Em matemática , uma variedade 3 é uma variedade de dimensão 3, no sentido de variedades topológicas , PL (em) ou diferencial (na dimensão 3, essas categorias são equivalentes ).
Certos fenômenos estão ligados especificamente à dimensão 3, de modo que nesta dimensão prevalecem técnicas particulares, que não se generalizam para dimensões superiores. Essa especificidade das 3 variedades levou à descoberta de sua estreita relação com várias áreas, como a teoria do nó , a teoria do grupo geométrico , a geometria hiperbólica , a teoria dos números , a teoria de Teichmüller (em) , a teoria da topologia quântica de campos ( in) , as teorias de gauge , a homologia de Floer e as equações diferenciais parciais .
A teoria das variedades de 3 é parte da topologia de baixa dimensão e, portanto, da topologia geométrica .
Uma ideia fundamental desta teoria consiste em estudar um colector de 3- M , considerando as superfícies especiais mergulhos em H . A escolha da superfície “bem colocada” na variedade 3 leva à ideia de superfície incompressível (en) e à teoria das variedades de Haken (en) ; Escolhê-lo de forma que as peças do complementar sejam tão "agradáveis" quanto possível leva a decomposições de Heegard (en) , úteis mesmo no caso não-Haken.
As variedades de 3 geralmente têm uma estrutura adicional: uma das oito geometrias de Thurston (a mais comum das quais é hiperbólica). O uso combinado desta geometria e superfícies mergulhadas provou ser um sucesso.
O grupo fundamental de uma variedade 3 fornece muitas informações sobre sua geometria e topologia, daí a interação entre a teoria dos grupos e os métodos topológicos .
(Essas classes não são separadas.)
Alguns desses teoremas mantiveram seus nomes históricos de conjecturas .
Vamos começar com os resultados puramente topológicos:
Teoremas onde a geometria desempenha um papel importante na prova:
Resultados que vinculam explicitamente geometria e topologia: