Na matemática , mais precisamente na aritmética modular , o último teorema de Fermat lida com as raízes da seguinte equação diofantina , com incógnitas , e :
Ele afirma que não há solução não trivial se o parâmetro n for estritamente maior que 2 .
Uma equação diofantina é uma equação com coeficientes inteiros cujas soluções desejadas são inteiras. Se, como no exemplo acima, a expressão costuma ser simples, a resolução geralmente é difícil.
Pierre de Fermat afirma esse resultado na margem de seu exemplar do livro Arithmetica de Diophantus e indica ali que encontrou uma "demonstração verdadeiramente maravilhosa" dele .
É improvável que exista uma demonstração acessível a Fermat. Na verdade, foram necessárias muitas tentativas e quase 350 anos de esforço para que uma prova fosse apresentada em 1994 , por Andrew Wiles .
Se um dos três inteiros x , y ou z for zero, a equação se tornará óbvia; tais soluções são consideradas triviais. O objetivo é, portanto, encontrar um tripleto de solução de modo que o produto xyz seja diferente de zero.
A equação é homogênea, ou seja, para um dado valor n , se o tripleto ( x , y , z ) é solução, então ( ax , ay , az ) também é solução. Conseqüentemente, as únicas raízes buscadas são os tripletos de números primos entre si como um todo .
Para qualquer solução, o GCD de quaisquer dois dos três inteiros é um divisor do terceiro. As raízes de que temos nos restritas são, portanto, os triplos ( x , y , z ) de tal modo que (por exemplo) x e y são primos entre si .
Se a equação não admite solução para um valor p do parâmetro, então não há solução para qualquer valor n múltiplo de p . Na verdade, se denotarmos n = pq, então a equação é escrita:
Conseqüentemente, os valores a serem processados são aqueles em que n é um número primo . No entanto, cabe ressaltar a única exceção, correspondendo ao caso n = 2, caso em que existem soluções; é necessário, portanto, estudar também o caso n = 4 (o que resolverá o caso das potências de números compostos de 2, já que são da forma 4 × 2 k com k ⩾ 0).
Alguns resultados são demonstrados sem conceitos adicionais. O caso n = 2, tratado abaixo, é simples e remonta à Antiguidade . Aquele em que n é igual a 4 é provado de uma forma um pouco menos elementar. Os casos restantes são aqueles em que n é primo diferente de 2. Há uma prova que não usa os inteiros de Eisenstein para o caso n = 3; no entanto, é suficientemente inteligente e difícil para o matemático Leonhard Euler oferecer apenas uma demonstração inexata.
Os outros casos são técnicos; o uso de inteiros algébricos é essencial. O primeiro termo é de fato uma identidade notável: x n + y n é de fato um múltiplo de x + y se n não for uma potência de 2. No entanto, esta observação é insuficiente para concluir, mesmo que apenas para Expositores.
O caso n = 2 tem uma interpretação geométrica. Corresponde a todos os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo .
Este caso é conhecido desde os tempos antigos . Portanto, os sumérios conheciam alguns exemplos de soluções. A solução completa aparece pela primeira vez no Livro X dos Elementos de Euclides por volta de 300 AC. J.-C.
Este caso é a única exceção ao teorema (se omitirmos o caso n = 1). De fato, para n = 2, existem soluções não triviais, chamadas de triplas pitagóricas , como a solução (3, 4, 5). Conseqüentemente, torna-se importante considerar o caso n = 4, para mostrar que não há outra potência de 2 admitindo soluções não triviais.
Em todo o trabalho matemático deixado por Fermat, encontramos apenas uma prova: a prova deste caso, sob uma formulação diferente. Na verdade, ele demonstra que não existe um tripleto pitagórico ( x , y , z ) tal que xy / 2 é um quadrado de um inteiro , que ele expressa por "a área de um triângulo retângulo em números não pode ser um quadrado" . Como esse resultado é equivalente à ausência de soluções inteiras não triviais para a equação a 4 - b 4 = c 2 , o caso n = 4 é um corolário imediato. Por esta razão, é muito geralmente considerado que Fermat demonstrou este caso.
O método usado é o da descida infinita . Consiste em encontrar outro tripleto de solução cujo terceiro inteiro seja positivo e estritamente menor que o da solução inicial. Assim, é possível descer indefinidamente no conjunto de inteiros positivos, o que é contraditório com as propriedades de ℕ.
