Quadrado mágico (matemática)

Em matemática , um quadrado mágico de ordem n é composto de n 2 inteiros estritamente positivos , escritos na forma de uma matriz quadrada. Esses números são organizados de forma que suas somas em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal principal sejam iguais. O valor dessas somas é então chamado de constante mágica (e às vezes de densidade ).

Um quadrado mágico normal é um caso especial de um quadrado mágico, composto de todos os números inteiros de 1 a n 2 , onde n é a ordem do quadrado.

História

Os quadrados mágicos eram conhecidos dos matemáticos chineses desde 650 aC. AD , e os matemáticos árabes, provavelmente por volta do VII th  século, quando os exércitos árabes conquistaram a noroeste de Índia , aprendendo matemáticos indianos, que incluiu alguns aspectos da análise combinatória . Os primeiros quadrados mágicos de ordens 5 e 6 apareceram em uma enciclopédia publicada em Bagdá por volta de 983, a Enciclopédia da Irmandade da Pureza ( Rasa'il Ikhwan al-Safa ). Os quadrados mágicos mais simples eram conhecidos por vários matemáticos árabes anteriores. Alguns desses quadrados foram usados ​​em conjunto com "letras mágicas" por ilusionistas e mágicos árabes.

Os árabes seria o primeiro no X th  século para utilização para fins puramente matemáticos. Ahmad al-Buni , por volta de 1250 atribui propriedades mágicas a eles.

Na China, eles eram representados por símbolos diferentes (como é o caso, por exemplo, do quadrado de Xi'an), depois simbolizados por números na Índia, onde os algarismos arábicos foram inventados . Eles são encontrados em muitas civilizações na Ásia e na Europa, geralmente com uma conotação religiosa.

Em 1510, o filósofo alemão Cornelius Agrippa (1486-1535), voltou a falar dos quadrados mágicos, sempre com uma conotação religiosa, escreveu um tratado De Occulta Philosophia no qual apresentava uma teoria combinando astrologia e quadrados mágicos. Com base nos escritos de Marsile Ficino e Jean Pic de la Mirandole , ele explica as propriedades de sete quadrados mágicos de ordem 3 a 9, cada um associado a um dos planetas astrológicos . Esta obra teve uma influência marcante na Europa até a Contra-Reforma . Jérôme Cardan ( Practica arithmetica et mensurandi singulari , 1539) e Athanasius Kircher ( Oedipus Ægyptiacus , 1653) seguem a mesma analogia entre a aritmética e a ordem cósmica dos planetas. Os quadrados mágicos de Agripa continuam a ser usados ​​em cerimônias mágicas modernas, conforme ele prescreveu.

Simon de La Loubère , diplomata e matemático francês, publicado em 1691 Do Reino do Sião . Introduz pela primeira vez na língua francesa o termo "quadrado mágico" e expõe um novo método de construção, conhecido como "método siamês", que permite construir quadrados de ordem ímpar arbitrária.

No XVII th  século, o advogado e matemático francês Pierre de Fermat estende o princípio da magia quadrados cubos mágicos . Bernard Frénicle de Bessy escreveu um tratado sobre quadrados mágicos (escrito na década de 1640, mas publicado postumamente em 1693) e tabelas para todos os quadrados de ordem 4.

Propriedades

Existem arranjos mágicos para qualquer quadrado de ordem n ≥ 1. O quadrado de ordem 1 é trivial, qualquer número indicado na caixa única satisfaz as regras. O quadrado de segunda ordem também é trivial, pois só é possível repetindo o mesmo número em todas as quatro caixas. O menor caso não trivial é o quadrado de ordem 3.

Qualquer quadrado mágico de ordem 3 é escrito como a soma de uma matriz circulante e uma matriz anticirculante . Esta decomposição não é única e não ocorre mais nas dimensões superiores.

A constante mágica de um quadrado mágico normal depende apenas de n e é igual a: n ( n 2 + 1) / 2. Em função da ordem n = 3, 4, 5, 6, 7, 8… é o seguinte: 15, 34, 65, 111, 175, 260…. Excluindo rotações e reflexos, o número de quadrados mágicos normais para as dimensões 1 a 5 é dado como segue: 1, 0, 1, 880, 275 305 224. O número de quadrados mágicos para as dimensões superiores era desconhecido em 1999, e provavelmente ainda é em 2016. Para obter informações, Pinn e Wieczerkowski em 2004 estimam que para o quadrado mágico de ordem 6, o número é aproximadamente 0,17 × 10 20 , ou mais de 10 bilhões de bilhões.

Se conectarmos os números de certos quadrados mágicos em ordem crescente, obtemos uma figura que apresenta uma simetria central (ver imagem ao lado). Esta propriedade é falsa no caso geral.

Operações

As somas dos dois quadrados mágicos da mesma ordem também dão quadrados mágicos, mas o resultado não é normal, ou seja, os números não formam a sequência 1, 2, 3 ... Além disso, a diferença de dois quadrados mágicos do mesmo a ordem também dá um quadrado mágico, mas isso não é normal.

