Topos (matemática)

Em matemática , um topos (plural topos ou topoi ) é um tipo especial de categoria . A teoria Topoi é versátil e é usada em campos tão variados quanto lógica , topologia ou geometria algébrica .

Introdução

Começaremos definindo a noção de topos. Alguns exemplos básicos de topos serão apresentados a fim de esclarecer os conceitos necessários.

Definição

Um topos pode ser definido como uma categoria fornecida:

de limites finitos e colimitos ;
de exponencial ;
de um classificador de subobjeto (en) .

Outras definições equivalentes serão fornecidas abaixo.

Exemplos básicos

A categoria de gráficos e morfismos de gráfico
O topos dos conjuntos : a categoria dos conjuntos e funções totais

Classificador de subobjeto

Na teoria das categorias, um subobjeto de um objeto pode ser definido como monomorfismos de classe de isomorfismo em comparação com a fatoração de relacionamento . $S$ $X$ $S \ hookrightarrow X$ $\ forall u, v: S \ hookrightarrow Xu \ leq v \ Leftrightarrow \ existe wu = vw$

Todo topos é dotado de um classificador de subobjetos, ou seja, um objeto tal que qualquer subobjeto de qualquer objeto corresponde a um único morfismo e o diagrama a seguir tem a propriedade de produto de fibra (sendo 1 o objeto terminal , que deve existir de acordo com a definição). $VS$ $\ Omega \ in Ob (C)$ $X$ $\ chi: X \ rightarrow \ Omega$

$S \ hookrightarrow X$
$X {\ stackrel {\ chi} {\ rightarrow}} \ Omega$
$S {\ stackrel {!} {\ Rightarrow}} 1$
$1 {\ stackrel {true} {\ rightarrow}} \ Omega$

A categoria de conjuntos e funções possui o classificador de subobjetos , daí a nomenclatura: qualquer propriedade dos objetos em um conjunto define um subobjeto e ao mesmo tempo uma função . Como todos os conjuntos de dois elementos são isomórficos a , o morfismo tem a função de indicar qual dos elementos de desempenha o papel de "verdadeiro" ou "elemento de S ". $\ Omega = \ {0,1 \}$ $\ chi:$ $\ {0.1 \}$ $verdadeiro$ $\Ómega$

Na verdade, a teoria do topos pode servir de base para a interpretação de várias lógicas .

Desde o surgimento na matemática das pré - vigas na década de 1940, o estudo de um espaço frequentemente envolve o das pré-vigas nesse espaço. A ideia foi formulada por Alexandre Grothendieck ao introduzir a noção de topos. A principal vantagem dessa noção está na abundância de situações na matemática onde temos uma intuição topológica inegável, mas onde falta qualquer espaço topológico digno desse nome. O maior sucesso dessa ideia programática até agora foi a introdução do étale topos de um diagrama .

Formulações equivalentes

Deixe ser uma categoria. Um teorema de Jean Giraud estabelece que as seguintes formulações são equivalentes: $\ mathcal C$

há uma pequena categoria e uma inclusão ↪ Presh ( ) que admite um adjunto à esquerda preservando o limite finito; $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$
$\ mathcal C$ é a categoria de vigas em um site em Grothendieck ;
$\ mathcal C$ satisfaz os axiomas de Giraud listados abaixo.

Uma categoria com essas propriedades é chamada "Grothendieck topos". Presh ( ) denota aqui a categoria de functores contravariantes da categoria de conjuntos; esse functor contravariante é freqüentemente chamado de pré-fluxo. $\ mathcal D$ $\ mathcal D$

Axiomas de Giraud

Os axiomas de Giraud para uma categoria são os seguintes: $\ mathcal C$

$\ mathcal C$ tem um pequeno conjunto de geradores e admite todos os pequenos colimites. Além disso, os colimites são comutativos com o produto de fibra .
As somas são desconexas . Em outras palavras, o produto de fibra de X e Y sobre sua soma é o objeto inicial em . $\ mathcal C$ $\ mathcal C$
Todas as relações de equivalência em são eficazes. $\ mathcal C$

O último axioma requer alguma explicação. Se X é um objeto de , uma relação de equivalência R em X é um mapa R → X × X em tal que todos os mapas Hom ( Y , R ) → Hom ( Y , X ) × Hom ( Y , X ) são relações de equivalência entre os conjuntos. Como tem colimites, podemos formar o co-equalizador das duas aplicações R → X ; chamá-lo de X / R . A relação de equivalência é efetiva se a aplicação canônica $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$

R \ a X \ vezes _ {{X / R}} X

é um isomorfismo.