Duas provas completas e novas vêm de Leonhard Euler ; eles também são baseados no método da descida infinita. Existem outros, por exemplo, usando a noção de inteiros gaussianos .
Prova do caso n = 4A prova a seguir é essencialmente uma das duas provas de Euler. Para mostrar que a equação de Fermat x 4 + y 4 = z 4 não tem solução consistindo de três inteiros estritamente positivos, os dois primeiros dos quais são coprimos, basta mostrar que a equação a 4 + b 4 = c 2 não tem nenhum (ou que a 4 - b 4 = c 2 não tem nenhum, o que Euler prova da mesma forma). Suponha a existência de tal solução ( a , b , c ) e mostre que existe outra, ( x , y , z ), tal que z < c . O método da descida infinita, então, torna possível concluir.
Uma vez que ( a 2 , b 2 , c ) é então uma tripla pitagórica primitiva e (mesmo que isso signifique inverter a e b se necessário) a é ímpar, existe um par ( p , q ) de inteiros estritamente positivos e primos entre eles tal como Da mesma forma, uma vez que ( a , q , p ) é uma tripla pitagórica primitiva, existe um par ( m , n ) de inteiros estritamente positivos e primos tais que Como pe 2 q são primos entre si e 2 pq é um quadrado, pe 2 q são quadrados. Da mesma forma, como 2 q , portanto mn , é um quadrado, m e n são quadrados. Portanto, há inteiros estritamente positivos x , y e z (primos entre eles), de modo que m = x 2 , n = y 2 e x 4 + y 4 = z 2 . Como z 2 = p < c 2 , a prova é estabelecida.
Uma vez analisado o caso das potências de 2, o teorema torna-se singularmente mais complexo de estabelecer. Existem ainda três provas, para os casos n = 3, 5 e 7, baseadas no mesmo arcabouço e utilizando o método da descida infinita.
Para poder aplicá-la, uma ideia bem-sucedida é “modificar” o conjunto ao qual se aplica a equação. É possível generalizar o teorema de Fermat em qualquer conjunto E fornecido com duas operações, adição e multiplicação. As operações em E devem ter um mínimo de propriedades, dando-lhe uma estrutura chamada anel . Essa ideia é um pouco contra-intuitiva: se a resolução já é difícil em ℤ, o anel dos inteiros relativos, a questão não fica ainda mais delicada em qualquer anel? Na verdade, o objetivo é escolher E com as propriedades boas para que a resolução seja mais fácil.
Este anel é escolhido:
Em tal anel, correspondendo por exemplo ao de polinômios com coeficientes complexos , Augustin Louis Cauchy desenvolve um método geral de resolução.
A dificuldade reside no facto de ℤ não contém um N- th raiz da unidade , excepto para 1 e -1. O uso de outros anéis contendo ℤ torna-se interessante. Os mais simples correspondem a conjuntos ℤ [ω] de inteiros quadráticos, ou seja, números da forma a + b ω onde a e b são inteiros relativos e ω um número complexo tal que ω 2 é uma combinação linear de ω e de 1 com coeficientes em ℤ o que garante a estabilidade do conjunto. Alguns desses conjuntos contêm enésimas raízes de unidade. Este é o caso se ω for a raiz cúbica da unidade j = (1 + i √ 3 ) / 2 ou o número dourado (1 + √ 5 ) / 2. Além disso, esses anéis são ditos euclidianos , ou seja, há uma divisão euclidiana . E todo anel euclidiano é fatorial. Eles permitem resolver os casos n = 3 ou 5. Uma abordagem algo análoga ainda permite resolver o caso n = 7.
A eficácia dos anéis quadráticos pára por aí. No caso geral, não são euclidianos nem fatoriais, o que impõe o desenvolvimento de outras ideias.
Estamos procurando aqui resolver a equação:
Aqui x , y e z representam três polinômios com coeficientes complexos. Pelas razões indicadas no parágrafo anterior, esta questão é, em última análise, muito mais fácil do que a de Fermat. É resolvido em 1847 por Cauchy após a resolução dos casos n = 3, 5 e 7 e antes do grande avanço de Ernst Kummer . O resultado é declarado da seguinte forma:
Dois polinômios com coeficientes complexos são primos entre si se, e somente se, os únicos polinômios que os dividem são as constantes. Esta resolução é mais simples do que os três casos anteriores porque a complexidade computacional é menor. No entanto, o processo é muito semelhante. Os polinômios com coeficientes complexos formam um anel comutativo unitário e integra-se equipado com uma divisão euclidiana. Uma abordagem aritmética é, portanto, possível. Há um equivalente da noção de número primo, de polinômio irredutível (ou seja, não constante e divisível apenas por si mesmo e por 1, exceto para a multiplicação por um número complexo) e unitário (c 'isto é, o coeficiente do termo de grau mais alto igual a 1). O teorema fundamental da aritmética se aplica, ou seja, há uma fatoração primária , bem como a identidade de Bézout ou o lema de Euclides . As provas apresentadas neste artigo para os casos n igual a 3 ou 5 são escolhidas no âmbito de um anel euclidiano.
A prova é aqui amplamente simplificada pelo fato de que no anel de polinômios com coeficientes complexos, qualquer elemento invertível (isto é, qualquer polinômio constante diferente de zero) admite uma raiz n- ésima.
DemonstraçãoA demonstração novamente usa o método de descida infinita. Supomos que existem outras soluções além daquelas de polinômios constantes e consideramos um tripleto de polinômios ( p , q , r ) dessa natureza, e seja n 0 a soma de seus graus. Usando essa solução, construímos um novo ( p 1 , q 1 , r 1 ) de modo que a soma dos graus n 1 seja estritamente positiva e estritamente menor que n 0 . Repetindo o processo, obtemos uma seqüência infinita e estritamente decrescente ( n j ) de inteiros positivos. O método da descida infinita fornece a contradição desejada.
A letra ζ denota uma raiz primitiva da unidade , ou seja, uma raiz tal que os números ζ j , se j variar de 0 an - 1, descrevem todas as n- ésimas raízes da unidade. O polinômio X n - 1 possui exatamente n raízes distintas que são as n raízes da unidade, o que permite deduzir as igualdades:
A equação de Fermat é escrita novamente:
Este fatoração é possível em todos os anéis unidade conmutativos integrais contendo os n n -simo raízes da unidade.
O caráter fatorial agora intervém na prova. Notamos que os polinômios r - ζ j q são primos entre eles dois a dois. Dois polinômios dessa natureza realmente geram o espaço vetorial de base r e q . Um divisor comum, portanto, divide r e q e, por suposição, é constante. Cada fator primo de r - ζ j q é um fator primo de p n, portanto de p e é necessariamente encontrado à potência de n no polinômio r - ζ j q uma vez que não está presente nos polinômios r - ζ k q se k é diferente de j . Deduzimos que o polinômio r - ζ j q é uma enésima potência e que existe um polinômio a j tal que a j n é igual a r - ζ j q . Obtemos igualdade:
Notamos que os polinômios a j são primos entre eles dois a dois, porque os polinômios r - ζ j q são primos e uma análise de seu monômio dominante mostra que no máximo um é constante. Considere os três polinômios a 1 , a 2 e a 3 . A sua n- th energia está no plano vector gerado por I e Q . Portanto, há uma combinação linear não trivial entre os três.
Uma vez que qualquer elemento de ℂ é expressa como um n -ésimo potência de um elemento de ℂ, existem três complexos de ácido a 1 , β 1 e γ 1 tal que:
,que mostra a existência de três polinômios nem todos constantes, primos entre eles dois a dois, com uma soma de graus estritamente menor que n 0 , satisfazendo a equação inicial, oferecendo o arcabouço necessário para a implementação do método descendente infinito.
O caso n = 3 é mais complexo. Euler escreveu a Goldbach em 1753 , dizendo-lhe que havia resolvido o problema. A única prova que publicou, em 1770 em sua Álgebra , é, porém, incompleta, em um ponto crucial. Euler está bastante confuso neste ponto, mas parece que o argumento que ele usa implicitamente está errado, e ele nunca mais voltou a ele. No entanto, a prova, se não for fácil de corrigir, pode ser corrigida por métodos que Euler usou para outras proposições de Fermat. É até possível que Euler tivesse uma prova correta em 1753, então que ele quisesse usar um argumento mais elegante depois, aquele que usa números complexos descritos a seguir.