O "produto" de dois quadrados mágicos cria um quadrado mágico de ordem superior aos dois multiplicandos. Este produto também está pronto. Sejam os quadrados mágicos M e N:

  1. O quadrado final será da ordem M × N.
  2. Divida o tabuleiro de damas final em N × N subcheckers de quadrados M × M.
  3. No quadrado N, reduza o valor de todos os números em 1.
  4. Multiplique esses valores reduzidos por M × M. Os resultados são relatados nas caixas de cada sub-tabuleiro de xadrez correspondente do quadrado final.
  5. Os quadrados do quadrado M são adicionados N × N vezes aos quadrados do tabuleiro de damas final.

A multiplicação de quadrados mágicos possibilita a geração de quadrados mágicos de tamanhos maiores. Esta técnica produz grandes quadrados mais rapidamente do que construir usando qualquer um dos métodos diretos (os de La Loubère ou Strachey, por exemplo).

Métodos de construção

Em 1976, Benson e Jacoby publicaram um método que se aplica a quadrados mágicos de ordem par e ímpar. No entanto, é mais difícil de aplicar do que outros métodos "especializados". Por esse motivo, não será explicado neste artigo.

Existem vários métodos diretos para construir quadrados de ordem ímpar e quadrados de ordem par. Entre os métodos construtivos indiretos, existem pelo menos três. Multiplicação de quadrados mágicos é um deles (veja a seção Operações ). Se um quadrado mágico já foi construído, é possível derivar outros por permutações de suas colunas e linhas. Finalmente, é possível criar um “confinando” com um quadrado mágico já construído: é o quadrado mágico com fechamento.

Ordem ímpar

Ordem 3

No XIX th  século, Edward Lucas encontrou uma fórmula para quadrados mágicos de ordem 3. Com um , b e c de números inteiros  :

c + a táxi c + b
c - a + b vs c + a - b
c - b c + a + b que

Estes números 9 será todo e distinta formando um quadrado mágico se 0 < um < b < c - a e b ≠ 2 um . Além disso, qualquer quadrado 3 × 3 de números inteiros positivos distintos tem esta forma. A ordem normal do quadrado mágico de 3 corresponde a a = 1, b = 3, c = 5. O Kuberakolam  (en) (antigo quadrado mágico indiano ) segue adicionando 19 em cada caso corresponde a a = 1, b = 3, c = 24.

Método tabuleiro de damas com ameias

Este método de construção foi publicado em 1612 por Claude-Gaspard Bachet de Méziriac em Problemas agradáveis ​​e deliciosos que são feitos por números . É baseado em um tabuleiro de damas com ameias.

Por exemplo, para um quadrado mágico do lado 5:

Método siamês

O método siamês foi introduzido na França por Simon de La Loubère em 1688, quando ele voltava de sua embaixada no Sião .

O método exposto por La Loubère pode ser generalizado. Suponha que estejamos nos movendo em um plano cartesiano . Na figura acima, ir diagonalmente para a direita e para cima equivale a fazer a translação (1, 1). Quando há uma colisão, ou seja, o próximo quadrado está ocupado, ocorre uma translação (0, -1). Philippe de La Hire estabeleceu as condições para as quais um quadrado de ordem N é mágico. As coordenadas do vetor “deslocamento” (C, L) e do vetor “colisão” (C + c, L + l) devem obedecer às seguintes condições:

  1. C, c, L e l são inteiros relativos diferentes de zero (por exemplo, –7, 9 ou 4), mas sua soma pode ser zero (por exemplo, C = –6 e c = 6).
  2. C, c, L e l são todos primos com N (por exemplo, 3 é primo com 11, mas não com 15).
  3. (C × l) - (c × L) é primo com N.

Além disso, o quadrado assim construído é diabólico se:

  1. (C + L) e (c + l) são ambos primos com N (diagonais quebradas da esquerda para a direita igual à constante mágica), e
  2. (C - L) e (c - l) são ambos primos com N (diagonais quebradas da direita para a esquerda para baixo igual à constante mágica).

Por exemplo, o método de construção proposto pelo bizantino Manuel Moschopoulos , denominado "percurso de salto de xadrez  " , é representado pelo vetor deslocamento (1, 2) e pelo vetor de colisão (1 + 1, 2 - 2) = (2, 0) .

Método de losango

Os números ímpares são inscritos de forma a formar um diamante no "centro" do quadrado, daí o nome do método publicado por John Horton Conway .

Método de cálculo

Deixe a matriz ser

Deixe sua transposição

Isso é

Isso é

Então, o quadrado mágico

Tanto para cada elemento da matriz  :

Deixe os índices e variam de a , então

Ordem uniforme

Criar quadrados mágicos de ordem uniforme é mais difícil. Alguns métodos permitem que você construa:

  1. quadrados mágicos de dupla ordem par (divisíveis por 2 e por um número par), por exemplo:
    1. método de permutações em torno das diagonais.
    2. método de WS Andrews.
  2. quadrados mágicos de dupla ordem ímpar (divisível por 2 e por um número ímpar), por exemplo:
    1. Método LUX de John H. Conway .
    2. Método de Coquard, obtido a partir do quadrado numerado na ordem “natural” aplicando-se a ele certas transformações geométricas.
  3. quadrados mágicos cuja ordem é divisível por 8, por exemplo:
    1. Método de Benjamin Franklin .
  4. quadrados mágicos de ordem par, por exemplo:
    1. Método De La Hire.
    2. Método de Strachey.

