Tensor métrico
Na geometria , e mais particularmente na geometria diferencial , o tensor métrico é um tensor de ordem 2 que permite definir o produto escalar de dois vetores em cada ponto de um espaço e que é utilizado para a medição de comprimentos e ângulos . Ele generaliza o teorema de Pitágoras . Em um determinado sistema de coordenadas , o tensor métrico pode ser representado como uma matriz simétrica , geralmente observada , de modo a não confundir a matriz (em maiúsculas) e o tensor métrico g .
G{\ displaystyle G}
A seguir, a convenção de soma de Einstein é usada.
Definição
O tensor métrico de um espaço vetorial de dimensão finita n é um tensor covariante de classificação 2 (ou seja, uma forma bilinear ) definido em :
E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}
g:E×E→R(você,v)↦g(você,v){\ displaystyle {\ begin {alinhado} g \ ,: \, & E \ times E & \ to & \, \, \, \ mathbb {R} \\ & (\ mathbf {u}, \ mathbf {v} ) & \ mapsto & \, \, \, g (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) \ end {alinhado}}}
g{\ displaystyle g} é :
-
simétrica : ;∀você,v∈E×Eg(v,você)=g(você,v){\ displaystyle \ forall \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in E \ vezes E \ quad g (\ mathbf {v}, \ mathbf {u}) = g (\ mathbf {u}, \ mathbf { v})}
-
não degenerada : ;∀você∈E,[∀v∈E,g(você,v)=0]⇒você=0{\ displaystyle \ forall \ mathbf {u} \ in E, \ left [\ forall \ mathbf {v} \ in E, g (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = 0 \ right] \ Rightarrow \ mathbf {u} = 0}
-
positivo : (exceto para pseudo-métricas , veja abaixo). E , fornecido com este tensor, é então um espaço euclidiano .∀você∈Eg(você,você)⩾0{\ displaystyle \ forall \ mathbf {u} \ in E \ quad g (\ mathbf {u}, \ mathbf {u}) \ geqslant 0}
Mais geralmente, o tensor métrico de uma variedade diferencial é o datum, em cada ponto da variedade, de um tensor métrico no espaço tangente à variedade neste ponto. Atribuir um tensor métrico a esta variedade torna-a uma variedade Riemanniana (ou uma variedade pseudo-Riemanniana no caso de uma pseudo-métrica).
Denotamos o produto escalar de dois vetores e , onde i = 1, ..., n, como segue:
vocêeueeu{\ displaystyle u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}vjej{\ displaystyle v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}
g(você,v)=g(vocêeueeu,vjej)=vocêeuvjg(eeu,ej)=vocêeuvjgeuj.{\ displaystyle g (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = g (u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}, v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}) = u ^ {i} v ^ {j} g (\ mathbf {e} _ {i}, \ mathbf {e} _ {j}) = u ^ {i} v ^ {j} g_ {ij}.}
A notação é convencionalmente usada para os componentes do tensor métrico. Na Relatividade Restrita, então Geral, o tensor métrico é denotado, por convenção g μν onde μ e ν são elementos do conjunto {0,1,2,3}
geuj{\ displaystyle g_ {ij}}
No espaço dual de , a métrica conjugada à de , denotada e chamada de métrica dual ou métrica inversa (a matriz que representa seus componentes sendo o inverso daquela que representa os componentes da métrica de ), é um tensor contravariante . Respeita a identidade , o que permite transformar componentes contravariantes em componentes covariantes e vice-versa.
