Teoria K -algébrica

Em matemática , a teoria algébrica K é um ramo importante da álgebra homológica . Seu objetivo é definir e aplicar uma seqüência de functores K n da categoria dos anéis à dos grupos abelianos . Por razões históricas, K 0 e K 1 são concebidos em termos um pouco diferentes de K n para n ≥ 2. Esses dois grupos K são de fato mais acessíveis e têm mais aplicações do que aqueles com índices mais altos. A teoria destes últimos é muito mais profunda e são muito mais difíceis de calcular, mesmo que apenas para o anel de inteiros .

O grupo abeliano K 0 ( A ) generaliza a construção do grupo de classes ideais de um anel A usando os A - módulos projetivos . Foi desenvolvido nas décadas de 1960 e 1970 - em que a " conjectura de Serre " nos módulos projetivos tornou-se o teorema de Quillen-Suslin (in) - e foi associado a muitos outros problemas algébricos clássicos. Da mesma forma, o grupo K 1 ( A ) é uma modificação do grupo de unidades , usando as matrizes elementares ; é importante na topologia , especialmente quando A é um anel de grupo , porque um grupo quociente , o grupo Whitehead (en) , contém a torção de Whitehead (en) , usada na teoria de homotopia simples e na cirurgia . O grupo K 0 ( A ) também contém outros invariantes , como o invariante da finitude . Desde a década de 1980, a teoria K algébrica tem cada vez mais aplicações em geometria algébrica . Por exemplo, a cohomologia motívica está intimamente ligada a ele.

História

Alexandre Grothendieck descobriu a teoria K em meados da década de 1950, como uma estrutura para estabelecer sua generalização de longo alcance do teorema de Riemann-Roch . Alguns anos depois, Michael Atiyah e Friedrich Hirzebruch consideraram semelhante, a teoria topológica K (em) .

A partir de 1960, as aplicações dos grupos K foram descobertas , particularmente na cirurgia múltipla , e muitos outros links para problemas algébricos clássicos.

Um pouco mais tarde, um ramo da teoria das álgebras de operadores foi desenvolvido com proveito, dando origem à teoria K dos operadores (en) e à teoria KK (dos) . Também ficou claro que a teoria K tinha um papel a desempenhar na geometria algébrica, na teoria dos ciclos (conjectura de Gersten): os grupos da teoria K superiores estavam ligados a fenômenos em codimensões superiores , aqueles mais difíceis de compreender.

O problema surgiu da variedade de definições da teoria K , à primeira vista não equivalente. Usando o trabalho de Steinberg sobre extensões centrais universais de grupos algébricos clássicos , John Milnor escolhe definir o grupo K 2 ( A ) de um anel A como o centro , isomorfo a H 2 (E ( A ), ℤ) , da extensão central universal do grupo E ( a ) gerado pelo matrizes elementares infinito Uma . Existe um mapa bilinear natural de K 1 ( A ) × K 1 ( A ) a K 2 ( A ). No caso particular de um campo k , o grupo K 1 (k) é isomorfo ao grupo multiplicativo GL (1, k ) , e os cálculos de Hideya Matsumoto mostraram que K 2 ( k ) é isomorfo ao grupo gerado por K 1 ( k ) × K 1 ( k ) módulo um conjunto de relações fáceis de descrever.

Estas dificuldades fundamentais foram eventualmente resolvidos (deixando uma teoria profunda e difícil) por Daniel Quillen , que deu várias definições de K n ( A ) para todos os naturais números n , através da sua construção mais e sua Q construção .

Primeiros grupos K

Os grupos K de índice 0 e 1 foram os primeiros a serem descobertos, sob várias descrições ad hoc , que permanecem úteis. A seguir, A denota um anel unificado .

K 0

Todas as classes de isomorfismo de A - módulos projetivos de tipo finito , equipados com a soma direta , formam um monóide . Definimos K 0 ( A ) como seu grupo Grothendieck .

Qualquer morfismo de anel A → B dá um mapa K 0 ( A ) → K 0 ( B ) que envia (a classe de) qualquer A- módulo M (projetivo e de tipo finito) em M ⊗ A B , que faz de K 0 um functor covariante.

