|
Na geometria plana, um quadrilátero (às vezes chamado de tetrapleur ou tetrágono ) é um polígono de quatro lados. Os trapézios , paralelogramos , losangos , retângulos , quadrados e pipas são quadriláteros individuais.
A palavra "quadrilátero" vem do latim: quarteto , quatro e latus, lateris , lado. A palavra equivalente de origem grega é tetrapleure (de τεσσερα / tèssera , quatro, e πλευρά / pleura , lado) ou tetrágono (de γωνία / gônia , ângulo). A palavra tetragonal foi usada por Gerbert de Aurillac para o X th século por Oresme na XIV th século. O termo quadrilátero foi introduzido em 1554 por Peletier . Alguns autores utilizaram a palavra "quadrilátero" ( Alcuíno , VIII th século) ou "helmuariphe" um termo de origem árabe ( Campanus , XIII th século e outros para o Renascimento ). Para os gregos, um quadrilátero com um ângulo de reentrada era chamado de "koilogon" (de κοιλοσ / koïlos , oco), e alguns chamavam de "trapézio" um quadrilátero com todos os lados desiguais. "Tetrágono" é usado por Euclides em Os Elementos para designar o quadrado .
Um quadrilátero é a figura denotada "ABCD" formada por:
Os vértices A e C são considerados opostos ; bem como os vértices B e D.
As diagonais [AC] e [BD] unem os vértices opostos.
Um quadrilátero pode ser:
De acordo com a soma dos ângulos de um teorema do polígono , a soma dos ângulos de um quadrilátero não cruzado é 360 ° .
Na geometria elementar, um ótimo lugar é dado aos quadriláteros convexos .
Um quadrilátero é convexo se e somente se, qualquer que seja o lado escolhido, o quadrilátero está inteiramente incluído em um semiplano cuja borda contém este lado. Esta caracterização é geral para qualquer polígono convexo . No caso particular do quadrilátero, há também outra caracterização: um quadrilátero é convexo se e somente se as diagonais formarem segmentos secantes.
Quando um quadrilátero é convexo, uma linha do plano que não passa por um vértice não pode encontrar mais de dois lados do quadrilátero.
Área : a área de um quadrilátero convexo é igual ao meio-produto das diagonais multiplicado pelo seno do ângulo que elas formam (o ângulo utilizado é o menor dos dois ângulos formados pelas retas).
O interior de um quadrilátero convexo ABCD é então definido como a intersecção dos semiplanos delimitados por (AB), por (BC), por (CD) e por (DA) e cada um contendo respectivamente os pontos C, D, A e B. É então possível, em um plano equipado com um sistema de coordenadas cartesianas, definir o interior de um quadrilátero por meio da comparação de sinais: o ponto P (x, y) é interior ao quadrilátero convexo ABCD se e somente se os quatro seguintes as condições são verdadeiras:
(y B - y A ) x - (x B - x A ) y - x A y B + x B y A tem o mesmo sinal que (y B - y A ) x C - (x B - x A ) y C - x A y B + x B y A ; (y C - y B ) x - (x C - x B ) y - x B y C + x C y B tem o mesmo sinal que (y C - y B ) x D - (x C - x B ) y D - x B y C + x C y B ; (y D - y C ) x - (x D - x C ) y - x C y D + x D y C tem o mesmo sinal que (y D - y C ) x A - (x D - x C ) y A - x C y D + x D y C ; (y A - y D ) x - (x A - x D ) y - x D y A + x A y D tem o mesmo sinal que (y A - y D ) x B - (x A - x D ) y B - x D y Uma + x Um y D .Um quadrilátero deriva diretamente de um quadrilátero agrupando vértices em dois pares. Para cada par, os dois vértices são ditos opostos e o segmento que os une (lado do quadrilátero) não é mais considerado um lado, mas sim uma diagonal do quadrilátero.
Portanto, a primeira coisa a saber sobre qualquer quadrilátero é que, ao contrário dos triângulos , os dados de seus vértices não são suficientes para defini-los (mas define um quadrilátero, sob certas condições).