E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}geuj{\ displaystyle g ^ {ij}}E{\ displaystyle E}gµνgνρ=δρµ{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \, g _ {\ nu \ rho} \, = \, \ delta _ {\ rho} ^ {\ mu} \,}
Pseudo-métrica
Quando nem sempre é positivo, podemos falar de pseudo-métrica (é por exemplo o caso da métrica Lorentziana (também chamada de métrica de Minkowski ) do espaço de Minkowski ). Neste quadro, (que então denotamos ) representa a pseudo-norma ao quadrado.
g(x,x){\ displaystyle g (x, x)}g(x,x){\ displaystyle g (x, x)}η(x,x){\ displaystyle \ eta (x, x) \,}
Métrica Minkowskiana (ou Lorentziana)
Denotamos a distância Minkowskiana entre dois pontos e definida por:
s{\ displaystyle s}P1{\ displaystyle P_ {1}}P2{\ displaystyle P_ {2}}
s2=η(P1P2→,P1P2→)=ηµν(x2µ-x1µ)(x2ν-x1ν){\ displaystyle s ^ {2} = \ eta {\ bigl (} {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {2}}}, {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {2}}} {\ bigr)} = \ eta _ {\ mu \ nu} (x_ {2} ^ {\ mu} -x_ {1} ^ {\ mu}) (x_ {2} ^ {\ nu} -x_ {1} ^ {\ nu })}
com como matriz do produto escalar:
(ηµν)=(-1000010000100001){\ displaystyle (\ eta _ {\ mu \ nu}) = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}
e a distância Minkowskiana ao quadrado entre dois pontos infinitamente vizinhos :
ds2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2}}
ds2=ηµνdxµdxν{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} \, = \, \ eta _ {\ mu \ nu} \, \ mathrm {d} x ^ {\ mu} \, \ mathrm {d} x ^ { \ nu}}
Para um vetor de tal espaço, temos as seguintes definições:
x{\ displaystyle x}
{η(x,x)>0⟺xé orientado no espaço.η(x,x)=0⟺xé isotrópico.η(x,x)<0⟺xé orientado pelo tempo.{\ displaystyle {\ begin {cases} \ eta (x, x)> 0 & \ iff & x \, {\ text {é orientado no espaço.}} \\\ eta (x, x) = 0 & \ iff & x \, {\ text {é isotrópico.}} \\\ eta (x, x) <0 & \ iff & x \, {\ text {é orientado pelo tempo.}} \\\ end {casos}}}
Uma curva desse espaço-tempo descrita pela equação , onde é um parâmetro, admite-se como um vetor tangente . O sinal da pseudo-norma ao quadrado deste vetor é independente da escolha de e temos as seguintes definições (cf. relatividade especial ):
(x0(τ),x1(τ),x2(τ),x3(τ)){\ displaystyle (x ^ {0} (\ tau), x ^ {1} (\ tau), x ^ {2} (\ tau), x ^ {3} (\ tau))}τ{\ displaystyle \ tau}dxµ/dτ{\ displaystyle \ mathrm {d} x ^ {\ mu} / \ mathrm {d} \ tau}τ{\ displaystyle \ tau}
{η(dxµdτ,dxµdτ)>0⟺A curvaxµ(τ)é uma espécie de espaço.η(dxµdτ,dxµdτ)=0⟺A curvaxµ(τ)é do tipo leve.η(dxµdτ,dxµdτ)<0⟺A curvaxµ(τ)é o tipo de clima.{\ displaystyle {\ begin {cases} \ eta ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}})> 0 & \ iff & {\ text {A curva}} \, x ^ {\ mu} (\ tau) \, {\ text {é como espaço.}} \\\ eta ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu }} {\ mathrm {d} \ tau}}) = 0 & \ iff & {\ text {A curva}} \, x ^ {\ mu} (\ tau) \, {\ text {é como a luz.} } \\\ eta ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} { \ mathrm {d} \ tau}}) <0 & \ iff & {\ text {A curva}} \, x ^ {\ mu} (\ tau) \, {\ text {é como o tempo.}} \ end {casos}}}
Coordenadas retilíneas
No sistema de coordenadas de qualquer base no espaço vetorial , o tensor métrico on é representado por seus componentes nesta base. Esses componentes assumem a forma de uma matriz simétrica cujas entradas são transformadas de forma covariante durante uma mudança de base:
(no→,b→,vs→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E} G{\ displaystyle G}
G=(no→.no→no→.b→no→.vs→b→.no→b→.b→b→.vs→vs→.no→vs→.b→vs→.vs→){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} \, {\ vec {a}}. {\ vec {a}} &&& {\ vec {a}}. {\ vec {b}} &&& {\ vec {a}} }}. {\ vec {c}} \, \, \\\, {\ vec {b}}. {\ vec {a}} &&& {\ vec {b}}. {\ vec {b}} &&& {\ vec {b}}. {\ vec {c}} \, \, \\\, {\ vec {c}}. {\ vec {a}} &&& {\ vec {c}}. {\ vec {b}} &&& {\ vec {c}}. {\ vec {c}} \, \, \ end {pmatrix}}}
onde denota o produto escalar de e de .
