Quadrupolo

Em eletrocinética , um quadrupolo (ou quadrupolo ) é um elemento modelo de um circuito elétrico no qual é considerado um bloco com duas conexões de entrada e duas de saída. Estudamos a transferência de grandezas elétricas, tensão e corrente , entre esses dois dipolos caracterizados por uma impedância , em função do tempo.

Quando o estudo do quadrupolo diz respeito a um sinal elétrico , a magnitude de entrada e saída pode ser diferente ( tensão , corrente ). A possível contribuição de energia para o circuito, que então se diz ativo , não faz parte do modelo. Devemos os primeiros estudos sobre quadrupolos ao matemático alemão Franz Breisig , na década de 1920 .

A analogia eletromecânica permite o uso do formalismo quadrupolo para transdutores ou sistemas mecânicos ou eletromecânicos.

Em geral

Definições

Um quadrupolo é um componente ou circuito eletrônico visto como uma caixa preta com duas portas elétricas. Estamos interessados ​​na corrente e na tensão em cada uma das portas, com as convenções mostradas abaixo: as correntes que entram no quadrupolo no pólo positivo da tensão são notadas positivamente .

designação de tamanhos

Tamanho físico	Entrada	saída
atual	eu1{\ displaystyle I_ {1}} ou eue{\ displaystyle I_ {e}}	eu2{\ displaystyle I_ {2}} ou eus{\ displaystyle I_ {s}}
Voltagem	V1{\ displaystyle V_ {1}} ou vocêe{\ displaystyle U_ {e}}	V2{\ displaystyle V_ {2}} ou vocês{\ displaystyle U_ {s}}

Essa convenção torna a entrada e a saída balanceadas. O quadrupolo é determinado por duas equações características que permitem, conhecendo os dispositivos a ele conectados, calcular os valores de entrada e saída.

Função de transferência

A função de transferência de um quadrupolo linear em regime alternado senoidal tem as seguintes propriedades: T_{\ displaystyle {\ underline {T}}}

- É um número complexo . Este número depende da frequência e da carga colocada na saída. T_=T_(jω){\ displaystyle {\ underline {T}} = {\ underline {T}} (j \ omega)}

- , às vezes simplesmente notado , é a razão entre os valores rms do sinal de saída e do sinal de entrada. |T_|{\ displaystyle | {\ underline {T}} |}T{\ displaystyle T}

- é a diferença de fase (ou deslocamento de fase) do sinal de saída em relação ao sinal de entrada. arg⁡(T_){\ displaystyle \ arg {({\ underline {T}})}}

Coeficientes de amplificação

Os coeficientes de amplificação são funções de transferência especiais.

• Coeficiente de amplificação de tensão: T=NOv=vocêsvocêe{\ displaystyle T = A_ {v} = {\ frac {U_ {s}} {U_ {e}}}}
• Coeficiente de amplificação atual: T=NOeu=euseue{\ displaystyle T = A_ {i} = {\ frac {I_ {s}} {I_ {e}}}}

• coeficiente de amplificação de potência, embora não seja uma razão de números complexos associados a sinais:

NOp=vocêseusporque⁡(φs)vocêeeueporque⁡(φe){\ displaystyle A_ {p} = {\ frac {U_ {s} I_ {s} \ cos {(\ varphi _ {s})}} {U_ {e} I_ {e} \ cos {(\ varphi _ { e})}}}}com (respectivamente ) a mudança de fase em relação a (respectivamente em relação a ). φs{\ displaystyle \ varphi _ {s}}φe{\ displaystyle \ varphi _ {e}}vocês{\ displaystyle U_ {s}}eus{\ displaystyle I_ {s}}vocêe{\ displaystyle U_ {e}}eue{\ displaystyle I_ {e}}

Esses coeficientes geralmente dependem da frequência e da carga de saída.

Ganhos

Como os módulos desses coeficientes podem variar consideravelmente com a variação da freqüência, é utilizada outra quantidade que "comprime" essas variações.

• Ganho de tensão: GV=20registro⁡(vocêSvocêE){\ displaystyle G_ {V} = 20 \ log \ left ({\ frac {U_ {S}} {U_ {E}}} \ right)}

• Ganho atual: Geu=20registro⁡(euSeuE){\ displaystyle G_ {I} = 20 \ log \ left ({\ frac {I_ {S}} {I_ {E}}} \ right)}
• Ganho de potência: GP=10registro⁡(PSPE){\ displaystyle G_ {P} = 10 \ log \ left ({\ frac {P_ {S}} {P_ {E}}} \ right)}

Os ganhos são expressos em decibéis .

• Quando T é multiplicado por 10, G = 20logT aumenta em 20  dB  ;
• O ganho torna-se negativo se T <1.
• Quando Av dobra, Gv aumenta em 6  dB .

Parametrização de um quadrupolo linear

Os quadrupolos são representados na forma de matrizes conectando as correntes e tensões, cujos termos podem depender da frequência. Podemos construir essas matrizes de diferentes maneiras: são todas equivalentes, mas a construção mais prática dependerá dos problemas a serem resolvidos.

