Teoria dos fluxos potenciais de velocidade

Na mecânica dos fluidos , a teoria do fluxo potencial de velocidade é uma teoria de fluxos de fluidos onde a viscosidade é desprezada. É amplamente utilizado na hidrodinâmica .

A teoria se propõe a resolver as equações de Navier-Stokes nas seguintes condições:

• o fluxo é estacionário
• o fluido não é viscoso
• não há ação externa (fluxo de calor, eletromagnetismo, gravidade ...)

Equações

A formulação diferencial das equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas é:

• Equação de continuidade (ou equação de balanço de massa)∂ρ∂t+div⁡(ρv→)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0}

• Equação de equilíbrio de momento∂(ρv→)∂t+div⁡(ρv→⊗v→)=-grnod→(p)+div⁡(τ¯¯)+ρf→{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left (\ rho {\ vec {v}} \ right)} {\ partial t}} + \ operatorname {div} \ left (\ rho {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {v}} \ right) = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (p) + \ operatorname {div} ({\ overline {\ overline {\ tau}}}) + \ rho {\ vec {f}}}

• Equação de balanço de energia∂(ρe)∂t+div⁡[(ρe+p)v→]=div⁡(τ¯¯⋅v→)+ρf→⋅v→-div⁡(q˙→)+r{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left (\ rho e \ right)} {\ partial t}} + \ operatorname {div} \ left [\; \ left (\ rho e + p \ right) {\ vec {v}} \; \ right] = \ operatorname {div} \ left ({\ overline {\ overline {\ tau}}} \ cdot {\ vec {v}} \ right) + \ rho {\ vec {f }} \ cdot {\ vec {v}} - \ operatorname {div} ({\ vec {\ dot {q}}}) + r}

Nessas equações:

• t{\ displaystyle t}representa o tempo (unidade SI :) ;s{\ displaystyle {\ rm {s}}}
• ρ{\ displaystyle \ rho}denota a densidade do fluido (unidade SI :) ;kg⋅m-3{\ displaystyle {\ rm {kg \ cdot m ^ {- 3}}}}
• v→=(v1,v2,v3){\ displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}denota a velocidade Euleriana de uma partícula de fluido (unidade SI :) ;m⋅s-1{\ displaystyle {\ rm {m \ cdot s ^ {- 1}}}}
• p{\ displaystyle p}denota a pressão (unidade SI :) ;Pno{\ displaystyle {\ rm {Pa}}}
• τ¯¯=(τeu,j)eu,j{\ displaystyle {\ overline {\ overline {\ tau}}} = \ left (\ tau _ {i, j} \ right) _ {i, j}}é o tensor das tensões viscosas (unidade SI :) ;Pno{\ displaystyle {\ rm {Pa}}}
• f→{\ displaystyle {\ vec {f}}}designa a resultante das forças de massa exercidas no fluido (unidade SI :) ;NÃO⋅kg-1{\ displaystyle {\ rm {N \ cdot kg ^ {- 1}}}}
• e{\ displaystyle e}é a energia total por unidade de massa (unidade SI :) ;J⋅kg-1{\ displaystyle {\ rm {J \ cdot kg ^ {- 1}}}}
• q˙→{\ displaystyle {\ vec {\ dot {q}}}}é o fluxo de calor perdido por condução térmica (unidade SI :) ;J⋅m-2⋅s-1{\ displaystyle {\ rm {J \ cdot m ^ {- 2} \ cdot s ^ {- 1}}}}
• r{\ displaystyle r}representa a perda de calor de volume devido à radiação (unidade SI :) .J⋅m-3⋅s-1{\ displaystyle {\ rm {J \ cdot m ^ {- 3} \ cdot s ^ {- 1}}}}

Fluido incompressível

Às equações anteriores, devemos adicionar as condições do nosso caso:

• o fluido é incompressível

∂ρ∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0}

• o fluido também está estacionário

∂(ρe)∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left (\ rho e \ right)} {\ partial t}} = 0}, ,∂(ρv→)∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left (\ rho {\ vec {v}} \ right)} {\ partial t}} = 0}

• o fluido não é viscoso

 τ¯¯=0{\ displaystyle \ {\ overline {\ overline {\ tau}}} = 0},

• não há ação externa (fluxo de calor, eletromagnetismo, gravidade ...)

 f=0{\ displaystyle \ f = 0}, , ... r=0{\ displaystyle \ r = 0} q=0{\ displaystyle \ q = 0}

portanto, as equações são muito simplificadas:

• div⁡(ρv→)=0{\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0}
• div⁡(ρv→⊗v→)=-grnod→(p){\ displaystyle \ operatorname {div} \ left (\ rho {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {v}} \ right) = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (p)}
• div⁡[(ρe+p)v→]=0{\ displaystyle \ operatorname {div} \ left [\; \ left (\ rho e + p \ right) {\ vec {v}} \; \ right] = 0}

Com as condições de contorno, o sistema de equações é solvente. A primeira equação é independente das outras duas, basta encontrar uma solução para esta equação para então determinar as outras duas. div⁡(ρv→)=0{\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0}