Segundo Gérardin, o método de Strachey é o mais geral. Por outro lado, é baseado em quadrados mágicos já construídos e não pode ser usado para construir quadrados mágicos de ordem 4. Além disso, o método de Benjamin Franklin cria quadrados mágicos com propriedades múltiplas. Por essas razões, vários métodos serão apresentados nesta seção. Juntos, eles tornam possível construir qualquer quadrado de ordem uniforme.

Método de permutações em torno das diagonais

Este método é usado para construir quadrados de dupla ordem par (4, 8, 12 ...). É baseado na observação de que esses quadrados "podem ser facilmente cortados e recortados pela metade" , portanto, possuem "propriedades geométricas de simetria"  :

  1. Seja uma grade vazia de ordem N, esta valendo 4, 8, 12 ...
  2. Nesta grade, insira os números naturais na ordem: 1, 2, 3 ... Há, portanto, N 2 números para inserir (16, 64, 144 ...).
  3. O tabuleiro de damas assim construído é constituído por 1, 4, 9 ... sub-damas de ordem 4. Em cada uma dessas sub-damas, desenhe uma linha que passa pelas duas diagonais principais.
  4. Substitua cada número n que não é coberto por seu complemento que é igual a (N 2 + 1) - n. Por exemplo, para um quadrado mágico de 8x8, N é 8, então o complemento de 2 é (8 2 + 1) - 2 = 65 - 2 = 63.
Método Strachey

Este método, publicado originalmente por Ralph Strachey e depois apresentado em uma "forma elegante" por William H. Benson e Oswald Jacoby, permite construir quadrados mágicos de ordem par, mas não permite construir todos os quadrados de ordem. No entanto, o número de quadrados mágicos assim construídos é muito alto. Por exemplo, o número de quadrados mágicos de ordem 5 é 275 305 224 e o método de Strachey permite criar, pelo menos, um quadrado mágico de ordem 10 de cada um desses quadrados mágicos.

Uma vez que o tabuleiro de damas final é de ordem par, é sempre divisível em quatro sub-verificadores que chamamos de A, B, A 'e B'. Seja N a ordem do quadrado mágico.

Se N for um único par
  1. Defina N = 2 × (2n + 1).
  2. No sub-verificador A, a diagonal que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito contém exatamente n + 1 vezes o número 3.
  3. Cada linha do sub-verificador A contém exatamente n vezes o número 3. As outras caixas contêm 0.
  4. No sub-verificador A ', preencha as caixas “espelhadas” (de acordo com a linha de separação) com base nas caixas em A.
  5. No sub-verificador B, a diagonal indo do canto superior direito para o inferior esquerdo contém exatamente n + 2 vezes o número 2.
  6. Cada linha do sub-verificador B contém exatamente n + 2 vezes o número 2. As outras caixas contêm o número 1.
  7. No sub-verificador B ', preencha as caixas “espelhadas” com base nas caixas em B.
  8. Multiplique cada quadrado pelo quarto de N 2 .
  9. Escolha qualquer quadrado mágico de ordem 2n + 1 (ímpar).
  10. Crie uma imagem "espelhada" deste quadrado e deslize-o sob o quadrado mágico inicial, formando um retângulo vertical.
  11. Adicione as caixas deste retângulo às caixas dos sub-verificadores A, B, A 'e B'.
  12. O quadrado final é mágico.
Se N par duplo
  1. Defina N = 2 × (2n).
  2. No sub-verificador A, a diagonal que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito contém exatamente n vezes o número 3.
  3. Cada linha do sub-verificador A contém exatamente n vezes o número 3. As outras caixas contêm 0.
  4. No sub-verificador A ', preencha as caixas “espelhadas” (de acordo com a linha de separação) com base nas caixas em A.
  5. No sub-verificador B, a diagonal que vai do canto superior direito para o inferior esquerdo contém exatamente n vezes o número 2.
  6. Cada linha do sub-verificador B contém exatamente n vezes o número 2. As outras caixas contêm o número 1.
  7. No sub-verificador B ', preencha as caixas “espelhadas” com base nas caixas em B.
  8. Multiplique cada quadrado pelo quarto de N 2 .
  9. Escolha qualquer quadrado mágico de ordem 2n (par).
  10. Crie uma imagem "espelhada" deste quadrado e deslize-o sob o quadrado mágico inicial, formando um retângulo vertical.
  11. Adicione as caixas deste retângulo às caixas dos sub-verificadores A, B, A 'e B'.
  12. O quadrado final é mágico.

Permutações de colunas e linhas

Por convenção, girar ou refletir um quadrado mágico não cria um novo quadrado. Por outro lado, ao "trocar duas colunas e duas linhas (simetricamente colocadas em relação ao centro) de um quadrado mágico, obtemos um novo quadrado mágico, primo à maneira do quadrado inicial" . Este método de permutações de colunas e linhas é válido para quadrados de ordem par e ímpar.