Configurações de transferência ou cascata

Expressamos os dados da esquerda em função dos da direita. Os termos são anotados ABCD, ou , de acordo com as convenções: Teuj{\ displaystyle T_ {ij}}noeuj{\ displaystyle a_ {ij}}(V1eu1)=(NOBVSD)(V2-eu2){\ displaystyle {V_ {1} \ escolha I_ {1}} = {\ begin {pmatriz} A&B \\ C&D \ end {pmatriz}} {V_ {2} \ escolha -I_ {2}}},

Ou, inversamente, escrevemos os termos à direita de acordo com os termos à esquerda. É a matriz A'B'C'D ', ou , inversa da anterior: Teuj′{\ displaystyle T '_ {ij}}beuj{\ displaystyle b_ {ij}}

(V2-eu2)=(NO′B′VS′D′)(V1eu1){\ displaystyle {V_ {2} \ choose -I_ {2}} = {\ begin {pmatrix} A '& B' \\ C '& D' \ end {pmatrix}} {V_ {1} \ choose I_ { 1}}},

A e D são adimensionais , B está em ohms e C em siemens. Esta configuração é adequada para o encadeamento de quadrupolos. A corrente de saída do primeiro quadrupolo é oposta à corrente de entrada do próximo quadrupolo, daí o sinal "-".

Configuração de impedância

Expressamos as tensões em função das correntes:(V1V2)=(Z11Z12Z21Z22)(eu1eu2){\ displaystyle {V_ {1} \ escolha V_ {2}} = {\ begin {pmatrix} Z_ {11} & Z_ {12} \\ Z_ {21} & Z_ {22} \ end {pmatrix}} {I_ {1} \ escolher I_ {2}}},com:Z11=V1eu1|eu2=0Z12=V1eu2|eu1=0{\ displaystyle Z_ {11} = {V_ {1} \ over I_ {1}} {\ bigg |} _ {I_ {2} = 0} \ qquad Z_ {12} = {V_ {1} \ over I_ { 2}} {\ bigg |} _ {I_ {1} = 0}} eZ21=V2eu1|eu2=0Z22=V2eu2|eu1=0{\ displaystyle Z_ {21} = {V_ {2} \ over I_ {1}} {\ bigg |} _ {I_ {2} = 0} \ qquad Z_ {22} = {V_ {2} \ over I_ { 2}} {\ bigg |} _ {I_ {1} = 0}}

A impedância de entrada do quadrupolo é chamada; a impedância de transferência reversa do quadrupolo; a impedância de transferência do quadrupolo; a impedância de saída quadrupolo. Todos esses termos estão em ohms. Z11{\ displaystyle Z_ {11}}Z12{\ displaystyle Z_ {12}}Z21{\ displaystyle Z_ {21}}Z22{\ displaystyle Z_ {22}}

Definição de parâmetros em admitâncias

As correntes são expressas em função das tensões: (eu1eu2)=(Y11Y12Y21Y22)(V1V2){\ displaystyle {I_ {1} \ escolha I_ {2}} = {\ begin {pmatrix} Y_ {11} & Y_ {12} \\ Y_ {21} & Y_ {22} \ end {pmatrix}} {V_ {1} \ escolha V_ {2}}},com:Y11=eu1V1|V2=0Y12=eu1V2|V1=0{\ displaystyle Y_ {11} = {I_ {1} \ over V_ {1}} {\ bigg |} _ {V_ {2} = 0} \ qquad Y_ {12} = {I_ {1} \ over V_ { 2}} {\ bigg |} _ {V_ {1} = 0}} eY21=eu2V1|V2=0Y22=eu2V2|V1=0{\ displaystyle Y_ {21} = {I_ {2} \ over V_ {1}} {\ bigg |} _ {V_ {2} = 0} \ qquad Y_ {22} = {I_ {2} \ over V_ { 2}} {\ bigg |} _ {V_ {1} = 0}}

A admitância de entrada do quadrupolo é chamada; a admitância de transferência reversa do quadrupolo; a admitância de transferência do quadrupolo; a admissão de saída quadrupolo. Todos os termos são admitidos, portanto expressos em siemens. Y11{\ displaystyle Y_ {11}}Y12{\ displaystyle Y_ {12}}Y21{\ displaystyle Y_ {21}}Y22{\ displaystyle Y_ {22}}

Configuração híbrida

Essas relações são úteis ao estudar transistores. (veja # Quadripôles_passifs )

(V1eu2)=(H11H12H21H22)(eu1V2){\ displaystyle {V_ {1} \ escolha I_ {2}} = {\ begin {pmatrix} H_ {11} & H_ {12} \\ H_ {21} & H_ {22} \ end {pmatrix}} {I_ {1} \ escolha V_ {2}}} , com: H11=V1eu1|V2=0H12=V1V2|eu1=0{\ displaystyle H_ {11} = {V_ {1} \ over I_ {1}} {\ bigg |} _ {V_ {2} = 0} \ qquad H_ {12} = {V_ {1} \ over V_ { 2}} {\ bigg |} _ {I_ {1} = 0}} e H21=eu2eu1|V2=0H22=eu2V2|eu1=0{\ displaystyle H_ {21} = {I_ {2} \ over I_ {1}} {\ bigg |} _ {V_ {2} = 0} \ qquad H_ {22} = {I_ {2} \ over V_ { 2}} {\ bigg |} _ {I_ {1} = 0}}