Como é constante, então a equação é: .  ρ{\ displaystyle \ \ rho}div⁡(ρv→)=0⇔div⁡(v→)=0{\ displaystyle \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0 \ Leftrightarrow \ operatorname {div} ({\ vec {v}}) = 0}

Portanto, há uma função como:  φ{\ displaystyle \ \ varphi}

v→=grnod→ φ{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ \ varphi}

onde é o vetor velocidade do fluido em um ponto no espaço das equações de Navier-Stokes .  v→{\ displaystyle \ {\ vec {vb}}}

A equação assume a seguinte forma:

 div⁡(grnod→ φ)=0{\ displaystyle \ \ operatorname {div} ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ \ varphi) = 0}

é

d2φ/dx2+d2φ/dy2+d2φ/dz2=0 .{\ displaystyle d ^ {2} \ varphi / dx ^ {2} + d ^ {2} \ varphi / dy ^ {2} + d ^ {2} \ varphi / dz ^ {2} = 0 ~.}

sem esquecer as condições de contorno.

Ou, em outra notação: .  ∇×∇φ=0{\ displaystyle \ \ nabla \ times \ nabla \ varphi = \ mathbf {0}}

Solução

A solução da equação com suas condições de contorno foi dada por George Green e está escrita:  ∇×∇φ=0{\ displaystyle \ \ nabla \ times \ nabla \ varphi = \ mathbf {0}}

4πφ(M)=-∫∫Snão→.grnod→(φ)rds+∫∫Sφnão→.r→r3ds{\ displaystyle 4 \ pi \ varphi (M) = - \ int \ int _ {S} ^ {} {\ frac {{\ overrightarrow {n}}. {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ varphi )} {r}} ds + \ int \ int _ {S} ^ {} {\ frac {\ varphi {\ overrightarrow {n}}. {\ overrightarrow {r}}} {r ^ {3}}} ds }

com:

• S uma superfície que é o limite do domínio no qual o perfil está imerso (asa de avião, vela de barco, etc.). O domínio deve ser grande o suficiente para que o fluido “silenciosamente” se perturbe ao redor do perfil sem que nenhum efeito de borda notável apareça. Uma área de três a quatro vezes a dimensão do perfil é no mínimo.
• M (x, y, z) um ponto dentro do volume limitado por uma superfície fechada S (que pode se estender até o infinito);
• φ{\ displaystyle \ varphi}e sendo zero fora da superfície S;grnod→(φ){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ varphi)}
• não→{\ displaystyle {\ overrightarrow {n}}} o vetor unitário normal a S orientado para dentro;
• r = PM o vetor que une um ponto atual P da superfície S ao ponto M onde o potencial é expresso .φ{\ displaystyle \ varphi}

Resolução

Exceto para formas simples de perfil, a solução da equação é apenas numérica. Como o fluxo é considerado estacionário, os resultados do cálculo não são turbulentos. Portanto, este modelo só é realista em baixa incidência. Em alta incidência, a teoria diverge fortemente da realidade onde o perfil gera muita turbulência.

Fluido compressível

Caso Geral

Da mesma forma, esta teoria pode ser estendida a um modelo irrotacional compressível.

(1-Mx2)∂2Φ∂x2+(1-My2)∂2Φ∂y2+(1-Mz2)∂2Φ∂z2-2MxMy∂2Φ∂x∂y-2MyMz∂2Φ∂y∂z-2MzMx∂2Φ∂z∂x=0,{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ left (1-M_ {x} ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial x ^ {2}}} + \ left (1-M_ {y} ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial y ^ {2}}} + \ left (1-M_ {z} ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial z ^ {2}}} \\ & \ quad -2M_ {x} M_ {y} {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ parcial x \, \ parcial y}} - 2M_ {y} M_ {z} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial y \, \ parcial z}} -2M_ {z} M_ {x} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial z \, \ parcial x}} = 0, \ end {alinhado}}}

com número Mach

Mx=1no∂Φ∂x,{\ displaystyle M_ {x} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x}},}   My=1no∂Φ∂y{\ displaystyle M_ {y} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}}}   e   Mz=1no∂Φ∂z,{\ displaystyle M_ {z} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}},}

onde a é a velocidade local do som . é o vector de velocidade do fluido e é igual a: . A equação é válida para velocidades sub , trans e supersônicas e para uma incidência arbitrária, desde que o fluxo permaneça irrotacional.  v→{\ displaystyle \ {\ vec {vb}}}v→=grnod→ ϕ{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ \ phi}

No caso subsônico ou supersônico, mas não transônico ou hipersônico, em baixa incidência e um perfil delgado, podemos dividir a velocidade em duas partes: a velocidade não perturbada V ∞ na direção xe o resto em ∇ φ :

∇Φ=V∞x+∇φ.{\ displaystyle \ nabla \ Phi = V _ {\ infty} x + \ nabla \ varphi.}

Para pequenas perturbações, aplicando a teoria das Teorias de Perturbação, é feita uma linearização para pequenas perturbações. As equações são simplificadas e se tornam:

(1-M∞2)∂2φ∂x2+∂2φ∂y2+∂2φ∂z2=0,{\ displaystyle \ left (1-M _ {\ infty} ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ varphi} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ varphi} {\ parcial z ^ {2}}} = 0,}

com M ∞  =  V ∞  /  a ∞ o número de Mach da vazão não perturbada. Essas equações lineares são muito mais fáceis de resolver do que as equações iniciais.

