Poliedro uniforme

Um poliedro uniforme é um poliedro cujas faces são polígonos regulares , e que é isogonal , ou seja, para qualquer par de vértices existe uma isometria que aplica um vértice ao outro. Segue-se que todos os vértices são congruentes , e que o poliedro tem um alto grau de simetria por reflexão e rotação . A noção de poliedro uniforme é generalizada, para qualquer número de dimensões, pela de politopo uniforme (en) .

Os poliedros uniformes podem ser regulares , quase regulares ou semi-regulares . As faces não precisam ser convexas , então muitos poliedros uniformes são estrelados .

Excluindo os dois conjuntos infinitos de prismas uniformes e antiprismas (incluindo convexos e estrelados), existem 75 poliedros uniformes (ou 76 se as bordas coincidirem):

Poliedros convexos uniformes:
- os 5 sólidos platônicos (regulares),
- os 13 sólidos arquimedianos (2 quase regulares e 11 semi-regulares );
Poliedros estrelados uniformes :
- o 4 regular: sólidos Kepler-Poinsot ,
- os 53 não regulares: 14 com faces convexas e 39 com faces não convexas ,
- 1 poliedro com pares de arestas que coincidem, encontrado por John Skilling (en) .

Eles também podem ser agrupados por grupo de simetria , o que é feito a seguir.

História

Os sólidos platônicos são conhecidos desde os tempos antigos pelos gregos clássicos e foram estudados por Platão , Teeteto e Euclides .
Johannes Kepler (1571-1630) foi o primeiro a publicar a lista completa dos sólidos de Arquimedes após a perda da obra original de Arquimedes .
Kepler (1619) descobriu dois dos sólidos regulares de Kepler-Poinsot e Louis Poinsot (1809) descobriu os outros dois.
Dos 66 que restaram, 37 foram descobertos por Albert Badoureau (1881). Edmund Hess ( 1878) descobriu mais 2 e Pitsch (1881) descobriu 18 independentemente, incluindo 15 novos.
Coxeter descobriu os 12 restantes em colaboração com JCP Miller (in) (1930-1932), mas não publicou. MS (en) e HC Longuet-Higgins descobriram independentemente 11 deles.
Em 1954, Coxeter, Longuet-Higgins e Miller publicou a lista de poliedros uniformes .
Em 1970, Sopov demonstrou sua conjectura de que a lista estava completa.
Em 1974, Magnus Wenninger (in) publicou seu livro Polyhedron models (en) (poliedros bosses), que é toda a primeira lista publicada de 75 poliedros uniformes não prismáticos, muitos nomes não publicados anteriormente, foram batizados por Norman Johnson .
Em 1975, John Skilling provou independentemente a completude desta lista e mostrou que se a definição do poliedro uniforme for relaxada para permitir a coincidência de arestas, então apenas uma possibilidade adicional é oferecida.
Em 1993, Zvi Har'El produziu uma construção computacional completa de poliedros uniformes e seus duais por meio de suas construções caleidoscópicas por meio de um programa de computador chamado Kaleido , e resumido em um artigo intitulado Solução Uniforme para Poliedros Uniformes. , contando sólidos 1-80.
Também em 1993, R. Mäder portou esta solução Kaleido para o Mathematica com um sistema de indexação ligeiramente diferente.

Indexação

Existem quatro esforços principais de indexação publicados a partir do trabalho acima. Para distingui-los, eles são dados por diferentes letras de índice, C para a primeira enumeração de sólidos por Coxeter em 1954, W para o livro de 1974 sobre padrões de poliedros de Wenninger, K para a solução Kaleido de 1993 e U para a solução de Maeder usada Mathematica e reproduzido extensivamente em outros lugares.

[ C ] 1954: este artigo listou os poliedros uniformes por sólidos de 15 a 92. Começando com 15-32 para formas convexas, 33-35 para os 3 conjuntos prismáticos infinitos e terminando com 36-92 para formas não convexas.
[ W ] 1974: O modelo de poliedro do livro de Wenninger listou os sólidos de 1 a 119: 1-5 para sólidos platônicos, 6-18 para sólidos de Arquimedes, 19-66 para formatos de estrela, incluindo os 4 poliedros regulares não convexos e terminados com 67- 119 para poliedros uniformes não convexos.
[ K ] 1993 Kaleido: os 80 sólidos dados na solução Kaleido foram agrupados por simetria, listados de 1 a 80: 1-5 como representativos das famílias infinitas de formas prismáticas com simetria diédrica , 6-9 com simetria tetraédrica (em) , 10-26 com simetria octaédrica , 46-80 com simetria icosaédrica .
[ U ] 1993 Mathematica: Esta lista seguiu a de Kaleido, mas moveu as 5 formas prismáticas para o final, mudando as formas não prismáticas em 5, de 1 para 75.

