Identidade de Lagrange
Na matemática , e mais particularmente na álgebra , a identidade de Lagrange , descoberta por Joseph Louis Lagrange , é uma fórmula que transforma um produto de somas de quadrados em outra soma de quadrados; tem consequências importantes nas propriedades do produto vetorial .
Formulações algébricas de identidade
A identidade de Lagrange é:
(∑k=1nãonok2)(∑k=1nãobk2)-(∑k=1nãonokbk)2=∑1≤eu<j≤não(noeubj-nojbeu)2(=12∑1≤eu,j≤não(noeubj-nojbeu)2){\ displaystyle {\ begin {align} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} {\ biggr)} ^ {2} && = & \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & \\ & {\ biggl (} & = & {1 \ over 2} \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & {\ biggr)} \ end {alinhado}}}Aplica-se a quaisquer duas famílias ( a 1 , a 2 , ..., a n ) e ( b 1 , b 2 , ..., b n ) de números reais ou complexos , ou mais geralmente a elementos de um anel comutativo . Este é um caso especial da identidade de Binet-Cauchy .
No caso real, podemos expressá-lo de forma mais compacta com uma notação vetorial:
‖no‖2 ‖b‖2-(no⋅b)2=∑1≤eu<j≤não(det(noeubeunojbj))2{\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = \ sum _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ left (\ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ right) ^ {2}}onde um e b são vectores de ℝ n . Essa expressão pode ser estendida para ℂ n substituindo o produto escalar por um produto Hermitiano e o quadrado de um número complexo z pelo quadrado de seu módulo | z | :
(∑k=1não|nok|2)(∑k=1não|bk|2)-|∑k=1nãonok¯bk|2=∑1≤eu<j≤não|noeubj-nojbeu|2{\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ { n} | b_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl |} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ overline {a_ {k}}} b_ {k} { \ biggr |} ^ {2} = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} | a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} | ^ {2}}quer dizer:
‖no‖2 ‖b‖2-|no⋅b|2=∑1≤eu<j≤não|det(noeubeunojbj)|2.{\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - | \ mathbf {a \ cdot b} | ^ {2} = \ sum _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ right | ^ {2}.}O lado direito da igualdade sendo positivo e apenas anulando quando um e b são colineares , a identidade de Lagrange implica a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o seu caso de igualdade no caso de espaços Euclidiana (tais como ℝ n ), e os seus análogo em espaços de Hermit (como ℂ n ).
Os casos especiais n = 2 e n = 3 têm interpretações geométricas:
- para n = 2, obtemos a identidade de Diofanto (que generaliza na de Brahmagupta) :(no12+no22)(b12+b22)=(no1b1+no2b2)2+(no1b2-no2b1)2,{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}) = (a_ {1} b_ {1 } + a_ {2} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) ^ {2},}que corresponde à multiplicatividade do módulo nos complexos, uma vez que, ao definir e , esta fórmula é equivalente a ;z1=no1+euno2{\ displaystyle z_ {1} = a_ {1} + {\ rm {i}} a_ {2}}z2=b2+eub1{\ displaystyle z_ {2} = b_ {2} + {\ rm {i}} b_ {1}}|z1z2|2=|z1|2|z2|2{\ displaystyle | z_ {1} z_ {2} | ^ {2} = | z_ {1} | ^ {2} | z_ {2} | ^ {2}}
- o caso n = 3 é discutido abaixo, na seção dedicada ao produto vetorial .
Demonstração da versão algébrica
A seguinte prova corresponde a um cálculo algébrico direto e, portanto, é válida em qualquer anel comutativo .
∑1≤eu<j≤não(noeubj-nojbeu)2=∑1≤eu<j≤não(noeu2bj2-2noeubeunojbj+noj2beu2)=∑1≤eu,j≤nãoeu≠j(noeu2bj2-noeubeunojbj)=∑1≤eu,j≤não(noeu2bj2-noeubeunojbj)=(∑eu=1nãonoeu2)(∑j=1nãobj2)-(∑eu=1nãonoeubeu)(∑j=1nãonojbj).{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -2a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j} + a_ {j } ^ {2} b_ {i} ^ {2}) \\ & = \ sum _ {\ begin {smallmatrix} 1 \ leq i, j \ leq n \\ i \ neq j \ end {smallmatrix}} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n } (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} ^ {2} \ right) - \ left (\ sum _ { i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} b_ {j} \ right). \ end {alinhado }}}
Usando o produto externo , a identidade de Lagrange pode ser escrita:
(no⋅no)(b⋅b)-(no⋅b)2=(no∧b)⋅(no∧b).{\ displaystyle (a \ cdot a) (b \ cdot b) - (a \ cdot b) ^ {2} = (a \ wedge b) \ cdot (a \ wedge b).}Portanto, dá a norma do produto externo de dois vetores de acordo com seu produto escalar:
‖no∧b‖=(‖no‖ ‖b‖)2-‖no⋅b‖2.{\ displaystyle \ | a \ wedge b \ | = {\ sqrt {(\ | a \ | \ \ | b \ |) ^ {2} - \ | a \ cdot b \ | ^ {2}}}.}
A identidade de Lagrange e o produto cruzado
Em três dimensões, a identidade de Lagrange diz que o quadrado da área de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das áreas de suas projeções nos três planos de coordenadas. Algebricamente, se um e b são vetores de ℝ 3 com a norma | a | e | b |, podemos escrever a identidade usando o produto vetorial e o produto escalar :
|no|2|b|2-(no⋅b)2=|no×b|2.{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = | \ mathbf {a \ times b} | ^ {2}.}Na verdade, o lado esquerdo é
|no|2|b|2(1-porque2θ)=|no|2|b|2pecado2θ{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta) = | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}onde θ é o ângulo formado pelos vetores a e b ; é a área do paralelogramo dos lados | a | e | b | e do ângulo θ (ver também o artigo Determinante (matemática) ), e portanto o lado esquerdo é o quadrado desta área. O produto vetorial à direita é definido por
no×b=(no2b3-no3b2)eu+(no3b1-no1b3)j+(no1b2-no2b1)k,{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) \ mathbf {i} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) \ mathbf {j} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) \ mathbf {k},}vetor cujas coordenadas são (em valor absoluto) as áreas das projeções do paralelogramo nos planos yz , zx e xy, respectivamente.
