Regra Hospitalar
Na matemática , e mais precisamente na análise , a regra (ou teorema ) de L'Hôpital (ou L'Hospital ) , também chamada de regra de Bernoulli , usa a derivada para determinar os limites difíceis de calcular da maioria dos quocientes . O teorema de Stolz-Cesàro é um resultado análogo em relação aos limites das sequências , mas usando as diferenças finitas em vez da derivada.
Histórico
A regra é o nome de um matemático francês do XVII ° século , Guillaume de l'Hôpital , que publicou a análise do infinitamente pequeno para a inteligência de linhas curvas ( 1696 ), primeiro livro de cálculo diferencial ter sido escrito em francês. A regra de L'Hôpital aparece nesta obra e constitui a proposição 1 da seção IX , § 163, p. 145: o objetivo desta proposição é dar o valor de uma quantidade dependente de uma variável para o valor desta variável, quando é escrita como uma fração cujo numerador e denominador desaparecem .
y{\ displaystyle y}x{\ displaystyle x}no{\ displaystyle a}y{\ displaystyle y}no{\ displaystyle a}
O autor da regra é, sem dúvida, Jean Bernoulli , porque o Hospital pagava a Bernoulli uma pensão de 300 libras por ano para mantê-lo informado sobre o progresso do cálculo infinitesimal e para resolver os problemas que este lhe colocava (como o de encontrar o limite das formas indeterminadas); além disso, eles assinaram um contrato autorizando o Hospital a usar as descobertas de Bernoulli como bem entendesse. Quando L'Hôpital publicou seu livro, ele admitiu o que devia a Bernoulli e, não querendo ser atribuído a seu trabalho, publicou anonimamente. Bernoulli então afirmou ser o autor de toda a obra, o que se acreditou por muito tempo, mas mesmo assim a regra foi nomeada em homenagem a L'Hôpital, embora ele nunca tenha afirmado que a inventou.
Declaração de regras do hospital
Princípio
De qualquer real ou igual a , de modo que as funções reais e são definidos e derivável no bairro de , a derivada de não cancelar lá. Se tentarmos determinar o limite do quociente , onde o numerador e o denominador tendem a zero ou ambos ao infinito , podemos derivar o numerador e o denominador e determinar o limite do quociente derivado. Caso exista, a regra determina que esse limite será igual ao limite procurado.
no{\ displaystyle a}±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}no{\ displaystyle a}g{\ displaystyle g}no{\ displaystyle a}f/g{\ displaystyle f / g}
A regra, para e definida (pelo menos) em um intervalo de fins e , é exposta aqui para limites à direita em com . É claro que é transponível para a esquerda com e a regra bilateral, para limites contundentes em um real , é deduzida da conjunção dessas duas regras laterais.
f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}no{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}no{\ displaystyle a}-∞≤no<b{\ displaystyle - \ infty \ leq a <b}b<no≤+∞{\ displaystyle b <a \ leq + \ infty}no{\ displaystyle a}
Declaração simples
No trabalho de L'Hôpital, a regra que aparece é aquela comumente usada no caso de duas funções diferenciáveis em e tal que o quociente é definido:
no{\ displaystyle a}f′(no)g′(no){\ displaystyle {\ frac {f '\! \ left (a \ right)} {g' \! \ left (a \ right)}}}
Se e são duas funções definidas em , diferenciáveis em , e tal que e , então .f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}[no,b[{\ displaystyle \ left [a, b \ right [}no{\ displaystyle a}f(no)=g(no)=0{\ displaystyle f \! \ left (a \ right) = g \! \ left (a \ right) = 0}g′(no)≠0{\ displaystyle g '\! \ left (a \ right) \ neq 0}limx→no+f(x)g(x)=f′(no)g′(no){\ displaystyle \ lim _ {x \ to a ^ {+}} {\ frac {f \! \ left (x \ right)} {g \! \ left (x \ right)}} = {\ frac {f '\! \ left (a \ right)} {g' \! \ left (a \ right)}}}
Generalizações
A regra do Hospital foi generalizada para situações em que e são considerados definidos e deriváveis à direita de (ou à esquerda de ), mas não a (que pode ser real ou infinito). A primeira generalização aplica-se a funções e cujo limite é zero e a segunda a funções e cujo limite é infinito.
f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}no{\ displaystyle a}no{\ displaystyle a}no{\ displaystyle a}no{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}no{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}no{\ displaystyle a}
Let and be duas funções diferenciáveis on e tal que não desaparece.