no→.b→{\ displaystyle {\ vec {a}}. {\ vec {b}}}no→{\ displaystyle {\ vec {a}}}b→{\ displaystyle {\ vec {b}}}
Se conhecermos outra base, mas que seja ortonormal (em comparação com o produto escalar em questão, ou seja, aquele associado ao tensor métrico), então, ao expressar os vetores da base de acordo com essa base ortonormal, será fácil calculá-los produtos escalares.
(no→,b→,vs→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}
Caso de coordenadas curvilíneas
Quando se trata de um sistema de coordenadas curvilíneas (em uma variedade diferencial ℳ de dimensão ), não podemos definir uma base intrínseca global ali, porque os vetores da base local (intrínseca) variam quando o ponto atual (de coordenadas ) de ℳ varia. então se torna um campo tensor . O “campo de bases locais” (denominado base holonômica , base de coordenadas (in) ou sistema de coordenadas suave ) que utilizamos faz referência a vetores infinitesimais, portanto pode ser visto como um “produto escalar infinitesimal”. Em seguida, adotamos a seguinte escrita: (onde designa o comprimento do arco infinitesimal).
m{\ displaystyle m}eeu{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}xeu{\ displaystyle x ^ {i}}g{\ displaystyle g} g{\ displaystyle g}ds2=geujdxeudxj{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = g_ {ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}ds{\ displaystyle \ mathrm {d} s}
Cálculo de dados extrínsecos
Se ℳ estiver imerso em um espaço euclidiano (de dimensão ), o produto escalar neste espaço euclidiano induzirá um produto escalar em ℳ. Pesquisando o tensor métrico de campo (induzido) em ℳ neste produto escalar induzido. Deixe ser uma base ortonormal deste espaço euclidiano (que é, portanto, uma base extrínseca para ℳ). Observe, de passagem, que, em uma base ortonormal, as componentes do tensor métrico são (cf. delta de Kronecker ). Chamemos , a matriz Jacobiana das coordenadas do ponto atual de ℳ na base (pois essas coordenadas são extrínsecas) expressas de acordo com as coordenadas curvilíneas (intrínsecas à variedade ℳ) desse mesmo ponto. As colunas de , calculadas na vizinhança de um ponto de ℳ, fornecem uma aproximação linear das linhas de coordenadas (curvilíneas) na vizinhança deste ponto , uma vez que fornecem as componentes na base de vetores que são tangentes às linhas de coordenadas e que constituem a base local em associação com as coordenadas curvilíneas em questão. Basta então calcular os possíveis produtos escalares dos vetores da base local para obter as componentes (na base local) do tensor métrico em . Isso equivale a calcular em . Notemos que esta matriz, que assim representa as componentes do tensor métrico na base local e que se notará , é a sua própria transposta, ou seja, é uma matriz simétrica . Observe que é uma matriz quadrada (m × m) , enquanto em geral ,, que é uma matriz (n × m) , não é (porque a dimensão da variedade ℳ é em geral menor do que a do espaço euclidiano no qual está imerso).