Pode-se notar isso e aquilo . H11=1/Y11{\ displaystyle H_ {11} = 1 / Y_ {11}}H22=1/Z22{\ displaystyle H_ {22} = 1 / Z_ {22}}

A impedância de entrada do quadrupolo (ohms) é chamada; o ganho de tensão inversa do quadrupolo (adimensional); o ganho de transferência de corrente do quadrupolo (adimensional), a admitância de saída do quadrupolo (siemens). H11{\ displaystyle H_ {11}}H12{\ displaystyle H_ {12}}H21{\ displaystyle H_ {21}}H22{\ displaystyle H_ {22}}

O cálculo matricial se adapta muito bem aos quadrupolos e permite obter as funções de transferência dos circuitos eletrônicos quando outros métodos se perdem em um formalismo obscuro, fonte de erros e perda de tempo.

Configuração híbrida reversa

As relações híbridas inversas são muito pouco usadas, mas existem.

(eu1V2)=(G11G12G21G22)(V1eu2){\ displaystyle {I_ {1} \ escolha V_ {2}} = {\ begin {pmatrix} G_ {11} & G_ {12} \\ G_ {21} & G_ {22} \ end {pmatrix}} {V_ {1} \ escolher I_ {2}}}, com: G11=eu1V1|eu2=0G12=eu1eu2|V1=0{\ displaystyle G_ {11} = {I_ {1} \ over V_ {1}} {\ bigg |} _ {I_ {2} = 0} \ qquad G_ {12} = {I_ {1} \ over I_ { 2}} {\ bigg |} _ {V_ {1} = 0}} e G21=V2V1|eu2=0G22=V2eu2|V1=0{\ displaystyle G_ {21} = {V_ {2} \ over V_ {1}} {\ bigg |} _ {I_ {2} = 0} \ qquad G_ {22} = {V_ {2} \ over I_ { 2}} {\ bigg |} _ {V_ {1} = 0}}

Conversão de matrizes

As configurações fornecidas a seguir são equivalentes: as conversões permitem que você alterne de uma para a outra. No entanto, alguns quadrupolos não podem ser descritos em certas configurações, por exemplo, se as fórmulas de conversão envolvem uma divisão por zero . representa o determinante da matriz . Δ{\ displaystyle \ Delta}

Conversão entre diferentes matrizes

	Configurações ABCD	Parâmetros Z	Parâmetros Y	Parâmetros H
Matriz de transferência ABCD	[NOBVSD]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}}}	[Z11Z21ΔZZ211Z21Z22Z21]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Z_{11}}{Z_{21}}}&{\frac {\Delta Z}{Z_{21}}}\\{\frac {1}{Z_{21}}}&{\frac {Z_{22}}{Z_{21}}}\end{bmatrix}}}	[−Y22Y21−1Y21−ΔYY21−Y11Y21]{\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {Y_{22}}{Y_{21}}}&-{\frac {1}{Y_{21}}}\\-{\frac {\Delta Y}{Y_{21}}}&-{\frac {Y_{11}}{Y_{21}}}\end{bmatrix}}}	[−ΔHH21−H11H21−H22H21−1H21]{\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {\Delta H}{H_{21}}}&-{\frac {H_{11}}{H_{21}}}\\-{\frac {H_{22}}{H_{21}}}&-{\frac {1}{H_{21}}}\end{bmatrix}}}
Matriz de impedância Z	[ACΔ(ABCD)C1CDC]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {A}{C}}&{\frac {\Delta (ABCD)}{C}}\\{\frac {1}{C}}&{\frac {D}{C}}\end{bmatrix}}}	[Z11Z12Z21Z22]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} Z_ {11} & Z_ {12} \\ Z_ {21} & Z_ {22} \ end {bmatrix}}}	[Y22ΔY−Y12ΔY−Y21ΔYY11ΔY]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Y_{22}}{\Delta Y}}&-{\frac {Y_{12}}{\Delta Y}}\\-{\frac {Y_{21}}{\Delta Y}}&{\frac {Y_{11}}{\Delta Y}}\end{bmatrix}}}	[ΔHH22H12H22−H21H221H22]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\Delta H}{H_{22}}}&{\frac {H_{12}}{H_{22}}}\\-{\frac {H_{21}}{H_{22}}}&{\frac {1}{H_{22}}}\end{bmatrix}}}
Matriz de admissão Y	[DB−Δ(ABCD)B−1BAB]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {D}{B}}&-{\frac {\Delta (ABCD)}{B}}\\-{\frac {1}{B}}&{\frac {A}{B}}\end{bmatrix}}}	[Z22ΔZ−Z12ΔZ−Z21ΔZZ11ΔZ]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Z_{22}}{\Delta Z}}&-{\frac {Z_{12}}{\Delta Z}}\\-{\frac {Z_{21}}{\Delta Z}}&{\frac {Z_{11}}{\Delta Z}}\end{bmatrix}}}	[Y11Y12Y21Y22]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} Y_ {11} & Y_ {12} \\ Y_ {21} & Y_ {22} \ end {bmatrix}}}	[1H11−H12H11H21H11ΔHH11]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{H_{11}}}&-{\frac {H_{12}}{H_{11}}}\\{\frac {H_{21}}{H_{11}}}&{\frac {\Delta H}{H_{11}}}\end{bmatrix}}}
Matriz híbrida H	[BDΔ(ABCD)D−1DCD]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {B}{D}}&{\frac {\Delta (ABCD)}{D}}\\-{\frac {1}{D}}&{\frac {C}{D}}\end{bmatrix}}}	[ΔZZ22Z12Z22−Z21Z221Z22]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\Delta Z}{Z_{22}}}&{\frac {Z_{12}}{Z_{22}}}\\-{\frac {Z_{21}}{Z_{22}}}&{\frac {1}{Z_{22}}}\end{bmatrix}}}	[1Y11−Y12Y11Y21Y11ΔYY11]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{Y_{11}}}&-{\frac {Y_{12}}{Y_{11}}}\\{\frac {Y_{21}}{Y_{11}}}&{\frac {\Delta Y}{Y_{11}}}\end{bmatrix}}}	[H11H12H21H22]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} H_ {11} & H_ {12} \\ H_ {21} & H_ {22} \ end {bmatrix}}}

