Magma (álgebra)

Em matemática , um magma é uma das estruturas algébricas usadas na álgebra geral . Um magma é, por definição, um todo dotado de uma lei de composição interna .

Definições

Se denotarmos um conjunto e uma lei de composição interna em , o par denotado é um magma. Com esta definição, o todo não é idêntico ao magma, mas eles são comumente identificados. M{\ displaystyle M}⋆{\ displaystyle \ star}M{\ displaystyle M}(M,⋆){\ displaystyle (M, \ star)}M{\ displaystyle M}

Nenhum axioma é imposto a essa lei de composição interna, freqüentemente observada como uma multiplicação .

Dizemos que o magma é: (M,⋆){\ displaystyle (M, \ star)}

• unifica se tem um elemento neutro , isto é  ;e{\ displaystyle e}∀x∈M, e⋆x=x⋆e=x{\ displaystyle \ forall x \ in M, \ e \ star x = x \ star e = x}
• um meio-grupo (ou associativo) se for associativo  ;⋆{\ displaystyle \ star}
• um monóide se satisfizer ambas as propriedades (associatividade e existência de um elemento neutro ).

Se e são magmas, um morfismo de magma , ou homomorfismo de magma , de in é por definição um mapeamento f de M a N tal que, para todos os elementos x , y de M, temos (M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}(NÃO,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}(NÃO,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}

f(x⋅y)=f(x)⋆f(y).{\ displaystyle \ qquad f (x \ cdot y) = f (x) \ star f (y).}

Se, além disso, f é uma bijeção , o recíproco de f é um morfismo de magmas de in e dizemos que f é um isomorfismo de magmas. O recíproco de um isomorfismo de magma é um isomorfismo de magma. (NÃO,⋆){\ displaystyle (N, \ star)}(M,⋅){\ displaystyle (M, \ cdot)}

Se o contexto for claro o suficiente, simplesmente dizemos “morfismo” em vez de “morfismo de magma”, mas há casos em que isso pode levar à confusão. Por exemplo, um morfismo de magmas entre monoides não é necessariamente um morfismo de monoides .

Exemplos de magmas

• O magma vazio é o único magma no conjunto vazio .
• (NÃO,+){\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}é um monóide comutativo . Além disso, tudo é normal .
• (NÃO,×){\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ times)}também é um monóide comutativo, mas 0 não é regular.
• (Z,-){\ displaystyle (\ mathbb {Z}, -)}é um magma não associativo e não comutativo . Não é nem unificador, mas unificador apenas à direita porque, se admite um elemento neutro (único, que não é automático) à direita (0), não admite nenhum à esquerda. Por outro lado, esse magma é permutativo e regular.
• Chamamos o magma oposto ao magma magma onde para todos .M=(E,⋆){\ displaystyle M = (E, \ estrela)}Mop=(E,⊞){\ displaystyle M ^ {op} = (E, \ boxplus)}x⊞y=y⋆x{\ displaystyle x \ boxplus y = y \ star x}(x,y)∈E2{\ displaystyle (x, y) \ in E ^ {2}}
• Quociente de magma

• Murskiǐ mostrou em 1965 que o magma de três elementos fornecido com a lei interna abaixo não tem uma axiomatização equacional finita (ou base equacional).{0,1,2}{\ displaystyle \ {0,1,2 \}} ⋆{\ displaystyle \ star}

Magma {0,1,2} fornecido com ⋆{\ displaystyle \ star}

⋆{\ displaystyle \ star}	0	1	2
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	2	2

Magmas livres

Definimos por indução no inteiro uma sequência de conjuntos da seguinte forma: não⩾1{\ displaystyle n \ geqslant 1}Mnão(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}

Nós posamos ; pois é o conjunto da soma dos conjuntos de . M1(X)=X{\ displaystyle M_ {1} (X) = X}não⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2} Mnão(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}Mp(X)×Mnão-p(X){\ displaystyle M_ {p} (X) \ vezes M_ {np} (X)}1⩽p⩽não-1{\ displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant n-1}

O conjunto de soma da família é denotado  ; cada um dos conjuntos é identificado por sua imagem canônica em . (Mnão(X))não⩾1{\ displaystyle (M_ {n} (X)) _ {n \ geqslant 1}}M(X){\ displaystyle M (X)}Mnão(X){\ displaystyle M_ {n} (X)}M(X){\ displaystyle M (X)}

