Teorema fundamental das funções simétricas

Em matemática , e mais particularmente na álgebra comutativa , o teorema fundamental das funções simétricas , muitas vezes chamado de "  teorema fundamental de polinômios simétricos  " ou "  teorema de Newton  ", afirma que qualquer polinômio simétrico em n indeterminado com coeficientes em um anel ( comutativo ) A é expresso de uma maneira única por uma função polinomial dos n polinômios simétricos elementares . Em outras palavras, os n polinómios simétricos elementares formar uma parte de geração da álgebra de polinómios simétricos em n indeterminadas sobre um e são algebricamente independente sobre um .

Definições e observações preliminares

O teorema fundamental das funções simétricas

Teorema: Seja A um anel comutativo. Se P é um polinômio simétrico em n indeterminado com coeficientes em A , então existe um único polinômio T , com coeficientes em A , tal que

P ( X 1 , ..., X n ) = T ( s n , 1 , ..., s n, n ),

os s n, i sendo os polinômios simétricos elementares nos indeterminados X 1 ,…, X n .

O seguinte corolário justifica o nome usual do teorema:

Se f é uma fração racional simétrica em n indeterminado sobre um corpo K , então existe uma fração racional única Φ sobre K tal que

f ( X 1 ,…, X n ) = Φ ( s n , 1 ,…, s n, n ).

Na verdade, qualquer fração racional simétrica é um quociente de dois polinômios simétricos .

Observação A singularidade da representação é equivalente ao fato de que não existe um polinômio diferente de zero T satisfazendo T ( s n , 1 , ..., s n, n ) = 0. Se o anel A é um campo, isso significa, na linguagem da teoria do corpo, que polinômios simétricos elementares são algebricamente independentes. Eles, portanto, formar uma base transcendência fracções racionais simétricos em n indeterminadas mais de K .

Provas do teorema

Existem muitas provas do teorema das funções simétricas. Os mais curtos usam a ordem lexicográfica em monômios unitários , então um truque para diminuir o "grau lexicográfico" de um polinômio simétrico, que fornece o passo necessário para uma demonstração por indução nesta boa ordem . A ideia para este algoritmo remonta a Edward Waring em 1700 . A demonstração foi formalizada por Gauss em 1815 e "é a mesma que se encontra nos livros didáticos modernos" .

Prova de indução usando ordem lexicográfica

O conjunto de multi-graus ( α 1 , ..., α n ) de monômios unitários X 1 α 1 ... X n α n é igual a N n , que pode ser ordenado por ordem lexicográfica: por definição,

X 1 α 1 … X n α n > X 1 β 1 … X n β n

se, tendo chegado ao primeiro i tal que α i ≠ β i , temos α i > β i .

Existência Seja P um polinômio simétrico não nulo e X 1 α 1 … X n α n sua unidade monomial máxima. Suponha-se que cada unidade de máxima polinomial indutivamente simétrico diferente de zero monomial estritamente menor do que P é expressável por função polinomial dos polinómios simétricos elementares, e mostram que é o mesmo para P . Como P é simétrico, ele contém, atribuído ao mesmo coeficiente diferente de zero a ∈ A , todos os monômios obtidos pela permutação dos expoentes no monômio X 1 α 1 … X n α n . Pela maximalidade do último, temos então α 1 ≥ α 2 ≥… ≥ α n . Seja t i = α i - α i +1 para 1 ≤ i <n e t n = α n . Os t i são, portanto, todos positivos ou zero. Considere o polinômio simétrico Q = como n , 1 t 1  s n , 2 t 2  …  s n, n t n .Sua unidade monomial máxima é a mesma de P  : X 1 t 1  ( X 1 X 2 ) t 2  ( X 1 X 2 X 3 ) t 3  … ( X 1 … X n ) t n = X 1 α 1  X 2 α 2  …  X n α n assim a simétrica polinómio P - Q é zero ou tem uma unidade de máxima monomial estritamente inferior ao P . Por hipótese de indução, portanto existe um polinômio W tal que P - Q = W ( s n , 1 , ..., s n, n ) . Como resultado, P = P - Q + Q = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), onde     T ( S 1 ,…, S n ) = W ( S 1 ,…, S n ) + a S 1 t 1 S 2 t 2 … S n t n . Singularidade Seja T ( S 1 ,…, S n ) um polinômio diferente de zero. Considere em T o monômio a S 1 t 1 S 2 t 2 … S n t n para o qual a unidade monômio X 1 t 1 + t 2 +… + t n X 2 t 2 +… + t n … X n t n é máximo para a ordem lexicográfica acima. Então, esta unidade monomial é a maior que aparece (afetada pelo coeficiente a ≠ 0) no polinômio P = T ( s n , 1 , ..., s n, n ), então este polinômio P é diferente de zero. Nota Esta prova mostra ainda que o grau total de T é no máximo igual ao máximo dos graus de P em cada variável.

