Dimensão fractal

Na geometria fractal , a dimensão fractal, D , é uma grandeza que visa traduzir a maneira como um conjunto fractal preenche o espaço, em todas as escalas. No caso dos fractais, não é inteiro e maior que a dimensão topológica .

Este termo é um termo genérico que cobre várias definições. Cada um pode dar resultados diferentes dependendo do conjunto considerado, portanto, é essencial mencionar a definição utilizada na avaliação da dimensão fractal de um conjunto. As definições mais importantes são a dimensão de Hausdorff , a dimensão de Minkowski-Bouligand (ou "contagem de caixas") e a dimensão de correlação.

No caso de conjuntos fractais simples (auto-similaridade estrita, em particular), conjecturamos que essas definições dão resultados idênticos.

Por abuso de linguagem, às vezes encontramos o termo "dimensão fractal" para se referir a quantidades não geométricas, como o expoente das leis de potência nas leis de distribuição estatística ou série temporal , invariante de escala, particularmente em finanças.

Abordagem didática

As figuras geométricas usuais têm uma dimensão inteira:

• A dimensão D de um segmento, um círculo e uma curva regular é 1. Seu comprimento é multiplicado por quando seu tamanho dobra.2=21{\ displaystyle 2 = 2 ^ {1}}
• A dimensão D de uma superfície simples e limitada é 2. Ela tem uma área finita e essa área é multiplicada quando seu tamanho dobra.4=22{\ displaystyle 4 = 2 ^ {2}}
• A dimensão D de um volume simples e espacialmente limitado é 3. Ele tem um volume finito e esse volume é multiplicado por quando seu tamanho dobra.8=23{\ displaystyle 8 = 2 ^ {3}}

Se D for a dimensão de um objeto, então a medida desse objeto é multiplicada por quando o tamanho desse objeto é multiplicado por . nãoD{\ displaystyle n ^ {\ mathrm {D}}}não{\ displaystyle n}

Agora, por exemplo, o comprimento da curva de Koch é multiplicado por 4 quando seu tamanho triplica (na verdade, essa curva é precisamente definida como sendo composta de quatro cópias de si mesma, três vezes menor). Desde então , podemos intuitivamente considerar que é um objeto de dimensão (mais precisamente, ). Não é mais uma simples curva unidimensional, nem uma superfície, está “entre”. Esta "dimensão fractal", não inteira, é característica dos conjuntos fractais. 4≈31,26{\ displaystyle 4 \ approx 3 ^ {1,26}}D≈1,26{\ displaystyle \ mathrm {D} \ aprox. 1,26}D=registro⁡(4)/registro⁡(3){\ displaystyle \ mathrm {D} = \ log (4) / \ log (3)}

Outra abordagem

De forma simplificada e como uma primeira aproximação, um objeto fractal é um objeto que possui uma homotetia interna, ou seja, uma parte do objeto é idêntica ao objeto completo. Consideremos um exemplo simples, o floco de neve de Koch  : essa curva é construída recursivamente, partimos de um segmento de linha e substituímos cada segmento por um segmento com uma divisa no meio.

Esta operação é repetida indefinidamente. Esta curva é uma linha (portanto, de dimensão 1, no sentido comum). Seu comprimento é infinito, pois a cada passo multiplicamos seu comprimento por 4/3, e há um número infinito de passos. No entanto, e ao contrário de uma linha infinita, sempre podemos encontrar uma curva de comprimento finito tão próxima quanto quisermos da curva de von Koch. Podemos, portanto, dizer de fato que se acharmos que o comprimento da curva de von Koch é infinito, é porque a estamos avaliando em uma dimensão “ruim”, e que medindo “melhor”, teríamos um “útil” medida, acabado.

Precisamos voltar à noção de um padrão em física:

• O padrão de comprimento é uma régua de comprimento fixo (dimensão 1): para medir um comprimento, observamos quantas réguas cabem ponta a ponta na curva;
• O padrão de superfície é um ladrilho (quadrado) com um lado fixo (dimensão 2): para medir a superfície, olhamos quantos ladrilhos podemos colocar lado a lado na superfície;
• O padrão de volume é um bloco (cubo) de borda fixa (dimensão 3): para medir o volume, olhamos quantos blocos podemos empilhar no objeto.