Parâmetros S

Os parâmetros S (para espalhamento , difusão ) são escritos em uma abordagem diferente. Aqui consideramos, como ilustrado, o quadrupolo colocado entre duas linhas de transmissão de impedância característica . Os parâmetros S não relacionam diretamente as correntes e tensões medidas nas portas. Eles são escritos em termos de ondas incidentes e refletidas, eles dependem não só das características do quadrupolo, mas também da linha de transmissão. Z0{\ displaystyle Z_ {0}}

(b1b2)=(S11S12S21S22)(no1no2){\ displaystyle {b_ {1} \ escolha b_ {2}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ {22} \ end {pmatrix}} {a_ {1} \ escolha um_ {2}}}

A tensão e a corrente vistas em cada porta se quebram em função das ondas incidentes e refletidas, o que permite relacionar os parâmetros S com os parâmetros quadrupolo usuais. Como exemplo, aqui está sua escrita a partir dos parâmetros ABCD:

S11=NOZ02+B-VSZ01Z02∗-DZ01∗α{\ displaystyle S_ {11} = {\ frac {AZ_ {02} + B-CZ_ {01} Z_ {02} ^ {*} - DZ_ {01} ^ {*}} {\ alpha}}}, S12=2(NOD-BVS)ℜ(Z01)ℜ(Z02)α{\ displaystyle S_ {12} = {\ frac {2 (AD-BC) {\ sqrt {\ Re (Z_ {01}) \ Re (Z_ {02})}}} {\ alpha}}}, S21=2ℜ(Z01)ℜ(Z02)α{\ displaystyle S_ {21} = {\ frac {2 {\ sqrt {\ Re (Z_ {01}) \ Re (Z_ {02})}}} {\ alpha}}}, S22=NOZ02∗+B-VSZ01∗Z02-DZ01α{\ displaystyle S_ {22} = {\ frac {AZ_ {02} ^ {*} + B-CZ_ {01} ^ {*} Z_ {02} -DZ_ {01}} {\ alpha}}}, com α=NOZ02+B+VSZ01Z02+DZ01{\ displaystyle \ alpha = AZ_ {02} + B + CZ_ {01} Z_ {02} + DZ_ {01}}

Esta escrita é genérica: prevê que as impedâncias da linha podem ser diferentes à esquerda e à direita ( e respectivamente) e são complexas. Na prática, existem muitas situações em que as duas impedâncias de linha são iguais e reais, o que simplifica consideravelmente a escrita. Z01{\ displaystyle Z_ {01}}Z02{\ displaystyle Z_ {02}}

S11=NOZ0+B-VSZ02-DZ0α{\ displaystyle S_ {11} = {\ frac {AZ_ {0} + B-CZ_ {0} ^ {2} -DZ_ {0}} {\ alpha}}}, S12=2(NOD-BVS)Z0α{\ displaystyle S_ {12} = {\ frac {2 (AD-BC) Z_ {0}} {\ alpha}}}, S21=2Z0α{\ displaystyle S_ {21} = {\ frac {2 {Z_ {0}}} {\ alpha}}}, S22=NOZ0+B-VSZ02-DZ0α{\ displaystyle S_ {22} = {\ frac {AZ_ {0} + B-CZ_ {0} ^ {2} -DZ_ {0}} {\ alpha}}}, com α=NOZ0+B+VSZ02+DZ0{\ displaystyle \ alpha = AZ_ {0} + B + CZ_ {0} ^ {2} + DZ_ {0}}

Os parâmetros S são particularmente interessantes para a caracterização experimental de circuitos de alta frequência: eles são mensuráveis ​​diretamente usando um analisador de rede .