f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}]no,b[{\ displaystyle \ left] a, b \ right [}g′{\ displaystyle g '}
- Se e então .limnof=limnog=0{\ displaystyle \ lim _ {a} f = \ lim _ {a} g = 0}limno+f′g′=ℓ{\ displaystyle \ lim _ {a ^ {+}} {\ frac {f '} {g'}} = \ ell}limno+fg=ℓ{\ displaystyle \ lim _ {a ^ {+}} {\ frac {f} {g}} = \ ell}
- Se e se então .limnof=limnog=+∞{\ displaystyle \ lim _ {a} f = \ lim _ {a} g = + \ infty}limno+f′g′=ℓ{\ displaystyle \ lim _ {a ^ {+}} {\ frac {f '} {g'}} = \ ell}limno+fg=ℓ{\ displaystyle \ lim _ {a ^ {+}} {\ frac {f} {g}} = \ ell}
A generalização 2 é mostrada sem usar a hipótese . Portanto, apenas a hipótese é necessária, o que permite estender o campo de aplicação da norma Hospitalar a outros casos de indeterminação que não , em particular se não admitir limite em .
limnof=+∞{\ displaystyle \ lim _ {a} f = + \ infty}limnog=+∞{\ displaystyle \ lim _ {a} g = + \ infty}±∞±∞{\ displaystyle {\ dfrac {\ pm \ infty} {\ pm \ infty}}}f{\ displaystyle f}no{\ displaystyle a}
Ambas as generalizações são válidas, seja um limite real ou infinito. A prova deles usa o “teorema da média de Cauchy” (cf. teorema do incremento finito generalizado ), com mais cautela para o segundo.
ℓ{\ displaystyle \ ell}
Usos
A regra só pode ser usada em caso de indeterminação. por exemplo
-4=limx→13x2+12x-3≠limx→16x2=3{\ displaystyle -4 = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {3x ^ {2} +1} {2x-3}} \ neq \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {6x} {2}} = 3}.
No caso de indeterminação da forma "0/0" , a afirmação simples pode frequentemente ser usada, ou - como na prova do teorema de "integração" termo por termo de uma expansão limitada - a primeira generalização.
No caso de indeterminação da forma "∞ / ∞" , é a segunda generalização que usaremos:
limx→+∞xemx=limx→+∞12x1x=limx→+∞x2=+∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ dfrac {\ sqrt {x}} {\ ln x}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ dfrac {\ frac {1 } {2 \, {\ sqrt {x}}}} {\ frac {1} {x}}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ dfrac {\ sqrt {x}} {2} } = + \ infty}.
Às vezes, será necessário usar a regra do Hospital várias vezes para obter o resultado:
-
limx→0cos(2x)-1x3+5x2=limx→0-2pecado(2x)3x2+10x=limx→0-4cos(2x)6x+10=-25{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ cos \ left (2x \ right) -1} {x ^ {3} + 5x ^ {2}}} = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {-2 \ sin \ left (2x \ right)} {3x ^ {2} + 10x}} = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {-4 \ cos \ left (2x \ direita)} {6x + 10}} = {\ frac {-2} {5}}} ;
-
∀não∈NÃOlimx→+∞expxxnão=limx→+∞expxnãoxnão-1=limx→+∞expxnão(não-1)xnão-2=...=limx→+∞expxnão!=+∞{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ exp x} {x ^ {n}}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ exp x} {nx ^ {n-1}}} = \ lim _ {x \ a + \ infty} {\ frac {\ exp x} {n (n-1) x ^ {n-2}}} = \ ldots = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ exp x} {n!}} = + \ infty}.
Alguns limites, que não aparecem como limites de quociente, podem ser obtidos com esta regra:
limx→+∞x-x2-x=limx→+∞1-1-1/x1/x=limh→01-1-hh=limh→0121-h1=12{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} x - {\ sqrt {x ^ {2} -x}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {1 - {\ sqrt {1-1 / x}}} {1 / x}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1 - {\ sqrt {1-h}}} {h}} = \ lim _ { h \ to 0} {\ frac {\ frac {1} {2 {\ sqrt {1-h}}}} {1}} = {\ frac {1} {2}}}.
Precauções a serem tomadas
Observe que as formas generalizadas fornecem apenas condições suficientes para a existência do limite. Existem, portanto, casos em que o limite do quociente das derivadas não existe e ainda assim o limite do quociente das funções existe:
limx→0x2pecado(1/x)x=limx→0xpecado(1/x)=0{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {x ^ {2} \ sin \ left (1 / x \ right)} {x}} = \ lim _ {x \ to 0} x \ sin \ left (1 / x \ right) = 0}enquanto
2xpecado(1/x)-cos(1/x)1{\ displaystyle {\ frac {2x \ sin \ left (1 / x \ right) - \ cos \ left (1 / x \ right)} {1}}} não admite limite em 0.
