Homeomorfismo

Em topologia , um homeomorfismo é a aplicação de um bijetivo contínuo , um espaço topológico a outro, a bijeção inversa é contínua. Nesse caso, os dois espaços topológicos são ditos homeomórficos .

A noção de homeomorfismo é a noção certa para dizer que dois espaços topológicos são "iguais" vistos de maneiras diferentes. Esta é a razão pela qual os homeomorfismos são os isomorfismos da categoria dos espaços topológicos .

Propriedades

• Uma bijeção contínua é um homeomorfismo se e somente se for aberta ou fechada (então é ambos).
• Vamos K ser um compacto espaço topológico , E um separado espaço topológico , e f: K → E uma bijeção contínua. Então f é um homeomorfismo. Em particular, E é um compacto.Na verdade, qualquer F fechado de K é compacto; como E é separada, a imagem de F por F é compacto, por maioria de razão fechado em E . Portanto, f é uma bijeção contínua fechada, ou seja, um homeomorfismo através do ponto anterior.
• Uma bijeção contínua nem sempre é um homeomorfismo (veja o artigo Comparação de topologias ). Por exemplo, o aplicativof:[0,2π[→S1, t↦(porque⁡t,pecado⁡t){\ displaystyle f: \ left [0,2 \ pi \ right [\ to S ^ {1}, ~ t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}é uma bijeção contínua, mas seu recíproco não é contínuo em (1, 0) . Na verdade, não há homeomorfismo entre o círculo S 1 e uma parte de ℝ (por argumentos de conectividade ou conectividade simples ).

Definições associadas

Um mapa f  : X → Y é um homeomorfismo local  (in) se cada ponto de X pertence a um V aberto tal que f ( V ) é aberto em Y e que f dá, por restrição , um homeomorfismo de V em f ( V ) Esse aplicativo é contínuo e aberto.

Exemplos

• Qualquer cobertura é um homeomorfismo local.
• Para qualquer X aberto de Y , a inclusão X → Y é um homeomorfismo local.
• Qualquer composto X → Z de homeomorfismos locais X → Y e Y → Z é um homeomorfismo local.
• Qualquer união disjunta ∐ i ∈ I X i → Y de homeomorfismos locais X i → Y é um homeomorfismo local.
• Qualquer quociente X / ~ → Y de um homeomorfismo local X → Y por uma relação de equivalência compatível e aberta ~ é um homeomorfismo local. (Cf. a “  linha real com um ponto duplo  ”.)
• Qualquer difeomorfismo local de uma variedade para outra é um homeomorfismo local.

Uma propriedade topológica é uma propriedade invariável por homeomorfismos.

Exemplos

• Todo difeomorfismo é homeomorfismo.
• A esfera de Riemann privada de seu pólo norte é homeomórfica ao plano: um homeomorfismo é aqui a projeção estereográfica .
• O toro de dimensão 1 e o círculo unitário (ou qualquer outro círculo de raio diferente de zero) são homeomórficos.

Referência

1. Jacques Dixmier , Topologia Geral , Paris, PUF ,Mil novecentos e oitenta e um, 164  p. ( ISBN  2-13-036647-3 , OCLC  417477300 ) , parágrafos 2.5 p.  31 e 4.2.16 p.  55.

Veja também

Artigos relacionados

• Teorema da bijeção
• Morfismo
• Isomorfismo
• Sistemas dinâmicos
• Teorema de invariância de domínio
• Propriedade local
• Mergulho

Link externo

Homeomorfismo do avião na praça  : animação no GeoGebra acompanhada de exercício

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