não≥m{\ displaystyle n \ geq m}B(e″1,e″2,...,e″não){\ displaystyle B \, (\ mathbf {e ''} _ {1}, \ mathbf {e ''} _ {2}, ..., \ mathbf {e ''} _ {n})}geuj=δeuj{\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij}}J{\ displaystyle J}B{\ displaystyle B}J{\ displaystyle J}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}B{\ displaystyle B}M{\ displaystyle M}(e1,e2,...,em){\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, ..., \ mathbf {e} _ {m})}M{\ displaystyle M}m2{\ displaystyle m ^ {2}}M{\ displaystyle M}JTJ{\ displaystyle J ^ {\ mathsf {T}} J}M{\ displaystyle M}G{\ displaystyle G}J{\ displaystyle J}
G(M)=JT(M)J(M){\ displaystyle G (M) = J ^ {\ mathsf {T}} (M) \, J (M)}
ou, em notação de índice:
geuj(M)=Jeuk(M)Jjk(M){\ displaystyle g_ {ij} (M) = J_ {i} ^ {k} (M) \, J_ {j} ^ {k} (M)}
Ascensão e queda das pistas
O tensor métrico permite aumentar ou diminuir os índices das componentes dos vetores, das formas diferenciais ou dos tensores. Considere o caso do vetor . Esse vetor permite, por intermédio do tensor métrico, definir a forma linear , elemento do espaço dual , que, com um vetor , associa o real . Em função das componentes dos dois vetores e do tensor métrico, essa realidade se expressa na forma:
x=xαeα{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {\ alpha} \ mathbf {e _ {\ alpha}}}g(x,.){\ displaystyle g (\ mathbf {x} ,.)}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}g(x,y){\ displaystyle g (\ mathbf {x}, \ mathbf {y})}
g(x,y)=xαgαβyβ{\ displaystyle g (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = x ^ {\ alpha} g _ {\ alpha \ beta} y ^ {\ beta}}Na base dual , isso significa que a forma linear tem como componentes . Em outras palavras, passa-se das componentes de um vetor às componentes da forma linear associada “ baixando os índices ” por meio do tensor métrico, transformando o vetor no covetor .
eβ=(eβ)⋆{\ displaystyle \ mathbf {e ^ {\ beta}} = (\ mathbf {e _ {\ beta}}) ^ {\ star}}g(x,.){\ displaystyle g (\ mathbf {x} ,.)}xβ=xαgαβ{\ displaystyle x _ {\ beta} = x ^ {\ alpha} g _ {\ alpha \ beta}}xαeα{\ displaystyle x ^ {\ alpha} \ mathbf {e _ {\ alpha}}} xβeβ{\ displaystyle x _ {\ beta} \ mathbf {e ^ {\ beta}}}
Inversamente, se nos dermos uma forma linear , reconstituímos o vetor do qual ele surge “ subindo os índices ” :, sendo o tensor componente o tensor métrico inverso de .
φβeβ{\ displaystyle \ varphi _ {\ beta} \ mathbf {e ^ {\ beta}}}xα=gαβφβ{\ displaystyle \, \, x ^ {\ alpha} = g ^ {\ alpha \ beta} \ varphi _ {\ beta}}gαβ{\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}g{\ displaystyle g}
Temos a identidade .
gµνgνρ=δρµ{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \, g _ {\ nu \ rho} \, = \, \ delta _ {\ rho} ^ {\ mu} \,}
Distâncias e ângulos
O comprimento de um segmento de uma curva parametrizada por , começando do ponto em e chegando ao ponto em é definido por:
t{\ displaystyle t}no{\ displaystyle a}t1{\ displaystyle t_ {1}}b{\ displaystyle b}t2{\ displaystyle t_ {2}}
eu=∫nobds2=∫nobgeujdxeudxj=∫t1t2geujdxeudtdxjdtdt{\ displaystyle L \, = \, \ int _ {a} ^ {b} \, {\ sqrt {{\ mathrm {d} s ^ {2}} \,}} \, = \, \ int _ { a} ^ {b} \, {\ sqrt {g_ {ij} \, \ mathrm {d} x ^ {i} \, \ mathrm {d} x ^ {j} \,}} \, = \, \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \, {\ sqrt {g_ {ij} \, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {i}} {\ mathrm {d} t} } \, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {\ mathrm {d} t}} \,}} \, \, {\ mathrm {d} t}}
onde está a equação que descreve esta curva no sistema de coordenadas local .