Para sua demonstração, ele estuda números cujo cubo tem a forma p 2 + 3 q 2 com p e q primos entre eles. Para isso, ele usa um método original para a época: ele decompõe p 2 + 3 q 2 = ( p + i √ 3 q ) ( p - i √ 3 q ) e procura os números da forma a + i b √ 3 cujo cubo é p + i √ 3 q : em termos modernos, funciona no anel ℤ [ i √ 3 ]. O resultado obtido passa para o conjugado p - i √ 3 q . Ele deduz seu resultado afirmando que se p 2 + 3 q 2 é um cubo, p + i √ 3 q e p - i √ 3 q também, porque p e q são primos entre eles, portanto - ele diz - p + i √ 3 q e p - i √ 3 q também. Podemos facilmente provar para inteiros ordinários que se o produto de dois números primos entre eles é um cubo, então cada um deles é um, por exemplo, pelo lema de Euclides ou ainda mais simplesmente pela unicidade da decomposição em fatores primos . Acontece que ainda é apenas por ℤ [ i √ 3 ], mas por razões diferentes. Euler não apresenta um argumento, mas, de acordo com o resto de seu livro, parece que sua convicção se baseia em uma analogia com os inteiros. Agora 2 × 2 = (1 + i √ 3 ) (1 - i √ 3 ): não há unicidade (mesmo até o produto dos invertíveis ) da decomposição em irredutíveis em ℤ [ i √ 3 ].
Gauss produziu uma prova (publicada após sua morte) por descendência infinita como Euler, mas correta e mais simples, raciocinando no anel ℤ [ j ] de inteiros de Eisenstein ( j denota uma raiz cúbica não trivial da unidade ). Talvez seja (entre outras coisas) esse sucesso que o fez denegrir a conjectura de Fermat, que ele classifica entre as muitas afirmações fáceis de propor, mas gerais demais para serem demonstradas ou refutadas.
O anel ℤ [ j ] é fatorial - ao contrário do sub-anel ℤ [2 j ] = ℤ [ i √ 3 ] - ou seja, neste anel, a decomposição em irredutíveis é única (exceto para o produto por invertíveis). De fato, provamos em ℤ [ j ] o equivalente ao lema de Euclides, a saber, que todo irredutível é um elemento primo , chamado número primo de Eisenstein . O uso de anéis de inteiros algébricos bem escolhidas é um grande técnico do XIX ° século para a resolução do teorema para alguns expositores. Quando não são fatoriais, outras técnicas devem ser adicionadas.
Prova de Gauss do caso n = 3Ao definir a = x , b = y e c = –z , a equação se torna a 3 + b 3 + c 3 = 0. O objetivo é mostrar que ela não tem solução não trivial, não apenas em números inteiros relativos, mas mesmo em números inteiros de Eisenstein. Raciocinamos pelo absurdo supondo que existe um, com a , b e c linha entre eles dois a dois . Usamos que π: = 1 - j é um número primo de Eisenstein .
A abordagem que permite resolver o caso em que n é igual a três não generaliza para valores maiores de n . Na verdade, o anel de inteiros algébricos associados às n- ésimas raízes da unidade em geral não é fatorial. O raciocínio aritmético do caso anterior, portanto, não é mais operacional.
Durante a primeira década de XIX th século, Sophie Germain dá uma condição suficiente sobre o número inteiro n , aqui assumido em primeiro lugar, de modo que, se o tripleto ( x , y , z ) é uma solução da equação de Fermat seguida, pelo menos a um dos três inteiros x , y , z são divisíveis pelo quadrado de n . Essa condição é trivialmente verificada por todos os números primos aos quais demos seu nome , como 3 e 5 (incidentalmente, Sophie Germain mostra que ela é verificada até mesmo para qualquer número primo menor que 100). Sua pesquisa a montante desse teorema, ainda pouco conhecida, foi sustentada por uma nova estratégia de ataque à conjectura.
O teorema de Fermat é então famoso. Todos os esforços estão concentrados no caso n = 5. Neste caso, deve-se mostrar que não há tripleto ( x , y , z ) de inteiros não nulos e primos tais que x 5 + y 5 = z 5 . Se houver um, um dos três inteiros (e apenas um) é obviamente par, mas também, de acordo com o teorema de Sophie Germain , um dos três (e apenas um) é divisível por 5. Devemos, portanto, distinguir dois casos, dependendo de se o mesmo x , y ou z é divisível por 2 e 5 ou não. No entanto, apesar do envolvimento de muitos membros da comunidade matemática, mais de quinze anos se passaram sem progresso notável. Em 1825 , Lejeune Dirichlet tornou-se imediatamente famoso, resolvendo o primeiro caso.