Formas convexas e configurações de vértices fundamentais

Poliedros uniformes convexos podem ser nomeados por operações de construção Wythoff em uma forma pai.

Nota : os diedros (en) fazem parte de um conjunto infinito de poliedros de dois lados (2 polígonos idênticos) que geram os prismas como formas truncadas.

Cada uma dessas formas convexas define um conjunto de vértices que podem ser identificados para as formas não convexas na próxima seção.

	Pai	Truncado	Retificado	Bitronqué (truncado duplo)	Birected (dual)	Chanfrado	Omni -truncado ( retificado-truncado )	Suavizado
Símbolo estendido de Schläfli	$\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	$t \ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	$\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	$t \ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	$\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	$r \ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	$t \ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	$s \ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$
Símbolo estendido de Schläfli	t 0 {p, q}	t 0,1 {p, q}	t 1 {p, q}	t 1,2 {p, q}	t 2 {p, q}	t 0,2 {p, q}	t 0,1,2 {p, q}	s {p, q}
Símbolo Wythoff p-q-2	q \| p 2	2 q \| p	2 \| pq	2 p \| q	p \| q 2	pq \| 2	pq 2 \|	\| pk 2
Diagrama de Coxeter-Dynkin (variações)

	(o) -poqo	(o) -p- (o) -qo	op- (o) -qo	op- (o) -q- (o)	opoq- (o)	(o) -poq- (o)	(o) -p- (o) -q- (o)	() -p- () -q- ()
	xPoQo	xPxQo	oPxQo	oPxQx	oPoQx	xPoQx	xPxQx	sPsQs
	[p, q]: 001	[p, q]: 011	[p, q]: 010	[p, q]: 110	[p, q]: 100	[p, q]: 101	[p, q]: 111	[p, q]: 111s
Configuração superior (en)	p q	(q.2p.2p)	(pqpq)	(p.2q.2q)	q p	(p.4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.p.3.q)
Tetraédrico 3-3-2	{3.3}	(3.6.6)	(3.3.3.3)	(3.6.6)	{3.3}	(3.4.3.4)	(4.6.6)	(3.3.3.3.3)
Octaédrico 4-3-2	{4.3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4.4)	(4.6.8)	(3.3.3.3.4)
Icosaédrico 5-3-2	{5.3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3.5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3.3.5)
Diédrico p-2-2 Exemplo p = 5	{5.2}	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	{2.5}	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5

Definição de operações

Cirurgia	Símbolos Schläfli estendidos		Descrição
Pai	t 0 {p, q}	$\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	Qualquer poliedro ou pavimentação regular
Retificado	t 1 {p, q}	$\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	As bordas são totalmente truncadas em pontos únicos. O poliedro agora tem as faces combinadas do pai e do duplo.
Birected Dual	t 2 {p, q}	$\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	O birectificado (dual) é mais um truncamento, ou seja, as faces originais são reduzidas a pontos. Novas faces são formadas sob cada vértice do pai. O número de arestas permanece inalterado e é girado 90 graus. O dual de um poliedro regular {p, q} também é um poliedro regular {q, p}.
Truncado	t 0,1 {p, q}	$t \ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}$	Cada vértice original é cortado, com novas faces preenchendo o buraco. O truncamento tem um grau de liberdade, que tem uma solução que cria um poliedro uniforme truncado. O poliedro tem suas faces originais dobradas pelos lados e contém as faces do dual.
Bitronqué	t 1,2 {p, q}	$t \ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}$	Idêntico ao dual truncado.
Chanfrado (ou losango) ( desenvolvido )	t 0,2 {p, q}	$r \ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	Além do truncamento dos vértices, cada aresta original é planificada revelando em vez de novas faces retangulares. O chanfro uniforme está a meio caminho entre as formas principal e dupla.
Omnitroncature (ou retificação-truncamento)	t 0,1,2 {p, q}	$t \ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	As operações de truncar e retificar são aplicadas juntas, criando uma forma omnitronada que tem as faces pai duplicadas nas laterais, as faces duplas nas laterais e quadrados onde existiam as arestas originais.
Suavizado	s {p, q}	$s \ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}$	A suavização assume a forma omnitronizada e retifica os vértices alternadamente (esta operação só é possível para poliedros com todas as faces em lados pares). Todas as faces originais terminam com metade dos lados e o quadrado degenera em arestas. Como as formas omnitronizadas têm 3 faces / vértices, novos triângulos são formados.