Por fim, tomaremos o cuidado de verificar se de fato é diferente de zero na vizinhança de , caso contrário, a regra não é aplicável. Por exemplo, se
g′(x){\ displaystyle g '\! \ left (x \ right)}no{\ displaystyle a}
f(x)=x+cosxpecadox{\ displaystyle f \! \ left (x \ right) = x + \ cos x \ sin x}
g(x)=epecadox(x+cosxpecadox){\ displaystyle g \! \ left (x \ right) = \ mathrm {e} ^ {\ sin x} \ left (x + \ cos x \ sin x \ right)},
tão
f′(x)=2cos2x{\ displaystyle f '\! \ left (x \ right) = 2 \ cos ^ {2} x}
g′(x)=epecadoxcosx(x+pecadoxcosx+2cosx){\ displaystyle g '\! \ left (x \ right) = \ mathrm {e} ^ {\ sin x} \ cos x \, \ left (x + \ sin x \ cos x + 2 \ cos x \ right) }
portanto
limx→+∞f′(x)g′(x)=limx→+∞2cosxepecadox(x+pecadoxcosx+2cosx)=0{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {f '\! \ left (x \ right)} {g' \! \ left (x \ right)}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {2 \ cos x} {\ mathrm {e} ^ {\ sin x} \ left (x + \ sin x \ cos x + 2 \ cos x \ right)}} = 0 }Mas
f(x)g(x)=1epecadox{\ displaystyle {\ frac {f \! \ left (x \ right)} {g \! \ left (x \ right)}} = {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {\ sin x} }}}não admite limite em porque oscila entre e .
+∞{\ displaystyle + \ infty}1epecadox{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {\ sin x}}}}1/e{\ displaystyle 1 / {\ rm {e}}}e{\ displaystyle {\ rm {e}}}
Notas e referências
-
" Análise do infinitamente pequeno, pela inteligência das linhas curvas " , em Gallica .
-
(em) Clifford Truesdell , " The New Bernoulli Edition " , Ísis , vol. 49, n o 1,1958, p. 54-62 ( DOI 10.1086 / 348639 , JSTOR 226604 ), resume a p. 59-62 - indicando suas fontes - este "acordo mais extraordinário da história da ciência" .
-
(in) Ross L. Finney e George B. Thomas (in) , Jr., Calculus , Addison-Wesley ,1994, 2 nd ed. , p. 390, uma prévia da edição em espanhol de 1998 no Google Livros .
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(em) Ansie Harding, "Storytelling for Tertiary Mathematics Students" in Invited Lectures from the 13th International Congress on Mathematical Education ,2018( leia online ) , p. 205-206.
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(em) Eli Maor , e: The Story of a Number , Princeton University Press ,1994( leia online ) , p. 116.
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, Para uma demonstração e um exemplo de uso veja o exercício "regra simples do Hospital" na Wikiversidade .
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E. Ramis, C. Deschamps e J. Odoux, Special Mathematics Course , t. 3: Topologia e elementos de análise , Masson ,1982, p. 125.
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(em) Spivak Michael , Calculus , WA Benjamin,1967( leia online ) , p. 179-180.
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Jacques Douchet e Bruno Zwahlen, Cálculo Diferencial e Integral , PPUR ,2006( leia online ) , p. 103.
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(em) AE Taylor, " The Hospital's Rule " , American Mathematical Monthly , vol. 59, n o 1,1952, p. 20-24 ( DOI 10.1080 / 00029890.1952.11988058 ).
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(em) Donald Hartig, " The Hospital's Rule Via Integration " , American Mathematical Monthly , vol. 98, n o 21991, p. 156-157 ( DOI 10.1080 / 00029890.1991.11995722 ).
-
Veja "The Hospital Rule" na Wikiversidade .
-
Substituindo seu uso pelo da desigualdade de incrementos finitos para funções com valores vetoriais , estendemos facilmente a primeira generalização para o caso em que é com valores vetoriais : (en) J. Albrycht , “ Regra de L'Hôpital para valores vetoriais funções ” , Colloquium Mathematicum , vol. 2, n osso 3-4,f{\ displaystyle f}1951, p. 176-177 ( ler online ).
-
Spivak 1967 , p. 186, exercício 37.
-
Douchet e Zwahlen 2006 , p. 103-105.
-
Spivak 1967 , p. 185, exercício 33. Ver também (en) Andrei Bourchtein e Ludmila Bourchtein, CounterExamples : From Elementary Calculus to the Beginnings of Analysis , CRC Press ,2014( leia online ) , p. 126, exemplo 21.
-
Bourchtein e Bourchtein 2014, exercício 25 , p. 131 - veja também p. 127 , exemplo 22.
-
(De) Otto Stolz , " Ueber die Grenzwerthe der Quotienten " , Math. Ann. , vol. 15,1879, p. 556-559 ( ler online )( p. 557 ). Veja também Bourchtein e Bourchtein 2014 , p. 128 (exemplo 23) e p. 131 (exercício 26).
Veja também
Artigos relacionados
Link externo
( fr ) Gabriel Nagy, “ The Stolz-Cesaro Theorem ” -Provasequencialdasegunda generalização, utilizando ocasodo teorema de Stolz-Cesàro⋅/∞{\ displaystyle \ cdot / \ infty}.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">