Quadrupolos passivos

Quadrupolos passivos elementares

	Resistência em série	Admissão paralela	Linha de transmissão	Transformador ideal
Diagrama
Detalhes	Resistência ou, mais geralmente, impedância em série. Substitua R por uma indutância, por uma capacitância. jeuω{\ displaystyle jL \ omega} 1jVSω{\ displaystyle {\ frac {1} {jC \ omega}}}	Admissão em paralelo. Substitua Y por por uma indutância, por uma capacitância. 1jeuω{\ displaystyle {\ frac {1} {jL \ omega}}} jVSω{\ displaystyle jC \ omega}	Linha de transmissão, do tipo coaxial ou trançada por exemplo. Z0{\ displaystyle Z_ {0}}é a impedância característica , a constante de propagação, o comprimento da linha. γ{\ displaystyle \ gamma} eu{\ displaystyle l}	Razão de transformador ideal do número de voltas m=NÃO2NÃO1{\ displaystyle m = {\ frac {N_ {2}} {N_ {1}}}}
Configurações de transferência (NOBVSD)={\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} =}	(1R01){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & R \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}	(10Y1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 e 0 \\ Y & 1 \ end {pmatrix}}}	(cosh⁡(γeu)Z0sinh⁡(γeu)sinh⁡(γeu)Z0cosh⁡(γeu)){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cosh \ left (\ gamma l \ right) & Z_ {0} \ sinh \ left (\ gamma l \ right) \\ {\ frac {\ sinh \ left (\ gamma l \ right)} {Z_ {0}}} & \ cosh \ left (\ gamma l \ right) \ end {pmatrix}}}	(m001m){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} m & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {m}} \ end {pmatrix}}}
Configuração de transferência reversa (NO′B′VS′D′)={\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A '& B' \\ C '& D' \ end {pmatrix}} =}	(1-R01){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -R \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}	(10-Y1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 e 0 \\ - Y & 1 \ end {pmatrix}}}	(cosh⁡(γeu)-Z0sinh⁡(γeu)-1Z0sinh⁡(γeu)cosh⁡(γeu)){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cosh \ left (\ gamma l \ right) & - Z_ {0} \ sinh \ left (\ gamma l \ right) \\ - {\ frac {1} {Z_ {0 }}} \ sinh \ left (\ gamma l \ right) & \ cosh \ left (\ gamma l \ right) \ end {pmatrix}}}	(1m00m){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {m}} & 0 \\ 0 & m \ end {pmatrix}}}

Atenuadores passivos

Esses atenuadores são combinações de resistores em série e em paralelo, podendo-se assim encontrar facilmente sua descrição de matriz a partir das fórmulas anteriores. Notamos a impedância para a qual o atenuador é adequado e a relação de atenuação desejada. Z0{\ displaystyle Z_ {0}}K{\ displaystyle K}

É definido como , portanto . De e , as fórmulas permitem determinar os valores das resistências. K=VeunãoVovocêt{\ displaystyle K = {\ frac {V_ {in}} {V_ {out}}}}K>1{\ displaystyle K> 1}Z0{\ displaystyle Z_ {0}}K{\ displaystyle K}

