Tesseract


Hipercubo Tesseract
(8 células)

Diagrama de Schlegel
Modelo Poli regular
Células 8 {4,3}
Rostos 24 {4}
Arestas 32
Vértices 16
Símbolo Schläfli {4.3.3}
{4.3} × {}
{4} × {4}
{4} × {} × {}
{} × {} × {} × {}
Polígono de Petrie Octógono
Grupo (s) Coxeter C 4 , [3.3.4]
Diagrama de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
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Dual Hexadecachore
Propriedades Convexo, isogonal, isotoxal, isohedral

Na geometria , o tesseracto , também chamado 8-célula ou octachore , é a quatro -dimensional analógico do cubo ( tridimensional ), onde o movimento ao longo da quarta dimensão, é frequentemente uma representação para transformações afins do cubo através tempo. . O tesseract está para o cubo como o cubo está para o quadrado  ; ou, mais formalmente, o tesserato pode ser descrito como um 4-politopo convexo regular cujos limites são formados por oito células cúbicas .

Uma generalização do cubo para dimensões maiores do que três é chamada de "  hipercubo  ", "  n- cubo" ou "politopo de medição". O tesserato é o hipercubo quadridimensional ou de 4 cubos. É um politopo regular . É também um caso especial de paralelotopo  : um hipercubo é um paralelotopo direito cujas arestas têm o mesmo comprimento.

De acordo com o Oxford English Dictionary , a palavra "tesseract" foi concebida e usada pela primeira vez em inglês em 1888 por Charles Howard Hinton em seu livro A New Era of Thought , do grego antigo τέσσερεις ἀκτίνες  / téssereis aktínes ("quatro raios") iônico , referindo-se aos quatro segmentos de linha de cada vértice para os outros vértices. Alternativamente, outras pessoas chamaram a mesma figura de "tetracube".

Geometria

O tesserato euclidiano padrão de 4 espaços é dado pelo envelope convexo dos pontos (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Ou seja, é composto pelos pontos:

Um tesserato é limitado por oito hiperplanos ( x i = ± 1). Cada par de hiperplanos não paralelos se cruzam para formar 24 faces quadradas em um tesserato. Três cubos e três quadrados se cruzam em cada aresta. Existem quatro cubos e seis arestas que se encontram em cada vértice. No total, consiste em 8 cubos, 24 quadrados, 32 arestas e 16 vértices.

Como cada vértice de um tesserato é adjacente a quatro arestas, a figura do vértice de um tesserato é um tetraedro regular. Assim, o tesserato é dado pelo símbolo Schläfli {4,3,3}. O politopo dual do tesserato é chamado de hexadecachore ou 16 células, com o símbolo Schläfli {3,3,4}.

Projeções bidimensionais

A construção de um hipercubo pode ser imaginada da seguinte forma:

Esta estrutura não é fácil de imaginar, mas é possível projetar tesseratos em espaços tridimensionais ou bidimensionais. Além disso, as projeções em um plano bidimensional tornam-se mais informativas ao reorganizar as posições dos pontos projetados. Desta forma, podem ser obtidas imagens que não refletem mais as relações espaciais no tesserato, mas que ilustram a estrutura de conexão dos vértices, conforme mostrado nos exemplos a seguir:

Hypercubeorder.svg     Hypercubecubes.svg     Hypercubestar.svg

A ilustração à esquerda mostra como um tesserato é, em princípio, obtido pela combinação de dois cubos. O processo é semelhante à construção de um cubo a partir de dois quadrados:

Justapor duas cópias de um cubo de dimensão inferior e conectar os vértices correspondentes. O centro da imagem vem do fato de que cada borda tem o mesmo comprimento. Essa imagem também permite que o cérebro humano encontre uma infinidade de cubos que estão devidamente interconectados. O diagrama à direita finalmente ordena os vértices do tesserato respeitando as distâncias ao longo das arestas, preservando o ponto base. Essa visão é interessante ao usar tesseratos como a base para uma topologia de rede para conectar vários processadores em computação paralela  : a distância entre dois nós é no máximo 4 e há muitos caminhos diferentes para permitir o equilíbrio de peso.

