4 politopo

Gráficos dos seis 4 politopos convexos regulares

	{3,3,3}	{3,3,4}	{4.3.3}
	Pentachore 4- simplex de 5 células	Orthoplex 4- hiperoctaedro de 16 células	Tesseract 4- cubo de 8 células
	{3,4,3}	{5.3.3}	{3.3.5}
	Octaplex de 24 células	Dodecaplex de 120 células	600-célula tetraplex

Em geometria, um politopo de 4 (freqüentemente também chamado de policoro ) é um politopo de espaço quadridimensional . É uma figura relacionada, composta por um número finito de politopos de dimensão inferior: vértices , arestas , faces (que são polígonos ) e células (que são poliedros ), cada face pertencendo a exatamente duas células. O 4-politopo mais conhecido é o tesserato (ou hipercubo), um análogo 4D do cubo.

Definição

A definição de 4 politopos varia muito entre os autores. Uma definição simples de 4-politopos convexos é ser o casco convexo de um conjunto finito de nem todos os pontos localizados no mesmo hiperplano . É então fácil definir os vértices , arestas , faces e células do politopo como os politopos de dimensão inferior incluídos no limite  ; daí se deduz uma definição mais abstrata, e não limitada à convexidade, como um conjunto de poliedros de estrutura combinatória adequada (por exemplo, cada polígono pertence exatamente a dois poliedros); essa descrição levou à noção ainda mais abstrata de complexo simplicial . R4{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}R4{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}

Visualização

Exemplos de representações de 24 células

Seções			Chefe
Projeções
por Schlegel	Ortogonal 2D	Ortogonal 3D	em rotação 4D

Uma verdadeira visualização dos 4 politopos sendo impossível no espaço usual, vários métodos foram imaginados para representá-los.

Projeções ortogonais

As projeções ortogonais são particularmente úteis para destacar as simetrias de alguns 4 politopos. Eles podem ser desenhados no plano como gráficos mostrando vértices e arestas, ou no espaço (com as 2 faces destacadas).

Projeções em perspectiva

Uma das projeções mais úteis para dar uma sensação de profundidade na quarta dimensão é o diagrama de Schlegel , uma projeção estereográfica dos vértices do politopo (supostamente inscritos em uma esfera 3 ) no espaço usual e, em seguida, conectando esses vértices por bordas (que não são necessariamente os projetos das bordas reais).

Seções

Uma seção de um poliedro por um plano é um polígono; da mesma forma, o corte de um politopo 4 com um hiperplano revela um poliedro. Uma série dessas seções por hiperplanos paralelos dá uma ideia da forma global, e podemos dar uma representação animada (que equivale a usar o tempo como a quarta dimensão).

Padrões

O padrão de um politopo 4 é composto de células poliédricas conectadas por suas faces; reconstruir o politopo também requer indicações de dobramento na quarta dimensão.

A característica de Euler, suficiente para classificar poliedros (e mais geralmente superfícies compactas do espaço tridimensional) em isomorfismo, não pode ser generalizada com utilidade para dimensões superiores, o que levou à descoberta dos números de Betti  ; da mesma forma, a orientabilidade deve ser substituída pelo estudo mais geral da torção dos grupos de homologia do politopo.

Classificações

Terminologia

• Um politopo de 4 é convexo se sua borda (células, faces e bordas) não se interceptar e se algum segmento que une dois pontos da borda estiver contido no politopo; caso contrário, é não convexo . 4-politopos que se auto-interseccionam expressam Star  (fr) , por analogia com os polígonos de estrelas e poliedros Kepler-Poinsot .
• Um 4-politopo é regular se for transitivo em seus sinalizadores . Provamos que isso é equivalente a todas as suas células sendo poliedros regulares congruentes , e todas as suas figuras de vértice sendo outros poliedros regulares congruentes.
• Poliepítopo 4-convexa é semi-normal  (em) se todas as células são de poliedros regulares e se existe um grupo de simetria transitória nos picos , mas não é regular. Existem apenas três politopos semirregulares, identificados por Thorold Gosset em 1900: as células truncadas 5  (en) , as células 600 truncadas  (em) e as células truncadas de 24  (en) .
• 4-politopo é uniforme  (in) se todas as suas células forem poliedros uniformes e se houver um grupo de simetria transitivo nos vértices . Os 2 lados de um 4 politopo uniforme são polígonos regulares .
• Um 4-politopo é escaliforme  (en) se for transitivo nos vértices e se todas as suas arestas tiverem o mesmo comprimento. As células podem, portanto, ser não uniformes, por exemplo sólidos de Johnson .
• Um 4-politopo é prismático se for o produto cartesiano de politopos de dimensões menores.

