Padrão do operador
Na matemática , e mais particularmente na análise funcional , uma norma de operador ou norma subordinada é uma norma definida no espaço de operadores limitados entre dois espaços vetoriais normados . Entre dois desses espaços, os operadores limitados nada mais são do que mapas lineares contínuos .
Em um corpo K "valor" (no sentido fornecido com um valor absoluto ) e não discreto (tipicamente K = R ou C ) são E e F dois espaços normados respectivamente fornecidos com os padrões ‖ ‖ 1 e ‖ ‖ 2 .
Deixe f ser um mapeamento linear de E em F . Considere .
Se N < + ∞ , dizemos que N é a norma do operador f , subordinado a ‖ ‖ 1 e ‖ ‖ 2 .
Propriedades
- N é finito se e somente se existem números reais C tais que, para todo v ∈ E , ‖ f ( v ) ‖ 2 ≤ C ‖ v ‖ 1 (em outras palavras: tal que f é C - Lipschitziano ), e em neste caso, N é igual ao menor desses C reais .
- Se N é finito, então f é N - Lipschitziano e, portanto, uniformemente contínuo , portanto contínuo, portanto continua em 0. Inversamente, se f é contínuo em 0, então N é finito (a prova, clássica para K = R ou C , é generalizada )
- N é finito se e somente se a imagem por f de qualquer parte limitada de E (ou simplesmente: da bola unitária) é limitada. Isso explica o nome de operadores limitados também dadas mapeamentos lineares contínuos de E em F .
- No espaço dos mapas lineares de E a F , o subespaço daqueles que são contínuos pode, portanto, ser dotado da norma subordinada. Portanto, a aplicação bilinear é contínua.
- Se E é de dimensão finita, qualquer mapeamento linear de E em F é contínua: .
- se K = R ou C , N também é igual aEm dimensão infinita, este limite superior nem sempre é alcançado (cf. “ Caso extremo da desigualdade de Hölder ”).
Analisar profundamente
Uma norma de operador satisfaz os axiomas de uma norma, de forma que o espaço de operadores lineares limitados de E para F é ele próprio um espaço normado. Está completo se F estiver completo.
Duas regras distintas estão envolvidos aqui: um à E e que de F . Mesmo que E = F , é possível considerar duas normas distintas sobre esses espaços. Em particular o operador de identidade em E , para duas normas ‖.‖ e |||. ||| em E , tem uma norma de operador, passando de E com ‖.‖ para |||. |||, se e somente se existe uma constante C tal que, para todo v , ||| v ||| < C ‖ v ‖. Quando E é de dimensão finita em K = R ou C , esta propriedade é garantida: por exemplo, no caso E = R 2 , as condições ‖ v ‖ = 1 e ||| v ||| = 1 pode definir respectivamente um retângulo e uma elipse, centralizados em 0. Quaisquer que sejam suas proporções e orientações, podemos ampliar o retângulo de forma que a elipse se encaixe dentro do retângulo ampliado e vice-versa . No entanto, este é um fenômeno ligado à dimensão finita e à completude de K, pois na dimensão finita em tal campo, todos os padrões são equivalentes . Isso implica, entre outras coisas, sua equivalência topológica: todos os padrões definem a mesma topologia , as mesmas aberturas.
No caso de K = R ou C e E = K n , é possível mostrar diretamente que N é finito. Na verdade, (para qualquer norma ‖.‖ 1 ), a função E → R , v ↦ ‖ f ( v ) ‖ 2 é contínua e a esfera unitária (o conjunto de vetores v da norma 1) é compacta , como parte fechada e limitado. A norma do operador de f é igual ao limite superior deste mapa nesta esfera. Nesse caso, por razões de compactação, ela é, portanto, alcançada finita. Mas em dimensão infinita, isso não é verdade. Isso pode ser visto considerando, por exemplo, o operador derivado D de polinômios trigonométricos. Podemos tomar a raiz quadrada da média do quadrado como norma: como D (e i nx ) = i n e i nx , as normas de D aplicadas a espaços de dimensão finita do espaço de Hilbert H são ilimitadas. Um operador tão simples como D pode não ter um padrão de operador. Um teorema básico usa o teorema de Baire para mostrar que se A tem um espaço de Banach como domínio e imagem , então A é limitado. Para o exemplo que acabou de ser dado, D não pode ser definido para todas as séries de Fourier de quadrados integráveis. Na verdade, sabemos que eles podem representar funções contínuas, mas em nenhum lugar diferenciáveis. A intuição é que se A aumenta as normas de alguns vetores tanto quanto queremos, é possível condensar as singularidades - escolha um vetor v que seja a soma dos outros e para o qual ‖ L ( v ) ‖ não poderia ser terminado - o que mostra que a área de a não pode ser H .
Norma de um endomorfismo
No caso em que E = F , geralmente escolhe-se (mesmo que não seja obrigatório) ‖ ‖ 1 = ‖ ‖ 2 .
Para as normas usuais, temos fórmulas práticas: tomemos E = R n e f ∈ L ( E ). Inclui um vetor um de R n e a matriz f na base canônica . Então temos:
- Se (índice de norma infinito ou norma infinita), então a norma de f é:
- Se (índice de norma 1), então a norma de f é:
- Se (norma euclidiana, associada ao produto escalar canônico ), então a norma de f é a raiz quadrada de f * ∘ f , onde f * denota o auxílio de f . Para qualquer endomorfismo simétrico g (em particular para g = f * ∘ f ), a norma de g é igual ao seu raio espectral, que é o maior dos valores absolutos de seus autovalores. A norma de f é, portanto, seu maior valor singular . Isso generaliza substituindo R n por qualquer espaço de Hilbert .
Qualquer norma N em ℒ ( E ) subordinada a uma norma ‖. ”Em E é uma norma de álgebra , além de:
- N (id E ) = 1 e
- para qualquer vetor unitário e para tudo , (de acordo com o teorema de Hahn-Banach ).
Na verdade, se perguntarmos
verificamos todas as propriedades esperadas de , mas o processo precedente dá como norma a norma clássica, da qual a norma subordinada (cf. acima) não o é .
Padrão duplo
No caso em que F = R normalizado pelo valor absoluto se E for um espaço vetorial real (ou F = C normalizado pelo módulo se E for um espaço vetorial complexo), para cada norma em E , o espaço de formas lineares contínuas em E , denominado dual topológico , pode, portanto, ser dotado de uma norma.