Na verdade, considere quatro pontos A , B , C e D (não alinhados três a três para evitar certos problemas).
Esses quatro pontos são as extremidades de seis segmentos distintos: os seis lados do quadrilátero: [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] e [CD].
Esses segmentos podem ser montados, de quatro a quatro, para formar três quadriláteros distintos (e apenas três):
Os quatro segmentos usados pelo quadrilátero são seus lados ; os outros dois segmentos são suas diagonais .
Notação : assim, ABCD é uma notação comum para definir um quadrilátero ou quadrilátero.
Porém, se a ordem dos pontos for indiferente para um quadrilátero, ela deve ser respeitada (com uma rotação ou capotamento) para preservar o mesmo quadrilátero.
Existem 24 arranjos dos quatro pontos A , B , C e D baseados no mesmo quadrângulo. Existem três quadriláteros ABCD , ACBD , ABDC .
O mesmo quadrilátero ABCD pode, portanto, ser escrito ABCD , BCDA , CDAB , DABC em uma direção; DCBA , C BAD , CDAO , ADCB na outra direção.
Os quadriláteros arbitrários oferecem relativamente pouco interesse, mas permitem ver o que está por trás das definições dos quadriláteros particulares bem conhecidos ( trapézio , paralelogramo , retângulo , losango , quadrado , pipa , pseudo-quadrado , etc.)
Diagrama de Venn de diferentes tipos de quadriláteros convexos.
Diagrama de Euler de diferentes tipos de quadriláteros.
Diagrama de Hasse de diferentes tipos de quadriláteros.
Quando tentamos classificar os quadriláteros impondo propriedades particulares sobre eles, obtemos, por exemplo:
Esses são chamados de ortodiagonaux quadrilateral quadrilateral (in) . A área de todos esses quadriláteros é (onde D e d são os comprimentos das diagonais).
Esta categoria não apresenta regularidade de aparência. Entre os quadriláteros convexos cujas diagonais são perpendiculares, podemos notar
Nem sempre obtemos um paralelogramo. Para obter um paralelogramo, o quadrilátero também deve ser convexo e os lados opostos devem ser iguais. Se o quadrilátero não for convexo e os lados opostos forem iguais aos pares, obtemos um quadrilátero cruzado: o antiparalelogramo .
Se os lados iguais forem consecutivos dois a dois, pousamos na pipa.
Aqui encontramos duas classes interessantes de quadriláteros convexos: trapézios e, entre eles, paralelogramos .
Entre os trapézios particulares, encontramos o trapézio isósceles cujos lados não paralelos têm o mesmo comprimento e o trapézio retângulo que tem dois ângulos retos.
Os paralelogramos especiais incluem retângulos (paralelogramos em ângulo reto), losangos (paralelogramos com lados adjacentes iguais) e quadrados (retângulos e losangos).
Assim, segundo essa classificação, o quadrado é o quadrilátero mais rico em propriedades. É também a solução única do problema isoperimétrico para quadriláteros. Ou seja, entre todos os quadriláteros com o mesmo perímetro, o quadrado é o que possui a maior área.
Os quadriláteros que podem ser escritos em um círculo são os quadriláteros cujos vértices são cocíclicos.
O teorema do ângulo inscrito permite a seguinte caracterização: um quadrilátero é gravável se e somente se tiver dois ângulos opostos que são iguais ou adicionais: quando os ângulos são adicionais é um quadrilátero convexo, e quando os ângulos são iguais, é um cruzado quadrilátero.
Em particular, um trapézio isósceles, um retângulo são quadriláteros graváveis.
O teorema de Ptolomeu permite afirmar que um quadrilátero convexo é gravável se, e somente se, o produto do comprimento diagonal é igual à soma dos produtos dos comprimentos dos lados opostos.
A fórmula Brahmagupta dá a área de um quadrilátero convexo cujos vértices estão no mesmo círculo, sabendo apenas o comprimento de seus lados.
onde é a metade do perímetro do quadrilátero, a , b , c e d são os comprimentos de seus lados e S sua área.