Lei de reciprocidade quadrática

Na matemática , em particular na teoria dos números , a lei da reciprocidade quadrática , estabelece ligações entre os números primos ; mais precisamente, descreve a possibilidade de expressar um número primo como um módulo quadrado de outro número primo. Conjecturado por Euler e reformulado por Legendre , foi corretamente demonstrado pela primeira vez por Gauss em 1801.

Ele resolve os dois problemas básicos da teoria dos resíduos quadráticos :

dado um número primo $p$ , determine, entre os inteiros, quais são quadrados módulo $p$ e quais não são;
dado um inteiro $n$ , determine, entre os números primos, módulo em que $n$ é um quadrado e módulo que não é.

É considerado um dos teoremas mais importantes da teoria dos números e tem muitas generalizações.

Afirmações

A declaração completa de Gauss tem três afirmações: o "teorema fundamental" para dois números primos ímpares e duas "leis complementares".

Primeira declaração

Teorema fundamental. Dados dois números primos ímpares distintos

p

q

se $p$ ou $q$ for congruente com 1 módulo 4, então $p$ é um quadrado do módulo $q$ se e somente se $q$ for um quadrado do módulo $p$ .

Mais explicitamente: a equação (de desconhecido $x$ ) $x 2 \equiv p mod q$ tem solução se e somente se a equação (de desconhecido $y$ ) $y 2 \equiv q mod p$ tem solução.

se $p$ e $q$ são congruentes a 3 módulo 4, então $p$ é um quadrado do módulo $q$ se e somente se $q$ não for um quadrado do módulo $p$ .

Mais explicitamente: a equação $x 2 \equiv p mod q$ tem solução se e somente se a equação $y 2 \equiv q mod p$ não tem solução.

Primeira lei complementar. –1 é um módulo

p

quadrado se e somente se

p

for congruente a 1 módulo 4. Segunda lei complementar. 2 é um módulo

p

quadrado se e somente se

p

for congruente com 1 ou -1 módulo 8.

Símbolo de Legendre

Usando o símbolo de Legendre , essas três afirmações podem ser resumidas respectivamente por:

Teorema fundamental.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}}

, Isto é, a menos que

p

q

são ambos congruente com

-1 mod 4

, caso em que .

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = - \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)}

Primeira lei complementar.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}}}

. Segunda lei complementar.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p ^ {2} -1} {8}}}

Exemplos

Módulo q = 3, o único quadrado diferente de zero é (± 1) 2 = 1. A lei quadrática da reciprocidade (associada à sua primeira lei complementar) fornece, portanto, para qualquer número primo $p$ diferente de 2 e 3, a equivalência: ${\ displaystyle p \ equiv 1 \ operatorname {mod} 3 \ Longleftrightarrow -3 {\ text {is a modulo square}} p}$ .Esta equivalência é demonstrada mais diretamente: o inteiro $p$ - 1 é um múltiplo de 3 se e somente se (ℤ / p ℤ) * contém um elemento de ordem 3, ou seja, uma raiz do polinômio X 2 + X + 1 . Isso é equivalente à existência em ℤ / $p$ ℤ de uma raiz quadrada do discriminante –3 desse polinômio.
Módulo q = 5, os quadrados diferentes de zero são (± 1) 2 = 1 e (± 2) 2 ≡ –1. A lei de reciprocidade quadrática, portanto, fornece, para qualquer número primo $p$ diferente de 2 e 5, a equivalência: ${\ displaystyle p \ equiv \ pm 1 \ operatorname {mod} 5 \ Longleftrightarrow 5 {\ text {is a modulo square}} p.}$ Mas já em 1775, Lagrange , entre seus muitos casos particulares da lei da reciprocidade - frutos de seu estudo das formas quadráticas binárias - demonstrou o significado direto (⇒) e estendeu o recíproco (⇐) para o caso em que $p$ não é primo . Gauss, como preâmbulo de sua primeira demonstração da lei geral, fez o mesmo.
Vamos determinar se 219 é um quadrado do módulo 383. A multiplicatividade do símbolo de Legendre mostra que: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {219} {383}} \ right) = \ left ({\ frac {3} {383}} \ right) \ left ({\ frac {73} {383}} \ direito)}$ .