Exemplos

O teorema de Giraud já fornece os feixes dos sites como uma lista completa de exemplos. Deve-se notar, entretanto, que locais não equivalentes freqüentemente dão origem a topos equivalentes. Conforme indicado na introdução, os feixes nos espaços topológicos ordinários estiveram na origem das definições básicas e nos resultados da teoria dos topoi .

A categoria de conjuntos é um caso especial importante: ela desempenha o papel de um ponto na teoria do topos. Na verdade, um conjunto pode ser considerado um feixe em um espaço topológico reduzido a um ponto.

Exemplos mais exóticos, e a própria razão de ser da teoria do topos, vêm da geometria algébrica . Com um diagrama e ainda com um campo (in) , pode-se associar um topos étale, um topos fppf (in) , um topos de Nisnevich, etc.

Contra-exemplos

A teoria do topos é de certa forma uma generalização da topologia clássica de conjuntos de pontos. Portanto, teríamos o direito de esperar velhos e novos exemplos de comportamento patológico. Por exemplo, Pierre Deligne exibiu um topos não trivial que não tem sentido.

Morfismos geométricos

Introdução

Tradicionalmente usado como fundamento axiomático da matemática da teoria dos conjuntos , onde todos os objetos matemáticos são representados no final por conjuntos, incluindo aplicações entre conjuntos. Na teoria das categorias, podemos generalizar esse fundamento por meio de topos.

Cada topos define totalmente sua própria estrutura matemática. A categoria de conjuntos é um topos familiar e trabalhar com esse topos é como usar a teoria de conjuntos tradicional. Mas poderíamos escolher trabalhar com muitos outros topos. Uma formulação padrão do axioma de escolha é válida em alguns tópicos, mas é inválida em outros. Os matemáticos construtivistas escolherão trabalhar em um topos desprovido da lei do terceiro excluído . Se a simetria em um grupo G é de alguma importância, podemos usar o topos que consiste em todos os conjuntos G (consulte o artigo Ação de grupo (matemática) ).

Também é possível codificar uma teoria algébrica, como a teoria dos grupos, como um topos. Os modelos individuais da teoria, aqui os grupos, correspondem então aos functores do topos na categoria dos conjuntos que preservam a estrutura do topos.

Definição formal

Usado no âmbito das fundações, definiremos um topos axiomaticamente ; a teoria dos conjuntos é então considerada um caso especial da teoria do topos. Existem várias definições equivalentes de um topos baseadas na teoria das categorias . Sem ser esclarecedor, o seguinte tem o mérito da concisão:

Um topos é uma categoria com as duas propriedades a seguir:

existe qualquer limite baseado em categorias de índice finito;
todo objeto tem um objeto de poder (é ele que desempenha o papel do conjunto das partes de um conjunto na categoria dos conjuntos).

Formalmente, um objeto de poder de um objeto X é um par com , tal que para qualquer relação existe um morfismo (único) tal que (mais formalmente: tal que $R$ é o pull-back de por ). ${\ displaystyle (PX, \ ni _ {X})}$ ${\ displaystyle {\ ni _ {X}} \ subseteq PX \ times X}$ ${\ displaystyle R \ subconjunto I \ times X}$ ${\ displaystyle r: I \ to PX}$ ${\ displaystyle R = \ {(i, x) \ mid x \ in r (i) \}}$ ${\ displaystyle \ ni _ {X}}$ ${\ displaystyle r \ times X: I \ times X \ a PX \ times X}$

Nos podemos concluir que :

existem colimites finitos;
a categoria possui um classificador de subobjetos;
a categoria está fechada cartesiana .

Em muitas aplicações, o papel do classificador de subobjeto desempenha um papel central, ao contrário dos objetos de poder. Portanto, algumas definições invertem os papéis do que é definido e do que é deduzido dele.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Topos " ( veja a lista de autores ) .

"Alguns puristas gostariam que o plural fosse 'topoi', de acordo com o grego clássico. Seguirei Grothendieck ao escrever “un topos” e “des topos”. " Pierre Cartier , " Um país cujo nome só conhecemos " ,2009.
(em) Sebastiano Vigna, " Uma visita guiada ao topos dos gráficos ", arXiv : math / 0306394 , 2003.
(em) Robert Goldblatt , Topoi, The Categorial Analysis of Logic 1984.

links externos

(pt) John Baez , " Topos Theory in a Nutshell " ,2006
Michael Artin , Alexandre Grothendieck e Jean-Louis Verdier , Seminário de geometria algébrica de Bois Marie - 1963-64 - Teoria do topos e cohomologia étale dos diagramas - (SGA 4) - t. 1 , Springer-Verlag , col. "Lecture Notes in Matemática" ( N O 269),1972( ISBN 978-3-540-05896-0 , DOI 10.1007 / BFb0081551 , leia online )