Podemos apenas avaliar o comprimento de um objeto unidimensional: mesmo tomando uma regra minúscula, um ponto nunca pode contê-la e, inversamente, em uma superfície, podemos colocar um número infinito de regras lado a lado. espessura zero).

Da mesma forma, só podemos avaliar a área de um objeto bidimensional: um ponto ou uma curva nunca pode ser pavimentada por quadrados (mesmo muito pequenos), e em um volume, podemos empilhar um número infinito de ladrilhos (estes têm espessura zero).

Só podemos avaliar o volume de um objeto tridimensional, pois não podemos colocar uma pedra de pavimentação em um ponto, uma curva ou uma superfície.

Assim, se chamarmos d o da dimensão do objeto e d e do padrão, temos:

• se d e > d o , a medida dá 0: não podemos colocar um único padrão no objeto; este é o caso da curva de von Koch ao usar uma medida com uma área, o que, portanto, indica que sua dimensão fractal é estritamente menor que 2.
• se d e < d o , a medida dá ∞: podemos colocar quantos padrões quisermos no objeto; este é o caso da curva de von Koch ao usar uma medida com um comprimento, o que indica, portanto, que sua dimensão fractal é estritamente maior que 1.
• se d e = d o , a medição pode dar (se o objeto medido não for infinito) um número finito, o número de padrões necessários para cobrir o objeto; nosso problema é, portanto, encontrar (se existe) a dimensão “certa”, aquela que nos dará uma medida finita (se o objeto é finito).

Para fazer esta medição, o “tamanho” do garanhão não deixa de ter efeito. Se o padrão for muito grande, ele não caberá no objeto (a medição é zero), mas a obtenção de padrões cada vez menores (geralmente) obterá medições mais próximas. Se, para medir uma linha, usarmos uma régua de comprimento ℓ, quanto menor ℓ, mais padrões podemos colocar no objeto a ser medido. A medida é o produto do número de padrões pelo tamanho do padrão  : Se fizermos N ℓ réguas de comprimento ℓ, a medida será

M (ℓ) = N ℓ × ℓ  1

Para um ladrilho com lado ℓ, a área do ladrilho será ℓ², e se cobrirmos a área com N ℓ tiles, a medida será

M (ℓ) = N ℓ × ℓ  2

Para um bloco de aresta ℓ, o volume do bloco será ℓ 3 , e se preenchermos o objeto com N ℓ blocos, a medida será

M (ℓ) = N ℓ × ℓ  3

Vemos que a dimensão também é o expoente envolvido no cálculo da medida.

No caso de uma linha usual, ao usar uma regra de comprimento ℓ dividido por dois (ou por três, quatro, ..., N), pode-se colocar cerca de duas (respectivamente três, quatro, ..., N) vezes mais vezes o padrão no objeto: a medida quase não muda e, finalmente, à medida que reduzimos o tamanho do padrão, obtemos uma série de medidas que convergem: o comprimento exato da curva é o limite de M (ℓ) à medida que ℓ se aproxima de 0, é um número real.

Veja o exemplo de uma superfície; ao pavimentá-lo com ladrilhos, obtemos apenas uma aproximação de sua área (nos aproximamos da superfície por um polígono). Se fizermos com que N ℓ regras de comprimento ℓ se mantenham , a medida será

M (ℓ) = N ℓ × ℓ  2

A área exata da curva é o limite de M (ℓ) conforme ℓ se aproxima de 0. Por outro lado

M (ℓ) = N ℓ × ℓ  1

tende a + ∞, e

M (ℓ) = N ℓ × ℓ  3

tende para 0. Encontramos por cálculo o que estabelecemos pela geometria.

No caso da curva de von Koch, podemos ver que quando dividimos o padrão de comprimento por 3 , podemos colocar 4 vezes mais padrões. De repente, a série de medidas de comprimento

H (ℓ / 3) N = ℓ / 3 × (ℓ / 3)  1 = 4N ℓ × ℓ  1 /3 = 4/3 x H (ℓ)> H (ℓ)

não converge e a sequência de medidas de área

H (ℓ / 3) N = ℓ / 3 × (ℓ / 3) 2 = 4N ℓ / 3 × ℓ 2 /9 = 4/9 x H (ℓ) <H (ℓ)

tende a 0.