O teorema fundamental torna possível simplificar os dois fatores: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {383}} \ right) = (- 1) ^ {2 \ times 382/4} \ left ({\ frac {383} {3}} \ right) = - \ left ({\ frac {-1} {3}} \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad \ left ({\ frac {73} {383}} \ right) = (- 1) ^ {72 \ times 382/4} \ left ({\ frac {383} {73}} \ right) = + \ left ({\ frac {18} {73}} \ right)}$ . Novamente, pela multiplicatividade do símbolo de Legendre, simplificamos ainda mais o segundo fator: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {18} {73}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {73}} \ right) \ left ({\ frac {3 ^ {2}} { 73}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {73}} \ right)}$ .Concluímos usando as duas leis complementares: como e , ${\ displaystyle 3 \ not \ equiv 1 \ operatorname {mod} 4}$ ${\ displaystyle 73 \ equiv 1 \ operatorname {mod} 8}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {219} {383}} \ right) = - \ left ({\ frac {-1} {3}} \ right) \ left ({\ frac {2} {73} } \ direita) = - (- 1) 1 = 1}$ . Portanto, 219 é um quadrado módulo 383.

Vamos determinar módulo quais números primos $p > 3$ o inteiro 3 é um quadrado. De acordo com o teorema fundamental,

${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {p}} \ right) = (- 1) ^ {(3-1) (p-1) / 4} \ left ({\ frac {p} {3 }} \ right) = (- 1) ^ {(p-1) / 2} \ left ({\ frac {p} {3}} \ right)}$ ,

ou depende de $p$ $mod 3$ e depende de $p$ $mod 4$ . Assim, descobrimos que ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {3}} \ right)}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {(p-1) / 2}}$

{\ displaystyle 3 {\ text {é um módulo quadrado}} p \ Longleftrightarrow p \ equiv \ pm 1 \ operatorname {mod} 12.}

Provas da lei da reciprocidade quadrática

Em um livro publicado em 2000, Franz Lemmermeyer expõe a história matemática das leis da reciprocidade, cobrindo seus desenvolvimentos e coleta citações da literatura para 196 diferentes provas do teorema fundamental.

As primeiras demonstrações do último hoje consideradas completas são publicadas por Gauss em seu Disquisitiones arithmeticae em 1801. Gauss teve as provas já em 1796 (com a idade de 19). A primeira dessas provas é baseada no raciocínio de recorrência. Em sua correspondência com seu aluno Gotthold Eisenstein , Gauss descreve esta primeira prova como laboriosa. Sua terceira e quinta provas são baseadas no lema de Gauss , que ele demonstrou nesta ocasião.

Uma prova do teorema fundamental, que se baseia nas ferramentas de análise harmônica em um grupo abeliano finito e usa os caracteres dos grupos abelianos aditivos e multiplicativos do corpo finito $F p$ com $p$ elementos, é dada no artigo " Soma de Gauss ”. Uma versão mais simples é a sexta prova de Gauss desse teorema. Outra prova pode ser encontrada nos links externos do artigo " Lema de Zolotarev ". Devemos a Frobenius uma prova geométrica muito simples baseada no lema de Gauss .
Uma demonstração das duas leis complementares é proposta aqui. A primeira é uma conseqüência imediata do critério simples de Euler . As duas provas escolhidas para a segunda são (entre muitas outras, como a do lema de Gauss) a de Thomas Joannes Stieltjes (por contagem ) e a de Euler (1772).

Prova das duas leis complementares

Seja $p$ um número primo diferente de 2. O objetivo é determinar o status quadrático de –1 e 2 no campo F p = ℤ / p ℤ . A ordem de seu grupo multiplicativo F p * é p - 1 (que é par).

Consequências do critério de Euler :

o produto AB de dois elementos de F p * é quadrática se um e b são simultaneamente quadrática ou, se nenhuma delas é;
um elemento de F p * é não quadrático se e somente se for a raiz do polinômio P ( X ) de F p [ X ] definido por:

{\ displaystyle P (X) = X ^ {\ frac {p-1} {2}} + 1}

;

existem exatamente ( p - 1) / 2 resíduos quadráticos.

Primeira lei complementar:

Resulta da imparidade de

p

(que, portanto, só pode ser módulo 4 congruente com ± 1) e da segunda consequência acima: –1 é não quadrática se e somente se , ou seja, se

p

é congruente a –1 módulo 4

(-1) ^ {{(p-1) / 2}} = - 1

Para se aproximar da prova da segunda lei, considere o conjunto B de resíduos não quadráticos diferentes de –1. Notamos que se b é um elemento de B , então b -1 também, e é diferente de b . Na verdade, os únicos elementos iguais aos seus inversos são 1 e -1 e nenhum elemento de B é igual a um deles.

Existem dois casos dependendo do resultado previsto na primeira lei.

Segunda lei complementar (Stieltjes) se $p$ for congruente a 1 módulo 4:

Nesse caso, –1 é um resíduo quadrático e B é o conjunto de ( p - 1) / 2 resíduos não quadráticos. Seja C o conjunto igual a B - 1, ou seja, o conjunto de elementos de B do qual subtraímos 1. A seguinte igualdade mostra que metade dos elementos de C são resíduos quadráticos e a outra não:

\ forall b \ in B \ quad b (b ^ {{- 1}} - 1) = b ~ b ^ {{- 1}} - b = -1 (b-1).

De fato, se b - 1 é um resíduo quadrático, como b não é e esse –1 é, b −1 - 1 também não é. Isso mostra que podemos particionar C em um conjunto de pares, dos quais um elemento é um resíduo quadrático e o outro não. Uma vez que ( p - 1) / 2 é par, o cálculo de P (1) mostra que:

2 = 1 ^ {{{\ frac {p-1} 2}}} + 1 = P (1) = \ prod _ {{b \ in B}} (1-b) = \ prod _ {{b \ em B}} (b-1) = \ prod _ {{c \ in C}} c.

Consequentemente, 2 é um resíduo quadrático se e somente se o número de resíduos não quadráticos de C , que é ( p - 1) / 4, for par, isto é, se p for congruente com 1 não apenas módulo 4, mas módulo 8.

Segunda lei complementar (Stieltjes) se p for congruente com -1 módulo 4:

Nesse caso, –1 não é um resíduo quadrático e B contém apenas ( p - 3) / 2 elementos. Considere então o conjunto C ' igual a B + 1. A seguinte igualdade e o raciocínio anterior mostram que metade dos ( p - 3) / 2 elementos de C' são resíduos quadráticos e os outros não:

\ forall b \ in B \ quad b (b ^ {{- 1}} + 1) = b ~ b ^ {{- 1}} + b = b + 1.

Denote por Q ( X ) o polinômio definido por:

Q (X) = \ prod _ {{b \ in B}} (Xb) = {\ frac {P (X)} {X + 1}} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{{ \ frac {p-3} 2}}} (- 1) ^ {i} X ^ {i}.

Calculando Q (-1) de duas maneiras e reutilizando que ( p - 3) / 2 é par, obtemos:

\ prod _ {{c \ in C '}} c = (p-1) / 2.

O elemento p - 1 não é um resíduo quadrático neste caso, e o inverso de 2 é um resíduo quadrático se e somente se 2 for. Consequentemente, 2 é um resíduo quadrático se e somente se o número de resíduos não quadráticos de C ' , que é ( p - 3) / 4, for ímpar, ou seja, se p for congruente a -1 não apenas módulo 4, mas módulo 8

Segunda lei complementar (Euler).
- Se p = 8 n + 1, então 2 é um mod p quadrado porque x 8 n - 1 = ( x 4 n - 1) (( x 2 n + 1) 2 - 2 ( x n ) 2 ).
- Se p ≡ –1 mod 8 então –2 não é um mod p quadrado ( caso contrário, p seria da forma a 2 + 2 b 2 , o que é trivialmente impossível), portanto (de acordo com a primeira lei complementar) 2 é um de eles.
- Se p ≡ ± 3 mod 8, então 2 não é um mod p quadrado ( caso contrário, p teria a forma ± ( a 2 - 2 b 2 ) , o que é trivialmente impossível).

Generalizações

Existem leis de reciprocidade cúbicas , biquadráticas (en) (isto é, grau 4) e assim por diante. No entanto, a verdadeira generalização de todas essas leis - generalização monumental - é a teoria dos corpos de classe . Consulte " Nono Problema de Hilbert ".

