Lema de Urysohn

O lema Urysohn é um resultado da topologia , que afirma que para dois F e G fechados disjuntos de um espaço normal X (ou mais geralmente um espaço T 4 ), há uma função contínua de X no intervalo [0, 1] é 0 a F e um de L .

Este lema permitiu estender para espaços normais o teorema de extensão de Tietze , inicialmente demonstrado em 1914 por Heinrich Tietze para espaços métricos. Pavel Urysohn encontra uma nova prova e afirma seu lema um pouco mais tarde, em um texto matemático cujo objetivo é a prova dos teoremas sobre a invariância da dimensão de um espaço topológico localmente homeomórfico a um espaço euclidiano .

Afirmações

Existe uma primeira afirmação específica para os espaços T 4 (e cujo recíproco é imediato):

Lema de urysohn - Se X é um espaço de T 4 , em seguida, para todos os disjuntos fechado F e G de X , existe uma função contínua de X no intervalo [0, 1], que é igual a 0 em F e 1 em L .

Um primeiro corolário é que qualquer espaço normal (isto é, T 4 e separado ) é completamente regular .

Outro corolário é o seguinte:

Se X é um espaço localmente compacto, então, para qualquer K compacto de X, existe um mapa contínuo de X em [0, 1] , com suporte compacto , e que é igual a 1 sobre K.

Este lema também é usado na geometria diferencial da seguinte forma:

Seja K um compacto de um espaço euclidiano E e Ω um espaço aberto de E contendo K. Existe uma função infinitamente diferenciável de E em [0, 1] , cujo suporte está incluído em Ω , e que é igual a 1 em K .

Abordagem qualitativa

Fragmento de história

Uma das grandes questões que surgiram no início do XX E século em topologia é a classificação dos vários espaços. Um invariante importante para esta classificação é a dimensão. Se um espaço topológico conectado tem em algum ponto uma abertura, contendo este ponto e homeomorfo a uma abertura de um espaço euclidiano, todos os espaços euclidianos têm a mesma dimensão e esta dimensão é única. Se este resultado for muito intuitivo: se um espaço topológico é da mesma natureza que uma curva, então não é um plano, a prova é difícil. Desde Peano , o conhecimento de uma função contínua e sobrejetiva de R em [0, 1] 2 ilustra uma das armadilhas a serem evitadas, a fim de encontrar provas rigorosas.

Heinrich Tietze trabalha nessa questão e, nesse contexto, mostra em 1914 que se f é um mapa contínuo definido sobre um fechado de um espaço métrico, é continuamente extensível em todo o espaço. Ele encontrou a definição de espaço normal em 1923. Pavel Urysohn , um matemático russo, conseguiu provar o teorema da dimensão chave que publicou em 1924. Ele encontrou resultados já demonstrados por Luitzen Brouwer em 1912, mas que Urysohn não sabia. Esta publicação contém o lema do artigo.

Devemos também a Tietze também o teorema da extensão , que agora leva seu nome e do qual o lema do artigo é apenas um caso especial. Jean Dieudonné desenvolveu o uso do teorema em geometria diferencial e simultaneamente e independentemente desenvolveu com Salomon Bochner a noção de partição da unidade em 1937. Ele também introduziu a definição de espaço paracompacto em 1944, muitas vezes substituindo a de espaço normal., Que contém muitas exceções patológicas para serem verdadeiramente férteis na topologia algébrica .

Usos

Encontramos o lema de Urysohn em dois contextos geométricos diferentes.

Na topologia algébrica , este lema é usado para estabelecer resultados topológicos fundamentais. Assim, uma das provas do teorema de Jordan , que indica que uma renda separa o espaço em dois componentes conectados , usa o teorema da extensão de Tietze , que - apesar da existência de uma prova direta mais simples - é deduzido, por tradição, do lema de Urysohn.
Na geometria diferencial , o lema de Urysohn é usado para estabelecer uma das ferramentas mais importantes da geometria diferencial. Essa ferramenta é chamada de partição da unidade . Permite, por exemplo, estabelecer a existência de uma densidade em uma variedade diferencial .

Lema de Urysohn

Seja D uma parte contável densa de] 0, 1 [, por exemplo o conjunto de frações diádicas , ou simplesmente ℚ ∩] 0, 1 [.