Formas não convexas listadas por grupos de simetria e configurações de vértices

Todos os poliedros uniformes são listados abaixo por seus grupos de simetria e subgrupos por seus arranjos de vértices (configurações de vértices).

Os poliedros regulares são marcados por seus símbolos Schläfli . Os outros poliedros uniformes não regulares são listados por suas configurações de vértice (en) ou por seus índices do poliedro uniforme U (1-80).

Nota : Para formas não convexas, um descritor adicional, " não uniforme ", é usado quando o envelope convexo do arranjo de vértices tem a mesma topologia de um deles, mas tem faces não regulares. Por exemplo, uma forma de chanfro não uniforme pode ter retângulos criados no lugar de bordas em vez de quadrados .

Simetria tetraédrica

Existem dois poliedros convexos uniformes, o tetraedro e o tetraedro truncado , e uma forma não convexa, o tetrahemihexaedro, que tem simetria de tetraedro (em) . O tetraedro é um poliedro autodual .

Além disso, o octaedro , truncada octaedro , cuboctahedron e icosaedro possui tetraédrico simetria, bem como maior simetria. Eles são adicionados para completar a seguir, embora suas formas não convexas com simetria octaédrica não sejam incluídas aqui.

Grupo cimeira	Convexo	Não convexo
(Tetraedro)	{3.3}
Truncado (*)	(3.6.6)
Retificado (*)	{3,4}	(4.3 / 2.4.3)
Chanfrado (*)	(3.4.3.4)
Omni-rastreado (*)	(4.6.6)
Suavizado (*)	{3.5}

Simetria octaédrica

Existem 8 formas convexas e 10 formas não convexas com simetria octaédrica .

Grupo cimeira	Convexo	Não convexo
(Octaédrico)	{3,4}
Truncado (*)	(4.6.6)
Retificado (*)	(3.4.3.4)	(6,4 / 3,6,4)	(6.3 / 2.6.3)
Dual truncado (*)	(3.8.8)	(4,8 / 3,4 / 3,8 / 5)	(8 / 3.3.8 / 3.4)	(4.3 / 2.4.4)
Dual (*)	{4.3}
Chanfrado (*)	(3.4.4.4)	(4.8.4 / 3.8)	(8.3 / 2.8.4)	(8 / 3,8 / 3,3)
Omni-rastreado (*)	(4.6.8)
Omissão não uniforme (*)	(4.6.8)	(8 / 3.4.6)	(8 / 3.6.8)
Suavizado (*)	(3.3.3.3.4)

Simetria icosaédrica

Existem 8 formas convexas e 46 formas não convexas com simetria icosaédrica (ou 47 formas não convexas se o poliedro de Skilling estiver incluído). Algumas formas suaves e não convexas têm simetria quiral não uniforme e algumas têm simetria aquiral.

Existem muitas formas não uniformes de vários graus de truncamento e chanfro.

Grupo cimeira	Convexo	Não convexo
(Icosaédrico)	{3.5}	{5 / 2,5}	{5.5 / 2}	{3,5 / 2}
Truncado (*)	(5.6.6)
Truncado não uniforme (*)	(5.6.6)	U32	U37	U61	U38	U44	U56	U67	U73
Retificado (*)	(3.5.3.5)	U49	U51	U54	U70	U71	U36	U62	U65
Dual truncado (*)	(3.10.10)	U42	U48	U63
Não uniforme truncado duplo (*)	(3.10.10)	U68	U72	U45
Dual (*)	{5.3}	{5 / 2.3}	U30	U41	U47
Chanfrado (*)	(3.4.5.4)	U33	U39
Chanfro não uniforme (*)	(3.4.5.4)	U31	U43	U50	U55	U58	U75	U64	U66
Omni-rastreado (*)	(4.6.10)
Omissão não uniforme (*)	(4.6.10)	U59
Suavizado (*)	(3.3.3.3.5)
Amolecido não uniforme (*)	(3.3.3.3.5)	U40	U46	U57	U69	U60	U74

Poliedro de habilidade

Existe um poliedro não convexo adicional denominado grande dirhombidodecaedro não afetado , também conhecido como poliedro Skilling. Existem vértices uniformes, mas pares de arestas coincidem no espaço de forma que quatro faces se encontram em alguns vértices. Às vezes, mas nem sempre, é contado como um poliedro uniforme. Tem simetria I h .