(x1(t),...,xnão(t)){\ displaystyle (x ^ {1} (t), ..., x ^ {n} (t))}
O ângulo entre dois vetores e tangentes no mesmo ponto é definido por:
θ{\ displaystyle \ theta} você{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}
cosθ=geujvocêeuvj|geujvocêeuvocêj||geujveuvj|{\ displaystyle \ cos \ theta \, = \, {\ frac {g_ {ij} \, u ^ {i} \, v ^ {j}} {\, \, {\ sqrt {\, \ left | \ , g_ {ij} \, u ^ {i} \, u ^ {j} \, \ right | \, \, \ left | \, g_ {ij} \, v ^ {i} \, v ^ {j } \, \ right | \,}} \, \,}}}
O conhecimento do tensor métrico também permite determinar as geodésicas do espaço em que este tensor é definido.
Mudança de base
Durante uma mudança de base, os componentes do tensor métrico se transformam de forma covariante , ou seja:
gkeu′=M keuM euj geuj{\ displaystyle g '_ {kl} = M _ {\ k} ^ {i} M _ {\ l} ^ {j} \ g_ {ij}}
onde está a matriz de passagem de uma base na qual se conhece os componentes da métrica para outra base para a qual se busca os componentes dessa mesma métrica.
M{\ displaystyle M}geuj{\ displaystyle g_ {ij}}geuj′{\ displaystyle g '_ {ij}}
Ou, em notação de matriz:
G′=MTGM {\ displaystyle G '= M ^ {T} GM ~}
Produto duplamente contratado com seu derivado parcial
O produto duplamente contraído do tensor métrico e sua derivada parcial muda de sinal quando os índices de um fator do produto são aumentados e os índices do outro fator são reduzidos:
geujgeuj,k=-geujgeuj,k{\ displaystyle g ^ {ij} g_ {ij, k} = - g_ {ij} g ^ {ij, k}}.
Demonstração
A matriz é o inverso da matriz do tensor métrico :
geuj{\ displaystyle g ^ {ij}} geuj{\ displaystyle g_ {ij}}
geujgjk=δkeu{\ displaystyle g ^ {ij} \, g_ {jk} = \ delta _ {k} ^ {i}}.
Ao tomar , encontramos
k=eu{\ displaystyle k = i}
geujgjeu=δeueu=não{\ displaystyle g ^ {ij} \, g_ {ji} = \ delta _ {i} ^ {i} = n}onde está a dimensão do espaço considerado.
não{\ displaystyle n}Derivando membro a membro de acordo com o índice , obtemos
k{\ displaystyle k}
∂knão=0=∂k(geujgjeu)=(∂kgeuj)gjeu+geuj∂kgjeu{\ displaystyle \ partial _ {k} \, n = 0 = \ partial _ {k} \, (g ^ {ij} \, g_ {ji}) = (\ partial _ {k} \, g ^ {ij }) \, g_ {ji} + g ^ {ij} \, \ parcial _ {k} \, g_ {ji}},
portanto
geuj∂kgjeu=-gjeu∂kgeuj{\ displaystyle g ^ {ij} \, \ partial _ {k} \, g_ {ji} = - \, g_ {ji} \, \ partial _ {k} \, g ^ {ij}}.
Uma vez que o tensor métrico é simétrico, isso é equivalente a
geuj∂kgeuj=-geuj∂kgeuj{\ displaystyle g ^ {ij} \, \ partial _ {k} \, g_ {ij} = - \, g_ {ij} \, \ partial _ {k} \, g ^ {ij}},
qual é o resultado desejado.
