seu filho nesta edição.

Esta nota é o único testemunho disponível de Fermat sobre esta declaração no caso geral. A fortiori nenhuma demonstração ou tentativa de demonstração foi encontrada. Por outro lado, Fermat evoca repetidamente o caso dos cubos e das quartas potências, e temos evidências dele e de seus contemporâneos no caso das quartas potências.

O nome do teorema

Os resultados de Fermat (quase sempre anunciados na forma de problemas e sem prova) em geral não receberam nenhum nome, com exceção de seu pequeno teorema , chamado simplesmente de "teorema de Fermat" por Gauss ; o resultado declarado na nota marginal, descoberta após a morte de seu autor, foi logicamente chamado de "último teorema de Fermat", um nome que também se tornou seu na maioria das línguas estrangeiras: em inglês, dinamarquês e outras línguas românicas, mas também em Japonês e coreano, árabe, hebraico e turco. No início do XX ° século, o nome "pequeno teorema de Fermat" tornou-se comum, eo "último teorema de Fermat" (entretanto afirmado muitas vezes como "conjectura de Fermat" a) tomou alternadamente, por outro lado, o nome de "grande teorema de Fermat", por exemplo, em alemão ou chinês. Finalmente, desde a sua demonstração por Wiles, encontra-se cada vez mais frequentemente o nome de “teorema de Fermat-Wiles”, ou mesmo simplesmente “teorema de Fermat”.

Primeiras abordagens

Em 1670, o filho de Fermat reeditou a Aritmética , contendo entre outros o “ teorema de Fermat dos triângulos retângulos ”, que resolve o caso $n = 4$ . Resta então provar o teorema para um expoente primo ímpar, caso em que o teorema pode ser declarado nesta forma simétrica: para qualquer número primo ímpar $p$ , a equação $x p + y p + z p = 0$ não tem solução em inteiros relativos diferentes de zero $x$ , $y$ , $z$ .
Em 1753, Euler transformou a equação em $z 3 = x 3 + y 3 = 2 a ( a 2 + 3 b 2 )$ . O estudo das propriedades dos números da forma $a 2 + 3 b 2$ será omitido de sua prova. A mesma omissão será retomada por Legendre .
Em 1816, a Academia de Ciências de Paris ofereceu uma medalha de ouro e um prêmio de 3.000 francos a quem resolvesse a questão.
Em 1825, Lejeune Dirichlet e Legendre provam o caso $n = 5$ .
Simultaneamente, Legendre expõe um subproduto do ataque global (fadado ao fracasso) tentado por Germain : o “ teorema de Sophie Germain ”, que permite, entre outras coisas, demonstrar “com um golpe de caneta” o primeiro caso de Fermat teorema (aquele em que os valores das variáveis sob o expoente primo $p$ são todos os três não divisíveis por $p$ ) para expoentes primos menores que 100.
Em 1832, Dirichlet provou o caso $n = 14$ .
Em 1839, Lamé provou o caso $n = 7$ . Em 1977, HM Edwards expressou dúvidas sobre a validade da prova de Lamé, mas de acordo com C. Goldstein, essa prova está correta. Ao contrário das provas que foram dadas para os expoentes 3 e 5, ele apenas traz em jogo as propriedades elementares de divisibilidade no anel de inteiros relativos.
Em 1847, Lamé e Cauchy ofereceram, cada um, sua própria prova do grande teorema, que apresentaram como incompleta, mas ambos haviam entrado em um beco sem saída.
Em 1850, o preço da Academia foi renovado.
A partir de 1847, Ernst Kummer deu um passo decisivo ao demonstrar o último teorema de Fermat para qualquer expoente menor que 100. Para tanto, ele introduziu o estudo sistemático dos campos ciclotômicos , o que o levou a introduzir os números ideais . Ele deduz que este último teorema cai no caso dos números primos regulares (este primeiro passo é obtido em 1847; o caso dos três números irregulares menores que 100, ou seja, 37, 59 e 67, será resolvido em 1857) . Esses estudos também renovam o interesse pelos números de Bernoulli .