Simetria diedral

Existem dois conjuntos infinitos de poliedros uniformes com simetria diedral :

Os prismas , para cada número racional p / q > 2, com o grupo de simetria D p h ;
Os antiprismas , para cada número racional p / q > 3/2, com o grupo de simetria D p d se q for ímpar, D p h se q for par.

Se p / q é um inteiro , ou seja, se q = 1, o prisma ou antiprisma é convexo (a fração é sempre considerada irredutível).

A diferença entre os grupos de simetria prismática e antiprismática reside no fato de que D p h tem um plano de reflexão paralelo ao polígono {p / q}, enquanto D p d não.

Um antiprisma com p / q <2 é cruzado ; sua figura superior lembra uma gravata borboleta. Se p / q ≤ 3/2, nenhum antiprisma pode existir, pois sua figura de vértice violaria a desigualdade triangular .

Nota : o tetraedro , o cubo e o octaedro são listados aqui com simetria diedral (como antiprisma digonal , prisma tetragonal e antiprisma trigonal, respectivamente); embora uniformemente colorido, o primeiro também tem simetria tetraédrica e os outros dois têm simetria octaédrica.

Simetria de grupo	Convexo	Não convexo
d 2d	3.3.3
d 3h	3.3.4
d 3d	3.3.3.3
d 4h	4.4.4
d 4d	3.3.3.4
d 5h	4.4.5	4.4.5 / 2	3.3.3.5/2
d 5d	3.3.3.5	3.3.3.5/3 (en)
d 6h	4.4.6
d 6d	3.3.3.6
d 7h	4.4.7 (pol.)	4.4.7 / 2 (pol.)	4.4.7 / 3 (pol.)	3.3.3.7/2 (in)	3.3.3.7/4 (en)
d 7d	3.3.3.7 (pol.)	3.3.3.7/3 (en)
d 8h	4.4.8	4.4.8 / 3 (pol.)
d 8d	3.3.3.8	3.3.3.8/3 (en)	3.3.3.8/5 (in)
d 9h	4,4,9 (pol.)	4.4.9 / 2 e 4.4.9 / 4 (pol.)	3.3.3.9/2 e 3.3.3.9/4 (en)
d 9d	3.3.3.9 (in)	3.3.3.9/5
d 10h	4.4.10	4.4.10 / 3
d 10d	3.3.3.10	3.3.3.10/3
d 11h	4.4.11	4.4.11 / 2 4.4.11 / 3 4.4.11 / 4 4.4.11 / 5	3.3.3.11/2 3.3.3.11/4 3.3.3.11/6
d 11d	3.3.3.11	3.3.3.11/3 3.3.3.11/5 3.3.3.11/7
d 12h	4.4.12	4.4.12 / 5	3.3.3.12/7
d 12d	3.3.3.12	3.3.3.12/5
...

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Uniform polyhedron " ( ver a lista de autores ) .
(de) M. Brückner, Vielecke und Vielfläche. Theorie und geschichte , Leipzig, Teubner, 1900
(pt) HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins e JCP Miller , “ Uniform polyhedra ” , Phil. Trans. R. Soc. A , vol. 246,1954, p. 401-50 ( DOI 10.2307 / 91532 )
(ru) / (en) SP Sopov , “ Uma prova da completude da lista de poliedros homogêneos elementares ” , Ukrain. Geometr. Sb. , vol. 8,1970, p. 139-156
John Skilling (en) , O conjunto completo de poliedros uniformes. , Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 278 (1975), 111-135 [1]
Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El [2] , software Kaleido , Images , dual images
Mäder, RE Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [3]

links externos

(pt) Stella: Polyhedron Navigator - Software para gerar e imprimir os padrões de todos os poliedros uniformes
( fr ) Padrões de papel
(pt) Solução uniforme para poliedro uniforme
(pt) " Poliedros uniformes " , em mathconsult.ch
(pt) Poliedros virtuais Poliedros uniformes
(pt) Eric W. Weisstein , “ Uniform Polyhedron ” , no MathWorld
(de) Padrões de papel de poliedros uniformes (e outros)
Poliedros Badoureau-Coxeter