Mecânica espacial

A mecânica espacial , também chamada de astrodinâmica , está no campo da astronomia e da astronáutica , a ciência que trata do estudo do movimento . É um ramo particular da mecânica celeste que visa, em particular, prever as trajetórias de objetos espaciais, como foguetes ou espaçonaves, incluindo manobras orbitais, mudanças de planos orbitais e transferências interplanetárias.

Leis Básicas

Leis de Kepler

As primeiras leis de Mecânica Espacial foram descobertos experimentalmente, observando o movimento dos planetas Kepler no início do XVII th  século. Eles constituem as leis do movimento kepleriano . Lembremos aqui os principais resultados:

• Primeira lei (1609): as órbitas dos planetas são elipses planas nas quais o Sol ocupa um dos focos .
• Segunda lei (1609): lei das áreas: áreas iguais são varridas pelo raio vetorial que une o Sol ao planeta em intervalos de tempo iguais.
• Terceira lei (1619): a relação entre o cubo do semieixo maior e o quadrado do período de revolução do planeta em torno do Sol é independente do planeta: Também pode ser escrito matematicamente: onde está o período de l ' órbita , o semi-eixo maior e com constante gravitacional universal e a massa do sol .no{\ displaystyle a}T{\ displaystyle T}
  no3T2=lado{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ text {cte}}}
  
  T=2πno3µ{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}}}
  T{\ displaystyle T}no{\ displaystyle a}µ=GMS{\ displaystyle \ mu = GM_ {S}}G{\ displaystyle G}MS{\ displaystyle M_ {S}}

Essas leis ainda são usadas com uma boa aproximação na maioria dos cálculos simples de movimento orbital. Este é o tipo de referência de movimento orbital e, em particular, os movimentos realistas são calculados como perturbações fracas de um movimento Kepler.

Movimento de força central

O movimento kepleriano é um movimento de força central . Isso implica em particular uma lei de conservação de energia que está escrita no caso da elipse:

V22-µr=-µ2no{\ displaystyle {\ frac {V ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ mu} {r}} = - {\ frac {\ mu} {2a}}}

V{\ displaystyle V}é a velocidade do corpo em sua órbita , a distância entre o corpo e o centro de atração. As outras notações são idênticas. r{\ displaystyle r}

Parâmetros orbitais

Em vez de descrever o movimento de um objeto espacial pelas coordenadas cartesianas clássicas, usaremos o fato de que o movimento ocorre em uma elipse no espaço. Podemos, portanto, substituir o conjunto clássico de 6 coordenadas cartesianas por um conjunto de 6 números chamados de parâmetros orbitais: (x,y,z,x˙,y˙,z˙){\ displaystyle (x, y, z, {\ dot {x}}, {\ dot {y}}, {\ dot {z}})}

• no{\ displaystyle a}o semi-eixo maior da órbita
• e{\ displaystyle e}a excentricidade da órbita
• eu{\ displaystyle i}a inclinação da órbita
• Ω{\ displaystyle \ Omega}a longitude do nó ascendente
• ω{\ displaystyle \ omega}o argumento do periapsia
  ( periélio no caso do Sol , perigeu no caso da Terra )
• Um número que permite a identificação da posição na órbita, conforme desejado:
  • ν{\ displaystyle \ nu} anomalia verdadeira , ou
  • E{\ displaystyle E} anormalidade excêntrica , ou
  • M{\ displaystyle M} anomalia média .

Existem fórmulas explícitas que permitem a passagem entre esses 2 conjuntos de coordenadas (referência por vir).

Os parâmetros orbitais de objetos ( satélites e detritos espaciais ) na órbita da Terra são continuamente monitorados e publicados em um formato padrão (consulte TLE, Elementos de duas linhas ).

Benchmarks em mecânica espacial

Para descrever uma órbita usando parâmetros orbitais, o quadro de referência galileano escolhido será geocêntrico; seus eixos são o eixo Norte-Sul da Terra, fixado como uma primeira aproximação, o eixo vernal (a intersecção entre o plano equatorial e o plano eclíptico em um dado momento) e o último tal que os três formam um sistema de coordenadas ortonormal direto .

Movimento kepleriano perturbado

Os cálculos padrão em mecânica espacial são realizados em uma estrutura Kepleriana, onde, em particular, é assumido que a única força atuando sobre o veículo é a atração terrestre, e que a Terra é esférica e homogênea. Ambas as suposições estão realmente erradas; a experiência, entretanto, mostra que as acelerações causadas por forças diferentes da atração central são fracas em comparação com a aceleração Kepler. É por isso que consideramos que as outras forças são perturbações do movimento.

