Fórmula de Euler

A fórmula de Euler é igual matemática , atribuída ao matemático suíço Leonhard Euler . Está escrito, para qualquer número real $x$ ,

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \, x} = \ cos x + \ mathrm {i} \, \ sin x}

e generaliza para $x$ complexos .

Aqui, o número $e$ é a base dos logaritmos naturais , $i$ é a unidade imaginária , $sen$ e $cos$ são funções trigonométricas .

Descrição

Esta fórmula pode ser interpretada dizendo que a função $x \mapsto e i x$ , chamada função cis , descreve o círculo unitário no plano complexo quando $x$ varia no conjunto de números reais.
$x$ representa a medida (em radianos) do ângulo orientado feito pela meia-linha final na origem e passando por um ponto do círculo unitário com a meia-linha de reais positivos. A fórmula só é válida se $sin$ e $cos$ tiverem argumentos expressos em radianos em vez de graus.

A prova é baseada nas expansões em série inteira da função exponencial $z \mapsto e z$ da variável complexa $z$ e das funções $sin$ e $cos$ consideradas com variáveis reais.
Na verdade, a mesma prova mostra que a fórmula de Euler ainda é válida para todos os números complexos $x$ .

A fórmula estabelece uma ligação poderosa entre análise e trigonometria . Segundo Richard Feynman , é “uma das fórmulas mais notáveis [...] de todas as matemáticas. “ É usado para representar números complexos na forma trigonométrica e permite a definição do logaritmo para argumentos complexos. Usando as propriedades do exponencial

{{\ rm {e}}} ^ {{a + b}} = {{\ rm {e}}} ^ {a} {{\ rm {e}}} ^ {b}

({{\ rm {e}}} ^ {a}) ^ {k} = {{\ rm {e}}} ^ {{ak}}

(que também são válidos para todos os números complexos $a , be$ para qualquer inteiro $k$ ), torna-se fácil derivar várias identidades trigonométricas ou deduzir a fórmula de Moivre delas . A fórmula de Euler permite uma interpretação das funções cosseno e seno como combinações lineares de funções exponenciais:

\ cos (x) = \ displaystyle {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} + {\ mathrm {e}} ^ {{- {\ mathrm { i}} \, x}}} {2}}

\ sin (x) = \ displaystyle {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} - {\ mathrm {e}} ^ {{- {\ mathrm { i}} \, x}}} {2 {\ mathrm {i}} \,}}

Estas fórmulas (também chamados de fórmulas de Euler ) constituem a definição de funções moderno e (incluindo quando $X$ é uma variável complexa ) e são equivalentes a fórmula de Euler (aplicada para $x$ e $-$ $x$ ), que então se torna uma tautologia . $\ cos$ $\ pecado$

Em equações diferenciais, a função $x \mapsto e i x$ , é freqüentemente usada para simplificar as derivações, mesmo se o problema for encontrar as soluções reais expressas usando senos e cossenos. A identidade de Euler é uma consequência imediata da fórmula de Euler.

Na engenharia elétrica e em outros campos, os sinais que variam periodicamente com o tempo são frequentemente descritos por combinações lineares de funções seno e cosseno (ver análise de Fourier ), e as últimas são mais convenientemente expressas como partes reais de funções exponenciais. Com expoentes imaginários, usando Euler Fórmula.

Manifestações

Da série Taylor

A expansão em série da função $exp$ da variável real $t$ pode ser escrita:

{{\ mathrm {e}}} ^ {t} = {\ frac {t ^ {0}} {0 \,!}} + {\ frac {t ^ {1}} {1 \,!}} + {\ frac {t ^ {2}} {2 \,!}} + {\ frac {t ^ {3}} {3 \,!}} + {\ frac {t ^ {4}} {4 \, !}} + \ cdots = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n \,!}}

e se estende a qualquer número complexo $t$ : a expansão da série de Taylor permanece absolutamente convergente e define o exponencial complexo.