Definimos uma família aberta ( U ( r )) r ∈ D tal que $\ forall r \ in D \ quad F \ subconjunto U (r) {\ text {et}} \ overline {U (r)} \ subconjunto X \ setminus G$ e $\ forall r, s \ in D \ quad r <s \ Rightarrow \ overline {U (r)} \ subconjunto U (s).$ Fazemos isso por indução, depois de escolher uma bijeção r de ℕ em D : seja n um número natural e suponha que U ( r k ) para k < n satisfaça as duas condições acima. O fechado $F_ {n} = F \ xícara \ bigcup _ {{k <n, r_ {k} <r_ {n}}} \ overline {U (r_ {k})}$ é então incluído no aberto ${\ displaystyle O_ {n} = (X \ setminus G) \ cap \ bigcap _ {k <n, r_ {k}> r_ {n}} U (r_ {k}).}$ Uma vez que X satisfaz a propriedade T 4 , há, portanto, um U aberto ( r n ) tal que $F_ {n} \ subconjunto U (r_ {n}) {\ text {et}} \ overline {U (r_ {n})} \ subconjunto O_ {n}.$
Em seguida, definimos uma função f de X em [0, 1] por $f (x) = \ inf \ left (\ {s \ in D \ mid x \ in U (s) \} \ cup \ {1 \} \ right) = \ sup \ left (\ {r \ in D \ mid x \ notin \ overline {U (r)} \} \ cup \ {0 \} \ right).$ Por construção, f é de 0 a F e um de L . É contínuo porque é semicontínuo acima e abaixo.

Corolário

Vamos K parte compacto com espaço localmente compacto X . O objetivo é mostrar a existência de uma função f apoio contínuo, compacto, igual a 1 em K . Como X é localmente compacto, para qualquer ponto k de K , existe um U k aberto contendo k e cuja adesão é compacta. A família ( U k ) forma uma sobreposição aberta do compacto K , de modo que é possível extrair dela um disfarce finito ( U kn ). A união do U kn é um U aberto contendo K e cuja adesão L é compacta e, portanto, normal . As mostras lema Urysohn que existe uma função f G , que é um de K e 0 do complemento de L em L . É estendida f L por uma função f definida em X e é 0 no complemento de L em X . A função F é contínua no fechado L , e, assim, não contínua no complemento de L em X . É, portanto, contínuo na união X desses dois fechados. O suporte da função f é um fechado do compacto L , a função f, portanto, possui um suporte compacto.

Provas diferenciais

Função de bandeja

No resto do artigo, E designa um espaço euclidiano e n a sua dimensão. A prova do lema de Urysohn em geometria diferencial requer a construção de funções de platô, semelhantes às ilustradas na figura à direita. Procuramos um mapa f δ , onde δ é um real estritamente positivo, de E e com valores em números reais positivos, com suporte na bola fechada com centro o vetor zero e de raio δ, infinitamente diferenciável e integral em E igual a 1.

Para construir tal função, primeiro construímos a função mostrada em vermelho na figura à esquerda. Deixe um e b ser dois números reais tais que a < b , tentamos construir um mapa φ ab definido em R , com o apoio igual a [ a , b ], infinitamente diferenciável e com valores em números reais estritamente positivos. Definimos a função φ ab por:

\ forall x \ in [- \ infty, a] \ cup [b, \ infty], \; \ varphi _ {{ab}} (x) = 0 \ quad {\ text {e}} \ quad \ forall x \ in] a, b [, \; \ varphi _ {{ab}} (x) = \ exp \ left ({\ frac {-1} {(xa) (bx)}} \ right)

Uma verificação rápida mostra que φ ab é de fato infinitamente diferenciável, com suporte igual a [ a , b ] e com valores positivos. Como tem valores estritamente positivos em] a , b [, a integral cujo valor é denotado k -1 é bastante diferente de 0.

k ^ {{- 1}} = \ int _ {a} ^ {b} \ varphi _ {{ab}} (t) {\ mathrm d} t

Em seguida, tentamos construir a função ilustrada em azul na figura à esquerda. É uma função ψ ab de R no intervalo [0, 1] que é igual a 1 para qualquer valor menor que a , 0 para qualquer valor maior que be que é infinitamente diferenciável. Para construí-lo, basta considerar a primitiva da função - k .φ ab que é igual a 0 em b . A função f δ é então definida por:

\ forall u \ in E \ quad f _ {{\ delta}} (u) = \ lambda \ psi _ {{0 \ delta}} (\ | u \ |) \ quad {\ text {com}} \ quad \ lambda ^ {{- 1}} = \ int _ {E} \ psi _ {{0 \ delta}} (\ | u \ |) {\ mathrm d} u

Lema

Supomos que E é um espaço euclidiano, K , ilustrado em verde na figura à esquerda é um compacto, Ω é um aberto contendo K , em amarelo na figura e denotamos c Ω, em vermelho, o fechado complementar a Ω . O objetivo é construir um mapa definido em E , com valores em [0, 1], que vale 1 em K , 0 em c Ω e infinitamente diferenciável. Isso equivale a dizer que a função procurada g tem um gráfico incluído na gaiola amarela da figura no canto superior direito (exceto na zona vermelha onde é zero) e que abrange o gráfico da função característica que K , ilustrada em azul esverdeado na mesma figura. Em termos mais matemáticos, obtemos, se χ K e χ Ω denotam as funções características de K e Ω:

\ forall x \ in E \ quad \ chi _ {{\ Omega}} (x) \ geq g (x) \ geq \ chi _ {{K}} (x)

Considere a função de K a R + , que ax associa a distância entre x e c Ω. É uma função contínua, definida em um compacto, atinge seu limite inferior. Se esse limite inferior fosse zero, ele seria alcançado em um ponto x aderente a K e c Ω. Como esses dois conjuntos são fechados, x seria um elemento de K e de c Ω. Por definição de Ω, tal ponto não pode existir e o limite inferior é estritamente positivo. Seja δ um real estritamente positivo tal que 2.δ é menor que este limite inferior (ilustrado na figura à esquerda). Em seguida, considerar o conjunto V , mostrado na violeta na figura do lado esquerdo, os pontos E localizado a uma distância inferior ou igual a õ de K . Por construção, tudo ponto c Ω está a uma distância pelo menos igual a õ de V e qualquer centro de uma bola ponto K e raio δ está incluído no conjunto V .