Método de alto-falante

Ao circundar um quadrado mágico não normal com um cercado, ou seja, com uma fileira de quadrados, é possível criar um quadrado mágico normal . Este método é devido a Frénicle . Para fins de explicação, trabalharemos com dois quadrados mágicos de tamanho definido, mas o método é relativamente fácil de generalizar:

  1. Escolha um quadrado mágico normal de ordem 3. Vamos chamá-lo de “quadrado central”.
  2. Cerque a praça central com uma fileira de caixas vazias, elas formam o recinto.
  3. O quadrado mágico com fechamento será da ordem 3 + 2 = 5, pois o fechamento confina completamente com o quadrado central. Vamos chamá-lo de “quadrado para fechamento”.
  4. O número de quadrados no quadrado central é 3 2 , enquanto é (3 + 2) 2 no quadrado anexo. O recinto conterá, portanto, 25 - 9 = 16 células.
  5. Ao “ir” de um quadrado 3 × 3 para um quadrado 5 × 5, a constante mágica deve ir de 15 a 65.
  6. Sabendo que é necessário colocar a seqüência de números 1, 2 ... 23, 24, 25 no quadrado com fechamento e observando que a constante mágica aumentou em 50, é necessário modificar os números no quadrado central. Antes de prosseguir, uma observação adicional é necessária. O método só funciona se os números no quadrado central estiverem "no meio" da sequência de números, ou seja, 9, 10, 11 ... O valor exato a adicionar a cada número no quadrado central é 2 × (3 2 - 1) = 16. O quadrado resultante não é normal , mas ainda é mágico.
  7. Resta colocar os "extremos" da seqüência 1, 2, 3 ... 8 e 18, 19 ... 25. Antes de prosseguir, uma observação eliminará várias possibilidades. A constante mágica do quadrado central não normal é 15 + 3 × 8 = 39. A constante mágica do quadrado fechado é 65. A diferença, 65 - 39 = 26, deve vir das células do gabinete. No entanto, as únicas somas que podem dar esse resultado são 1 + 25, 2 + 24 ... Esses pares devem, portanto, ser colocados simetricamente em relação ao centro do quadrado.
  8. Quanto à disposição dos números nas colunas e linhas do recinto, o leitor pode proceder por tentativa e erro. Para quadrados mágicos maiores, é preferível usar um método sistemático (ver por exemplo Benson e Jacoby 1976 ).

Método proposto por Claude Bégin

Para construir um quadrado mágico de ordem n> 2, o método proposto é adequado para quadrados de ordens pares e também de ordens ímpares. Consiste na construção de três quadrados mágicos linearmente independentes A , B e C , da mesma ordem. A construção do quadrado depende se a ordem é ímpar, múltiplo par de 4 ou múltiplo par de 4. O quadrado B ainda é a rotação do quadrado A de -90 ° . O quadrado C é um quadrado trivial que contém o inteiro 1 em todas as suas caixas.

O quadrado mágico resultante tem a forma t A + r B + a C, onde t , r e a são números reais. Esse quadrado é aritmético e, para um múltiplo de ordem ímpar ou par de 4, é associativo.

Exemplos

Pedido 4

Praça da ordem 4
publicada por Albrecht Dürer
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Este quadrado mágico era conhecido do pintor alemão Albrecht Dürer , que o incluiu em sua gravura Melencolia . É combinado de tal forma que, tomado na horizontal, vertical ou diagonal, a soma dos números considerados seja 34, bem como a soma dos quatro números que aparecem nas quatro caixas centrais ou nas quatro caixas de canto. Há um grande número de possibilidades de encontrar, no quadrado de Dürer, o número 34. Portanto, pegue os quatro cantos, tente novamente pegando cada caixa seguindo um canto no sentido horário. Encontrá-los todos leva algum tempo. Dürer também conseguiu incluir nas duas caixas centrais da linha inferior a data (1514) de sua obra.

A fachada da Paixão da Basílica da Sagrada Família em Barcelona mostra um quadrado mágico de ordem 4 esculpido por Josep Maria Subirachs . A constante mágica é 33, a idade de Cristo em sua morte. O quadrado é semelhante ao de Dürer, exceto por quatro células em que o número é reduzido em 1.

1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15

No entanto, não segue as regras usuais do quadrado mágico, com dois números (10 e 14) usados ​​duas vezes e dois outros números (12 e 16) que estão faltando.

Pedido 5

Quadrado mágico
de ordem 5
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9

Este quadrado mágico é "semidiabólico" porque a soma de 65 é encontrada em todas as diagonais quebradas da esquerda para a direita. Exemplo: 15 + 23 + 6 + 19 + 2 = 65. Se as diagonais quebradas da direita para a esquerda tivessem essa mesma soma mágica, o quadrado seria considerado “diabólico”. Também existem muitos.

Pedido 6

Quadrado mágico de ordem 6
chamado "do Sol"
6 32 3 34 35 1
7 11 27 28 8 30
19 14 16 15 23 24
18 20 22 21 17 13
25 29 10 9 26 12
36 5 33 4 2 31

A ordem 6 é a menor ordem estranhamente par para a qual existem quadrados mágicos. O quadrado "do Sol", representado acima, é um desses quadrados mágicos: apareceu em particular (com um erro) em uma medalha oferecida a Luís XIV pelo Duque de Aumont . Nesse quadrado, cada uma das duas diagonais segue uma progressão aritmética, de etapas 5 para uma (seqüência de 6 a 31) e 7 para a outra (seqüência de 1 a 36). Em 2020, Roland Coquard propôs um método que permite construir quadrados mágicos normais para qualquer ordem ímpar par (diferente de 2), que retorna o quadrado do Sol para a ordem 6. Observe que no quadrado do Sol, como para todos os normais quadrados mágicos de ordem 6, a soma de todos os números é 1 + 2 +… + 36 = 666 .