Para cada elemento de , existe um número inteiro único tal que ; nós o chamamos de comprimento de e o anotamos . ω{\ displaystyle \ omega}M(X){\ displaystyle M (X)}não{\ displaystyle n}ω∈Mnão(X){\ displaystyle \ omega \ in M_ {n} (X)}ω{\ displaystyle \ omega}eu(ω){\ displaystyle l (\ omega)}

O conjunto consiste em elementos de comprimento de 1 pol . X{\ displaystyle X}M(X){\ displaystyle M (X)}

Deixe e entre ; vamos definir e . A imagem pela injeção canônica de no conjunto de soma é chamada de composto de e e é anotado ou . Portanto, temos e cada elemento de comprimento é escrito de uma maneira única na forma com e em . ω{\ displaystyle \ omega}ω′{\ displaystyle \ omega '}M(X){\ displaystyle M (X)}p=eu(ω){\ displaystyle p = l (\ omega)}q=eu(ω′){\ displaystyle q = l (\ omega ')}(ω,ω′){\ displaystyle (\ omega, \ omega ')}Mp(X)×Mq(X){\ displaystyle M_ {p} (X) \ vezes M_ {q} (X)}Mp+q(X){\ displaystyle M_ {p + q} (X)}ω{\ displaystyle \ omega}ω′{\ displaystyle \ omega '}ωω′{\ displaystyle \ omega \ omega '}ω∙ω′{\ displaystyle \ omega \ bullet \ omega '}eu(ω∙ω′)=eu(ω)+eu(ω′){\ displaystyle l (\ omega \ bullet \ omega ') = l (\ omega) + l (\ omega')}M(X){\ displaystyle M (X)}⩾2{\ displaystyle \ geqslant 2}ω′ω″{\ displaystyle \ omega '\ omega' '}ω′{\ displaystyle \ omega '}ω″{\ displaystyle \ omega ''}M(X){\ displaystyle M (X)}

Chamamos de magma livre construído em X o conjunto fornecido com a lei da composição . M(X){\ displaystyle M (X)} ∙{\ displaystyle \ bullet}

Magmas usuais

Um grupo é um monóide do qual todos os elementos são invertíveis.

A estrutura do anel envolve duas leis internas de composição no mesmo conjunto e, portanto, dois magmas, mas um anel não é um magma propriamente dito. O mesmo é verdade para outras estruturas algébricas ainda mais complexas, como a do módulo em um anel .

Histórico

O termo magma foi introduzido pela primeira vez no contexto da álgebra geral por Nicolas Bourbaki .

O antigo nome “grupóide de Minério”, introduzido por Bernard Hausmann e Øystein Ore em 1937 e às vezes usado até a década de 1960, hoje deve ser evitado, o uso do termo grupóide sendo hoje reservado para a teoria das categorias , onde significa algo senão.

Notas e referências

1. N. Bourbaki , Algebra I , capítulos 1 a 3, p. I.12 §2 1, elemento neutro, definição 2.
2. N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
3. (in) VL Murskiǐ, "A existência na lógica de três valores de uma classe fechada com base finita, não tendo um sistema finito completo de identidades", Soviet Math. Dokl. , voar. 6, 1965, pág.  1020-1021 .
4. Bourbaki, A I.77, §7, Free magmas.
5. Bourbaki, A I.15, §2 3, Elementos reversíveis, Definição 6.
6. (in) BA Hausmann e Øystein Ore, "  Theory of Quasi-Groups  " , Amer. J. Math. , vol.  59, n o  4,1937, p.  983-1004 ( JSTOR  2371362 ).
7. Dov Tamari , “  Problemas de associatividade de monoides e problemas de palavras para grupos  ”, Dubreil Seminar , vol.  16, n o  1, 1962-1963 ( lido online )Exposto n o  7, p.  1-29 .
8. (in) "  grupóide  " no Dicionário Online de Cristalografia .
9. (em) Massimo Nespolo, "  A cristalografia matemática ainda tem um papel no século XXI?  » , Acta Crystallographica, seção A , vol.  64,2008, p.  97 ( DOI  10.1107 / S0108767307044625 ).
10. (em) L. Beklemishev , Mr. Pentus e N. Vereshchagin , provabilidade, Complexidade, Gramáticas , al.  "  AMS Traduções - Série 2" ( n o  192)1999, 172  p.(Tradução para o inglês de três teses de doutorado em russo, a primeira das quais: [ (ru)  ler online ] , 1992).

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