Se o anel A é comutativo , podemos definir em K 0 ( A ) o subgrupo

$\ widetilde K_ {0} (A) = \ bigcap \ limits _ {{P {\ text {ideal primo de}} A}} {\ mathrm {Ker}} \ dim _ {P},$

$\ dim _ {P}: K_ {0} (A) \ to \ mathbb {Z}$

é a aplicação à qual (a classe de) M associa a classificação de A P - módulo livre M P (este módulo é de fato livre, visto que é um módulo projetivo em um anel local ). Este sub-grupo é chamado o K reduzido índice -Teoria 0 de um . $\ widetilde K_ {0} (A)$

Podemos estender a definição de K 0 para um anel B não necessariamente unificado considerando seu A = B 1 unitarizado e o morfismo canônico de anéis unificados A → ℤ. Em seguida, definimos K 0 ( B ) como o núcleo do correspondente K 0 ( A ) → K 0 (ℤ) = ℤ morfismo .

Exemplos

Os módulos sobre um campo k são os k - espaços vetoriais e K 0 ( k ) é isomórfico a ℤ, pelo mapa dimensional .
Mais geralmente, os módulos projetivos em um anel local A são livres e K 0 ( A ) é isomórfico a ℤ, pelo mapa de classificação .
Se A é um anel de Dedekind , K 0 ( A ) = Pic ( A ) ⊕ ℤ, onde Pic ( A ) é o grupo de Picard de A e da mesma forma, a teoria K reduzida é dada por $\ widetilde K_ {0} (A) = {{\ rm {Pic}}} (A).$
Uma variante algébrica-geométrica dessa construção se aplica à categoria de variedades algébricas ; que combina uma variedade algébrica X do K -group Grothendieck da categoria localmente vigas gratuitos (ou feixes coerentes ) em X .
Para qualquer espaço topológico compacto , a K- teoria topológica (em) K top ( X ) de feixes vetoriais ( reais ) em X coincide com o K 0 do anel de funções contínuas de X a ℝ.

K 0 relativo

Ou I um ideal de A . Definimos o "duplo" associado como o seguinte sub-anel do anel de produto A × A :

$D (A, I) = \ {(x, y) \ in A \ vezes A \ mid xy \ in I \},$

então o relativo grupo K :

$K_ {0} (A, I) = \ ker \ left (K_ {0} (D (A, I)) \ to K_ {0} (A) \ right),$

onde a aplicação é induzida pela projeção no primeiro fator.

Este K- grupo relativo K 0 ( A , I ) é isomorfo a K 0 ( I ), onde I é visto como um anel sem unidade. O fato de ser independente de A é um análogo do teorema da excisão em homologia.

Anel K 0

Se o anel A é comutativo, o produto tensorial de dois módulos projetivos ainda é projetivo, o que induz uma multiplicação tornando K 0 um anel comutativo, com a classe [ A ] como neutro multiplicativo. Da mesma forma, o produto externo induz uma estrutura de anel λ (en) . O grupo de Picard mergulha no grupo de unidades de K 0 ( A ).

K 1

Hyman Bass deu a seguinte definição, que generaliza a do grupo de unidades de um anel: K 1 ( A ) é o abelianizado do grupo geral linear infinito :

$K_ {1} (A) = \ operatorname {GL} (A) ^ {{{\ mbox {ab}}}} = \ operatorname {GL} (A) / [\ operatorname {GL} (A), \ operatorname {GL} (A)].$

De acordo com o lema de Whitehead , o grupo derivado [GL ( A ), GL ( A )] coincide com o subgrupo perfeito E ( A ) gerado pelas matrizes elementares. O grupo GL ( A ) / E ( A ), primeiro identificados e estudados por Whitehead, é chamado o grupo Whitehead de anel A .

K 1 parente

A relação K -group K 1 ( A , I ) é definida em termos de " duplo ":

$K_ {1} (A, I) = \ ker {\ Grande (} K_ {1} (D (A, I)) \ a K_ {1} (A) {\ Grande)}.$

Ele se encaixa em uma sequência exata :

$K_ {1} (A, I) \ a K_ {1} (A) \ a K_ {1} (A / I) \ a K_ {0} (A, I) \ a K_ {0} (A) \ para K_ {0} (A / I).$

Anéis comutativos

Se o anel A é conmutativo, podemos definir um morfismo determinação , GL ( A ) a partir do grupo A × unidades de Uma . Este mapa desaparece em E ( A ), portanto, passa para o quociente e define um morfismo det: K 1 ( A ) → A × , cujo kernel é o grupo especial de Whitehead SK 1 ( A ): = SL ( A ) / E ( A ) Temos até mesmo uma pequena divisão de sequência exata à direita $1 \ a SK_ {1} (A) \ a K_ {1} (A) \ a A ^ {{\ times}} \ a 1,$ quociente disso, $1 \ para \ operatorname {SL} (A) \ para \ operatorname {GL} (A) \ para A ^ {{\ times}} \ para 1,$ cuja seção A × → GL ( A ) é dada pela inclusão de A × = GL (1, A ) em GL ( A ).

