Teorema de Bertrand

O teorema de Bertrand é um resultado da mecânica , em homenagem ao matemático Joseph Bertrand (1822-1900) que demonstrou em 1873. Ele estabelece que em um movimento a força central , apenas a força da lei Hooke (em $- k OM$ , que produz uma elipse onde o pericentro P e o apocentro A formam um ângulo (POA) igual a 90 °) e o de Newton (en $- k / r 2 u r$ , que produz uma elipse onde o ângulo (POA) é 180 °) produzem uma trajetória fechada (se o a trajetória é limitada de antemão), quaisquer que sejam as condições iniciais .

Demonstração de arnaldo

Lema 1 : mostra-se que o ângulo AOP a uma lei de força $1 / r n$ , é, quando a energia $E 0$ tende a zero em valores negativos, e assim o apocentro é altamente excêntrico ,; ( $n$ $<3$ , para não haver colapso da barreira centrífuga ). ${\ displaystyle {\ widehat {AOP}} = {\ pi \ over {3-n}}}$
Lema 2 : mostramos que $U ( r )$ deve ser uma lei de potência, olhando para o caso quase circular (ver movimento com força central ): (o caso logarítmico $n$ $= 1$ é excluído por exame direto). ${\ displaystyle {\ widehat {AOP}} = {\ pi \ over {\ sqrt {3-n}}}}$
Conclusão : precisamos de $3 - n = 1$ ; este é o caso das órbitas de Kepler .
Lema 3 : o caso da força em $r p$ é resolvido pela dualidade da transmutação da força : $(3 + p ) (3 - n ) = 4$ ; conseqüentemente, a $n = 2$ corresponde a $p = 1$ : este é o caso da elipse de Hooke

O primeiro a perceber que o caso linear de Hooke (muito simples) deu a solução para o problema de Kepler é Isaac Newton. Édouard Goursat , Tullio Levi-Civita e então Karl Bohlin redescobriram este teorema através da transformação conforme $z \to z 2$ , que transforma a trajetória de Hooke na de Kepler, e ao mudar a escala de tempo o movimento de Hooke em um movimento de Kepler, mas obviamente a força é alterada de $-kr$ a $- k ' / r 2$ : isso é chamado de regularização do 'choque' em quase zero momento angular .

Generalização do problema de Bertrand

Se não assumirmos o campo central, obviamente existem mais possibilidades. Conhecemos alguns deles. Para dois graus de liberdade, isso acontece quando o sistema tem uma equação de Hamilton-Jacobi separável em dois sistemas de coordenadas. Esses casos referem-se à supersimetria relatada nos poços de potencial do artigo .

O movimento livre na esfera S 3 dá por projeção estereográfica o hamiltoniano cujas trajetórias estão obviamente fechadas. ${\ displaystyle H = {p ^ {2} \ over (1 + q ^ {2}) ^ {2}}}$
O movimento livre na pêra de Jules Tannery , equação cartesiana $16 a 2 ( x 2 + y 2 ) = z 2 (2 a 2 - z 2 )$ é periódico (1892)
Se exigirmos que as trajetórias sejam cônicas , Darboux (1877) e Halphen (1877) encontraram duas forças centrais (não conservativas porque dependendo do ângulo polar) em $r / d 3$ onde $d$ representa a distância a uma linha reta do plano ( generaliza Newton, por meio de um polar) e em $r / D 3$ , com $D 2 = ax 2 + 2 bxy + cy 2$ .
Se abandonarmos a ideia de força central, as trajetórias podem ser cônicas via forças paralelas de dois tipos.
Finalmente, na esfera S 2 , Besse (1978) apresenta as deformações da métrica levando a curvas fechadas sem simetria de revolução.

Notas e referências

da Academia de Ciências, vol. 77, pág. 849
A demonstração de Herbert Goldstein , Mecânica Clássica , 2 nd ed., 1980 é mais simples com um sistema de álgebra computacional como Maple ou Mathematica .

Veja também

links externos

Artigo original de Joseph Bertrand (1873) [1] e tradução para o inglês [2] .
Herbert Goldstein, Mecânica Clássica , 1964, PUF .
Perelomov, ' ' Integrable system s (1990), ed. Birkhaüser, ( ISBN 3-76432-336-1 )
Eddie Saudrais, demonstração baseada na de H. Goldstein, Mecânica Clássica, segunda edição, 1980. [3]
Outra demonstração: Problema inverso e teorema de Bertrand . [4]
Outra prova: uma prova não perturbativa do teorema de Bertrand . [5]