Aulas

As classes a seguir agrupam politopos com muitas simetrias. Outras aulas foram estudadas, mas geralmente de forma muito menos exaustiva.

4 politopos uniformes  :

• Polopos uniformes 4-convexos (64, mais duas famílias infinitas)
  • 47 não prismáticos, incluindo:
    • os seis 4 politopos convexos regulares (os policoros regulares )
  • 18 hiperprismas poliédricos do tipo {} × {p, q} (entre os quais o hipercubo )
  • Uma família infinita de prismas construída sobre antiprismas
  • Uma família infinita de duoprismas do tipo {p} × {q}
• 4 politopos não convexos uniformes
  • Estrela de 10 politopos regulares (os politopos Schläfli-Hess  (em) )
  • 57 hiperprismas construídos em poliedros estrelados uniformes
  • Outros 4 politopos uniformes não convexos, em número total ainda desconhecido: em 2005, Norman Johnson e seus colaboradores identificaram mais de 1.800, utilizando o software Stella 4D  ( fr )

Outras aulas

• Hiperpiramidas
• Hiperprismas

Generalizações

As inclinações do espaço (em três dimensões) generalizam os 4 politopos (são 4 politopos infinitos), assim como as inclinações do plano generalizam os poliedros. Uma telha uniforme consiste em poliedros uniformes.

Politopos uniformes 4 infinitos do espaço euclidiano

• 28 telhas convexas uniformes  (in) , entre as quais 1 telha regular, a telha cúbica {4,3,4}.

4 politopos uniformes infinitos de espaço hiperbólico

• 76 tilings chamados Wythoffian , entre os quais 4 tilings regulares: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} e {5,3,5}.

Os politopos abstratos são estruturas combinatórias semelhantes aos politopos, mas sem realização geométrica. Um exemplo na dimensão 2 é o digone .

Politopos uniformes 4 abstratos

• 11 células  (pol)
• 57 células  (in)

Veja também

• Politopo convexo 4-regular

Referências

• (fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente de um artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  4-polytope  " ( veja a lista de autores ) .

Notas

1. (in) NW Johnson , Geometries and Transformations (2018) ( ISBN  978-1-107-10340-5 ) Capítulo 11: Simetria de grupos finitos , 11.1 politopos e favos de mel , p.224
2. T. Vialar , Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance , Springer,2009( ISBN  978-3-540-85977-2 , leitura online ) , p.  674
3. V. Capecchi , Contucci, P., Buscema, M. e D'Amore, B., Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts , Springer,2010( ISBN  978-90-481-8580-1 , DOI  10.1007 / 978-90-481-8581-8 , leitura online ) , p.  598
4. (em) Richeson, D.; Gema de Euler: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy , Princeton, 2008.
5. (em) Norman Johnson , Uniform Polychora ,

Bibliografia

• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins e JCP Miller : Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londres, 1954
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter, editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ( ISBN  978-0-471-01003-6 ) [1]
  • (Documento 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
  • (Documento 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Documento 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• JH Conway e MJT Guy : Four-Dimensional Archimedean Polytopes , Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
• NW Johnson : The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• Polopos arquimedianos quadridimensionais (alemão), Marco Möller, dissertação de doutorado de 2004 [2]

links externos

• (en) Eric W. Weisstein , "  Polychoron  " , no MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein , "  Polyhedral formula  " , em MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein , "  Regular polychoron Euler features  " , no MathWorld
• Uniform Polychora , de Jonathan Bowers
• Visualizador Uniform polychoron - Applet Java3D com fontes
• Dr. R. Klitzing, polychora