-
geuj,k{\ displaystyle g_ {ij, k}}não é um tensor (sem o qual se teria o sinal ) +{\ displaystyle +} .
- Por outro lado, quando se calcula a derivada covariante do tensor métrico, obtém-se um tensor, mas este tensor é nulo .geuj;k{\ displaystyle g_ {ij; k}}
Alguns exemplos
Exemplo 1
Em um espaço euclidiano bidimensional, tomando um sistema de coordenadas cartesianas ortonormal, os componentes do tensor métrico são dados por:
G=(1001){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} 1 e 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}
e o comprimento de um arco de curva é:
eu=∫nob(dx1)2+(dx2)2{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {(\ mathrm {d} x ^ {1}) ^ {2} + (\ mathrm {d} x ^ {2}) ^ { 2}}}}
Exemplo 2
Propomos calcular as componentes do tensor métrico para o sistema de coordenadas esféricas de um espaço euclidiano de dimensão . As seguintes equações nos fornecem as coordenadas de um ponto deste espaço euclidiano em relação a um sistema de coordenadas cartesianas ortonormal expresso em função das coordenadas esféricas deste ponto :
3{\ displaystyle 3 \,}(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
{x=rpecadoθcosϕy=rpecadoθpecadoϕz=rcosθ{\ displaystyle {\ begin {cases} x = r \ sin \ theta \ cos \ phi \\ y = r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ z = r \ cos \ theta \ end {cases}}}
Agora podemos escrever a matriz Jacobiana desta mudança de coordenadas:
J=(∂(rpecadoθcosϕ)∂r∂(rpecadoθcosϕ)∂θ∂(rpecadoθcosϕ)∂ϕ∂(rpecadoθpecadoϕ)∂r∂(rpecadoθpecadoϕ)∂θ∂(rpecadoθpecadoϕ)∂ϕ∂(rcosθ)∂r∂(rcosθ)∂θ∂(rcosθ)∂ϕ)=(pecadoθcosϕrcosθcosϕ-rpecadoθpecadoϕpecadoθpecadoϕrcosθpecadoϕrpecadoθcosϕcosθ-rpecadoθ0){\ displaystyle \ quad J = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial (r \ sin \ theta \ cos \ phi)} {\ partial r}} & {\ frac {\ partial (r \ sin \ theta \ cos \ phi)} {\ parcial \ theta}} & {\ frac {\ parcial (r \ sin \ theta \ cos \ phi)} {\ parcial \ phi}} \\ {\ frac {\ parcial (r \ sen \ theta \ sin \ phi)} {\ parcial r}} & {\ frac {\ parcial (r \ sin \ theta \ sin \ phi)} {\ parcial \ theta}} & {\ frac {\ parcial (r \ sin \ theta \ sin \ phi)} {\ parcial \ phi}} \\ {\ frac {\ parcial (r \ cos \ theta)} {\ parcial r}} & {\ frac {\ parcial (r \ cos \ theta)} {\ partial \ theta}} & {\ frac {\ partial (r \ cos \ theta)} {\ partial \ phi}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & r \ cos \ theta \ cos \ phi & -r \ sin \ theta \ sin \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi & r \ cos \ theta \ sin \ phi & r \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ cos \ theta & -r \ sin \ theta & 0 \ end {pmatriz}}}
Aplicando os resultados de §Cálculo dos dados extrínsecos , as componentes do tensor métrico na base local em relação ao sistema de coordenadas esféricas serão dadas pelo produto da transposta desta matriz Jacobiana pela própria matriz Jacobiana, portanto encontramos :
(geuj)=JTJ=(1000r2000r2pecado2θ){\ displaystyle (\, g_ {ij} \,) = J ^ {\ mathsf {T}} \, J = {\ begin {pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && r ^ {2} && 0 \ \ 0 && 0 && r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ end {pmatriz}}}
Detalhes
(geuj)=JTJ=(pecadoθcosϕpecadoθpecadoϕcosθrcosθcosϕrcosθpecadoϕ-rpecadoθ-rpecadoθpecadoϕrpecadoθcosϕ0)(pecadoθcosϕrcosθcosϕ-rpecadoθpecadoϕpecadoθpecadoϕrcosθpecadoϕrpecadoθcosϕcosθ-rpecadoθ0){\ displaystyle (\, g_ {ij} \,) = J ^ {\ mathsf {T}} \, J = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi && \ sin \ theta \ sin \ phi && \ cos \ theta \\ r \ cos \ theta \ cos \ phi && r \ cos \ theta \ sin \ phi && - r \ sin \ theta \\ - r \ sin \ theta \ sin \ phi && r \ sin \ theta \ cos \ phi && 0 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi && r \ cos \ theta \ cos \ phi && - r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi && r \ cos \ theta \ sin \ phi && r \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ cos \ theta && - r \ sin \ theta && 0 \ end {pmatriz}}}