Assim, K 1 ( A ) se decompõe na soma direta do grupo de unidades e do grupo especial de Whitehead: K 1 ( A ) ≃ A × ⊕ SK 1 ( A ).

Se A é um anel euclidiano (por exemplo, um campo comutativo , ou o anel de inteiros) ou semi-local , então o grupo SK 1 ( A ) é trivial e o determinante é um isomorfismo de K 1 ( A ) em A × . Isso é errado para qualquer anel principal , que fornece uma das raras propriedades dos anéis euclidianos que não se generalizam para os anéis principais. De contra-exemplos foram dadas por baixo em 1972 e por ISCHEBECK em 1980.

SK 1 ( A ) também é trivial se A for um subanel de Dedekind de um campo numérico .

A trivialidade de SK 1 pode ser interpretada dizendo que K 1 é gerado pela imagem de GL 1 . Quando não for o caso, podemos descobrir se K 1 é gerado pela imagem de GL 2 . Isso é verdade para um anel Dedekind, K 1 sendo gerado pelas imagens de GL 1 e SL 2 . Podemos estudar o subgrupo de SK 1 gerado por SL 2 usando os símbolos de Mennicke (en) . Para um anel Dedekind no qual todos os quocientes por ideais máximos são finitos , SK 1 é um grupo de torção .

Para um anel não comutativo, o morfismo determinante não é definido em geral, mas a aplicação GL ( A ) → K 1 ( A ) é um substituto para ele.

Álgebras centrais simples

Se A é uma álgebra central simples sobre um corpo F , a norma reduzida fornece uma generalização do determinante, dando um mapa K 1 ( A ) → F *, e podemos definir SK 1 ( A ) como seu núcleo. Shianghao Wang (en) demonstrou que se o grau de A é primo, então SK 1 ( A ) é trivial, e isso se estende ao caso em que o grau não é quadrado . Wang também provou que SK 1 é trivial para qualquer álgebra central simples sobre um campo numérico. Vladimir Platonov deu exemplos, para qualquer número primo p , de álgebras de grau p 2 cujo SK 1 não é trivial.

K 2

John Milnor definido K 2 ( A ), como o centro do grupo de Steinberg St ( A ) de um . É também o núcleo do morfismo φ: St ( A ) → GL ( A ), e o multiplicador de Schur do grupo E ( A ) gerado pelas matrizes elementares.

K 2 (ℤ) = ℤ / 2ℤ e mais geralmente, o K 2 do anel de inteiros de um corpo de números é finito.

K 2 (ℤ / n ℤ) ainda é ℤ / 2ℤ se n for divisível por 4, mas caso contrário, é trivial.

Teorema de Matsumoto

O K 2 de um campo é determinado pelos símbolos Steinberg :

Teorema de Matsumoto - Para qualquer campo comutativo k ,

K_ {2} (k) = k ^ {\ times} \ otimes _ {{\ mathbb {Z}}} k ^ {\ times} / \ langle a \ otimes (1-a) \ mid a \ not = 0 , 1 \ rangle.

Podemos facilmente deduzir que o K 2 de qualquer corpo finito é trivial.

O cálculo de K 2 ( ℚ ) é um pouco mais complicado. John Tate provou que

$K_ {2} (\ mathbb {Q}) = (\ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}) ^ {\ times} \ times \ prod _ {{p {\ text {primeira ímpar}}}} ( \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ {\ times}$

observando que a prova seguiu o mesmo plano da primeira prova de Gauss da lei da reciprocidade quadrática .

Se F é um local de campo não-Arquimedes , o K 2 é a soma directa do grupo cíclico acabado ℤ / m ℤ e grupo divisível K 2 ( F ) m , onde m é o número de raízes da unidade em F .

Seqüências longas e exatas

Se A é um anel de Dedekind e F seu campo de frações , temos uma longa sequência exata

$K_ {2} (F) \ a \ oplus _ {P} K_ {1} (A / P) \ a K_ {1} (A) \ a K_ {1} (F) \ a \ oplus _ {P} K_ {0} (A / P) \ a K_ {0} (A) \ a K_ {0} (F) \ a 0$

onde P é executado sobre todos os ideais primos diferentes de zero de A .

