Magma (álgebra)
Em matemática , um magma é uma das estruturas algébricas usadas na álgebra geral . Um magma é, por definição, um todo dotado de uma lei de composição interna .
Definições
Se denotarmos um conjunto e uma lei de composição interna em , o par denotado é um magma. Com esta definição, o todo não é idêntico ao magma, mas eles são comumente identificados.
M{\ displaystyle M}
⋆{\ displaystyle \ star}
M{\ displaystyle M}
(M,⋆){\ displaystyle (M, \ star)}
M{\ displaystyle M}![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
Nenhum axioma é imposto a essa lei de composição interna, freqüentemente observada como uma multiplicação .
Dizemos que o magma é:
(M,⋆){\ displaystyle (M, \ star)}![(M, \ estrela)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b47155ef656806e8318cd34bbe7d720be93091)
Se e são magmas, um morfismo de magma , ou homomorfismo de magma , de in é por definição um mapeamento f de M a N tal que, para todos os elementos x , y de M, temos
(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}
(NÃO,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}
(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}
(NÃO,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}![{\ displaystyle (N, \ star)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ceed11b0f3cb53e0f01408979a1297eecd8a198)
f(x⋅y)=f(x)⋆f(y).{\ displaystyle \ qquad f (x \ cdot y) = f (x) \ star f (y).}![{\ displaystyle \ qquad f (x \ cdot y) = f (x) \ star f (y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3775de20906cc9a7149367c7c0f7d12694ec0a)
Se, além disso, f é uma bijeção , o recíproco de f é um morfismo de magmas de in e dizemos que f é um isomorfismo de magmas. O recíproco de um isomorfismo de magma é um isomorfismo de magma.
(NÃO,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}
(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}![{\ displaystyle (M, \ cdot)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc86a0f0f83580455b11737df738e30a314e49a)
Se o contexto for claro o suficiente, simplesmente dizemos “morfismo” em vez de “morfismo de magma”, mas há casos em que isso pode levar à confusão. Por exemplo, um morfismo de magmas entre monoides não é necessariamente um morfismo de monoides .
Exemplos de magmas
- O magma vazio é o único magma no conjunto vazio .
-
(NÃO,+){\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}
é um monóide comutativo . Além disso, tudo é normal .
-
(NÃO,×){\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ times)}
também é um monóide comutativo, mas 0 não é regular.
-
(Z,-){\ displaystyle (\ mathbb {Z}, -)}
é um magma não associativo e não comutativo . Não é nem unificador, mas unificador apenas à direita porque, se admite um elemento neutro (único, que não é automático) à direita (0), não admite nenhum à esquerda. Por outro lado, esse magma é permutativo e regular.
- Chamamos o magma oposto ao magma magma onde para todos .M=(E,⋆){\ displaystyle M = (E, \ estrela)}
Mop=(E,⊞){\ displaystyle M ^ {op} = (E, \ boxplus)}
x⊞y=y⋆x{\ displaystyle x \ boxplus y = y \ star x}
(x,y)∈E2{\ displaystyle (x, y) \ in E ^ {2}}![{\ displaystyle (x, y) \ in E ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647a0baf93dc617eb0c15cb0a2c2ca0d201af50e)
- Quociente de magma
- Murskiǐ mostrou em 1965 que o magma de três elementos fornecido com a lei interna abaixo não tem uma axiomatização equacional finita (ou base equacional).{0,1,2}{\ displaystyle \ {0,1,2 \}}
⋆{\ displaystyle \ star}![\Estrela](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd316a21eeb5079a850f223b1d096a06bfa788c0)
Magma {0,1,2} fornecido com ⋆{\ displaystyle \ star}
⋆{\ displaystyle \ star}
|
0
|
1
|
2
|
---|
0
|
0
|
0
|
0
|
---|
1
|
0
|
0
|
1
|
---|
2
|
0
|
2
|
2
|
---|
Magmas livres
Definimos por indução no inteiro uma sequência de conjuntos da seguinte forma:
não⩾1{\ displaystyle n \ geqslant 1}
Mnão(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}![M_ {n} (X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6fb9f3fd9db35302fe1e1f6dc76428a32f30c2)
Nós posamos ; pois é o conjunto da soma dos conjuntos de .
M1(X)=X{\ displaystyle M_ {1} (X) = X}
não⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}
Mnão(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}
Mp(X)×Mnão-p(X){\ displaystyle M_ {p} (X) \ vezes M_ {np} (X)}
1⩽p⩽não-1{\ displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant n-1}![1 \ leqslant p \ leqslant n-1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b146b262fb5200b8a1fa956d425008e0be10a92b)
O conjunto de soma da família é denotado ; cada um dos conjuntos é identificado por sua imagem canônica em .