Consideramos que a função característica χ V do conjunto V , ilustrado na figura, no meio do lado direito e que definem g como o produto de convolução da função χ V e f δ do parágrafo anterior:

\ forall x \ in E \ quad g (x) = (f _ {{\ delta}} \ ast \ chi _ {V}) (x) = \ int _ {E} f _ {{\ delta}} ( xt) \ cdot \ chi _ {V} (t) {\ mathrm d} t

Uma vez que ambas as funções são compactamente suportadas, a integral é bem definida. Como f δ é uma função infinitamente diferenciável, a função g é. Como a função característica possui valores positivos entre 0 e 1 e que f δ é uma função positiva, com integral sobre E igual a 1, a função g assume seus valores no intervalo [0,1]. Se x é um elemento K , a função em t combina f δ ( x - t ) é zero em qualquer lugar, exceto na bola de centro xe raio δ. Se x é um elemento de K , esta bola está incluída em V , deduzimos:

{\ displaystyle \ forall x \ in K \ quad g (x) = \ int _ {B (x, \ delta)} f _ {\ delta} (xt) \ mathrm {d} t = \ int _ {B ( 0, \ delta)} f _ {\ delta} (t) \ mathrm {d} t = 1}

Se x é o elemento c Ω, a função em t combina f δ ( x - t ) ainda é zero em todos os lugares, exceto na bola de centro xe raio δ. Nesta bola, a função χ V é zero, deduzimos que no complemento de Ω, a função g é de fato zero. Esta observação encerra a demonstração. A função g é a ilustrada na figura inferior direita.

Notas e referências

Em um espaço métrico, o lema de Urysohn é imediato: veja o artigo Axioma da separação (topologia) .
Serge Lang , Real Analysis , Paris, InterEditions,1977, 230 p. ( ISBN 978-2-7296-0059-4 ) , p. 38.
A prova da versão diferencial apresentada aqui é análoga à de " Lema de Urysohn " , em les-mathematiques.net .
( entra ) Tony Crilly , cap. 1 “A emergência da teoria da dimensão topológica” , em IM James , History of Topology , Elsevier,1999( ISBN 978-0-08053407-7 , ler online ) , p. 1-24.
(de) Boto von Querenburg (de) , Mengentheoretische Topologie , vol. 3, Berlim, Springer,2001, 3 e ed. , 353 p. , pocket ( ISBN 978-3-540-67790-1 e 3540677909 ).
Nicolas Bourbaki , Elementos da história da matemática [ detalhe das edições ], Springer, 2006, p. 205 .
(De) P. Urysohn e P. Aleksandrov , "Zur Theorie der topologischen Räume", Mathematische Annalen , 1924.
L. C. Arboleda, "os começos do Soviética topológica Escola: Notas sobre as cartas de Paul S. Alexandroff e Paul S. Urysohn para Maurice Fréchet", Arch. Hist. Exact Sci. , voar. 20, n o 1, 1979 p. 73-89 .
do artigo " Jean Dieudonné " na Enciclopédia Universalis .
(em) Mark Mandelkern , " Uma curta prova do teorema de extensão de Tietze-Urysohn " , Archiv der Mathematik , vol. 60, n o 4,1993, p. 364-366 ( ler online ).
Marcel Berger e Bernard Gostiaux , Geometria diferencial: variedades, curvas e superfícies [ detalhe das edições ], p. 114 .
(em) James Dugundji , Topologia , Allyn & Bacon,1966, 447 p. ( ISBN 978-0-697-06889-7 , leitura online ) , p. 146-147.
Frédéric Paulin, " Topologia, análise e cálculo diferencial, École Normale Supérieure (2008-2009) " , p. 37 .
(em) " prova do lema de Urysohn " no PlanetMath .
A demonstração proposta aqui foi retirada de Lang 1977 , p. 38
Encontramos esse tipo de construção em Berger Gostiaux , p. 19
Ver sobre este assunto o artigo " Integral paramétrico ".

Veja também

Bibliografia

(en) M. Henle, uma introdução combinatória à topologia , Dover Publications (1994) ( ISBN 0486679667 )

Link externo

G. Favi, Alguns ideais máximos do anel de funções contínuas Journal of the IMA, University of Basel (Uma prova da versão topológica)