Mas é possível imaginar uma dimensão fracionária, para variar continuamente a “dimensão”. E, de fato, para a dimensão

d o = log 4 / log 3 ≈ 1,2619.

podemos convergir a medida para a curva de von Koch tomando:

M (ℓ) = N ℓ × ℓ fazer  

As principais definições

As seguintes definições, as mais comumente encontradas, abundam na literatura (ver os artigos detalhados ou as referências citadas no final do artigo: Mandelbrot ou Falconer).

Definição	Aplicabilidade	Fórmula	Comentários
Dimensão de Hausdorff	o mais rigoroso e definido para todos juntos, não é fácil de implementar.	DH=inf{s,Hs(X)=0}=e aí{s,Hs(X)=∞}{\ displaystyle D_ {H} = \ inf \ left \ {s, H ^ {s} (X) = 0 \ right \} = \ sup \ left \ {s, H ^ {s} (X) = \ infty \ direito \}}onde está a medida de Hausdorff do conjuntoHs(X){\ displaystyle H ^ {s} (X)}	É baseado em uma medida, a medida de Hausdorff . É o valor crítico de s para o qual o valor da medição vai de 0 a infinito. Hs(X){\ displaystyle H ^ {s} (X)}
Dimensão de homotetia (1)	Limitado a conjuntos com homotetia interna	Dh{\ displaystyle D_ {h}}é a solução de onde N é o número da homotetia e r k a razão da homotetia do posto k . No caso de relatórios idênticos, admite-se uma solução analítica simples (ver abaixo)∑k=1NÃOrkDh=1{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} r_ {k} ^ {D_ {h}} = 1}	Esta é a tradução mais simples da dimensão de Hausdorff, aplicável apenas a conjuntos fractais com homotetia interna onde a homotetia que os compõe são duas disjuntas. Atenção, esta fórmula não é aplicável no caso de transformações afins ou não lineares.
Dimensão de homotetia (2)	Limitado a conjuntos com dilatações internas da mesma proporção	Dh=em⁡(NÃO)em⁡(1r){\ displaystyle D_ {h} = {\ frac {\ ln (N)} {\ ln ({\ frac {1} {r}})}}}onde N é o número de homotetia er a razão de homotetia	Este é um caso especial de solução para a equação geral acima. A dimensão da homotetia é então igual ao quociente logarítmico entre o número de dilatações internas do conjunto, no inverso da razão da homotetia.
Dimensão Minkowski-Bouligand ou "Contagem de caixas"	Todos juntos	Dcaixa=limε→0registro⁡NÃO(ε)registro⁡(1/ε){\ displaystyle D _ {\ text {box}} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {\ log N (\ varepsilon)} {\ log (1 / \ varepsilon)}}}onde N (ε) é um número de subconjuntos de diâmetro no máximo ε necessário para cobrir o conjunto.	A maneira mais comum e fácil de medir numericamente a dimensão de um fractal. Ele toma como base a cobertura do conjunto fractal por conjuntos de tamanhos decrescentes. Baseado no conceito de contagem e não medição, o que o torna menos universal. Pode, então, ser maior do que a dimensão de Hausdorff, mas nunca menos.

Outras definições

Essas definições são mais raras na literatura. Eles são usados ​​em contextos específicos ( teoria do caos , por exemplo).