A demonstração a seguir, pouco mais longa, pode parecer mais natural e fornece instrumentos teóricos que preludiam a teoria de Galois .

Com as notações especificadas na seção “Definição e observações preliminares” , baseia-se em três lemas  :

Lema 1  -  Se A ' é um anel contendo A como um subanel e ( a 1 , ..., a n ) um n -tuplo de elementos de A' , então o mapa de avaliação,

φ  : B → A ' ,   P ( X 1 , ..., X n ) ↦ P ( a 1 , ..., a n ),

é um morfismo de anéis e mesmo de álgebras A , denominado "morfismo de substituição".

Este é um caso especial da propriedade universal de anéis de polinômios .

Lema 2  -  Seja σ uma permutação de S n . Enquanto a aplicação () σ  : B → B ,   P ↦ P σ  é um automorphism de B .

Visto que A é um subanel de B , é uma aplicação simples do Lema 1, com ( a 1 ,…, a n ) = ( X σ (1) ,…, X σ ( n ) ) . O mapa inverso de () σ é obviamente () σ −1 .

Lema 3  -  Se i é diferente de j 1 , j 2 , ..., j k e se X i divide o produto de um polinômio P de B pelo monômio x j 1 ... X j k , então X i divide P .

É novamente uma aplicação simples do Lema 1, com ( a 1 ,…, a n ) = ( X 1 ,…, X i –1 , 0, X i +1 ,…, X n ).

Prova por indução sobre o número de indeterminados e sobre o grau total

Para jogar a recorrência, precisamos refinar o enunciado do teorema, especificando que nele, o polinômio T ( S 1 , ..., S n ) tal que P ( X 1 , ..., X n ) = T ( s n , 1 , ..., s n, n ) é de "peso" menor ou igual ao grau total de P , o "peso" de um polinômio sendo definido a partir daquele dos monômios da mesma forma que o grau total, mas por ponderação pelos índices dos indeterminados: o peso do monômio S 1 t 1 … S n t n é por definição t 1 + 2 t 2 +… + nt n .

O teorema (em sua versão especificada) é óbvio no caso de polinômios em 0 indeterminado e no caso de polinômios em n indeterminado de grau total menor ou igual a 0 (em ambos os casos, eles são os polinômios constantes). Vamos, portanto, supor que o teorema seja verificado indutivamente para qualquer polinômio em n - 1 indeterminado e para qualquer polinômio em n indeterminado de grau total estritamente menor que m ( n , m ∈ N *), e considerar em B um polinômio simétrico P , de igual grau total para m .

Seja A ' = A [ X 1 ,…, X n –1 ] e φ  : B → A' o morfismo de substituição (cf. Lema 1) que fixa X 1 ,…, X n –1 e envia X n para 0

Uma vez que φ ( P ) é simétrico e de grau total menor ou igual am , existe (por hipótese de indução) um polinômio V ( S 1 , ..., S n -1 ) de peso menor ou igual am tal que ( em A ' )

φ ( P ) = V ( s n –1,1 ,…, s n –1, n –1 ).

Vamos colocar (em B )

P ' = V ( s n , 1 , ..., s n , n –1 ).

Então, φ ( P ' ) = φ ( P ) - uma vez que o morfismo φ envia s n, i sobre s n –1, i para todo i < n - e o grau total de P'  é menor ou igual ao peso de V, portanto, para m .