Assim, surge o real interesse deste teorema negativo: é um motor potente que obriga, para o resolver, a estudar as estruturas algébricas de objectos cuja existência dificilmente se imaginaria na época de Fermat. Afirma-se então a ideia de que este último teorema, longe de ser um fim em si mesmo, é apenas um começo para o estudo de questões muito mais profundas que estão no cerne da invenção matemática contemporânea.

Em 1856, Johann August Grunert estudou o tamanho das soluções possíveis.
Em 1894, Ernst Wendt deu um critério para a aplicação dos teoremas de Sophie Germain e sua generalização. Esses estudos continuarão em 1935 com Emma Lehmer (in) , e em 1959, com Leonard Carlitz .
Em 1908, a Universidade de Göttingen e a Fundação Wolfskehl ofereceram um prêmio de 100.000 marcos a quem pudesse provar isso em cem anos. O prêmio foi concedido em 27 de junho de 1997 a Andrew Wiles, que arrecadou a quantia de $ 50.000
Em 1909, Arthur Wieferich (en) mostra que o primeiro caso (aquele em que o produto $xyz$ não é divisível por $p$ ) é satisfeito se p 2 não divide 2 p –1 - 1 .
Em 1931, Massoutié e Pomey deram condições de divisibilidade sobre as soluções possíveis. Paulo Ribenboim considera esses resultados marginais e diz o mesmo para alguns resultados muito diferentes de Swistak (1969), M. Mihaljinec (1952) e Rameswar Rao (1969).
Em 1952, Harry Vandiver usou um computador SWAC para demonstrar isso para todos os expositores abaixo de 2000.
O impressionante progresso dos trinta anos anteriores à demonstração de Wiles está ligado ao trabalho de Jean-Pierre Serre , Yves Hellegouarch e Robert Langlands na representação de curvas elípticas por funções modulares .

Também podemos interpretar este teorema geometricamente, considerando a curva da equação: $x n + y n = 1$ . Se $n > 2$ , o teorema afirma que esta curva não passa por nenhum ponto com coordenadas racionais diferentes de zero. Embora esta abordagem tenha falhado em provar a conjectura, o teorema de Faltings pelo menos prova que esta curva admite apenas um número finito de pontos racionais.

Fermat havia demonstrado isso?

A declaração de Fermat não foi conhecida até cinco anos após sua morte, graças à publicação por seu filho das notas na margem de sua cópia da Aritmética de Diofanto, e não há nenhuma outra menção do caso geral em suas obras. Além disso, as demonstrações parciais feitas durante os séculos que se seguiram exigiram ferramentas matemáticas que não existiam na época de Fermat. Quase todos os matemáticos, portanto, acreditam hoje que Fermat havia acreditado apenas para demonstrar o resultado geral, mas que ele estava errado. Antes do trabalho de Wiles, poucos profissionais ainda haviam tentado lidar com esse teorema diretamente. Apesar disso, muitos amadores otimistas estavam e ainda estão convencidos de que descobriram uma prova muito simples (não necessariamente a de Fermat); seus erros são principalmente em um nível muito básico.

Em todo o trabalho matemático deixado por Fermat, encontramos apenas uma demonstração: a do fato de que " não há triângulo retângulo cuja área seja quadrada ", fato de que o caso $n = 4$ do "teorema grande" pode ser deduzido imediatamente. O caso mais delicado $n = 3$ não foi demonstrado até um século depois por Euler, mas sua prova publicada em 1770 está incompleta, um dos argumentos estando errado. No entanto, Fermat se refere a ela em cinco de suas cartas, de junho de 1638 a agosto de 1659: duas para Mersenne , duas para Digby e uma para Huygens por Carcavi : "Não há cubo divisível em dois cubos" . Ele "sabia como prová-lo" e desafiou seus contemporâneos a fazê-lo. Além disso, é possível demonstrar o caso $n = 3$ pelo método da descida infinita , mesmo que seja mais difícil de implementar do que para o caso $n = 4$ . Assim, os historiadores consideram possível, até provável, que Fermat também tivesse uma prova do teorema no caso $n = 3$ , ou pelo menos um esboço dele.