	Atenuador em forma de L	Atenuador em forma de L, invertido	Π atenuador	T atenuador
Diagrama
Cálculo de resistências	R1=Z0K-1K{\ displaystyle R_ {1} = Z_ {0} {\ frac {K-1} {K}}} R2=Z0K-1{\ displaystyle R_ {2} = {\ frac {Z_ {0}} {K-1}}}	R1=Z0KK-1{\ displaystyle R_ {1} = Z_ {0} {\ frac {K} {K-1}}} R2=Z0(K-1){\ displaystyle R_ {2} = Z_ {0} (K-1)}	R1=Z0K2-12K{\ displaystyle R_ {1} = Z_ {0} {\ frac {K ^ {2} -1} {2K}}} R2=Z0K+1K-1{\ displaystyle R_ {2} = Z_ {0} {\ frac {K + 1} {K-1}}}	R1=Z0K-1K+1{\ displaystyle R_ {1} = Z_ {0} {\ frac {K-1} {K + 1}}} R2=Z02KK2-1{\ displaystyle R_ {2} = Z_ {0} {\ frac {2K} {K ^ {2} -1}}}
Configurações de transferência (NOBVSD)={\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} =}	(1R101)(10R2-11){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & R_ {1} \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ R_ {2} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatrix}}} =(1+R1R2R1R2-11){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} & R_ {1} \\ R_ {2} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatrix }}} =(1+(K-1)2KZ0K-1KK-1Z01){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {K}} & Z_ {0} {\ frac {K-1} {K}} \\ { \ frac {K-1} {Z_ {0}}} e 1 \ end {pmatriz}}}	(10R1-11)(1R201){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ R_ {1} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & R_ {2} \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}} =(1R2R1-11+R2R1){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 & R_ {2} \\ R_ {1} ^ {- 1} & 1 + {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} \ end {pmatrix }}} =(1Z0(K-1)K-1Z0K1+(K-1)2K){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 & Z_ {0} (K-1) \\ {\ frac {K-1} {Z_ {0} K}} & 1 + {\ frac {(K-1 ) ^ {2}} {K}} \ end {pmatrix}}}	(10R2-11)(1R101)(10R2-11){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ R_ {2} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & R_ {1} \\ 0 & 1 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ R_ {2} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatrix}}} =(1+R1R2R12R2-1+R1R221+R1R2){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} & R_ {1} \\ 2R_ {2} ^ {- 1} + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2} ^ {2}}} & 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} \ end {pmatriz}}} =(1+(K-1)22KZ0K2-12KK2-12Z0K1+(K-1)22K){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {2K}} & Z_ {0} {\ frac {K ^ {2} -1} {2K} } \\ {\ frac {K ^ {2} -1} {2Z_ {0} K}} & 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {2K}} \ end {pmatriz}} }	(1R101)(10R2-11)(1R101){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & R_ {1} \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ R_ {2} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} 1 & R_ {1} \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}} =(1+R1R22R1+R12R2R2-11+R1R2){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} & 2R_ {1} + {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ { 2}}} \\ R_ {2} ^ {- 1} & 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} \ end {pmatriz}}} =(1+(K-1)22KZ(K2-1)2KK2-12Z0K1+(K-1)22K){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {2K}} & {\ frac {Z (K ^ {2} -1)} {2K}} \\ {\ frac {K ^ {2} -1} {2Z_ {0} K}} & 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {2K}} \ end {pmatriz}}}
Configuração de transferência reversa (NO′B′VS′D′)={\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A '& B' \\ C '& D' \ end {pmatrix}} =}	(10-R2-11)(1-R101){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ - R_ {2} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & -R_ {1} \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}} =(1-R1-R2-11+R1R2){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 & -R_ {1} \\ - R_ {2} ^ {- 1} & 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} \ end {pmatrix}}} =(1-Z0K-1K-K-1Z01+(K-1)2K){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 & -Z_ {0} {\ frac {K-1} {K}} \\ - {\ frac {K-1} {Z_ {0}}} & 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {K}} \ end {pmatriz}}}	(1-R201)(10-R1-11){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -R_ {2} \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ - R_ {1} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatrix}}} =(1+R2R1-R2-R1-11){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} & - R_ {2} \\ - R_ {1} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatrix}}} =(1+(K-1)2K-Z0(K-1)-K-1Z0K1){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {K}} & - Z_ {0} (K-1) \\ - {\ frac {K- 1} {Z_ {0} K}} e 1 \ end {pmatrix}}}	(10-R2-11)(1-R101)(10-R2-11){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ - R_ {2} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & -R_ {1} \\ 0 & 1 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatriz} 1 e 0 \\ - R_ {2} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatriz}}} =(1+R1R2-R1-2R2-1-R1R221+R1R2){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} & - R_ {1} \\ - 2R_ {2} ^ {- 1} - {\ frac {R_ {1}} {R_ {2} ^ {2}}} & 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} \ end {pmatrix}}} =(1+(K-1)22K-Z0K2-12K-K2-12Z0K1+(K-1)22K){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {2K}} & - Z_ {0} {\ frac {K ^ {2} -1} {2K }} \\ - {\ frac {K ^ {2} -1} {2Z_ {0} K}} & 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {2K}} \ end {pmatriz }}}	(1-R101)(10-R2-11)(1-R101){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -R_ {1} \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ - R_ {2} ^ {- 1} & 1 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatriz} 1 & -R_ {1} \\ 0 & 1 \ end {pmatriz}}} =(1+R1R2-2R1+-R12R2-R2-11+R1R2){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} & - 2R_ {1} + - {\ frac {R_ {1} ^ {2}} { R_ {2}}} \\ - R_ {2} ^ {- 1} & 1 + {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} \ end {pmatriz}}} =(1+(K-1)22K-Z0(K2-1)2K-K2-12Z0K1+(K-1)22K){\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {2K}} & - Z_ {0} {\ frac {(K ^ {2} -1)} {2K}} \\ - {\ frac {K ^ {2} -1} {2Z_ {0} K}} & 1 + {\ frac {(K-1) ^ {2}} {2K}} \ end {pmatrix}}}
Parâmetro S (S11S12S21S22)={\ displaystyle {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ {22} \ end {pmatrix}} =} para Z01=Z02=Z0{\ displaystyle Z_ {01} = Z_ {02} = Z_ {0}}	(01K1K0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & {\ frac {1} {K}} \\ {\ frac {1} {K}} & 0 \ end {pmatrix}}}	(01K1K0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & {\ frac {1} {K}} \\ {\ frac {1} {K}} & 0 \ end {pmatrix}}}	(01K1K0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & {\ frac {1} {K}} \\ {\ frac {1} {K}} & 0 \ end {pmatrix}}}	(01K1K0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & {\ frac {1} {K}} \\ {\ frac {1} {K}} & 0 \ end {pmatrix}}}

Observe que todos os atenuadores têm a mesma matriz S: eles são, portanto, equivalentes. Os termos e são zero, o que expressa a ausência de uma onda refletida. s11{\ displaystyle s_ {11}}s22{\ displaystyle s_ {22}}

Teorema da reciprocidade em quadrupolos passivos

A montagem dos componentes passivos básicos (resistência, indutância, capacitores) respeita o teorema da reciprocidade, ilustrado acima. No entanto, existem componentes passivos e lineares que, utilizando materiais ferromagnéticos , são não recíprocos e úteis graças a esta particularidade: circuladores e isoladores .

Quando um quadrupolo é recíproco, esta propriedade encontra-se nas matrizes que o parametrizam:

• As matrizes de admitância e impedância são simétricas  : Y 12 = Y 21 , Z 12 = Z 21 ,
• Na matriz híbrida: H 12 = -H 21
• O determinante da matriz de transferência é igual a 1: e ΔT = AD-BC = 1 .

Quadrupolo simétrico

Se as duas portas de um quadrupolo simétrico são indistinguíveis: os índices correspondentes, 1 e 2, dos parâmetros da matriz de impedância ou admitância são, portanto, permutáveis ​​sem alteração. Consequentemente, para quadrupolos simétricos, além de possuírem as propriedades de reciprocidade, temos as relações Y 11 = Y 22 e Z 11 = Z 22 .

Quadrupolos ativos

Chamamos de ativo um circuito que tem a capacidade de fornecer energia adicional.

Transistor bipolar

A aproximação de pequeno sinal de um transistor bipolar é comumente modelada pelo circuito equivalente em pi acima. Este circuito é um quadrupolo ativo, cuja configuração é a seguinte. Deve-se notar que aqui as grandezas estudadas não são as correntes e tensões totais, fisicamente presentes nos terminais dos transistores, mas apenas sua variação em torno de um ponto de polarização. Em um modelo ligeiramente simplificado onde e são omitidos (zero e infinito respectivamente), o quadrupolo ativo é representado pela seguinte parametrização de hidreto, usando as mesmas notações que no diagrama: rbb{\ displaystyle r_ {bb}}rb′vs{\ displaystyle r_ {b'c}}

(VBeuVS)=1Gπ+jω(VSπ+VSµ)(1jωVSµgm-jωVSµq(jω))(euBVVS){\ displaystyle {V_ {B} \ escolha I_ {C}} = {\ frac {1} {G _ {\ pi} + j \ omega (C _ {\ pi} + C _ {\ mu})}} {\ begin {pmatrix} 1 & j \ omega C _ {\ mu} \\ g_ {m} -j \ omega C _ {\ mu} & q (j \ omega) \ end {pmatrix}} {I_ {B } \ escolha V_ {C}}} Com: q(jω)=Gπ+jω(VSπ)(G0+jω(VSµ))+jω(VSµ)(Gπ+gm){\ displaystyle q (j \ omega) = G _ {\ pi} + j \ omega (C _ {\ pi}) (G_ {0} + j \ omega (C _ {\ mu})) + j \ omega (C_ {\ mu}) (G _ {\ pi} + g_ {m})}

Transistor de efeito de campo

Da mesma forma, um transistor MOSFET usado como um pequeno sinal em torno de um ponto de polarização é modelado pelo circuito pi acima. Aqui, a configuração Z é a mais conveniente:

(VGSVDS)=(1jω(VSgs)0-gmr0jω(VSgs)-r0)(euGeuD){\ displaystyle {V_ {GS} \ escolha V_ {DS}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {j \ omega (C_ {g} s)}} & 0 \\ {\ frac {- g_ {m} r_ {0}} {j \ omega (C_ {g} s)}} & - r_ {0} \ end {pmatriz}} {I_ {G} \ escolha I_ {D}}}

Amplificador

No exemplo de um amplificador inversor de voltagem , a matriz ABCD é escrita da seguinte forma (as correntes sendo notadas positivamente em direção ao interior do conjunto):

(Veeue)=(-R1R20-1R20)(Vs-eus){\ displaystyle {V_ {e} \ escolha I_ {e}} = {\ begin {pmatrix} - {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} & 0 \\ - {\ frac {1} {R_ {2}}} & 0 \ end {pmatriz}} {V_ {s} \ escolha -I_ {s}}},

O determinante dessa matriz é zero: na verdade, tal montagem não respeita o teorema da reciprocidade. Fisicamente, os dois zeros à direita significam que a corrente pode mudar sem influenciar os valores de entrada. eus{\ displaystyle I_ {s}}

Operações quadrupolo

Impedâncias de entrada e saída

Representamos aqui um quadrupolo interposto entre um gerador Thévenin e uma impedância de carga. Podemos então estar interessados ​​em:

• Na impedância "vista" pelo gerador, e representando o quadrupolo mais sua carga.
• Ao gerador equivalente "visto" pela carga e representando o gerador e o quadrupolo.Zeu{\ displaystyle Z_ {L}}