O polinômio P ' é simétrico e satisfaz φ ( P - P' ) = 0, ou seja , que o polinômio P - P '  é simétrico e múltiplo de X n , portanto múltiplo de X i para todo i , e conseqüentemente múltiplo de X 1 … X n = s n, n ( Lema 3 ). Podemos, portanto, escrever

P - P '= Q s n, n ,

onde Q é um elemento de B , simétrico e de grau total menor ou igual am - n < m . A hipótese de indução então implica que existe um único polinômio W tal que Q = W ( s n , 1 , ..., s n, n ) , e que este polinômio W tem peso menor ou igual am - n . Então,

P = P '+ Q s n, n = T ( s n , 1 , ..., s n, n ), onde     T = V + WX n , de peso menor ou igual a m ,

que mostra a existência da representação desejada.

Se T '  é outro polinômio tal que T' ( s n , 1 , ..., s n, n ) = P , então ( T '- V ) / X n = W , uma vez que a representação por W de Q = ( P - P ' ) / s n, n é único (hipótese de indução). Assim, T '= V + WX n = T , e a unicidade da representação é garantida.

Também podemos usar a teoria de Galois para demonstrar diretamente a parte “existência” do corolário do teorema, ou seja, para mostrar que qualquer fração racional simétrica sobre um campo K é uma função racional dos polinômios simétricos elementares.

Prova da "existência" parte do corolário pela teoria de Galois

Considere a sequência de extensões C ⊂ M ⊂ L , onde L = K ( X 1 , ..., X n ), M = L S n (o subcampo das frações racionais simétricas) e C = K ( s n , 1 , ..., S n, n ). Trata-se de mostrar que a inclusão de C em M é de fato uma igualdade.

A extensão L / C é finita e Galois porque L é um campo de decomposição do polinômio separável P ( X ) = ( X - X 1 ) ... ( X - X n ) , cujos coeficientes (–1) i s n, i pertencem para C .

O subgrupo Gal ( L / M ) é igual a todo o grupo Gal ( L / C ), porque qualquer C -automorfismo de L fixa os coeficientes de P , então permuta suas raízes X 1 , ..., X n , então é igual a a () σ (Lema 2 estendido às frações), que fixa todos os elementos de M por definição.

De acordo com o teorema fundamental da teoria de Galois , por isso, tem-se: M ⊂ L Gal ( L / M ) = G Gal ( L / C ) = C .

É então deduzida a parte "existência" do teorema (todo o polinômio simétrico de A é uma função polinomial dos polinômios simétricos elementares) para A = Z , em seguida, pelo genérico para qualquer anel comutativo A .

A parte "existência" do teorema é deduzida daquela do corolário

Temos que provar que o anel A [ X 1 ,…, X n ] S n , que é inteiro sobre o sub-anel A [ s n , 1 ,…, s n, n ], é de fato igual.

Procedimentos de cálculo

Antes de aplicar qualquer procedimento de cálculo, então possivelmente em cada etapa, às vezes é preferível, a fim de simplificar os cálculos, separar o polinômio simétrico P em uma soma de polinômios igual às órbitas dos monômios a X 1 α 1 ... X n α n aparecendo em P sob a ação de S n . A expressão de P em termos dos polinômios simétricos elementares será então a soma das expressões dos respectivos polinômios orbitais.

Existem, então, diferentes métodos para o cálculo efetivo da expressão do polinômio T que aparece no teorema fundamental acima. Podemos, por exemplo, basear um procedimento recursivo para calcular T em uma das duas provas anteriores:

Exemplo

Propomos ilustrar os dois procedimentos anteriores determinando a representação em termos dos polinômios simétricos elementares da terceira soma de Newton em três variáveis, consistindo em uma única órbita:

P = p 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = X 1 3 + X 2 3 + X 3 3 .

Uso e aplicações do teorema fundamental das funções simétricas

O objetivo desta seção é ilustrar, por meio de um certo número de aplicações e exemplos, o uso do teorema fundamental das funções simétricas. Acontece que ele é usado principalmente por meio de um corolário, que geralmente é invocado pelo mesmo nome. Este corolário só diz que uma expressão algébrica polinomial com coeficientes em um anel conmutativo integra um , envolvendo as raízes de um certo número de unidades de polinómios com coeficientes em Um , e simétrica em cada grupo de raízes, na verdade pertence a um . Aplica-se em particular se A for um campo K (neste caso, todos os elementos algébricos em K são inteiros em K ).