g11=pecado2θcos2ϕ+pecado2θpecado2ϕ+cos2θ=pecado2θ(cos2ϕ+pecado2ϕ)+cos2θ=pecado2θ+cos2θ=1g21=rcosθpecadoθcos2ϕ+rcosθpecadoθpecado2ϕ-rcosθpecadoθ=rcosθpecadoθ(cos2ϕ+pecado2ϕ)-rcosθseunãoθ=rcosθpecadoθ-rcosθpecadoθ=0g31=-rpecado2θpecadoϕcosϕ+rcosϕpecado2θpecadoϕ+0=0g12=rpecadoθcosθcos2ϕ+rpecadoθcosθpecado2ϕ-rpecadoθcosθ=rpecadoθcosθ(cos2ϕ+pecado2ϕ)-rpecadoθcosθ=rpecadoθcosθ-rpecadoθcosθ=0g22=r2cos2θcos2ϕ+r2cos2θpecado2ϕ+r2pecado2θ=r2cos2θ(cos2ϕ+pecado2ϕ)+r2pecado2θ=r2cos2θ+r2pecado2θ=r2g32=-r2pecadoθpecadoϕcosθcosϕ+r2pecadoθpecadoϕcosθcosϕ+0=0g13=-rpecado2θcosϕpecadoϕ+rpecado2θpecadoϕcosϕ+0=0g23=-r2pecadoθpecadoϕcosθcosϕ+r2pecadoθpecadoϕcosθcosϕ+0=0g33=r2pecado2θpecado2ϕ+r2pecado2θcos2ϕ+0=r2pecado2θ(pecado2ϕ+cos2ϕ)=r2pecado2θ{\ displaystyle {\ begin {alinhados} g_ {11} & = \ sin ^ {2} \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi + \ cos ^ {2} \ theta \\ & = \ sin ^ {2} \ theta \, (\ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) + \ cos ^ {2 } \ theta \\ & = \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta \\ & = 1 \\ g_ {21} & = r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi + r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi -r \ cos \ theta \, \ sin \ theta \\ & = r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, (\ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) -r \, \ cos \ theta \, sin \ theta \\ & = r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta -r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \\ & = 0 \\ g_ {31} & = - r \, \ sin ^ {2 } \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ phi + r \, \ cos \ phi \, \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ { 12} & = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi + r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi -r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \\ & = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \, (\ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) -r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \\ & = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta -r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \\ & = 0 \\ g_ {22} & = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi + r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \\ & = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta \, (\ cos ^ {2 } \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \\ & = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \\ & = r ^ {2} \\ g_ {32} & = - r ^ {2} \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi \ , \ cos \ theta \, \ cos \ phi + r ^ {2} \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ theta \, \ cos \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ {13} & = - r \, \ sin ^ {2} \ theta \, \ cos \ phi \, \ sin \ phi + r \, \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ {23} & = - r ^ {2} \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ theta \, \ cos \ phi + r ^ {2} \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ theta \, \ cos \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ {33} & = r ^ {2} \ , \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi +0 \\ & = r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \, (\ sin ^ {2} \ phi + \ cos ^ {2} \ phi) \\ & = r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \\\ end {alinhado}}}
Exemplos de métricas
Plano euclidiano, coordenadas polares :(x1,x2)=(r,θ){\ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}) = (r, \ theta)}