Forças de perturbação

Forças gravitacionais

Essas forças dependem apenas da distribuição de massas ao redor do satélite e derivam de um potencial de posição. Observe esse potencial. você{\ displaystyle U}

Potencial da terra

No caso Kepleriano, a Terra é esférica e o potencial terrestre é calculado de forma simples e vale a pena . No caso real, o volume de integração é muito mais complexo. Para ter uma forma explorável, escrevemos esse potencial na forma de harmônicos esféricos e obtemos: µr{\ displaystyle {\ tfrac {\ mu} {r}}}

você=µr+µr∑não=1∞(reqr)não[-JnãoPnão(pecado⁡ϕ)+∑m=1não{VSnãomporque⁡(mλ)+Snãompecado⁡(mλ)}Pmnãopecado⁡(ϕ)]{\ displaystyle U = {\ frac {\ mu} {r}} + {\ frac {\ mu} {r}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r_ { eq}} {r}} \ right) ^ {n} \ left \ lbrack -J_ {n} P_ {n} (\ sin \ phi) + \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ lbrack C_ { nm} \ cos (m \ lambda) + S_ {nm} \ sin (m \ lambda) \ rbrace P_ {mn} \ sin (\ phi) \ right \ rbrack}

Nessa expressão, é o raio equatorial terrestre, é uma constante inercial da Terra chamada harmônica zonal de ordem n, e também são constantes inerciais chamadas harmônicas tesserais, é o polinômio de Legendre de ordem n, função do próprio associado de Legendre. , e são o vetor de raio, longitude e latitude geocêntrica do ponto onde o potencial é calculado. req{\ displaystyle r_ {eq}}Jnão{\ displaystyle J_ {n}}VSnãom{\ displaystyle C_ {nm}}Snãom{\ displaystyle S_ {nm}}Pnão{\ displaystyle P_ {n}}Pnãom{\ displaystyle P_ {nm}}r{\ displaystyle r}λ{\ displaystyle \ lambda}ϕ{\ displaystyle \ phi}

O primeiro termo deste desenvolvimento , traduz o achatamento nos pólos. Este termo tem uma intensidade relativa de em relação ao potencial Kepleriano, enquanto os seguintes termos estão em . J2{\ displaystyle J_ {2}}10-3{\ displaystyle 10 ^ {- 3}}10-6{\ displaystyle 10 ^ {- 6}}

Atração devido à Lua ou ao Sol

Tomando uma referência na qual o veículo tem por coordenadas e o novo corpo de atração, Lua ou Sol , então o potencial adicional devido a este corpo é escrito: (x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}(x′,y′,z′){\ displaystyle (x ', y', z ')}

vocêp=µp(1Δ-xx′+yy′+zz′rp3){\ displaystyle U_ {p} = \ mu _ {p} \ left ({\ frac {1} {\ Delta}} - {\ frac {xx '+ yy' + zz '} {r_ {p} ^ {3 }}} \ direito)}

com:

Δ2=rp2+r2-2(xx′+yy′+zz′){\ displaystyle \ Delta ^ {2} = r_ {p} ^ {2} + r ^ {2} -2 (xx '+ yy' + zz ')}

A ordem de magnitude relacionada ao potencial Kepleriano é para o Sol e para a Lua. 10-8{\ displaystyle 10 ^ {- 8}}10-7{\ displaystyle 10 ^ {- 7}}

Forças não gravitacionais

Essas forças, ao contrário das anteriores, não derivam de um potencial. Desta vez, calcularemos as acelerações induzidas por essas forças.

Fricção atmosférica

A força de atrito atmosférico é devida à interação entre a atmosfera e o veículo. Dadas as altas velocidades dos veículos satélites, apesar da baixa densidade da atmosfera nessas altitudes, essa força não pode ser desprezada até uma altitude de 1.500  km .

A força criada ao longo do eixo da velocidade da máquina, que será, portanto, oposta a esta velocidade, está escrita:

γf=12ρSVr2VSxm{\ displaystyle \ gamma _ {f} = {\ frac {1} {2}} \ rho SV_ {r} ^ {2} {\ frac {C_ {x}} {m}}}

Nessa relação, encontra-se a densidade da atmosfera, uma superfície de referência, a velocidade do veículo em relação à atmosfera, o coeficiente de arrasto do veículo e sua massa. ρ{\ displaystyle \ rho}S{\ displaystyle S}Vr{\ displaystyle V_ {r}}VSx{\ displaystyle C_ {x}}m{\ displaystyle m}

Existem também forças de natureza semelhante ao longo dos outros eixos coordenados (forças de sustentação , por exemplo), mas seus efeitos são geralmente mais fracos. Dependendo da altitude, essa força de atrito tem intensidades relacionadas ao potencial Kepleriano de a . 10-4{\ displaystyle 10 ^ {- 4}}10-9{\ displaystyle 10 ^ {- 9}}

