Cubo do Príncipe Rupert

Em geometria , o cubo do Príncipe Rupert (em homenagem ao Príncipe Rupert do Reno ) é o maior cubo que pode passar por um orifício em um cubo unitário, ou seja, um cubo com borda 1, sem separar o cubo em duas partes. O comprimento de sua borda é aproximadamente 6% maior que o do cubo por onde passa. O problema de encontrar o maior quadrado que cabe inteiramente em um cubo unitário está diretamente relacionado e tem a mesma solução.

Solução

Se dois pontos são colocados em duas arestas adjacentes de um cubo unitário, cada um a uma distância de 3/4 do ponto de intersecção dessas arestas, então a distância entre esses pontos é

{\ displaystyle {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ approx 1.0606601.}

Esses dois pontos, com um segundo par de pontos colocados simetricamente na face oposta do cubo, formam os quatro vértices de um quadrado inteiramente contido no cubo unitário. Este quadrado, estendido perpendicularmente em ambas as direções, forma o orifício através do qual pode passar um cubo maior que o cubo original (com um lado de até ). ${\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {2}}} {4}}}$

As partes restantes do cubo unitário, após fazer este furo, formam dois prismas triangulares e dois tetraedros irregulares, conectados por pontes finas nos quatro vértices do quadrado. Cada prisma tem entre seus seis vértices dois vértices adjacentes do cubo e quatro pontos ao longo das bordas do cubo localizados a uma distância de 1/4 desses vértices do cubo. Cada tetraedro possui entre seus quatro vértices um vértice do cubo, dois pontos localizados a uma distância de 3/4 deste vértice em arestas adjacentes, e um ponto localizado a uma distância de 3/16 do vértice do cubo ao longo do terceiro borda adjacente.

História

O cubo do Príncipe Rupert tem o nome do Príncipe Rupert do Reno . No final do XVII ° século , o Inglês matemático John Wallis relatórios:

"O príncipe Palatine Rupert, um homem de grande inteligência e sutileza de espírito, enquanto estava na corte do rei inglês Carlos II, certa vez sustentou (e se comprometeu a prová-lo) que era tudo. Bastante possível de fazer para que, de dois cubos iguais, por um furo feito em um dos dois, o outro se cruza. "

Wallis mostrou que tal buraco era possível (com alguns erros que só foram corrigidos muito mais tarde) e o Príncipe Rupert ganhou a aposta.

Wallis presume que esse buraco seria paralelo a uma grande diagonal do cubo. A projeção do cubo em um plano perpendicular a esta diagonal é um hexágono regular e o melhor furo paralelo à diagonal pode ser obtido desenhando o maior quadrado possível que pode ser inscrito neste hexágono. Calculando o tamanho deste quadrado, mostramos que um cubo de aresta

{\ displaystyle {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}} \ approx 1.03527}

ligeiramente maior do que 1, é capaz de passar pelo orifício.

Cerca de 100 anos depois, o matemático holandês Pieter Nieuwland descobriu que uma solução melhor (na verdade, a solução ótima) pode ser obtida visualizando um buraco em um ângulo diferente da diagonal. Nieuwland morreu em 1794, um ano após obter uma cátedra na Universidade de Leiden , mas sua solução foi publicada postumamente em 1816 pelo mentor de Nieuwland, Jean Henri van Swinden (in) .

Desde então, esse problema tem sido um clássico em vários livros sobre matemática recreativa , em alguns casos com a solução não ótima de Wallis em vez da solução ótima.

Modelos

A construção de um modelo físico do cubo do Príncipe Rupert é dificultada pela precisão necessária às medidas e pela finura das ligações entre as restantes partes do cubo após a obtenção do furo; por isso, o problema foi denominado "matematicamente possível, mas praticamente impossível" .

No entanto, em um estudo de 1950 sobre esse problema, DJE Schrek publicou fotos de um modelo de cubo passando por outro cubo. Martin Raynsford desenhou um modelo de uma construção de papel de um cubo cruzado por outro cubo; para levar em conta as tolerâncias associadas às construções de papel e não puxar o papel muito para perto das junções entre as partes do cubo oco, o furo no modelo de Raynsford é ligeiramente maior do que o cubo que deixa passar.

Desde 2010, os avanços na impressão 3D tornaram mais fácil construir cubos Prince Rupert rígidos, em materiais como PLA .

Generalizações

O cubo não é o único sólido que pode passar por um buraco em uma cópia de si mesmo. Esta propriedade é válida para todos os poliedros regulares . A prova do tetraedro e do octaedro regulares foi dada em 1968, a do icosaedro e do dodecaedro em 2016. Da mesma forma, foi provado que nove dos treze sólidos arquimedianos têm essa propriedade. Uma conjectura postula que qualquer poliedro convexo possui a propriedade Rupert.

Outra maneira de expressar a mesma pergunta (para o cubo) é encontrar o maior quadrado contido em um cubo unitário. De forma mais geral, Jerrard e Wetzel mostraram em 2004 que, para uma dada razão de aspecto, o maior retângulo contido no cubo unitário deve passar pelo centro do cubo, e seus vértices pertencem às arestas do cubo. Sem restrição na proporção dos lados, o retângulo contido no cubo unitário e de maior área é aquele formado por dois lados simétricos em relação ao centro do cubo, e as diagonais que os unem.

Outra generalização é a busca pelo maior hipercubo de dimensão contido na unidade de dimensão hipercubo ; seu -volume é sempre um número algébrico . Para (a busca pelo maior cubo na unidade tesseract ), questão colocada por Martin Gardner na Scientific American , Kay R. Pechenick DeVicci e vários outros leitores mostraram que a resposta é a raiz quadrada da menor raiz real do polinômio , que é cerca de 1.007435. Pois , o lado do maior quadrado contido no -hipercubo é ou , dependendo se é ímpar ou par. Para qualquer n maior ou igual a 3, o hipercubo de dimensão n tem a propriedade Rupert. $m$ $não$ $m$ ${\ displaystyle (m, n) = (3,4)}$ ${\ displaystyle 4x ^ {4} -28x ^ {3} -7x ^ {2} + 16x + 16}$ $m = 2$ $não$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n / 2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n / 2-3 / 8}}}$ $não$

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Cubo do Príncipe Rupert " ( veja a lista de autores ) .

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Link externo

(pt) Eric W. Weisstein , " Prince Rupert's Cube " , no MathWorld