O quociente isoperimétrico é uma quantidade adimensional usada para avaliar a circularidade ou esfericidade de uma superfície ou um sólido. Depende da forma do objeto estudado e não do seu tamanho. Definido inicialmente no plano para comparar duas superfícies com o mesmo perímetro, está vinculado a todos os problemas de isoperimetria .
A noção é então generalizada para os espaços superiores, mantendo o mesmo nome.
Nas fontes, encontramos várias expressões não equivalentes do quociente isoperimétrico.
Consideramos uma superfície mensurável S com uma borda retificável , ou seja, que possui uma área finita e seu perímetro é de comprimento finito.
O quociente isoperimétrico de S pode ser definido como a razão entre a área da superfície e a área da superfície máxima obtida para o mesmo perímetro. É sempre um número entre 0 e 1, que chega a 1 quando a superfície é um disco.
Se A é a área de S ep seu perímetro, o quociente isoperimétrico q 1 é igual a:
Exemplo: o quociente isoperimétrico de um polígono regular com n lados é:
O quociente isoperimétrico pode, por outro lado, ser definido como a razão entre o quadrado do perímetro e a área, Com este novo significado, o quociente isoperimétrico atinge um mínimo de 4π para o disco e pode assumir valores infinitamente grandes quando a área de S tende para 0 e seu perímetro permanece constante.
Para um K sólido de volume V e superfície S , encontramos as duas definições
O quociente q 1 varia de 0 a 1 e atinge seu máximo para a bola. O quociente q 2 varia de 36π ao infinito e atinge seu mínimo para a bola.
O quociente isoperimétrico de um sólido não deve ser confundido com sua relação área-volume .
Para um K compacto em um espaço euclidiano de dimensão n fornecido com a medida de Lebesgue , o quociente isoperimétrico é frequentemente definido pela igualdade: onde fica o limite de K.
Este quociente atinge seu mínimo para a bola.
Às vezes encontramos uma terceira definição do quociente isoperimétrico: