Lei afim

Uma lei afim é uma lei física ou matemática que conecta duas quantidades x e y na forma de uma função afim  :

y = ƒ ( x )

com

ƒ ( x ) = ax + b

os coeficientes a (inclinação) e b (interceptação y) sendo constantes.

Quando a interceptação b é zero,

ƒ ( x ) = machado

falamos de lei linear ou lei proporcional .

Importância das leis afins

Considere dois fenômenos cuja intensidade varia; denote x a intensidade de um ey a intensidade do outro. Se x e y variar, ao mesmo tempo, podemos estimar que as quantidades estão relacionadas, suas variações são disse a ser correlacionados  ; é então tentador querer conectar-se por uma lei do tipo

y = ƒ ( x )

A lei mais simples para descrever uma variação correlacionada é a lei afim: estima-se que as variações das intensidades sejam proporcionais, ou mesmo que as intensidades sejam proporcionais (lei linear).

Quatro casos podem surgir:

• Na matemática,
  • é mostrado que duas grandezas são conectadas por uma lei afim ou linear; esta é uma lei exata;
    por exemplo, o perímetro p de um círculo é proporcional ao seu raio r  : p = 2π r  ;
  • a lei que conecta as duas quantidades é mais complexa, mas como uma primeira aproximação , podemos nos reduzir a uma lei afim, normalmente realizando uma expansão limitada à ordem 1; isso permite, em alguns casos, tirar conclusões interessantes de uma maneira simples, consulte Comparação assintótica  ;
• em ciências experimentais  :
  • a teoria desenvolvida mostra que duas quantidades estão conectadas por uma lei afim ou linear;
    por exemplo, para um movimento retilíneo uniforme no eixo das abcissas, a posição x varia de maneira afim em relação ao tempo t  : x = x 0 + vt  ;
    observações ou experimentações permitem validar ou invalidar esta lei;
  • a teoria fornece uma lei complexa, mas que, como na matemática, pode ser considerada como uma primeira aproximação como afim;
    por exemplo, a lei de Hooke é uma lei linear para pequenas deformações; em grandes deformações, torna-se assimétrico;
  • a teoria fornece a chamada   lei de “ potência ”, do tipo y = a⋅x α  ; plotados em um diagrama log-log , obtemos uma lei linear, ln ( y ) = ln ( a ) + α⋅ln ( x );
    veja, por exemplo, o pH em química, ou o conceito de decibel para filtros em eletrônica;
    globalmente, a transformação de uma das variáveis ​​pode permitir reduzi-la a um estudo linear;
  • não temos uma teoria que dê uma lei; a lei afim é a primeira lei a ser testada.

A grande diferença entre as leis da matemática e as leis das ciências experimentais é o erro de medição . A determinação experimental dos coeficientes é feita por regressão linear  ; a verificação da relevância da lei (é legítimo usar uma lei afim) é feita pelo cálculo do coeficiente de correlação linear.

Leis afins também são de capital importância para interpolação ou extrapolação . De fato, quando não se conhece a lei que conecta duas quantidades e se tem poucos pontos, o “mais razoável” é supor que a lei é refinada localmente. O erro que se comete é então moderado enquanto a lei real é monotônica na zona considerada, e ainda mais quando a curvatura da lei é fraca - isto é, na primeira aproximação que | ƒ | é fraco.

Observe que a noção de linearidade da lei depende do ponto de vista. Por exemplo, na eletricidade, a lei que relaciona a intensidade da corrente à tensão nos terminais de um dipolo passivo

I = U / R

é linear em U, sendo o coeficiente de proporcionalidade 1 / R; mas é uma lei inversa em R.

Exemplos de lei afim

Leis lineares na geometria

Cálculo do perímetro p de um polígono equilátero  :

• triângulo equilátero com o lado um  : p = 3 um  ;
• quadrado do lado a  : p = 4 a  ;
• polígono regular (e mais geralmente equilátero) com n lados de comprimento a  : p = na .

Cálculo do comprimento desenvolvido L de um arco de um círculo de raio re ângulo θ (em radianos ):

• L = θ r  ;
• perímetro do círculo: P = L (2π) = 2π r .

Leis afins em mecânica

Amplitude de um movimento em um quadro de referência galileu  :

• movimento retilíneo uniforme (aceleração zero) ao longo do eixo de abcissas: relação entre a posição xe o instante t '( velocidade instantânea constante v )
  x = x 0 + vt  ;
• movimento rotacional uniforme (aceleração angular nula) em torno de um eixo fixo: relação entre a orientação θ e o instante t ( velocidade angular constante ω)
  θ = θ 0 + ω t  ;
• rolamento antiderrapante: relação entre a velocidade instantânea v do veículo e a velocidade angular instantânea ω da roda de raios r
  v = r ω.

Tensão elástica  :

• lei ideal das molas de tração ou compressão, relacionando a força exercida ao alongamento Δ x , para uma mola de rigidez k
  F = k Δ x
• lei das molas de tração para pequenas deformações
  F = F 0 + k Δ x
• Lei de Hooke relacionando o alongamento relativo ε à tensão (força por unidade de área) σ de um material de módulo de Young E (rigidez)
  σ = Eε

Leis Lineares em Eletricidade

• Lei de Ohm

Leis lineares em termodinâmica

• relação entre o calor dQ absorvido por um sistema de massa m e capacidade calorífica a constante pressão de C p , como uma função da variação de temperatura dT
  dQ = m C p dT
• Charles Law
• Lei Gay-Lussac

Leis afins em química

Qual é a lei afim mais adequada?

Além de “representar” bem o comportamento de certos sistemas, a lei afim é uma lei de fácil manejo. Em particular, é fácil reverter . Ao realizar cálculos complexos, pode ser interessante substituir uma função por uma função afim para chegar mais rapidamente e com mais segurança a um resultado. Esse resultado pode então ser considerado como está, ou então ser usado como base para um cálculo mais preciso.

Quando a lei ƒ "real" claramente não refina, isso levanta a questão: que lei refina ƒ foi usada em vez da lei real?

A resposta a esta pergunta depende do contexto do cálculo e do resultado esperado.

Se trabalharmos em todo um intervalo [ x 1  ; x 2 ], então a função afim adaptada provavelmente será a regressão linear da lei real sobre esse intervalo. Assim, minimizamos o desvio quadrático entre o ponto real y = ƒ ( x ) e o ponto aproximado y a = ƒ a ( x ) (ou então x a = ƒ a -1 ( y )).

Se tivermos um "ponto operacional" ( x 0 , ƒ ( x 0 )), será vantajoso trabalhar com a tangente à curva neste ponto: isso permite minimizar a diferença absoluta entre o ponto real e o ponto abordado. Portanto, ƒ a será a expansão limitada de primeira ordem de ƒ em x 0 .

Se, por outro lado, o cálculo consiste em chegar ao ponto de operação a partir de um determinado ponto de partida x d (tipicamente x d = 0), será vantajoso tomar o cabo de ligação ( x d , ƒ ( x d ) ) a ( x 0 , ƒ ( x 0 )). Assim, temos a certeza de que os cálculos são próximos da realidade em torno dos pontos de partida e chegada.