Mas os historiadores da matemática não têm certeza de que o próprio Fermat estava há muito convencido de que tinha provas no caso geral. Na verdade, as anotações marginais de Fermat são notas de leituras destinadas ao seu uso pessoal que não estão datadas. Para a cronologia de suas descobertas, os historiadores contam com sua correspondência. Agora, se Fermat faz menção em um presente dos casos particulares do teorema para $n = 3$ e $n = 4$ , ele se dirige nunca mais explicitamente o caso geral, que é a única exceção entre suas declarações teoria dos números. A menção desses dois casos particulares, no entanto, sugere que a nota na margem data do início de seu interesse no campo, e que o próprio Fermat percebeu rapidamente que não tinha nenhuma demonstração de seu Grande Teorema. No caso geral, nem mesmo simplesmente no caso $n = 5$ ; ele não teve que se retrair, pois a conjectura permanecera privada.

Outro argumento evocado pelo historiador Michael Sean Mahoney , que faz a comparação com a conjectura de Fermat, distorce esta, sobre a primalidade dos números chamados desde “números de Fermat” . Na verdade, depois de ter escrito várias vezes a seus correspondentes que não tinha nenhuma demonstração desse resultado, ele afirma ter uma por descendência infinita em uma carta de 1659 a Carcavi. No entanto, a conjectura de Fermat é falha para $n = 5$ (2 2 5 +1 não é primo porque divisível por 641), o que leva Mahoney a supor que Fermat teria verificado precisamente esta conjectura apenas até $n = 4$ , por um método que ele teria se convencido erroneamente de que funcionava além, e fez o mesmo com seu "último teorema".

Ainda não sabemos se é possível provar o teorema de Fermat raciocinando usando apenas as propriedades aritméticas e algébricas de inteiros já conhecidas em sua época, mas sabemos que certas vias, como o método da descida infinita , falham na forma bem-sucedida para pequenos valores de $n$ . A maioria dos especialistas acredita, por esse motivo, que uma abordagem "básica" está fadada ao fracasso.

Demonstração de Andrew Wiles

Depois de ter sido objeto de pesquisas febris por quase 350 anos, levando apenas a resultados parciais, o teorema é finalmente provado pelo matemático Andrew Wiles , após oito anos de intensas pesquisas, sete das quais em segredo a maior parte. A demonstração, publicada em 1995, usa ferramentas muito poderosas da teoria dos números : Wiles provou um caso particular da conjectura de Shimura-Taniyama-Weil , que conhecemos há algum tempo, por meio do trabalho de Yves Hellegouarch em 1971 (nota para o CRAS ), depois de Gerhard Frey , Jean-Pierre Serre e Ken Ribet , que implicava o teorema. A demonstração usa as formas modulares , as representações de Galois , a cohomologia de Galois , as representações automórficas , uma fórmula de traço (em) ...

A apresentação da demonstração por Andrew Wiles foi feita em duas etapas:

