Em geometria , um quadrilátero gravável é um quadrilátero cujos vértices estão todos em um único círculo . Os vértices são cíclicos . Diz-se que o círculo está circunscrito ao quadrilátero.
Em um quadrilátero gravável (não cruzado ), os ângulos opostos são adicionais (sua soma é π radianos , ou 180 ° ). Ou equivalentemente, cada ângulo externo é igual ao ângulo interno oposto. Esta propriedade é de fato uma variante do teorema do ângulo inscrito e do ângulo no centro .
A área A de um quadrilátero gravável em função do comprimento de seus lados é dada pela fórmula de Brahmagupta :
onde s , a metade do perímetro , é igual a s =a + b + c + d2.
Entre todos os quadriláteros com a mesma sequência de comprimentos laterais, essa área é máxima para o quadrilátero gravável.
A área de um quadrilátero gravável de comprimentos de lados sucessivos a , b , c , d e de ângulo γ entre os lados b e c também é dada pela seguinte fórmula:
.O teorema Ptolomeu disse que o produto dos comprimentos de ambas as diagonais p e q de um quadrilátero cíclico é igual à soma dos produtos dos lados opostos ac e bd :
pq = ac + bd .Para qualquer quadrilátero convexo, as duas diagonais do quadrilátero cortam-no em quatro triângulos; em um quadrilátero gravável, os pares de triângulos opostos são compostos de triângulos semelhantes entre si.
Para um quadrilátero gravável de vértices sucessivos A, B, C, D, de lados sucessivas a = AB, B = BC, c = CD e d = de DA , e de diagonais p = AC e q = BD , temos:
Se a intersecção das diagonais divide uma diagonal em segmentos de comprimentos de e e f , e divide-se a outra diagonal em segmentos de comprimentos g e h , em seguida, ef = GH . (Isso é válido porque as duas diagonais são cordas de um círculo .)
Qualquer retângulo é um trapézio isósceles , ou seja, um trapézio circunscrito . Uma pipa é gravável se, e somente se, tiver dois ângulos retos.
O raio do círculo circunscrito de um quadrilátero gravável cujos comprimentos laterais são sucessivos a , b , c , d e de meio perímetro s é dado pela fórmula:
Não há quadriláteros graváveis cuja área seja racional e cujos comprimentos laterais sejam racionais, desiguais e formem uma progressão aritmética ou geométrica.
Para um quadrilátero gravável de comprimentos de lados sucessivos a , b , c , d , de meio perímetro s e de ângulo A entre os lados a e d , as funções trigonométricas de A são dadas por:
Quatro linhas retas, cada uma perpendicular a um lado de um quadrilátero gravável e passando pelo meio do lado oposto, são concorrentes p. 131
O teorema de Brahmagupta diz que para um quadrilátero cíclico que também é ortodiagonal (isto é, cujas diagonais são perpendiculares), a normal para qualquer lado que passa pelo ponto de intersecção da diagonal divide o outro lado no meio p. 137 .
Se um quadrilátero gravável também for ortogonal, a distância do centro do círculo circunscrito a qualquer lado é igual à metade do comprimento do lado oposto p. 138 .
Para um quadrilátero gravável ortogonal, suponha que a interseção das diagonais divide uma diagonal em segmentos de comprimentos p 1 e p 2 e divide a outra diagonal em segmentos de comprimentos q 1 e q 2 . Então
onde D é o diâmetro do círculo circunscrito. Isso ocorre porque as diagonais são cordas perpendiculares de um círculo. Equivalentemente, seja R = D ⁄ 2 o raio do círculo circunscrito, a média de p 1 2 , p 2 2 , q 1 2 e q 2 2 é R 2 .
Além disso, as equações a 2 + c 2 = b 2 + d 2 = D 2 implicam que, em um quadrilátero ortodiagonal gravável, a soma dos quadrados dos lados é igual a oito vezes o quadrado do raio do círculo circunscrito.
O quociente do perímetro de um círculo pelo de um quadrado inscrito é igual aπ2 √ 2≈ 1.110.720 (continuação A093954 do OEIS ).