G=(100r2){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r ^ {2} \ end {pmatrix}}}ds2=dr2+r2dθ2 {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta ^ {2} ~}
Espaço euclidiano, coordenadas cilíndricas :(x1,x2,x3)=(r,θ,z){\ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (r, \ theta, z)}
G=(1000r20001){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}ds2=dr2+r2dθ2+dz2 {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ { 2} ~}
Espaço euclidiano, coordenadas esféricas :(x1,x2,x3)=(r,θ,ϕ){\ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (r, \ theta, \ phi)}
G=(1000r2000r2pecado2θ){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && r ^ {2} && 0 \\ 0 && 0 && r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ end {pmatrix }}}
ds2=dr2+r2dθ2+r2pecado2θdϕ2 {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ mathrm {d} \ phi ^ {2} ~}
Espaço de Minkowski , espaço-tempo plano ( relatividade especial ):(x0,x1,x2,x3)=(vst,x,y,z){\ displaystyle (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, x, y, z)}
G=(-1000010000100001){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix }}}ds2=-vs2dt2+dx2+dy2+dz2 {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ { 2} + \ mathrm {d} z ^ {2} ~}
Métrica de Schwarzschild (solução particular da relatividade geral ; o espaço é aqui curvo):(x0,x1,x2,x3)=(vst,r,θ,ϕ){\ displaystyle (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, r, \ theta, \ phi)}
G=(-(1-2Gmrvs2)0000(1-2Gmrvs2)-10000r20000r2pecado2θ){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} - (1 - {\ frac {2Gm} {rc ^ {2}}}) && 0 && 0 && 0 \\ 0 && (1 - {\ frac {2Gm} { rc ^ {2}}}) ^ {- 1} && 0 && 0 \\ 0 && 0 && r ^ {2} && 0 \\ 0 && 0 && 0 && r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}}}ds2=-(1-2Gmrvs2)vs2dt2+(1-2Gmrvs2)-1dr2+r2dθ2+r2pecado2θdϕ2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {2Gm} {rc ^ {2}}} \ right) c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ { 2} + \ left (1 - {\ frac {2Gm} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d } \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ mathrm {d} \ phi ^ {2}}
Notas e referências
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rigor, em uma variedade diferencial, deve-se falar de um campo tensorial métrico , mas, por abuso de linguagem, muitas vezes fala-se de um tensor métrico ou simplesmente de uma métrica .
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[PDF] Curso de relatividade geral, p. 10-15 , Bernard LINET, Laboratório de Matemática e Física Teórica, François Rabelais University, Tours .
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Tirando a assinatura (-, +, +, +) . Alguns autores preferem a assinatura (+, -, -, -) .
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Aqui para a assinatura (-, +, +, +) . Para a assinatura (+, -, -, -) , as definições orientadas ao espaço e orientadas ao tempo devem ser trocadas, assim como as definições de tipo de espaço e tipo de tempo .
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Dicionário Online de Cristalografia (in) .
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(in) Mathemathics for Physic and Physicists, p. 455-459 , Walter CALL
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Em coordenadas retilíneas ( ver §Coordenadas retilíneas e §Caso das coordenadas curvilíneas ), o espaço tangente em um ponto da variedade diferencial que é um espaço euclidiano “se identifica” com este próprio espaço euclidiano.
Veja também
Bibliografia
- Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Introdução ao cálculo tensorial, Aplicações à física , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 )
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