Notas e referências

Notas

Ele pensa que o demonstrou (A.-M. Legendre, “ Pesquisas de análise indeterminada ”, História da Academia Real de Ciências de Paris , 1785, p. 465-559 : demonstração p. 516-520 , retomada no Ensaio na teoria dos números , 1798), mas Gauss ( traduzido do latim por A.-C.-M. Poullet-Delisle), Pesquisa aritmética [“ Disquisitiones arithmeticae ”],1807( 1 st ed. 1801) ( lido em Wikisource ), § 296-297, analisa as falhas. A primeira é que Legendre admite repetidamente o teorema da progressão aritmética , uma questão que se mostra ainda mais difícil do que a da reciprocidade quadrática e não será demonstrada até 1837. Legendre percebeu esta primeira dificuldade ( p. 552 ), mas acreditou em 1808 para ter resolvido isso . Outra falha foi "um emaranhado de raciocínio circular. [...] Durante a 3 ª edição (1830) de seu julgamento , não havia prova crítica suficiente de Legendre acrescentou os 3 e mostrar Gauss reciprocidade, bem como mencionado por Jacobi (mantendo que sua primeira prova foi válida). » ( (En) David A. Cox , Primes of the Form $x 2 + ny 2$ , Wiley,2011( 1 st ed. 1989) ( li on-line ) , p. 39)
Veja, por exemplo, o exercício corrigido 4-11 da lição "Introdução à teoria dos números" na Wikiversidade .
O inverso (⇐), útil na determinação dos números primos de Eisenstein , também pode ser deduzido da fatorialidade de ℤ [ $j$ ] .
Por exemplo, porque (ℤ / $p$ ℤ) * é cíclico de ordem $p$ - 1 , ou novamente de acordo com o lema de Cauchy . Para outros argumentos, consulte o Exercício 4-11 acima.
Para uma prova direta desta equivalência, no mesmo espírito do anterior, veja por exemplo o exercício corrigido 4-12 da lição "Introdução à teoria dos números" na Wikiversidade .
Este inverso, útil na determinação dos irredutíveis de ℤ [φ] , também pode ser deduzido da fatorialidade deste anel .
Para uma prova semelhante da segunda lei complementar, consulte, por exemplo (em) Kenneth Ireland e Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , al. " GTM " ( n o 84) ( lido on-line ) , p. 69-70, ou o exercício corrigido 4-8 da lição "Introdução à teoria dos números" na Wikiversidade .
Consulte também “ Teorema dos dois quadrados de Fermat ”.

Referências

(La) " Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos (E552) " ,1783 (escrito em 1772).
Gauss 1801 , § 125-151 e 262.
(em) Tom M. Apostol , Introdução à Teoria Analítica dos Números , Springer ,1976( leia online ) , p. 178.
J.-L. Lagrange, " Research in arithmetic (continuação) ", Memoirs of the Berlin Academy ,1775, p. 323-356reeditado Joseph-Alfred Serret , Works of Lagrange , vol. III, Gauthier-Villars ,1869( leia online ) , p. 759-795.
J.-L. Lagrange, " Research in arithmetic ", Memoirs of the Berlin Academy ,1773, p. 265-312( Œuvres , III , p. 695-758, [ ler online ] ), estabelece mais precisamente que “os divisores ímpares dos números da forma t 2 - 5 u 2 ou 5 u 2 - t 2 são ao mesmo tempo de cada uma dessas duas formas y 2 - 5 z 2 , 5 z 2 - y 2 . "
Gauss 1801 , § 123 e 121.
Apostol 1976 , p. 186-187, Exemplo 1 .
Apostol 1976 , p. 187, Exemplo 2 .
(en) F. Lemmermeyer, “ Provas da Lei da Reciprocidade Quadrática ” .
(em) Reinhard Laubenbacher e David Pengelley, " Gauss, Eisenstein, e a" terceira "prova do Teorema da Reciprocidade Quadrática: Ein kleines Schauspiel " .
(La) Gauss, " Theorematis fandamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae ", 1818.
André Weil , " La cyclotomy past and past, " Séminaire Bourbaki , vol. 16, n o 452, 1973-1974, p. 318-338 ( ler online ), § 6.
Para os detalhes desta prova, ver por exemplo o link abaixo para "lei da reciprocidade quadrática" na Wikiversidade .
(De) G. Frobenius, “ Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II ” , Sitzungsberichte Berliner Akad. ,1914, p. 484-488 : veja o exercício corrigido 4-13 da lição “Introdução à teoria dos números” na Wikiversidade .
TJ Stieltjes, " Sobre o caráter quadrática do número 2 ", Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse , 1 st série, vol. 11, n o 1,1897, p. 5-8 ( ler online ).
(in) Andre Weil , Teoria dos Números: uma abordagem ao longo da história de Hammurabi a Legendre [ edições de varejo ], p. 212 e 85. Gauss 1801 , § 116, se equivoca, portanto, quando afirma que Euler ainda não tinha uma prova disso “quando escreveu a dissertação contida no T. 1 da Opuscula analytics. , p. 259 ” , ou seja , E449 , p. 108

Veja também

Símbolo de Jacobi