Por outro lado, para todos A e I (ideal de A ), a seqüência exata que põe em jogo o relativo K 1 e K 0 é estendida:

$K_ {2} (A) \ a K_ {2} (A / I) \ a K_ {1} (A, I) \ a K_ {1} (A) \ cdots \.$

Acoplamento

Existe um acoplamento em K 1 valores de K 2 : dada uma pendulares matrizes X e Y em um , são x e y do fundo do grupo de Steinberg . O switch xyx −1 y −1 é um elemento de K 2 . Esta aplicação nem sempre é sobrejetora .

K - Teoria de Milnor

A expressão acima do K 2 de um campo comutativo k levou Milnor a uma definição dos grupos K "superiores" como os componentes, em cada grau , do quociente da álgebra tensorial do grupo abeliano k × por l 'dois - ideal lados gerados pelo um ⊗ (1 - um ) para um ≠ 0, 1:

$K _ {*} ^ {M} (k): = T ^ {*} (k ^ {\ times}) / (a \ otimes (1-a)).$

Para n = 0, 1 ou 2, esses grupos K M n coincidem com os grupos K n definidos abaixo , mas para n ≥ 3, eles são geralmente diferentes. Por exemplo, para qualquer corpo finito k , K M n ( k ) é trivial para todo n ≥ 2, enquanto K n ( k ) só é trivial se n for par.

A imagem em K M n ( k ) de um elemento a 1 ⊗… ⊗ a n é chamada de símbolo e denotada por { a 1 ,…, a n }. Se m é um inteiro invertível em k , há uma aplicação

$\ parcial: k ^ {*} \ a H ^ {1} (k, \ mu _ {m})$

onde μ m denota o grupo de raízes m- ésimas da unidade em uma extensão separável de k . Ele se estende a um aplicativo

$\ parcial ^ {n}: k ^ {*} \ times \ cdots \ times k ^ {*} \ a H ^ {n} \ left ({k, \ mu _ {m} ^ {{\ otimes n}} } \ direito),$

que verifica as relações que definem os grupos K de Milnor. O mapa ∂ n , assim definido em K M n ( k ), é denominado “símbolo de Galois”.

A relação entre a cohomologia étale (ou Galois ) do corpo e sua K- teoria do módulo 2 de Milnor é a conjectura de Milnor , demonstrada por Vladimir Voevodsky . A afirmação análoga para números primos ímpares é a conjectura de Bloch-Kato (en) , demonstrada por Voevodsky, Rost (de) e outros.

Grupos de Teoria K superior

Depois de alguns anos durante os quais várias definições incompatíveis foram sugeridas para os grupos K de índices mais altos, foi a dada por Quillen que foi aceita. O desafio era encontrar definições de K ( R ) e K ( R , I ) em termos de espaços de classificação (en) , de modo que R ↦ K ( R ) e ( R , I ) ↦ K ( R , I ) sejam functores com valores em uma categoria homotópica (em) de espaços e que a longa sequência exata para os grupos K relativos é simplesmente a longa sequência exata de homotopia de uma fibração K ( R , I ) → K ( R ) → K ( R / I ).

Quillen deu duas construções, a "construção plus" e a "construção Q ", a última sendo posteriormente modificada de várias maneiras. As duas construções fornecem os mesmos grupos K.

Construção mais

Para n > 0, Quillen define o n -ésimo K -grupo de R como o n- ésimo grupo de homotopia de um espaço obtido aplicando sua construção mais (de) ao classificador B GL ( R ) do grupo linear infinito GL ( R ): $K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B {{\ rm {GL}}} (R) ^ {+}).$

Para estender esta definição ao caso n = 0, é suficiente definir $K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B {{\ rm {GL}}} (R) ^ {+} \ vezes K_ {0} (R)),$

visto que B GL ( R ) + é conectado por arcos e K 0 ( R ) é discreto .

Construção Q

O edifício Q (em) dá os mesmos resultados que construir mais, mas se aplica a situações mais gerais. Além disso, é mais direto, no sentido de que os K -grupos que produz são funcionais por definição, ao passo que este fato não é imediato na construção plus.