(Mnão(X))não⩾1{\ displaystyle (M_ {n} (X)) _ {n \ geqslant 1}}
M(X){\ displaystyle M (X)}
Mnão(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}
M(X){\ displaystyle M (X)}![M (X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f56579142abfdec868307b665356a273f2b251)
Para cada elemento de , existe um número inteiro único tal que ; nós o chamamos de comprimento de e o anotamos .
ω{\ displaystyle \ omega}
M(X){\ displaystyle M (X)}
não{\ displaystyle n}
ω∈Mnão(X){\ displaystyle \ omega \ in M_ {n} (X)}
ω{\ displaystyle \ omega}
eu(ω){\ displaystyle l (\ omega)}![l (\ omega)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac04ce7d46e3ce0a99dee55ac87c4b4400cb5237)
O conjunto consiste em elementos de comprimento de 1 pol .
X{\ displaystyle X}
M(X){\ displaystyle M (X)}![M (X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f56579142abfdec868307b665356a273f2b251)
Deixe e entre ; vamos definir e . A imagem pela injeção canônica de no conjunto de soma é chamada de composto de e e é anotado ou . Portanto, temos e cada elemento de comprimento é escrito de uma maneira única na forma com e em .
ω{\ displaystyle \ omega}
ω′{\ displaystyle \ omega '}
M(X){\ displaystyle M (X)}
p=eu(ω){\ displaystyle p = l (\ omega)}
q=eu(ω′){\ displaystyle q = l (\ omega ')}
(ω,ω′){\ displaystyle (\ omega, \ omega ')}
Mp(X)×Mq(X){\ displaystyle M_ {p} (X) \ vezes M_ {q} (X)}
Mp+q(X){\ displaystyle M_ {p + q} (X)}
ω{\ displaystyle \ omega}
ω′{\ displaystyle \ omega '}
ωω′{\ displaystyle \ omega \ omega '}
ω∙ω′{\ displaystyle \ omega \ bullet \ omega '}
eu(ω∙ω′)=eu(ω)+eu(ω′){\ displaystyle l (\ omega \ bullet \ omega ') = l (\ omega) + l (\ omega')}
M(X){\ displaystyle M (X)}
⩾2{\ displaystyle \ geqslant 2}
ω′ω″{\ displaystyle \ omega '\ omega' '}
ω′{\ displaystyle \ omega '}
ω″{\ displaystyle \ omega ''}
M(X){\ displaystyle M (X)}![M (X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f56579142abfdec868307b665356a273f2b251)
Chamamos de magma livre construído em X o conjunto fornecido com a lei da composição .
M(X){\ displaystyle M (X)}
∙{\ displaystyle \ bullet}![\ bala](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3576c2406959ee194a6fc55c34b5ee9f6ffbb715)
Magmas usuais
Um grupo é um monóide do qual todos os elementos são invertíveis.
A estrutura do anel envolve duas leis internas de composição no mesmo conjunto e, portanto, dois magmas, mas um anel não é um magma propriamente dito. O mesmo é verdade para outras estruturas algébricas ainda mais complexas, como a do módulo em um anel .
Histórico
O termo magma foi introduzido pela primeira vez no contexto da álgebra geral por Nicolas Bourbaki .
O antigo nome “grupóide de Minério”, introduzido por Bernard Hausmann e Øystein Ore em 1937 e às vezes usado até a década de 1960, hoje deve ser evitado, o uso do termo grupóide sendo hoje reservado para a teoria das categorias , onde significa algo senão.
Notas e referências
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N. Bourbaki , Algebra I , capítulos 1 a 3, p. I.12 §2 1, elemento neutro, definição 2.
-
N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
-
(in) VL Murskiǐ, "A existência na lógica de três valores de uma classe fechada com base finita, não tendo um sistema finito completo de identidades", Soviet Math. Dokl. , voar. 6, 1965, pág. 1020-1021 .
-
Bourbaki, A I.77, §7, Free magmas.
-
Bourbaki, A I.15, §2 3, Elementos reversíveis, Definição 6.
-
(in) BA Hausmann e Øystein Ore, " Theory of Quasi-Groups " , Amer. J. Math. , vol. 59, n o 4,1937, p. 983-1004 ( JSTOR 2371362 ).
-
Dov Tamari , “ Problemas de associatividade de monoides e problemas de palavras para grupos ”, Dubreil Seminar , vol. 16, n o 1, 1962-1963 ( lido online )Exposto n o 7, p. 1-29 .
-
(in) " grupóide " no Dicionário Online de Cristalografia .
-
(em) Massimo Nespolo, " A cristalografia matemática ainda tem um papel no século XXI? » , Acta Crystallographica, seção A , vol. 64,2008, p. 97 ( DOI 10.1107 / S0108767307044625 ).
-
(em) L. Beklemishev , Mr. Pentus e N. Vereshchagin , provabilidade, Complexidade, Gramáticas , al. " AMS Traduções - Série 2" ( n o 192)1999, 172 p.(Tradução para o inglês de três teses de doutorado em russo, a primeira das quais: [ (ru) ler online ] , 1992).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">