Em particular para $t = i x$ com real $x$ :

{{\ mathrm {e}}} ^ {{{{\ mathrm {i}} \,} x}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{{({ {\ mathrm {i}} \,} x)} ^ {n}} {n \,!}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{{\ mathrm { i}} \,} ^ {n} x ^ {n}} {n \,!}} \ cdot

Esta série, dividida em duas, torna-se, usando o fato de que : ${\ mathrm {i}} \, ^ {{2k}} = ({\ mathrm {i}} \, ^ {{2}}) ^ {{k}} = (- 1) ^ {{k}}$

{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{\ mathrm {i}} \ , ^ {{2k}} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}} + \ Sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{\ mathrm {i} } \, ^ {{2k + 1}} x ^ {{2k + 1}}} {(2k + 1) \,!}} = \ Sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}} + {\ mathrm {i}} \, \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k + 1}}} {(2k + 1) \,!}} \ cdot

Vemos, portanto, as expansões da série de Taylor das funções cosseno e seno aparecem:

\ cos (x) = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2 \,!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4 \,!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6 \,!}} + \ Cdots = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}}

\ sin (x) = x - {\ frac {x ^ {3}} {3 \,!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5 \,!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7 \,!}} + \ Cdots = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k + 1} }} {(2k + 1) \,!}}

que, ao substituir na expressão anterior de $e i x$ , dá:

{\ mathrm {e}} ^ {{{{\ mathrm {i}} \, x}} = \ cos (x) + {\ mathrm {i}} \, \ sin (x).

Por cálculo diferencial

Para qualquer número complexo $k$ , o único mapa $f$ : ℝ → ℂ verificando $f '= kf$ e $f (0) = 1$ é o mapa $x \mapsto exp ( kx )$ (a prova é idêntica àquela para real $k$ , dada em l detalhado artigo).

A aplicação $f$ definida por $f (x) = \ cos x + {{\ rm {i}}} \ sin x$ verificado $f '= {{\ rm {i}}} f {\ text {e}} f (0) = 1.$

Portanto, coincide com a aplicação $x \mapsto exp (i x )$ .

Histórico

A fórmula de Euler foi demonstrada pela primeira vez por Roger Cotes em 1714 como $ln (cos x + i sen x ) = i x$ (onde $ln$ denota o logaritmo natural , ou seja, o logaritmo básico $e$ ). Foi Euler quem publicou a fórmula em sua forma atual em 1748, baseando sua prova na fórmula de Moivre e usando equivalentes e passagens-limite. Nenhum dos dois matemáticos deu uma interpretação geométrica da fórmula: a interpretação de números complexos como afixos de pontos em um plano não foi realmente mencionada até cinquenta anos depois (ver Caspar Wessel ).

Formulários

A fórmula de Euler permite afirmar que a principal determinação do logaritmo complexo de é , para tudo . ${\ displaystyle \ cos x + \ mathrm {i} \, \ sin x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} x}$ ${\ displaystyle x \ in \ left] - \ pi, \ pi \ right [}$
Um exemplo de aplicação em eletromagnetismo é a corrente alternada : uma vez que a diferença de potencial de tal circuito oscila , ela pode ser representada por um número complexo : $V = V_ {0} {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ omega t}} = V_ {0} \ left (\ cos \ omega t + {{\ rm {i}}} \ sin \ omega t \ right).$ Para obter uma quantidade mensurável, tomamos a parte real:

${\ mathrm {Re}} (V) = {\ mathrm {Re}} \ left [V_ {0} {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ omega t} } \ right] = V_ {0} \ cos \ omega t.$

A linearização , que é baseada na fórmula de Euler e no teorema binomial , qualquer polinômio transformado em $cos ( x )$ e $sin ( x )$ por uma combinação linear de vários $cos ( nx )$ e $sin ( nx )$ , que então faz o cálculo de seu primitivos imediatos .

Veja também

Referências

(em) Alan Sultan F. e Alice Artzt, A matemática que todo professor de matemática do ensino médio precisa saber , Studies in Mathematical Thinking and Learning, Taylor & Francis, 2010, p. 326 .
(em) Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (em) e Matthew Sands (em) , Feynman Lectures on Physics [ detalhes de publicação ], voar. 1, pág. 22, de acordo com (in) " identidade de Euler " no Wikilivros .
Srishti D. Chatterji, Analysis Course , vol. 2: Análise complexa , PPUR ,1997( leia online ) , p. 96.
Chatterji 1997 , p. 97
Ernst Hairer e Gerhard Wanner, Analysis through History , Springer,2001, p. 59
Dominique Flament , História dos números complexos: Entre álgebra e geometria , Paris, CNRS Éditions,2003( ISBN 2 271 06128 8 ), p. 80
(in) John Stillwell , Mathematics and Its History [ edições de varejo ], p. 294.
L. Euler, Introdução à análise infinitesimal , artigo 138 .
Flament 2003 , p. 83-84.
Veja exemplos: Eletromagnetismo ( 2 ª edição), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series 2008 ( ISBN 0-471-92712-0 ) .