Em junho de 1993, na conclusão de uma conferência de três dias, ele anunciou que o grande teorema de Fermat era um corolário de seus principais resultados apresentados. Nos meses seguintes, a última versão de sua prova é submetida a uma equipe de seis especialistas (normalmente três são suficientes) nomeados por Barry Mazur ; todo mundo tem que avaliar um pouco do trabalho de Wiles. Entre eles estão Nick Katz e Luc Illusie , a quem Katz ligou em julho para ajudá-lo; a parte da prova pela qual ele é responsável é realmente muito complicada: devemos ter sucesso na aplicação do sistema de Euler . Também fazem parte do júri Gerd Faltings , Ken Ribet e Richard Taylor . Trabalhamos com a maior confidencialidade, o clima é tenso, o peso do sigilo pesa . Depois de Katz dar a Wiles alguns pontos a esclarecer, que ele rapidamente esclarece, as coisas começam a piorar: Nick Katz e Luc Illusie acabam admitindo que não podemos estabelecer na prova, para então aplicá-la., O sistema de Euler , embora este elemento seja considerado vital para fazê-lo funcionar. Peter Sarnak , a quem Wiles lhe contara sobre sua descoberta antes da conferência de junho, o aconselhou a buscar a ajuda de Taylor. As tentativas de fechar a brecha são cada vez mais desesperadoras, porém, e Wiles, agora no centro das atenções, passa por um momento muito difícil, está no limite das forças, acredita que fracassou e se resigna. Só nove meses depois aconteceu o desfecho.
No outono, Taylor sugere retomar a linha de ataque (Flach-Kolyvagin) usada três anos antes. Wiles, embora convencido de que não funcionaria, aceita, mas principalmente para convencer Taylor de que ela não poderia trabalhar. Wiles trabalha lá por cerca de duas semanas e de repente (19 de setembro de 1994):

“Em um piscar de olhos, vi que todas as coisas que a impediam de trabalhar eram o que faria um outro método (teoria de Iwasawa) que eu havia trabalhado antes do trabalho. "

Embora, considerados separadamente, Flach-Kolyvagin e Iwasawa fossem inadequados, juntos eles se complementam. Em 25 de outubro de 1994, dois manuscritos foram lançados: Curvas modulares elípticas e o último teorema de Fermat (por Andrew Wiles), e Propriedades anulares teóricas de certas funções de Hecke (por Richard Taylor e Andrew Wiles). A primeira, muito longa, anuncia, entre outras coisas, a prova, baseando-se na segunda para um ponto crucial. O documento final foi publicado em 1995.

Método de demonstração

Princípio

A prova de Andrew Wiles baseia-se em muitos trabalhos anteriores e pode ser resumida da seguinte forma:

voltamos primeiro aos casos de expoentes $n$ primos maiores que 5;
a uma solução não trivial $( x , y , z )$ (ou seja, $xyz \neq 0$ ) com os inteiros relativos $x , y , z$ primo entre eles , associamos uma curva elíptica particular (Frey, pegando ideias de 'Hellegouarch), definida sobre o campo ℚ de números racionais;
provamos que a curva de Frey-Hellegouarch não pode ser parametrizada por funções modulares ( teorema de Ribet , demonstrando uma conjectura de Serre);
provamos que qualquer curva elíptica definida no campo ℚ de números racionais - ou uma classe grande o suficiente para conter a de Frey-Hellegouarch - é parametrizada por funções modulares: esta é a conjectura de Shimura-Taniyama-Weil , tão importante na teoria dos números, demonstrado por Wiles para uma classe suficiente de curvas elípticas.

A contradição resultante mostra que a equação de Fermat não pode ter soluções em inteiros diferentes de zero.

Noções usadas

Curvas elípticas

Uma curva elíptica é uma curva algébrica não singular cuja equação (em um quadro de referência adequado) pode ser colocada na forma:

${\ displaystyle y ^ {2} + axy + by = x ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e.}$

(os coeficientes $a$ , $b$ , $c$ , $d$ e $e$ são elementos de um corpo no qual dizemos que a curva está definida). Que tal equação corresponda bem a uma curva não singular (isto é, sem cúspide ou ponto duplo) é expresso pelo fato de que um certo polinômio nos coeficientes, o discriminante , não é cancelado.