A qualquer categoria exata P , associamos a categoria Q P cujos objetos são os de P e cujos morfismos de M a M ' são as classes de isomorfismos de diagramas em P da forma

$M \ leftarrow N \ to M ',$

onde a primeira flecha é um epimorfismo admissível e a segunda um monomorfismo admissível .

O n -ésimo grupo K da categoria exata P é então definido por

$K_ {n} (P) = \ pi _ {{n + 1}} ({\ mathrm {BQ}} P, 0)$

onde 0 é um objeto nulo fixo e BQ P é o espaço classificador da categoria Q P , ou seja, a realização geométrica (in) de seu nervo . Em particular, K 0 ( P ) é o grupo Grothendieck de P .

Tomando como P a categoria de módulos R projetivos de tipo finito, encontramos os mesmos grupos que o K n ( R ) definido pela construção positiva. Mais geralmente, o K -Grupos de um esquema X são definidos como os da categoria (exata) de coerente vigas localmente livre em X .

Também usamos a seguinte variante: em vez dos módulos R projetivos de tipo finito (isto é, localmente livre), pegamos todos os módulos R de tipo finito. Normalmente denotamos por G n ( R ) os grupos K assim obtidos. Se R é um anel Noetheriano regular , suas teorias G e K coincidem. De fato, a dimensão global de R é finita, ou seja, qualquer R- módulo do tipo finito M admite uma resolução (in) projetiva P * → M , e um argumento simples permite deduzir que o morfismo canônico K 0 ( R ) → G 0 ( R ) é bijetivo , com [ M ] = Σ ± [ P n ]. Mostramos que o morfismo entre grupos K superiores também é bijetivo.

Construção S

Uma terceira construção dos grupos K é a construção S de Waldhausen (en) . Aplica-se a categorias com cofibrações (chamadas categorias Waldhausen (in) ), mais gerais do que as categorias exatas.

Exemplos

Embora a Teoria Algébrica K de Quillen tenha ajudado a compreender em profundidade vários aspectos da geometria e topologia algébrica , os grupos K se mostraram particularmente difíceis de calcular, exceto em alguns casos isolados, mas interessantes.

Corpos acabados

Este primeiro cálculo de K - grupos superiores de um anel - e um dos mais importantes - foi realizado pelo próprio Quillen: o corpo finito com q elementos sendo denotados por F q , temos

K 0 ( F q ) = ℤ,
K 2 i ( F q ) = 0 para i ≥ 1,
K 2 i –1 ( F q ) = ℤ / ( q i - 1) ℤ para i ≥ 1.

Anéis inteiros

Quillen provou que os grupos K do anel O F de inteiros de um campo numérico F são do tipo finito . Armand Borel o usou para calcular a torção do módulo K i ( O F ) e K i ( F ) . Por exemplo, para F = ℚ, Borel provou que para todo i > 1, K i (ℤ) módulo de torção é ℤ se i for congruente a 1 módulo 4 e $0$ caso contrário.

Recentemente determinamos os subgrupos de torção de K 2 i +1 (ℤ) e a ordem dos grupos abelianos finitos K 4 k +2 (ℤ), mas as questões da ciclicidade deste último e da trivialidade do K 4 k (ℤ ) dependem da conjectura de Vandiver sobre o grupo de classes de inteiros ciclotômicos . Consulte o artigo " Guess Quillen-Lichtenbaum (in) " para obter detalhes.

Aplicativos e perguntas abertas

Grupos da teoria algébrica K estão envolvidos em conjecturas sobre valores especiais (en) de funções L , a formulação da conjectura principal (en) na teoria não comutativa de Iwasawa e a construção de reguladores superiores (en) .

A conjectura Parshin (en) fornece que para qualquer variedade suave sobre um corpo finito, os K grupos superiores são a torção .

O de Bass (en) prevê que para qualquer ℤ-álgebra de tipo finito A , todos os grupos G n ( A ) são de tipo finito.

Notas e referências

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Veja também

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links externos

(pt) " Arquivos de pré-impressão da teoria K "
(pt) " Exemplos de grupos algébricos da teoria K " , no PlanetMath
(pt) " Algebraic K-theory " , no PlanetMath

Teoria K -algébrica

História

Primeiros grupos K

K 0

K 1

K 2

K - Teoria de Milnor

Grupos de Teoria K superior

Construção mais

Construção Q

Construção S

Exemplos

Corpos acabados

Anéis inteiros

Aplicativos e perguntas abertas

Notas e referências

Veja também

Bibliografia

links externos

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