Recorda-se que para cada anel conmutativo A , um elemento de uma álgebra é número inteiro Um caso é uma raiz de um polinómio unidade com coeficientes em um . Tal elemento α é a raiz de uma infinidade de polinômios unitários; portanto, assumiremos tal polinômio P α fixado para cada elemento inteiro α .

Observe que se A é integrado , os coeficientes do polinômio P α são (no sinal) funções simétricas elementares das raízes de P α em um fechamento algébrico das frações A do corpo Fr ( A ) . Na verdade, sendo P α unitário, temos

P α = ( X - α ) ( X - α ' ) ( X - α " )…

onde α , α ' , α " são todas as raízes de P α , e esta expressão é a imagem de ( X - X 1 ) ( X - X 2 ) ( X - X 3 ) ... pelo morfismo de substituição (lema 2 de a seção anterior) que envia X 1 , X 2 ,… em α , α ' ,….

Corolário  -  Seja A um anel comutativo, B uma A- álgebra comutativa, e α i ( j ) (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n i ) elementos de B (não necessariamente distintos) de modo que para todo i , o polinómio P i  = ( x - a- i (1) ) ... ( x - a- i ( n i ) ) coeficientes em qualquer um .

Se P é um polinômio de n 1 n 2 ... n m variáveis

X 1 , X ' 1 , ..., X 1 ( n 1 ) , X 2 , X' 2 , ..., X 2 ( n 2 ) , ..., X m , X ' m , ..., X m ( n m )com coeficientes em A , e se P é internamente simétrico em cada um dos grupos de variáveis X i , X ' i , ..., X i ( n i ) , então o elemento E = P ( α 1 , α ' 1 , ..., α 2 , α' 2 , ..., α m , α ' m , ...)

pertence a um .

Demonstração

Raciocinamos por indução no número m de grupos de variáveis. Se m = 0, a afirmação é trivial . Suponha m > 0 e a afirmação verdadeira para m - 1 variáveis ​​e considere o polinômio

Q ( X , X ' ,…, X (n m ) ): = P ( α 1 ,…, α 1 ( n 1 ) ,…, α m –1 ,…, α m –1 ( n m –1 ) , X , X ' , ..., X (n m ) ).

É simétrico (por hipótese de indução) com coeficientes nos Uma . De acordo com o teorema das funções simétricas, é portanto igual a uma expressão polinomial T ( s 1 , s 2 , ...) com coeficientes em A de polinômios simétricos elementares s i ( X, X ', ... ) . Como os s i ( α m (1) , α m (2) , ...) pertencem a A (porque são, exceto pelo sinal, os coeficientes do polinômio P m ), deduzimos que E = Q ( α m , α m ', ... ) pertence a um .

Observação O próprio anel A pode ser um anel de polinômios em um certo número de variáveis ​​“estáticas” Y k , em oposição às “variáveis ​​ativas” X i ( j ) .

Aplicações históricas do teorema fundamental das funções simétricas

Até o advento da teoria de Galois, o teorema das funções simétricas era a única ferramenta que permitia penetrar na estrutura das equações algébricas. Foi usado pela maioria dos grandes algebristas, como Newton , Lagrange , Abel , Kummer ou Galois e, mesmo mais tarde, não foi até Hilbert que não o usou. O corolário citado na seção anterior, de fato, autoriza uma atitude ativa em relação aos problemas; em vez de esperar que a solução se imponha, podemos a priori formar expressões simétricas e deduzir delas as propriedades desejadas.

Todo o trabalho algébrico de Abel está repleto dessas expressões "simetrizadas", e é também por isso que Galois estabeleceu sua teoria, por meio do teorema do elemento primitivo. Hoje em dia, a teoria independentemente estabelecida de Galois suplantou amplamente o uso do teorema das funções simétricas. No entanto, tem algumas vantagens sobre a teoria de Galois que ainda o tornam um instrumento útil: em primeiro lugar, é insensível à natureza do anel de coeficientes, que pode nem mesmo ser integral. A teoria de Galois só se aplica (classicamente) aos corpos. Mas mesmo em corpos, a teoria de Galois só se aplica a extensões separáveis (é verdade que a mecânica de Galois foi estendida além das extensões do corpo de Galois . No entanto, em muitas circunstâncias, usar essas teorias voltaria a esmagar uma mosca com uma grande pedra de pavimentação). É nesses casos que o teorema das funções simétricas assume o controle.