Na dimensão 7
Para vectores de um e b de ℝ 7 , a identidade de Lagrange pode ser escrita, como no caso de ℝ 3 , sob a forma:
|no|2|b|2-|no⋅b|2=|no×b|2.{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - | \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} | ^ {2} = | \ mathbf {a } \ times \ mathbf {b} | ^ {2}.}No entanto, o produto vetorial 7-dimensional não tem todas as propriedades do produto vetorial usual. Assim, por exemplo, não verifica a identidade de Jacobi .
Interpretação por quatérnios
Um quatérnio p é definido como a soma de um escalar t e um vetor v :
p=t+v=t+x eu+y j+z k.{\ displaystyle p = t + \ mathbf {v} = t + x \ \ mathbf {i} + y \ \ mathbf {j} + z \ \ mathbf {k}.}O produto de dois quatérnions p = t + v e q = s + w é definido por
pq=(st-v⋅C)+sC+tv+v×C.{\ displaystyle pq = (st- \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) + s \ mathbf {w} + t \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}.}O conjugado de q é
q¯=t-v,{\ displaystyle {\ overline {q}} = t- \ mathbf {v},}e o quadrado de sua norma é
|q|2=qq¯=t2 + x2+ y2 + z2.{\ displaystyle | q | ^ {2} = q {\ overline {q}} = t ^ {2} \ + \ x ^ {2} + \ y ^ {2} \ + \ z ^ {2}.}Temos a multiplicatividade da norma, que é dizer que, para quaternions p e q , temos:
|pq|=|p||q|.{\ displaystyle | pq | = | p || q |.}Os quatérnions p e q são considerados imaginários (ou puros) se sua parte escalar for zero, ou se
p=v,q=C.{\ displaystyle p = \ mathbf {v}, \ quad q = \ mathbf {w}.}A identidade de Lagrange (na dimensão 3) equivale simplesmente a afirmar a multiplicatividade da norma para quatérnios imaginários
|vC|2=|v|2|C|2{\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = | \ mathbf {v} | ^ {2} | \ mathbf {w} | ^ {2}}uma vez que, por definição,
|vC|2=(v⋅C)2+|v×C|2.{\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) ^ {2} + | \ mathbf {v} \ times \ mathbf { w} | ^ {2}.}(A multiplicatividade de quaisquer quatérnios dá outra identidade importante: a identidade dos quatro quadrados de Euler .)
Referências
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
“ Identidade de Lagrange ” ( veja a lista de autores ) .
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(em) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press ,
2003, 2 nd ed. , 3252 p. ( ISBN 978-1-4200-3522-3 , leia online ).
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(em) Robert E. Greene e Steven G. Krantz , Teoria da Função de Uma Variável Complexa , AMS ,
2006, 3 e ed. , 504 p. ( ISBN 978-0-8218-3962-1 , leia online ) , “Exercício 16” , p. 22.
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(em) Vladimir A. Boichenko, Leonov Gennadii Alekseevich e Volker Reitmann, Teoria das dimensões para equações diferenciais ordinárias , Vieweg + Teubner Verlag ,
2005( ISBN 3-519-00437-2 , leitura online ) , p. 26.
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(em) J. Michael Steele , The Cauchy-Schwarz Master Class: Uma Introdução à Arte das Desigualdades Matemáticas , UPC ,2004, 306 p. ( ISBN 978-0-521-54677-5 , leia online ) , “Exercício 4.4: Identidade de Lagrange para números complexos” , p. 68-69.
-
Veja por exemplo página 4 do capítulo 7 do livro de Frank Jones, da Universidade Rice .
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(in) Howard e Chris Anton Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version , John Wiley & Sons ,2010, 10 th ed. , 773 p. ( ISBN 978-0-470-43205-1 e 0-470-43205-5 , ler online ) , “Relações entre produtos pontuais e cruzados” , p. 162.
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(in) Pertti Lounesto , Clifford Álgebras e spinors , CUP,2001, 2 nd ed. , 338 p. ( ISBN 978-0-521-00551-7 , leitura online ) , p. 94.
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Lounesto 2001 . Veja em particular § 7.4 Produtos cruzados em § 7 , p. 96 .
-
(em) Jack B. Kuipers , Quaternions e Sequências de Rotação: Um Primer com Aplicações a Órbitas, Aeroespacial e Realidade Virtual , PUP ,2002, 371 p. ( ISBN 978-0-691-10298-6 , leitura online ) , cap. § 5.6 (“A norma”) , p. 111.
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