O padrão de conexão dos vértices do tesserato é o mesmo que uma linha de quadrados 4 × 4 desenhados em um toro  ; cada célula (representando um vértice do tesserato) é adjacente a exatamente quatro outras células. Os tesseratos também são gráficos bipartidos , como um caminho, um quadrado, um cubo e uma árvore.

Projeções tridimensionais

A projeção paralela da primeira célula do tesserato no espaço tridimensional tem um envelope cúbico. As células mais próximas e mais distantes são projetadas no cubo e as 6 células restantes são projetadas nas 6 faces quadradas do cubo.

A projeção paralela da primeira face do tesserato no espaço tridimensional tem um envelope cuboidal. Dois pares de células são projetados para as metades superior e inferior deste envelope, e as 4 células restantes são projetadas para as faces laterais.

A projeção paralela da borda inicial do tesserato no espaço tridimensional tem um envelope na forma de um prisma hexagonal. As 8 células são projetadas sobre os volumes da forma de prismas paralelogramos, que são dispostos no prisma hexagonal de maneira análoga ao arranjo das faces em uma projeção de cubo 3D em 6 paralelogramas em um envelope hexagonal sob uma projeção de vértice em primeiro .

A projeção paralela do primeiro vértice do tesserato no espaço tridimensional tem um envelope em forma de dodecaedro rômbico . Existem exatamente duas maneiras de decompor um dodecaedro rômbico em 4 paralelepípedos congruentes, dando um total de 8 paralelepípedos possíveis. As imagens das células do tesserato sob esta projeção são justamente esses 8 paralelepípedos. Essa projeção também é a que tem o volume máximo.

Desenvolvimento do tesserato

O tesseract pode ser expandido em oito cubos, assim como o cubo pode ser expandido em seis quadrados. O desenvolvimento de um poliedro é denominado padrão . Existem 261 padrões distintos do tesserato (veja a figura ao lado para um exemplo de um desses 261 padrões). As expansões dos tesseratos podem ser contadas aplicando os padrões a árvores com pares (uma árvore colocada em perfeita coincidência com seu complemento ).

Na arte e na literatura

Veja Tesseract (desambiguação)

Em arquitetura de computador

Em ciência da computação, o termo hipercubo se refere a dois conceitos:

  1. Uma base multidimensional para fins de relatório e análise. Ele se divide em "dimensões" e "fatos"; os factos são os valores numéricos (normalmente “número de vendas”); as dimensões são os identificadores que permitem encontrar os factos nas células de armazenamento; podemos assim obter um “subcubo” (não necessariamente convexo ...) como resultado de uma consulta em um cubo e processá-lo por união, interseção com outro resultado de consulta.
  2. um tipo preciso de computador em computação paralela , cujos processadores, ou os elementos computacionais (PEs), estão interconectados da mesma forma que os vértices de um hipercubo.

Assim, um computador hipercubo n- dimensional tem 2 n PEs, cada um diretamente conectado a n outros PEs.

Os exemplos incluem o maquinário nCUBE  (as) usado para ganhar o primeiro prêmio Gordon Bell  (in) , o Caltech Cosmic Cube  (in) e a Connection Machine  (in) , que usa a topologia hipercubo para conectar grupos de processadores. A SGI oferece máquinas em seu catálogo com redes infiniband em topologia hipercubo.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Tesseract  " ( ver a lista de autores ) .
  1. Veja (em) Steven H. Cullinane, "  Geometria do Quadrado 4x4  " que expõe o topo das propriedades de adjacência.
  2. (em) Desdobrando o tesserato .
  3. (em) "Tesseract (banda)" na Wikipedia ,15 de janeiro de 2020( leia online ).

Apêndices

Artigos relacionados

Bibliografia

links externos