Definição	Aplicabilidade	Fórmula	Comentários
Dimensão de correlação	Aplicado a conjuntos de pontos (atratores em particular)	Dvs=limε→0,M→∞registro⁡(gε/M2)registro⁡ε{\ displaystyle D_ {c} = \ lim _ {\ varejpsilon \ rightarrow 0, M \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ log (g _ {\ varepsilon} / M ^ {2})} {\ log \ varepsilon }}}onde M é o número de pontos usados ​​para gerar o fractal eg ε o número de pares de pontos cuja distância mútua é menor que ε.	Dimensão Rényi de ordem 2. Principalmente usado na teoria do caos para estimar a dimensão fractal de atratores , representada por um conjunto de pontos calculados. Ele considera o número de pares de pontos cuja distância mútua é menor que uma determinada distância. Tem a vantagem de permitir cálculos rápidos e muitas vezes de acordo com outros métodos de cálculo.
Dimensão de informação	Aplicado a conjuntos de pontos (atratores em particular)	Deu=limε→0∑eu=1NÃOPeuregistro⁡Peuregistro⁡1ε{\ displaystyle D_ {I} = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} P_ {i} \ log {P_ {i}}} {\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}}}}}onde N é o número de hipercubos laterais que compartilham espaço e a probabilidade de um ponto cair no cubo de índice iϵ{\ displaystyle \ epsilon}Peu{\ displaystyle P_ {i}}	Dimensão Rényi de ordem 1. A dimensão informação considera as informações necessárias para descrever as células ocupadas pelos pontos do atrator, à medida que o tamanho dessas células diminui.
Dimensão de Rényi	Aplicado a conjuntos de pontos (atratores em particular)	Dα=limε→011-αregistro⁡(∑eupeuα)registro⁡1ε{\ displaystyle D _ {\ alpha} = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ frac {{\ frac {1} {1- \ alpha}} \ log (\ sum _ {i} p_ {i} ^ {\ alpha})} {\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}}}}}onde o numerador é o limite da entropia de Rényi de ordem α	Adequado para medir atratores . A dimensão Minkowski, a dimensão informação e a dimensão correlação podem ser vistas como casos particulares da dimensão Rényi de ordem α. A dimensão Rényi para α = 0 trata todas as partes do suporte atrator de forma idêntica. Para valores maiores de α, maior peso é dado às partes do atrator visitadas com mais frequência. Um atrator para o qual as dimensões de Rényi não são todas iguais é considerado multifractal ou tem uma estrutura multifractal.
Dimensão da embalagem	Todos juntos	....	Dual da dimensão de Hausdorff. Considera o máximo de bolas disjuntas cujo centro pertence ao conjunto fractal e não o mínimo de bolas que cobrem o fractal.
Dimensão divisora	Aplicado a curvas sem autointerseção	Dd=limε→0registro⁡NÃOεregistro⁡1ε{\ displaystyle D_ {d} = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ frac {\ log N _ {\ varepsilon}} {\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}}}}}onde é o maior número de pontos da curva sucessivamente equidistantes por um determinado comprimento ( como )NÃOε{\ displaystyle N _ {\ varepsilon}}xk{\ displaystyle x_ {k}}|xk+1-xk|=ε{\ displaystyle | x_ {k + 1} -x_ {k} | = \ varepsilon}	Considere a aplicação repetida de uma unidade de medida de comprimento cada vez menor (veja a ilustração no início do artigo). Usado por Lewis Fry Richardson para medir a dimensão da costa da Grã-Bretanha.

Relações entre dimensões

Mostramos, no caso geral, que: onde: Dt≤Dvs≤Deu≤DH≤Dcaixa≤Dd{\ displaystyle D_ {t} \ leq D_ {c} \ leq D_ {i} \ leq D_ {H} \ leq D _ {\ text {box}} \ leq D_ {d}}

Dt{\ displaystyle D_ {t}}é a dimensão topológica do conjunto Dvs{\ displaystyle D_ {c}} é a dimensão de correlação do conjunto (Rényi de ordem 2) Deu{\ displaystyle D_ {i}} é a dimensão da informação do conjunto (Rényi de ordem 1) DH{\ displaystyle D_ {H}}é a dimensão de Hausdorff do conjunto (ou dimensão homotetia) Dcaixa{\ displaystyle D _ {\ text {box}}}é a dimensão Minkowski-Bouligand do conjunto Dd{\ displaystyle D_ {d}} é a dimensão "dividir" do conjunto

No caso da autossimilaridade estrita, conjecturamos (Schroeder, 1991) que e são iguais. DH{\ displaystyle D_ {H}}Dcaixa{\ displaystyle D _ {\ text {box}}}

Para um atrator, se cada elemento do atrator tem uma probabilidade idêntica de ser visitado, então e são iguais. Deu{\ displaystyle D_ {i}}Dcaixa{\ displaystyle D _ {\ text {box}}}

Aplicativos e limitações

A medição da dimensão fractal encontra aplicações em muitos campos de pesquisa, como física, análise de imagens, análise acústica de zeros da função de Riemann ou processos eletroquímicos.