Portanto, encontramos este teorema aqui e ali na álgebra comutativa moderna. Citemos por exemplo a prova dos teoremas de “  subir  ” e “  descer  ” de Cohen  (en) - Seidenberg  (en) .

Exemplos

Alguns dos exemplos a seguir repetem a demonstração de resultados bem conhecidos. Esses tipos de provas foram geralmente abandonados em favor de outras mais teóricas (é uma tendência constante na matemática moderna buscar conceitos intrínsecos, em vez de usar argumentos inteligentes, mas artificiais). No entanto, essas provas “antiquadas” têm um certo charme e ilustram a vantagem que pode ser extraída do teorema fundamental das funções simétricas.

Exemplo 1

Deixe B um A álgebra conmutativo e α , β 1 , ..., β n ∈ B .

Se α é uma raiz de um polinómio mônico com coeficientes em Um [ β 1 , ..., β n ] e se β 1 , ..., β n são integral sobre uma , em seguida, α é integral sobre uma .

Assim, denotando C o fechamento integral de A em B , isto é , o conjunto de elementos de B inteiros sobre A  :

Prova: Podemos facilmente reduzir por indução ao caso n = 1 (podemos até assumir que cada β k é inteiro apenas em A [ β 1 , ..., β k –1 ]).

Portanto, seja P ∈ A [ X , Y ] unitário em relação a X , tal que P ( α , β ) = 0, e Q ∈ A [ Y ], unidade, tal que Q ( β ) = 0.

Escreva Q na forma Q ( a 1 , ..., a m , Y ) onde a 1 , ..., a m ∈ A e Q é o polinômio unitário de grau m em Y universal:

Q = Y m - S 1 Y m –1 +… + (–1) m S m ∈ Z [ S 1 ,…, S m , Y ].

O morfismo de substituição, de Z [ S 1 , ..., S m ] em Z [ X 1 , ..., X m ], que envia ( S 1 , ..., S m ) em ( s m , 1 , ..., s m, m ), sendo injetivos, podemos assimilá-lo a uma inclusão e considerar o S k igual aos polinômios simétricos elementares em X k . Por meio dessa identificação, temos:

Q = ( Y - X 1 )… ( Y - X m ).

Denote por R ∈ A [ X , S 1 , ..., S m ] o produto de P ( X , X k ), então R ∈ A [ X ] o polinômio R ( X , a 1 , ..., a m ), unitário por construção.

O produto de P ( X , X k ) - P tem a forma Q U e a forma R + P V , com U , V ∈ A [ X , Y , S 1 ,…, S m ]. Por substituição, deduzimos:

R ( α ) = Q ( β ) U ( α , β , a 1 , ..., a m ) - P ( α , β ) V ( α , β , a 1 , ..., a m ) = 0,

provando que α é integral sobre uma .

Exemplo 2

Qualquer campo de decomposição é um ramal normal , isto é, se K for um campo e L é um campo de decomposição de um polinómio com coeficientes K , em seguida, para todos α ∈ G , o polinomial mínima sobre K de α é dividido em L .

Prova: Por hipótese, L = K ( β 1 ,…, β n ), onde os β i são as raízes de um polinômio Q ∈ K [ X ].

Se α ∈ L , então existe uma fração racional f tal que α = f ( β 1 , β 2 ,…). Seja Π ∈ L [ X ] o produto de todos os monômios X - f ( β σ (1) , β σ (2) ,…) , o produto estendendo-se ao conjunto de permutações σ de S n .

O polinômio Π é simétrica na β i , então seus coeficientes, na verdade, pertencem a K . Como Π ( α ) = 0, o polinômio mínimo P de α sobre K divide Π . Mas Π é dividido em L por construção, então P também.

Exemplo 3

Usando o teorema das funções simétricas na construção de van der Waerden de um elemento primitivo, podemos facilmente provar que qualquer extensão L de um campo K gerado por uma família finita de elementos separáveis ​​sobre K admite um elemento primitivo separável. Por este meio, pode-se facilmente obter que tal extensão L / K é separável (ver "  Construção de van der Waerden  ", demonstração e observação).

Exemplo 4

Qual é o polinômio mínimo de √ 2 + 3 5 √ 7  ? De forma mais geral, podemos propor o problema de determinar o polinômio mínimo de qualquer função racional de elementos algébricos α 1 , ..., α n sobre um campo K , do qual conhecemos os polinômios mínimos P α i (ou mesmo apenas o cancelamento de polinômios )

Quando os graus das equações em jogo são pequenos o suficiente para permitir cálculos de tamanhos razoáveis, podemos considerar o seguinte algoritmo, caso contrário, muito complicado. Rapidamente se torna impraticável, mesmo para graus relativamente baixos, mas tem o mérito de existir.

Seja α = f ( α 1 ,…, α n ) o elemento cujo polinômio mínimo estamos procurando. Formamos o polinômio Π ( X ) , multiplicando formalmente de todas as maneiras possíveis os monômios X - f ( α ' 1 , ..., α' n ) , onde α ' i denota qualquer conjugado de α i .

Uma vez que a expressão formal obtida é simétrica em cada um dos grupos de conjugados, é uma função das funções simétricas elementares desses conjugados e pode ser efetivamente determinada por um algoritmo de decomposição em termos das funções simétricas elementares.

Ao substituir as funções simétricas dos conjugados de α i pelo coeficiente correspondente do polinômio mínimo de α i (atribuído ao sinal adequado), obtemos um polinômio de K [ X ] que necessariamente desaparece em α , e que denotamos novamente Π .

É então uma questão de reduzir Π a fatores irredutíveis em K , o que requer um algoritmo de fatoração .

Finalmente, é necessário determinar qual dos fatores irredutíveis é o polinômio mínimo de α  ; no caso em que K é um campo de números , isso pode ser feito usando aproximações numéricas das raízes de Π .

Notas e referências

  1. Por exemplo, consulte as referências (em) Ben Smith e Samuel Blum Coskey, "  The Fundamental Theorem there Symmetric Polynomials: History's First Whiff of Galois Theory  " , The College Mathematics Journal  (em) , vol.  48, n o  1,2017, p.  18-29 ( arXiv  1301.7116 ).
  2. (La) E. Waring, Meditationes algebricae ,1732( 1 st  ed. 1700) ( linha ler ) (problema 3, § 3).
  3. (em) Bartel L. van der Waerden , A History of Algebra , Springer ,2013( 1 st  ed. 1985) ( li on-line ) , p.  77.
  4. (em) Joseph Rotman  (em) , Galois Theory , Springer,1998, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1990) ( linha de leitura ) , p.  140.
  5. (en) Jean-Pierre Tignol , Teoria das Equações Algébricas de Galois , World Scientific ,2015, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 2001) ( li on-line ) , p.  96.
  6. (la) CF Gauss, “  Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam…  ” , Comentário. Soc. Reg. Sc. Göttingen , vol.  3,1816( leia online ) (apresentado em 7 de dezembro de 1815) Werke , vol. 3, pág.  33-56  : ver pág.  36-38 .
  7. Por exemplo (de) Heinrich Weber , Lehrbuch der Algebra , vol.  1,1898, 2 nd ou 3 rd  ed. ( leia online ) , p.  163-167(mencionado por van der Waerden 2013 ), (en) Charles Robert Hadlock , Field Theory and Its Classical Problems , MAA ,2000( leia online ) , p.  42-43(mencionado por Rotman 1998 ) ou Tignol 2015 , p.  96-98.
  8. Esta demonstração foi retirada de (en) Serge Lang , Algebra [ detalhe das edições ], 1965, pág.  133-134 .
  9. Quando omitimos, como Lang , o luxo dos detalhes (os três lemas).
  10. (de) David Hilbert , Die Theorie der algebraischen Zahlkörper , Berlin, Druck und Verlag von Georg Reimer,1897, p.  178 (§2, th. 2).
  11. O artigo "  Teorema do elemento primitivo  " explica em detalhes a prova de Galois deste teorema.
  12. Assim, se mais um é factoriais (ou mesmo apenas se integra com GCD ) e se α pertence ao domínio das suas fracções, em seguida, α ∈ Uma .
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