Pedido 8

Quadrado mágico de ordem 8
publicado por Benjamin Franklin
52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17

Este quadrado mágico de ordem 8 publicado por Benjamin Franklin tem várias propriedades. A soma dos quadrados da mesma linha é 260, enquanto a soma das quatro primeiras caixas é 130. Uma linha a 45 ° começando na coluna da esquerda e cruzando as primeiras quatro colunas, para então descer para a coluna da direita, encontre oito números para um total de 260, uma quantidade que é encontrada somando os números das caixas extremas e as quatro caixas centrais. A soma dos números dos quadrados de 16 quadrados justapostos para formar o todo da figura é 130; este número é encontrado somando os dígitos de quaisquer quatro quadrados equidistantes do centro. Também é possível fazer um quadrado mágico de ordem 8, passando de quadrado em quadrado de acordo com as regras para o movimento do cavaleiro de xadrez.

Quadrado mágico de ordem 8
publicado pelo General Cazalas
1 8 53 52 45 44 25 32
64 57 12 13 20 21 40 33
2 7 54 51 46 43 26 31
63 58 11 14 19 22 39 34
3 6 55 50 47 42 27 30
62 59 10 15 18 23 38 35
4 5 56 49 48 41 28 29
61 60 9 16 17 24 37 36

Este quadrado mágico de ordem 8 publicado pelo General Cazalas é um quadrado diabólico porque as diagonais quebradas dão a soma característica: 260. Além disso, cada subquadrado de dois em dois tem um total de 130, o que o torna um quadrado "Hiper -Magia".

Quadrado panmagic de 8ª ordem
publicado por Willem Barink
60 6 11 53 44 22 27 37
13 51 62 4 29 35 46 20
54 12 5 59 38 28 21 43
3 61 52 14 19 45 36 30
58 8 9 55 42 24 25 39
15 49 64 2 31 33 48 18
56 10 7 57 40 26 23 41
1 63 50 16 17 47 34 32

Este quadrado panmagic de 8ª ordem publicado por Willem Barink apresenta (quase) todas as propriedades panmagic concebíveis. Além disso, os 4 quadrantes do quadrado são quadrados panmagicos. As diagonais parciais e as diagonais de linha de franquia (decrescentes em diâmetros) têm um total de 260: 18 + 25 + 45 + 38 + 59 + 52 + 8 + 15. Além disso, existem apenas duas somas para pares de números consecutivos. Em linhas horizontais ( 66, 64) e linhas verticais (73, 57).

Pedido 12

Quadrado panmagic de 12ª ordem
publicado por Willem Barink
138 8 17 127 114 32 41 103 90 56 65 79
19 125 140 6 43 101 116 30 67 77 92 54
128 18 7 137 104 42 31 113 80 66 55 89
5 139 126 20 29 115 102 44 53 91 78 68
136 10 15 129 112 34 39 105 88 58 63 81
21 123 142 4 45 99 118 28 69 75 94 52
130 16 9 135 106 40 33 111 82 64 57 87
3 141 124 22 27 117 100 46 51 93 76 70
134 12 13 131 110 36 37 107 86 60 61 83
23 121 144 2 47 97 120 26 71 73 96 50
132 14 11 133 108 38 35 109 84 62 59 85
1 143 122 24 25 119 98 48 49 95 74 72

Este quadrado panmagic de 12ª ordem publicado por Willem Barink (constante de 870) contém quase todas as propriedades panmagic concebíveis, exceto diagonais de frankline . O quadrado consiste em 9 quadrados panmagic 4 × 4. Começando em uma célula ímpar em uma linha, a soma de 4 números consecutivos é 290 (= 1/3 da soma total da linha). Dependendo da instalação dos números 1, 2, 3, 4 ... 144, a figura simétrica é idêntica em forma à do quadrado panmagic 8 × 8 acima. Podemos construir todos os quadrados de ordem 4k de acordo com essa simetria.

Quadrados mágicos principais

Primeiro quadrado mágico 5 × 5.
2.087 2.633 2 803 2 753 3 389
2.843 2.729 3 347 2.099 2.647
3 359 2.113 2.687 2.819 2.687
2.663 2.777 2.699 3 373 2 153
2.713 3 413 2 129 2.621 2.789

Quadrados mágicos também podem ser compostos inteiramente de números primos como no exemplo acima, que também é um quadrado diabólico devido ao fato de que muitas simetrias aparecem ali (entre outras, cruzes inteiras e soltas, diagonalmente e verticalmente, bem como as horizontais e traduções verticais de todos eles). A constante mágica é 13.665.

Um quadrado mágico 3 × 3 composto de números primos consecutivos.
1.480.028.159 1.480.028.153 1 480 028 201
1.480.028.213 1 480 028 171 1.480.028.129
1 480 028 141 1.480.028.189 1.480.028.183

Antes de 1988, era frequentemente questionado se havia um quadrado primo perfeito para a ordem 3. Foi Harry L. Nelson quem encontrou o primeiro quadrado primo perfeito da ordem 3 em 1988 usando um computador Cray (em 1988 ele encontrou 22 ao todo). Nelson pode não ter procedido exaustivamente ao contrário do polonês Arkadiusz Wesolowski que encontrou o 27 em abril de 2015, incluindo o 22 de Nelson. Wesolowski, portanto, encontrou 5 novos.