A equação de uma cúbica deste tipo definida no campo dos números reais ou mais geralmente em um campo de característica 0, pode ser colocada de uma forma ainda mais simples (conhecida como equação de Weierstrass):

${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b.}$

O discriminante desta curva é $-16 (4 a 3 + 27 b 2 )$ . Se for diferente de zero, a curva não é singular e, portanto, é uma curva elíptica.

Curva Frey-Hellegouarch

Em 1984, Gerhard Frey acreditava que poderia demonstrar que, se $A n + B n = C n$ é um contra-exemplo ao teorema de Fermat, a curva elíptica introduzida por Yves Hellegouarch, com a equação $y 2 = x ( x + A n ) ( x - B n )$ , forneceu um contra-exemplo à conjectura de Shimura-Taniyama-Weil segundo a qual qualquer curva elíptica é parametrizável por funções modulares. O argumento de Frey não era inteiramente correto, mas Jean-Pierre Serre viu o que precisava ser adicionado para fazê-lo funcionar, o que o levou a formular sua conjectura ε (en) de tal forma que Shimura -Taniyama-Weil + ε implica Fermat.

Como em outras situações da matemática, o fato de integrar o problema de Fermat em um arcabouço mais geral e aparentemente muito mais difícil permitiu grandes avanços, pois passamos a ter todo um conjunto de ferramentas desenvolvidas para esse arcabouço.

Demonstração de Kenneth Ribet

Em 1986, após quase dois anos de esforço, o americano Ken Ribet conseguiu demonstrar a conjectura de Serre ε, uma das consequências da qual é que a curva Frey-Hellegouarch não pode ser parametrizada por funções modulares.

Restava apenas demonstrar a conjectura de Shimura-Taniyama-Weil: “Qualquer curva elíptica pode ser parametrizada por funções modulares. "

Conjectura de Shimura-Taniyama-Weil

A conjectura de Shimura-Taniyama-Weil especifica que curvas elípticas em ℚ podem sempre ser associadas (ou parametrizadas por) funções especiais chamadas modulares (generalização de funções trigonométricas ).

Para demonstrar essa conjectura, Andrew Wiles usou as seguintes noções matemáticas, entre outras:

as funções L ;
as formas modulares ;
os grupos absolutos de Galois ;
a teoria das deformações das representações de Galois.

A prova completa para curvas elípticas semi-estáveis foi publicada em 1995 na revista Annals of Mathematics .

As consequências da descoberta

Já em 1987, Serre tinha mostrado que os resultados de Ribet tornariam possível, se a conjectura de Shimura-Taniyama-Weil fosse verdadeira, resolver equações de Fermat generalizadas tais que $x n + y n = 3 z n$ (para $n > 7$ ); sob a mesma suposição, Henri Darmon e Andrew Granville foram capazes de adaptar essas técnicas à resolução das equações $x n + y n = 2 z n$ e $x n + y n = z 2$ por exemplo.

Mas, para completar sua demonstração, Wiles teve que combinar um impressionante arsenal de resultados obtidos antes dele e, acima de tudo, inventar técnicas completamente novas que revolucionaram a teoria dos números. Essas técnicas, depois aprimoradas por outros matemáticos, permitiram avanços espetaculares no programa desenvolvido por Robert Langlands . Uma das consequências desses avanços foi a demonstração (no verão de 2009) da conjectura de Satō-Tate .

Em 2016, Wiles recebeu o Prêmio Abel “por sua demonstração surpreendente do último teorema de Fermat usando a conjectura de modularidade para curvas elípticas semestáveis, inaugurando uma nova era na teoria dos números . "

Na cultura

Especialmente antes da demonstração de Wiles, o teorema de Fermat e a pesquisa da demonstração frequentemente apareciam na literatura "popular" (por exemplo, Lisbeth Salander encontra uma demonstração elementar no final de A garota que sonhou com uma lata de gasolina e um fósforo ; Arthur Porges a faz o preço de um pacto com o Diabo em O Diabo e Simon Flagg , etc.).