Em julho de 1825, Lejeune Dirichlet apresentou à Academia de Ciências uma prova incompleta do caso n = 5, que concluiu em novembro por um método inteiramente análogo, enquanto observava que, entretanto, Legendre , um de seus dois relatores, também publicou um demonstração completa, utilizando as mesmas técnicas.
As duas provas usam técnicas semelhantes àquela do caso n = 3. Elas também são baseadas nas propriedades de divisibilidade de um anel de inteiros bem escolhido. Desta vez, porém, ao contrário do caso n = 3, o anel em questão é o anel dos inteiros de um corpo quadrático real: o subcampo quadrático de 5 e ciclotômico ℚ ( √ 5 ). A estrutura do grupo de unidades, portanto, torna - se mais complexa. Seu entendimento se resume à análise de outra equação diofantina chamada Pell-Fermat , estudada por Euler . O trabalho de Lagrange em frações contínuas fornece as ferramentas necessárias para elucidar essa estrutura. Este anel de inteiros de ℚ ( √ 5 ) nos permite estabelecer o lema-chave da prova.
Ao contrário do trabalho de Gauss e Eisenstein no caso n = 3, nenhum grande avanço teórico é feito para a resolução deste caso. O anel associado é sempre euclidiano e portanto fatorial, as aritméticas utilizadas são da mesma natureza das anteriores. Provas análogas nos permitem mostrar que outras equações do quinto grau, próximas às de Fermat, também são impossíveis.
A prova é baseada no seguinte lema-chave, demonstrado no parágrafo " Último teorema de Fermat para o expoente 5 " do artigo detalhado:
Se dois inteiros um e b , primos uns dos outros e de diferentes paridades, são tais que um 2 - 5 b 2 é uma quinta potência e b é divisível por 5, então existem dois números inteiros c e d de tal modo que a + b √ 5 = ( c + d √ 5 ) 5 .
DemonstraçãoEstamos primeiro interessados no primeiro caso e raciocinamos pelo absurdo: supomos, portanto, que existem inteiros diferentes de zero x , y e z primos entre eles, tais que x 5 + y 5 = z 5 e, além disso, 10 divide um de o três, que, sem perda de generalidade , é z . Vamos mostrar uma contradição.
Os inteiros p : = ( x + y ) / 2 (diferente de zero) e q : = ( x - y ) / 2 são primos entre si e de diferentes paridades e
portanto, r : = p / 5 é inteiro (primo com q e de paridade diferente), q não é divisível por 5, e
Como a 2 - 5 b 2 e 50 r são coprimos, deduzimos que a 2 - 5 b 2 é uma quinta potência e que r tem a forma 2 4 5 3 s 5 com s inteiro.
Os inteiros um e b são, portanto, primos entre si, com b da forma 2 4 5 2 t 5 por um determinado número inteiro t > 0 ( t = 10 s 2 ) e um 2 - 5 b 2 para a quinta potência.
Vamos mostrar que de um par ( a , b ) que satisfaça essas condições, podemos construir um novo, ( a ' , b' ), tal que b ' < b : por descida infinita, teremos assim a contradição desejada.
Os inteiros c e d dados pelo lema verificam
Deduzimos que c e d são coprimos, d é um múltiplo diferente de zero de 10, e
Como antes, a ' 2 - 5 b' 2 é então uma quinta potência, d é da forma 2 4 5 s ' com s' inteiro, portanto b ' é da forma 2 4 5 2 t' 5 para um certo inteiro t ' > 0 ( t' = 2 s ' 2 ), e a' e b ' são coprimos.
Finalmente, b = 5 d ( c 4 + 10 c 2 d 2 + 5 d 4 )> 2 d 2 = b ' , o que completa a prova do primeiro caso.
Para lidar com o outro caso, no qual 5 divide um de x , y , z e 2 divide outro, definimos x + y = 5 r e x - y = q . Algébricas transformações análogas às anteriores levar ao fato de que uma certa expressão ( um / 2) 2 - 5 ( b / 2) 2 , por inteiro um e b , é um quinto de energia. Em seguida, expressamos ( a / 2) + ( b / 2) √ 5 como (( c / 2) + ( d / 2) √ 5 ) 5 , com c e d inteiros. A prova então termina como no caso anterior.