Usando um programa em MAPLE construído por Claude St-Hilaire, Claude Bégin encontrou exaustivamente os primeiros 8 quadrados primos perfeitos de ordem 3. Ele, portanto, mostrou que não há nenhum antes do menor, o que Wesolowski também mostrou.

Para encontrar novos quadrados primos perfeitos, então você tem que olhar além do 27º quadrado na lista dos 27 quadrados primos perfeitos de Wesolowski.

De 20 de abril de 2020 a 26 de julho de 2020, Claude Bégin encontrou 23 novos quadrados primos perfeitos de ordem 3. O método utilizado não é exaustivo e consiste em encontrar, usando três p-geradores, muitos quadrados primos (pelo menos 541) dos quais 48 são estreias perfeitas, incluindo as 23 novas da Bégin. Estes podem então ser anotados (28) a (50) para adicioná-los após o 27 de Wesolowski, observado de (1) a (27). Portanto, temos 50 quadrados principais perfeitos de ordem 3 conhecidos em 27 de julho de 2020.

Um gerador p é um quadrado primo quase normal de forma que, adicionando o mesmo número inteiro em todas as suas caixas, obtemos um novo quadrado primo. Aqui estão os quadrados primários perfeitos (28) e (41):

Quadrado (28)
103 987 093 601 103 987 093 607 103 987 093 559
103 987 093 547 103 987 093 589 103 987 093 631
103 987 093 619 103 987 093 571 103 987 093 577

Bégin demorou cerca de 245 horas com um PC Windows 10 usando o aplicativo MATHEMATICA para obter o quadrado (41).

Quadrado (41)
316 653 447 389 316 653 447 413 316 653 447 311
316 653 447 293 316 653 447 371 316 653 447 449
316 653 447 431 316 653 447 329 316 653 447 353

Formulários

No mentalismo , alguns artistas constroem quadrados mágicos durante seu show. O espectador pensa ou diz um número, o artista faz um quadrado mágico em segundos.

Quadrados mágicos encontram aplicações em projetos de experimentos . Isso envolve, por exemplo, a realização de experimentos biológicos em cinco variedades de plantas submetidas à aplicação de cinco fertilizantes diferentes. O crescimento das plantas também é influenciado pelo solo, com características variadas, em que crescem. Para minimizar a influência do solo, o acaso deve intervir tanto quanto possível. Um quadrado mágico de ordem 5 facilita muito esse requisito. Cada planta recebe um identificador numérico entre 0 e 4 ( p ), o mesmo para cada fertilizante ( e ). Cada par ( p , e ) é atribuído a um lote de terreno, previamente divididos em 5 × 5 = 25 parcelas, de acordo com a seguinte fórmula: 5 × p + e + 1 (por exemplo, para a planta n o  3 e fertilizantes n o  2 , temos 5 × 3 + 2 + 1 = 18). Essa técnica pode ser aplicada, por exemplo, ao desenvolvimento de uma família de novas vacinas .

Glossário

Esta seção lista diferentes definições que permitem entender melhor as explicações do artigo:

  • Quadrado
    • aditivo-multiplicativo  : quadrado mágico cujo produto de acordo com cada linha, cada coluna e cada diagonal principal é um número constante.
    • A-Dürer: praça Dürer associativa.
    • antimagic  : siga este link interno.
    • aritmética: quadrado mágico de forma que seus n ² números possam ser organizados na forma de uma tabela aritmética. Em uma tabela aritmética, os números formam n sequências aritméticas horizontais da razão r e n sequências aritméticas verticais da razão t.
    • associativo: quadrado mágico tal que a soma de duas células simétricas em relação ao centro do quadrado é sempre igual a 2S / n; S é a soma mágica, n é a ordem do quadrado.
    • bimagic  : quadrado mágico que permanece assim por meio da quadratura de todos os seus elementos (em agosto de 2010, isso só é possível a partir da ordem 6).
    • diabólico : quadrado mágico do qual todas as diagonais quebradas são figuras mágicas. Não existe um quadrado mágico de ordem 3 que seja diabólico. Além disso, não existe um quadrado mágico normal que seja diabólico se a ordem for 4 k + 2. Em "Quadrados mágicos: Novos horizontes", o nome de diabólico é reservado para uma certa classe de quadrados mágicos de ordem.
    • Dürer: quadrado mágico de ordem 4 caracterizado por 24 figuras mágicas.
    • magia normal: quadrado mágico de ordem n > 2 que contém todos os inteiros de 1 a n² .
    • pandiagonal: quadrado mágico do qual todas as diagonais quebradas são figuras mágicas.
    • panmagia: veja o quadrado diabólico .
    • primo: quadrado mágico formado apenas por números primos.
    • primos perfeitos: quadrado primo formado por n ² números primos consecutivos.
    • quase normal: quadrado mágico que contém apenas inteiros> 0, todos diferentes.
    • semimagic: quadrado mágico do qual apenas as colunas e linhas fornecem a constante mágica.
    • trimagic  : quadrado mágico que permanece assim pela quadratura ou cubagem de todos os seus elementos (em agosto de 2010, isso só é possível a partir da ordem 12).
    • trivial: quadrado mágico que contém o mesmo número em todas as suas caixas.
  • Constante mágica: soma dos termos ao longo de um eixo (horizontal, vertical ou diagonal). Também dizemos soma mágica .
  • Diagonal quebrada principal: em um quadrado de ordem n , são duas pequenas diagonais paralelas à diagonal principal, localizadas em cada lado dela e para as quais o número total de quadrados é n.
  • Diagonal principal: diagonal formada por caixas (1; 1) a ( n  ; n ). Lembre-se de que a caixa ( i  ; j ) é aquela localizada na interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna.
  • Diagonal quebrada secundária: em um quadrado de ordem n , existem duas pequenas diagonais paralelas à diagonal secundária, localizadas em cada lado desta e para as quais o número total de quadrados é n.
  • Diagonal secundária: diagonal formada por caixas (1; n ) a ( n  ; 1).
  • Dimensão: ver Ordem .
  • Figura mágica: em um quadrado mágico de ordem n , grupo de n células distintas cuja soma é a soma mágica S.
  • Diagonais grandes: as diagonais principal e secundária.
  • Ordem: número de colunas (ou linhas).
  • Soma mágica: número único S que é a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada grande diagonal. Também dizemos soma de um quadrado M em vez de soma mágica de um quadrado M quando está claro que M é um quadrado mágico. Também diremos que S é a soma do quadrado mágico M.