Acústico

Às equações básicas, as seguintes condições devem ser adicionadas:

• o fluido também está estacionário

∂(ρe)∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left (\ rho e \ right)} {\ partial t}} = 0}, ,∂(ρv→)∂t=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left (\ rho {\ vec {v}} \ right)} {\ partial t}} = 0}

• o fluido não é viscoso

 τ¯¯=0{\ displaystyle \ {\ overline {\ overline {\ tau}}} = 0},

• não há ação externa (fluxo de calor, eletromagnetismo, gravidade ...)

 f=0{\ displaystyle \ f = 0}, , ... r=0{\ displaystyle \ r = 0} q=0{\ displaystyle \ q = 0}

portanto, as equações são muito simplificadas:

• ∂ρ∂t+div⁡(ρv→)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ operatorname {div} (\ rho {\ vec {v}}) = 0}
• ∂(ρv→)∂t+div⁡(ρv→⊗v→)=-grnod→(p){\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left (\ rho {\ vec {v}} \ right)} {\ partial t}} + \ operatorname {div} \ left (\ rho {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {v}} \ right) = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (p)}
• ∂(ρe)∂t+div⁡[(ρe+p)v→]=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left (\ rho e \ right)} {\ partial t}} + \ operatorname {div} \ left [\; \ left (\ rho e + p \ right) {\ vec {v}} \; \ right] = 0}

A densidade é decomposta da seguinte forma, com a densidade de equilíbrio definida a seguir . ρ{\ displaystyle \ rho}ρ=ρ′+ρ0{\ displaystyle \ rho = \ rho '+ \ rho _ {0}}ρ0{\ displaystyle \ rho _ {0}}ρ0=limT→∞1T∫t0t0+Tρdt{\ displaystyle \ rho _ {0} = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} \ rho \, dt}

Nós notamos : dm=ρ0dV{\ displaystyle \ mathrm {d} m = \ rho _ {0} \, \ mathrm {d} V}

Usando maciçamente os teoremas da análise vetorial, obtém-se:

ρ0∂v∂t=-∇p{\ displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} = - \ nabla p}

A velocidade é decomposta como segue com a velocidade média definida como segue . v{\ displaystyle v}v=v′+v¯{\ displaystyle v = v '+ {\ overline {v}}}v¯{\ displaystyle {\ overline {vb}}}v¯=limT→∞1T∫t0t0+Tvdt.{\ displaystyle {\ overline {v}} = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} v \, dt.}

Procedendo de maneira semelhante, focando apenas em , negligenciando fenômenos de segunda ordem (chamados de aproximação acústica) e considerando as variações de pressão como puramente adiabáticas, chegamos a modelar ondas acústicas da seguinte forma: v′{\ displaystyle v '}

∂2φ∂t2=no¯2Δφ,{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial t ^ {2}}} = {\ overline {a}} ^ {2} \ Delta \ varphi,}

com a velocidade v '  = ∇ φ e a média da velocidade do som em um material homogêneo . é definido como segue: com o coeficiente de compressibilidade adiabática ( ). no¯{\ displaystyle {\ overline {a}}}no¯{\ displaystyle {\ overline {a}}}no¯=1ρχS{\ displaystyle {\ overline {a}} = {\ sqrt {\ frac {1} {\ rho \ chi _ {S}}}}}χS{\ displaystyle \ chi _ {S}}χs=-(∂V/∂p)S/V{\ displaystyle \ chi _ {s} = - \ left (\ partial V / \ partial p \ right) _ {S} / V}

Cuidado, a velocidade v é vista no sentido euleriano , não é a velocidade de uma determinada partícula, mas a velocidade das partículas que passam por um ponto preciso no espaço.

Veja também

Artigo relacionado

• Equação de Laplace
• Teoria do Perfil Fino

links externos

• Teoria geral dos fluxos de potencial de velocidade no air-et-terre.info
• ( fr ) Teoria de fluxo potencial de AH Techet, do MIT
• (pt) Teoria dos fluxos potenciais de Nuno Fonseca, do Instituto Superior Técnico
• (en) Chanson Hubert , Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:191112 , Boca Raton, CRC Press, Taylor & Francis Group,2009, capa dura ( ISBN  978-0-415-49271-3 , LCCN  2008051277 )

Referências

1. J.D. Anderson , Fluxo compressível moderno , McGraw-Hill,2002( ISBN  0-07-242443-5 ), pp. 358–359.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">