Estimar a dimensão fractal de objetos reais é muito sensível ao ruído e à quantidade de dados disponíveis. Devemos, portanto, ter cuidado com o valor obtido.

As definições de dimensão fractal apresentadas nas seções anteriores chegam ao limite, pois ε se aproxima de zero. No entanto, esse limite nunca é alcançado no mundo físico por causa dos limites moleculares ou quânticos. Por esta razão, não existe um objeto fractal físico em sentido estrito.

A dimensão fractal é, na prática, calculada apenas sobre um intervalo definido, geralmente para valores visíveis de ε (ou significativos em relação às propriedades que se deseja estudar). Vamos assim definir uma dimensão fractal aparente ou aproximada .

A medição de tal dimensão fractal aparente freqüentemente usa o método Minkowski-Bouligand ou método de "contagem de caixas" por caixas de contagem. Isso consiste de

• medir os valores de para diferentes valores de ε no intervalo escolhido,NÃO(ε){\ displaystyle N (\ varepsilon)}
• em seguida, plote esses valores em um gráfico em função de . Se a figura for auto-semelhante, esses pontos serão alinhados,registro⁡(NÃO(ε)){\ displaystyle \ log (N (\ varepsilon))}registro⁡(1/ε){\ displaystyle \ log (1 / \ varepsilon)}
• finalmente, determine a inclinação desta linha reta, que dará o valor da dimensão fractal desejada.

Esta restrição também pode dizer respeito a construções puramente geométricas. Como contra-exemplo, na ilustração contras, definimos uma figura paradoxal fractal tendo a aparência da curva de Koch , mas com a dimensão fractal do conjunto de Cantor  : . É construído à maneira de Koch nas primeiras iterações, aquelas relativas aos intervalos de comprimento visível, mas continua ad infinitum com a construção do conjunto triádico de Cantor. Se nos limitarmos ao aspecto visível, podemos considerar sua dimensão fractal aparente , que é igual à da curva de Koch :, nos intervalos do ε visível. registro⁡(2)/registro⁡(3){\ displaystyle \ log (2) / \ log (3)}registro⁡(4)/registro⁡(3){\ displaystyle \ log (4) / \ log (3)}

Este exemplo também ilustra que dimensão fractal e “rugosidade” aparente, conceito popularizado por Mandelbrot, nem sempre andam de mãos dadas.

Veja também

• Lista de fractais por dimensão de Hausdorff

Notas

1. (em) Manferd Robert Schroeder , Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise , Nova York, WH Freeman & Co (Sd) 1991, 6 th  ed. , 429  p. ( ISBN  978-0-7167-2136-9 , LCCN  90036763 )
2. Dimensão fractal de um índice do mercado de ações
3. (em) Kenneth Falconer , Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications , Chichester, John Wiley & Sons, Ltd., 1990 e 2003 2 e  ed. , pocket ( ISBN  978-0-470-84862-3 , LCCN  2004271361 )
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14. (em) Ali Eftekhari, "  Fractal Dimension of Electrochemical Reactions  " , Journal of the Electrochemical Society , Vol.  151, n o  9,2004, E291-6 ( DOI  10.1149 / 1.1773583 )
15. nenhum objeto físico que seja estritamente circular ou quadrado. Esta reserva não se limita à geometria fractal

Referências

• Benoît Mandelbrot , Fractal Objects: Shape, Chance, and Dimension , Flammarion,1973
• Benoît Mandelbrot , Les Objets fractais, visão geral da linguagem fractal , Flammarion, 1975, 1984, 1989, 1995
• (pt) Benoît Mandelbrot , “  How Long Is the Coast of Britain? Auto-Similaridade Estatística e Dimensão Fracional.  ” , Science , New Series , vol.  156, n o  37751967, p.  636-638 ( DOI  10.1126 / science.156.3775.636 )
• (em) Kenneth Falconer , Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications , Chichester, Wiley , 1990 & 2003 2 e  ed. , pocket ( ISBN  978-0-470-84862-3 , LCCN  2004271361 )

links externos

• Benoit da TruSoft - Benoit, Programa de Análise Fractal.
• Um documento .pdf sobre as definições das dimensões fractais

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">