Pressão de radiação solar

Essa força se deve à interação dos fótons com o veículo. A aceleração devido à pressão de radiação direta vinda do Sol pode ser escrita:

γp→=ϵSP0VSpmvocê→{\ displaystyle {\ vec {\ gamma _ {p}}} = \ epsilon SP_ {0} {\ frac {C_ {p}} {m}} {\ vec {u}}}

ϵ{\ displaystyle \ epsilon}é um coeficiente igual a 1 se o satélite estiver iluminado e 0 caso contrário, é uma superfície de referência, a pressão de radiação solar direta por unidade de área, sendo em média 4,63 × 10 −6 N m −2 , o coeficiente de reflexividade, da ordem de , e o vetor unitário da direção do veículo solar. S{\ displaystyle S}P0{\ displaystyle P_ {0}} VSp{\ displaystyle C_ {p}}1,5{\ displaystyle 1.5}você→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

Equações de movimento perturbado

Equações de Lagrange Equações de Gauss

Manobras orbitais

O princípio geral das manobras é modificar um ou mais parâmetros orbitais usando os meios de propulsão do objeto espacial considerado.

Força de impulso e variação na massa da máquina

No caso de um motor de propulsão com propelente , a força de empuxo pode ser escrita:

F=-m˙g0eusp{\ displaystyle F = - {\ dot {m}} g_ {0} I_ {sp}}

m˙{\ displaystyle {\ dot {m}}}é a taxa de fluxo de material de entrada, a constante gravitacional e o momento específico . g0{\ displaystyle g_ {0}}eusp{\ displaystyle I_ {sp}}

Freqüentemente, durante as manobras, esse impulso ocorre por um tempo desprezível em comparação com o período da órbita. Podemos então fazer a hipótese de um impulso de impulso: então, consideramos que esse impulso ocorre instantaneamente. Essa suposição torna possível usar a equação de Tsiolkowski para aproximar a variação na massa do propelente durante a manobra:

Δm=m0(1-e|ΔV|g0eusp){\ displaystyle \ Delta m = m_ {0} (1-e ^ {\ frac {| \ Delta V |} {g_ {0} I_ {sp}}})}

Nesse caso é a variação do módulo de velocidade durante a manobra e a massa inicial do propelente . ΔV{\ displaystyle \ Delta V}m0{\ displaystyle m_ {0}}

Mudando a forma da órbita

O objetivo é modificar os parâmetros de forma e , de forma a minimizar o propulsor consumido. Mostramos que, para um dado, é mínimo se o empuxo for colinear com a velocidade e a velocidade máxima. no{\ displaystyle a}e{\ displaystyle e}Δno{\ displaystyle \ Delta a}ΔV{\ displaystyle \ Delta V}

As manobras são, portanto, realizadas no periastro, que cumpre as 2 condições. As manobras ótimas para modificar a forma da órbita consistem então em modificar o apoastro.

Um exemplo de órbita de transferência usando esta manobra ótima é a órbita de Hohmann .

Modificação do plano orbital

Desta vez, estamos tentando modificar os parâmetros e . Se se deseja modificar apenas, trata-se de realizar a manobra ao nível do nó ascendente ou descendente, para rodar a órbita em torno desta linha. Se quisermos ir de inclinação em inclinação , mostramos que a variação de velocidade necessária está escrita: eu{\ displaystyle i}Ω{\ displaystyle \ Omega}eu{\ displaystyle i} eu1{\ displaystyle i_ {1}} eu2{\ displaystyle i_ {2}}

ΔV=2V0pecado⁡(eu2-eu12){\ displaystyle \ Delta V = 2V_ {0} \ sin \ left ({\ frac {i_ {2} -i_ {1}} {2}} \ right)}

V0{\ displaystyle V_ {0}} é então a velocidade no nó de manobra.

As modificações são, por sua vez, complexas e onerosas em termos de propelentes. Ω{\ displaystyle \ Omega}

Referências

• Lei francesa: decreto de 20 de fevereiro de 1995 relacionadas com a terminologia da ciência e tecnologia espaciais.
• B.Escudier, JY Pouillard, Mecânica Espacial , Toulouse, ENSAE Toulouse,1997( reimpressão  1996, 1997), 111  p. ( ISBN  2-84088-028-8 )ISAE folheto sobre mecânica espaciais.

• O. Zarrouati, Space Trajectories , Toulouse, CNES - Edições Cépadues

• MN.Sanz, AE.Badel, F.Clausset, Física: All-in-One 1 st ano , Paris, Dunod - Eu integro, 2002-2003 725  p. ( ISBN  978-2-10-007950-6 e 2-10-007950-6 )

Veja também

Artigos relacionados

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