Em matemática , o conjunto vazio é o conjunto que não contém elementos.
O conjunto vazio pode ser denotado com um O riscado , ou seja, ∅ ou simplesmente {}, que é um par de colchetes contendo apenas um espaço , para representar um conjunto que não contém nada. A classificação ∅ foi introduzida por André Weil , como parte da instituição de classificações do grupo Bourbaki . Von Neumann em seu artigo em 1923, que é uma das primeiras referências aos endereços, notas O .
Para qualquer conjunto A :
A união de uma família de conjuntos indexados por ∅ é igual a ∅.
A interseção de uma família de conjuntos indexados por ∅ não é definida sem se referir a um conjunto que os contém todos . Nesse caso, é igual ao último.
∅ é finito ; sua cardinalidade é 0: card (∅) = 0.
∅ admite uma topologia única , que é {∅}. É grosso (portanto, este espaço topológico está conectado ) e discreto (portanto, este espaço é compacto , como qualquer espaço finito discreto).
∅ admite uma tribo única , que é {∅} ( grosseira e discreta ).
Dois conjuntos são iguais se contiverem os mesmos elementos; este é o axioma da extensionalidade da teoria dos conjuntos . Portanto, só pode haver um conjunto que não contenha nenhum elemento, portanto, apenas um conjunto vazio.
Em algumas variantes da teoria dos conjuntos, podemos introduzir "objetos" chamados ur-elementos , que também não têm elementos e também podem ser elementos de conjuntos, mas que, ao contrário do conjunto vazio, não são conjuntos.
O conjunto vazio não contém nada , mas como é um conjunto, não é nada . Esta é a base na qual von Neumann se baseia para construir inteiros e ordinais .
A notação {∅} não tem o mesmo significado que a notação ∅; de fato, o conjunto designado por ∅ não tem nenhum elemento (porque é o conjunto vazio), enquanto o conjunto designado por {∅} tem um (este elemento é o conjunto vazio). Além disso, von Neumann define 0 como sendo ∅ e 1 como sendo {∅}.
Recuperação ( ver acima ) que o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto A , isto é, para qualquer elemento x de ∅, x pertence a um , o que está escrito formalmente: (∀ x ∈ ∅) x ∈ Uma . Mais geralmente, uma declaração da forma (∀ x ∈ ∅) P ( x ) (en) , que é uma abreviatura de ∀ x ( x ∈ ∅ ⇒ P ( x )), é sempre verdadeira , por exemplo , falso quodlibet .
O axioma de fundação afirma que toda seqüência termina, pois existe tal que, nesta seqüência ,.
O conjunto vazio é essencial na teoria dos conjuntos ou teoria ZFC , sua existência é assegurada pelo axioma do conjunto vazio . Sua singularidade deriva do axioma da extensionalidade .
Além disso, podemos demonstrar usando o esquema de axiomas de compreensão , que a existência de qualquer conjunto implica o axioma do conjunto vazio, o que evita, quando formalizamos a teoria dos conjuntos na lógica de primeira ordem, apelar para um axioma específico. para a existência do conjunto vazio (ver axioma do conjunto vazio ).
Diz-se, por definição, que um conjunto é habitado (in) se tiver pelo menos um.
Portanto :
um conjunto habitado não está vazio,Seu recíproco é o seguinte:
um conjunto não vazio é habitado,e pode ser formulado:
um conjunto que não é ∅ tem pelo menos um elemento.Afirmar sua equivalência a um conjunto habitado é não-vazio requer o terceiro excluído e, portanto, não é válido na lógica intuicionista .
Também temos o teorema:
O conjunto vazio pode ser caracterizado de forma muito simples como um objeto da categoria dos conjuntos . Na verdade, é o único objeto que possui a seguinte propriedade:
Para qualquer conjunto E, existe uma e apenas uma seta de ∅ a E.
No caso desta categoria, a seta significa aplicação . Mais geralmente, um objeto que, em uma categoria , possui essa propriedade é chamado de objeto inicial .
Roger Godement , Mathematical Analysis I: Convergence, Elementary Functions , Springer ,2001, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1998) ( li on-line ) , p. 9-11
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