Da mesma forma, na televisão, várias menções ao teorema aparecem na série Star Trek : em Star Trek: The Next Generation , no episódio The Royale (temporada 2, episódio 12, transmitido em 1989, 5 anos antes de o teorema ser mostrado) , o teorema de Fermat é descrito como indecisos na XXIV ª século , 700 anos depois de os escritos de Fermat; No episódio Facetas (Temporada 3, Episódio 25, foi ao ar 12 junho de 1995) a partir de Star Trek: Deep Space Nine , uma nova prova do último teorema de Fermat foi descoberto em 23 th século, Jadzia Dax afirmando que "é 'evidência mais original abordagem desde Wiles, 300 anos atrás ' .

Os seguintes romances são mais centrados no próprio teorema:

Denis Guedj , Le Théorème du Perroquet , Le Seuil, 1998.
Guillermo Martínez , Matemática do crime (en) , NiL Éditions , 2004.
Jean d'Aillon , La Conjecture de Fermat , Lattès, 2006.

Notas e referências

Notas

No entanto, existem desde xx e termos do século, como o teorema dos dois quadrados de Fermat ou o teorema do triângulo retângulo de Fermat .
Este programa visa descrever o grupo absoluto de Galois de ℚ através das suas representações, em termos de análise harmónica de grupos algébricos (esta é a teoria das representações automórficas , uma vasta generalização da noção de forma modular ).

Referências

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Para esta seção, consulte, por exemplo (em) a resenha de livro da AMS Modular forms e o Último Teorema de Fermat de Cornell et al. , 1999.
Matthieu Romagny, “Teorema de Fermat: oito anos de solidão” , conferência proferida em Paris, 2008, p. 10 e seguintes.
Violant I Holz 2013 , p. 137-143.
(em) Andrew Wiles, " Modular eliptic curves and Fermat's last teemem " , Ann. Matemática. , vol. 141,1995, p. 443-551 ( ler online ).
Serre 1995 , p. 6
(em) H. Darmon e A. Granville equação generalizada Fermat .
Uma breve descrição por Pierre Colmez desta conjectura e sua demonstração, em imagens do Maths .
" " Star Trek: The Next Generation "The Royale (Episódio de TV 1989) " (acessado em 28 de junho de 2017 )
" " Star Trek: Deep Space Nine "Facetas (TV Episode 1995) » (acessada 1 st julho 2017 )

Apêndices

Bibliografia

Karim Belabas e Catherine Goldstein , “ Fermat e seu Teorema (e algumas variações aritmético-criptográficas) ”, Orsay Info , vol. 57,Novembro de 1999, versão preliminar .
(pt) HM Edwards , Último Teorema de Fermat , Springer ,1977( leia online )
Yves Hellegouarch , Convite à Matemática por Fermat-Wiles [ detalhe das edições ]
Jean Itard , “ Os métodos usados por Fermat na teoria dos números ”, Revue d'histoire des sciences et de suas aplicações , vol. 3,1950, p. 21-26 ( ler online )
(en) Paulo Ribenboim , 13 Palestras sobre o Último Teorema de Fermat , Springer,1979( leia online )
Jean-Pierre Serre , " Obras de Wiles (e Taylor ...), parte I ", Seminário Bourbaki ,Junho de 1995( leia online )
Joseph Oesterlé , " Obras de Wiles (e Taylor ...), parte II ", Seminário Bourbaki ,Junho de 1995( leia online )
(pt) Takeshi Saito, Último Teorema de Fermat: vol. 1, Ferramentas básicas ; voar. 2, a prova , AMS ,2013 e 2014
Paul Tannery e Charles Henry , Obras de Fermat , Paris, Gauthier-Villarst. 1 (1891) , 2 (1894) e 4 (1912)

links externos

Um documentário de TV popular de Simon Singh
(fr) The Mathematics of Fermat's Last Theorem , uma rede de sites que permite uma abordagem completa à demonstração de Wiles.