Notas e referências

Notas

  1. Por convenção, a rotação ou o reflexo de um quadrado mágico não cria um novo quadrado: Gérardin 1986 , p.  110-112.
  2. Aqui está um contra-exemplo da ordem 5:
    1 24 3 25 12
    16 7 21 6 15
    23 14 18 8 2
    5 9 10 22 19
    20 11 13 4 17
  3. Um método semelhante é proposto em M. Hartley, "  Making Big Magic Squares  " , Dr Mike's Math Games for Kids!,2010(acessado em 9 de agosto de 2010 ) .
  4. Um método alternativo é proposto por Gérard Villemin, "  quadrados mágicos, método de construção do losango  " ,2010(acessado em 28 de outubro de 2010 ) .
  5. Como não há quadrado mágico normal de ordem 2 ou 4, n deve ser maior que 2 para obter um quadrado mágico normal com este método.
  6. Ball 1905 , p.  135-136, explica o método de Frénicle baseando-se em argumentos algébricos. O método explicado no artigo usa quadrados mágicos de tamanho definido para facilitar a compreensão do método.

Referências

  1. (in) Mark Swaney, mágicos Squares .
  2. Shams Al-ma'arif ( árabe  : كتاب شمس المعارف ) contém informações sobre Ahmed bin Ali Al-boni, que morreu por volta de 1225 (622 AH). Reimpresso em Beirute em 1985.
  3. (em) Mark Swaney, História dos Quadrados Mágicos .
  4. (em) Nevill Drury , Dicionário de Misticismo e as Tradições Esotéricas , Bridport, Dorset, Prism Press,1992( ISBN  1-85327-075-X ).
  5. Veja a continuação A006003 do OEIS .
  6. Veja continuação A006052 do OEIS.OEIS 
  7. Weisstein 1999 , p.  1129.
  8. Gérardin 1986 , p.  100-101.
  9. Gérardin 1986 , p.  113-114.
  10. Gérardin 1986 , p.  112
  11. Benson e Jacoby 1976 , p.  43-58.
  12. Gérardin 1986 , p.  85-86.
  13. Weisstein 1999 , p.  1128.
  14. Gérardin 1986 , p.  79
  15. (em) Peter Higgins , Number Story: From Counting to Cryptography , New York, Copernicus,2008, 323  p. ( ISBN  978-1-84800-000-1 ) , p.  54- Ver nota de rodapé 8 .
  16. Gérardin 1986 , p.  199
  17. Weisstein 1999 , p.  1128 (este autor propõe uma matriz de vetores construída a partir de considerações semelhantes a Gérardin 1986 ).
  18. (em) "  Quadrados mágicos para pedidos ímpares, pares isolados e duplamente pares - Projeto de demonstração do Wolfram  " em demonstrations.wolfram.com
  19. (in) WS Andrews , Magic Squares and Cubes , Open Court Publishing Company,1917, 419  p. , p.  18-33
  20. Roland Coquard - “Sobre os vestígios (geométrico) de grandes quadrados mágicos” - Imagens des Matemática, CNRS, 2020.
  21. Gérardin 1986 , p.  89
  22. Ball 1905 , p.  132-134.
  23. Gérardin 1986 , p.  89-95.
  24. Gérardin 1986 , p.  85-88.
  25. Gérardin 1986 , p.  95
  26. Gérardin 1986 , p.  93
  27. Gérardin 1986 , p.  95-97.
  28. Ball 1905 , p.  135-136.
  29. Gérardin 1986 , p.  137-139.
  30. Bégin, Claude, Quadrados mágicos: novos horizontes , 1189  p. (carres-magiques.com) , Parte 1, páginas 36 a 48 e Parte 2, capítulo 11, seção 11.3, páginas 6 a 28.
  31. "  MULTIMAGIE.COM - Quadrados mágicos aditivo-multiplicativos de ordem 10 e +  " , em www.multimagie.com (acessado em 2 de janeiro de 2018 )
  32. Para outros exemplos, consulte o site de Ali Skalli Magic Squares and Cubes .
  33. Weisstein 1999 , p.  1129. Atribuído a "H. Nelson (Rivera)" .
  34. "  A Fundação OEIS  "
  35. Bégin, Claude, “Quadrados mágicos: novos horizontes” em carres-magiques.com , 1189  p. , Parte 3, Cronogramas 18 e 18.1
  36. Bégin, Claude, "  Carrés magiques: new horizons  " , em carres-magiques.com (acessado em 14 de abril de 2021 ) , Parte 3, apêndices 18 e 18.1
  37. Gérardin 1986 , p.  197.