Para o primeiro problema, ao carregar o quadrupolo com a carga , impõe-se: (sendo o sinal negativo devido às convenções de direção das correntes). Essa restrição remove um certo grau de liberdade do sistema. Zeu{\ displaystyle Z_ {L}}V2=-Zeueu2{\ displaystyle V_ {2} = - Z_ {L} I_ {2}}

Ao retomar a configuração da impedância do quadrupolo: (V1V2)=(Z11Z12Z21Z22)(eu1eu2){\ displaystyle {V_ {1} \ escolha V_ {2}} = {\ begin {pmatrix} Z_ {11} & Z_ {12} \\ Z_ {21} & Z_ {22} \ end {pmatrix}} {I_ {1} \ escolher I_ {2}}} torna-se : (V1-Zeueu2)=(Z11Z12Z21Z22)(eu1eu2){\ displaystyle {V_ {1} \ choose -Z_ {L} I_ {2}} = {\ begin {pmatrix} Z_ {11} & Z_ {12} \\ Z_ {21} & Z_ {22} \ end { pmatriz}} {I_ {1} \ escolher I_ {2}}}

A segunda linha permite expressar em função de , e ao substituir na primeira, obtemos a relação entre e , ou seja, a impedância de carga formada pelo quadrupolo e . eu2{\ displaystyle I_ {2}}eu1{\ displaystyle I_ {1}}V1{\ displaystyle V_ {1}}eu1{\ displaystyle I_ {1}}Zeu{\ displaystyle Z_ {L}}

V1=Z11eu1-Z12Z21Zeu+Z22eu1{\ displaystyle V_ {1} = Z_ {11} I_ {1} - {\ frac {Z_ {12} Z_ {21}} {Z_ {L} + Z_ {22}}} I_ {1}} V1=(Z11-Z12Z21Zeu+Z22)eu1=Zeunãoeu1{\ displaystyle V_ {1} = \ left (Z_ {11} - {\ frac {Z_ {12} Z_ {21}} {Z_ {L} + Z_ {22}}} \ right) I_ {1} = Z_ {\ mathrm {in}} I_ {1}}

Função de transferência

Ao retomar o diagrama acima e suas notações, interessa-se pela função de transferência , conhecendo os parâmetros ABCD do quadrupolo:

Ft=V2V0=ZeuNOZeu+B+VSZeuZS+DZS{\ displaystyle F_ {t} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {0}}} = {\ frac {Z_ {L}} {AZ_ {L} + B + CZ_ {L} Z_ {S} + DZ_ {S}}}}

Associação de dois quadrupolos

Dois quadrupolos podem ser combinados (para formar um novo) de cinco maneiras diferentes. Em cada caso, uma das configurações é adequada, porque permite obter a matriz do novo quadrupolo obtida por uma simples operação a partir das matrizes que representam os dois quadrupolos iniciais.

Designação	Diagrama	Propriedades
Series		Z=Z1+Z2{\ displaystyle {Z} = {Z_ {1}} + {Z_ {2}}} As matrizes de impedância são adicionadas.
Paralelo		Y=Y1+Y2{\ displaystyle {Y} = {Y_ {1}} + {Y_ {2}}} Matrizes de admissão são adicionadas.
Série paralela		G=G1+G2{\ displaystyle {G} = {G_ {1}} + {G_ {2}}} As matrizes híbridas inversas são adicionadas.
Série paralela		H=H1+H2{\ displaystyle {H} = {H_ {1}} + {H_ {2}}} Matrizes híbridas são adicionadas.
Cascata		T=T1×T2{\ displaystyle {T} = {T_ {1}} \ vezes {T_ {2}}} T′=T2′×T1′{\ displaystyle {T '} = {T' _ {2}} \ times {T '_ {1}}} As matrizes de transferência estão se multiplicando. A direção da multiplicação é diferente para T e T ': o produto da matriz é geralmente não comutativo .

Caracterização experimental

O analisador de rede é um instrumento dedicado especificamente à medição dos parâmetros S de um quadrupolo. O instrumento possui duas saídas coaxiais que permitem medir os termos da matriz S.

Fora da eletrônica

A analogia eletromecânica permite o uso do formalismo quadrupolo para sistemas mecânicos ou eletromecânicos. Nesse caso, as duas portas, ou apenas uma, apresentam, em substituição às grandezas de corrente elétrica e tensão, um torque de magnitude mecânica ( força e velocidade, pressão e velocidade, torque e velocidade angular dependendo do sistema estudado).

Assim, o estudo de transdutores piezoelétricos , em uma aproximação unidimensional, requer circuitos equivalentes formados por quadrupolos. Os dois circuitos mais comuns são os de Mason e KLM . Em cada um desses circuitos, o efeito piezoelétrico é representado por um quadrupolo cuja entrada é elétrica e cuja saída é a velocidade e pressão (ou força) no centro da camada piezoelétrica, enquanto cada camada é um quadrupolo mecânico, correspondendo a um linha de transmissão.

Notas e referências

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Veja também

• Diagramas de Bode
• Filtro (eletrônico)
• Teorema de Kennelly
• Parâmetros S