  38. Weisstein 1999 , p.  1127-1128.
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  40. Weisstein 1999 , p.  16
  41. Bégin, Claude, “Quadrados mágicos: novos horizontes” em carres-magiques.com , 1189  p. , Parte 2, capítulo 5, seção 5.9, página 28
  42. Weisstein 1999 , p.  50 .
  43. Bégin, Claude, “Quadrados mágicos: novos horizontes” em carres-magiques.com , 1189  p. , Parte 2, Capítulo 11, Seção 11.2, páginas 1 e 2
  44. Bégin, Claude, “Quadrados mágicos: novos horizontes” em carres-magiques.com , 1189  p. , Parte 2, Capítulo 7, Seção 7.1, página 1 e Capítulo 14, Seção 14.10, página 45
  45. Christian Boyer, "  O menor quadrado bimagic possível usando números inteiros distintos  " , Multimagie.com,2010(acessado em 16 de agosto de 2010 ) .
  46. Weisstein 1999 , p.  1302.
  47. Bégin, Claude, “Quadrados mágicos: novos horizontes” em carres-magiques.com , 1189  p. , Parte 2, Capítulo 5, Seção 5.10, página 33
  48. Bégin, Claude, Carrés-magiques: novos horizontes em carres-magiques.com , 1189  p. , Parte 2, Capítulo 5, Seção 5.4, página 7.
  49. Bégin, Claude, quadrados mágicos: novos horizontes ,2020, 1189  p. ( leia online ) , em carres-magiques.com, Parte 1, página 7 e glossário 1, página 61
  50. começar, Claude, praças mágicas: novos horizontes em carres-magiques.com , 1189  p. , Parte 1, página 4, Parte 2, capítulo 10, página 1
  51. começar, Claude, praças mágicas: novos horizontes , 1189  p. , em carres-magiques.com, Parte 1, páginas 4 e 61
  52. (in) Christian Boyer, "  Trimagic Square, 12nd-order  " , multimagie.com,2010(acessado em 9 de agosto de 2010 ) .
  53. Bégin, Claude, Quadrados mágicos: novos horizontes em carres-magiques.com , 1189  p. , Parte 1, páginas 7 e 61
  54. Bégin, Claude, Quadrados mágicos: novos horizontes em carres-magiques.com , 1189  p. , Parte 1, página 63

Diferenças

  1. Gérardin 1986 , p.  137, afirma que Blaise Pascal seria o primeiro a ter a ideia dessa "espécie de superquadrado" .

Veja também

Bibliografia

  • (pt) Walter William Rouse Ball , Mathematical Recreations and Essays , London, Macmillan ,1905, 4 th  ed. , 353  p. ( leia online ) , cap.  V, p.  132-134Este livro pode ser baixado gratuitamente do Project Gutenberg . A 6 th  ed. (1914) está disponível em archive.org .
  • Claude Bégin, Quadrados mágicos: novos horizontes , publicação do autor, 2020, no site carres-magiques.com . O conteúdo deste livro de 1.189 páginas pode ser visualizado e baixado gratuitamente online. (Número ISBN por vir)
  • (pt) William H. Benson e Oswald Jacoby  (pt) , New Recreations With Magic Squares , Dover ,1976, 196  p. ( ISBN  978-0-486-23236-2 )
  • Jean-Louis Boursin , Maths for Dummies , First-Gründ,2005
  • Jacques Bouteloup , Quadrados mágicos , quadrados latinos e Eulerianos: história, teoria, prática , Éditions du Choix,1991( ISBN  2-909028-02-X )
  • Lucien Gérardin , Les Carrés magiques: Mysterious Harmon of Number , St-Jean-de-Braye (França), Dangles , coll.  "Horizontes esotéricos",1986, 219  p. ( ISBN  2-7033-0297-5 )
  • (pt) Simon de La Loubère , Uma Nova Relação Histórica do Reino de Sião ( leia online )Ilustrações da primeira edição inglesa do Reino de Sião, de Simon de la Loubère
  • J. Riollot , Les Carrés magiques: contribuição para o seu estudo , Gauthier-Villars ,1907( leia online )
  • (pt) Eric W. Weisstein , The CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , vol.  3, Boca Raton / Londres / Nova York etc., CRC Press ,1999, 1969  p. ( ISBN  0-8493-9640-9 , leia online )

Artigos relacionados

links externos