Em matemática , uma ação de um grupo em um conjunto é uma lei de composição externa do grupo no conjunto, satisfazendo condições adicionais. Mais precisamente, é o dado, para cada elemento do grupo, de uma permutação do conjunto, de forma que todas essas bijeções sejam compostas de maneira compatível com a lei do grupo.
Dado um conjunto E e um grupo G , cuja lei é denotada por multiplicação e cujo elemento neutro é denotado , uma ação (ou operação ) de G sobre E é uma aplicação: verificando as seguintes propriedades: ; .
Também é dito que G opera (ou é) no E inteiro . É importante verificar que o conjunto E é estável sob a acção do grupo G .
Um ponto de vista equivalente consiste em dizer que o grupo G opera no set E se temos um morfismo de grupos , disse a ser associado com a ação ,, do grupo G no grupo simétrico S E de toda a E . Um morfismo Tal é chamado uma representação do grupo G .
Esse morfismo está ligado à ação por para tudo .
No caso em que o conjunto E é dotado de uma estrutura adicional (algébrica, topológica, geométrica), considera-se apenas os morfismos , pois preserva-se essa estrutura para todos . Por exemplo, se E é um espaço vetorial, exigimos que seja valorado em GL ( E ).
Todos os exemplos no parágrafo anterior são ações à esquerda. Mas é útil considerar também as ações à direita. Teremos uma ação à direita se . Assim, um grupo G opera sobre si mesmo à direita por translações à direita. É claro que é natural e conveniente notar
uma ação à direita.
O grupo oposto do grupo simétrico S E é o conjunto de permutações de E fornecidas com a lei de composição . Numa acção direito de um grupo L de um conjunto E , existe um homomorphism de L em frente S E . Isto aplica-se um elemento homomorphism g de L sobre a permutação x ↦ x⋅g de E .
Comente. A classificação funcional em uso hoje leva naturalmente a favorecer as ações de esquerda. A notação exponencial (usada por exemplo por Emil Artin em seu livro sobre álgebras geométricas ), onde o que notamos está escrito , levaria a ações favoráveis à direita.
Definimos a órbita de um elemento x de E por . A órbita de x é o conjunto de elementos E associado com x sob a acção da L . A relação " y está na órbita de x " é uma relação de equivalência em E ; as classes de equivalência são as órbitas.
Em particular, as órbitas formar uma partição de E .
O estabilizador (ou subgrupo de isotropia ) de um elemento x de E sob a ação de G é o conjunto elementos que deixam x invariante sob sua ação. Este é um subgrupo de L . Os estabilizadores de dois elementos da mesma órbita são conjugados pela fórmula: . Em particular :
Além disso, o aplicativo é uma bijeção de on , de forma que o índice do estabilizador de qualquer ponto de uma órbita seja igual ao cardinal dessa órbita (essa propriedade será lembrada abaixo sob o nome de " fórmula de classes ".)
Podemos definir, de forma análoga, o conjunto Fix g dos pontos fixados por um elemento g do grupo G como o conjunto de elementos de E invariante sob a ação de g : .
O conjunto de g de G tal que g⋅A = A é chamado de estabilizador de A sob G e golpe observado ( A ); é o estabilizador do elemento A de para a partes ( L ) em naturalmente associado com a de E .
Exemplo:Um método para fazer com que o cubo de Rubik seja bem- sucedido ( método de Fridrich ) consiste em fazer as duas primeiras coroas, depois orientar os cubos da última coroa para que tenham a face superior e finalmente permutar os cubos (Permutar Última Camada). Nota-se assim P1 o estabilizador das duas primeiras coroas e da última face. A natureza de um grupo surge naturalmente: se compormos dois algoritmos P1 por exemplo, obtemos outro.
Assim, o cubo de Rubik permite ilustrar a noção de ação grupal em um conjunto.
Uma ação é considerada transitiva se tiver uma e apenas uma órbita. Uma ação de um grupo G em um conjunto E é, portanto, transitiva se e somente se E não estiver vazio e quaisquer dois elementos de E podem ser enviados um ao outro pela ação de um elemento do grupo:
.Mais geralmente, uma ação em um conjunto E (de pelo menos n elementos) é considerada n-transitiva se a ação correspondente no conjunto de n- duplas de elementos distintos for transitiva, ou seja, se para n pontos distintos x 1 , ... , x n e n pontos distintos y 1 ,…, y n , arbitrário em E , sempre existe pelo menos um elemento g do grupo de modo que temos ambos g · x 1 = y 1 ,…, g · x n = y n .
A ação é dita estritamente n-transitiva se, além disso, tal g é sempre único, em outras palavras, se a ação nas n -uplas de elementos distintos é simplesmente transitiva .
Um grupo de permutações é considerado transitivo (resp. N -transitivo, resp. Estritamente n -transitivo) se sua operação natural for transitiva (resp. N -transitivo, resp. Estritamente n -transitivo).
Conclui-se da classificação de grupos finitos simples que os únicos grupos de permutações 4-transitivas são os grupos simétricos e alternados (de grau ≥ 4 e ≥ 6 respectivamente) e os grupos de Mathieu M 24 , M 23 , M 12 e M 11 : além disso, M 24 e M 12 são 5-transitivos.
Jordan provou em 1873 que os únicos grupos de permutação estritamente 6-transitivos são os grupos simétricos de graus 6 e 7 e o grupo alternado de grau 8.
A ação é dita livre se todos os estabilizadores forem reduzidos ao neutro, ou seja, se algum elemento outro neutro atuar sem ponto fixo .
Uma ação é dita fiel (às vezes também dizemos efetiva ) se a intersecção de todos os estabilizadores for reduzida a neutra, em outras palavras, se apenas o neutro fixar todos os pontos.
.A ação livre é fiel.
Equivalentemente, uma ação é fiel se o morfismo
definido por é injetivo.
Uma ação é considerada simplesmente transitiva se for transitiva e livre. Em outras palavras, quaisquer dois elementos do espaço são enviados um em cima do outro por um e apenas um elemento do grupo:
.Por exemplo, a ação de um grupo sobre si mesmo por translações para a esquerda (ou para a direita) é simplesmente transitiva.
Uma ação fiel e transitiva de um grupo abeliano é simplesmente transitiva. De fato, mais geralmente, para qualquer ação transitiva de um grupo G , as órbitas de um subgrupo normal são permutadas por G, portanto, são todas o mesmo cardinal (portanto, são singletons se este subgrupo fixar um ponto).
Uma ação transitiva de um grupo finito G em um conjunto X é simplesmente transitiva se e somente se G e X tiverem a mesma cardinalidade .
Se G é um grupo topológico e X um espaço topológico , a ação é dita contínua se o mapa correspondente G × X → X , ( g , x ) ↦ g⋅x for contínuo , G × X sendo dotado da topologia do produto . O espaço X / G das órbitas é então fornecido com uma topologia de quociente e o mapa X → X / G é aberto . Se X / G for compacto , a ação é considerada co-compacta .
A ação é dita limpa se o mapa G × X → X × X , ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) estiver limpo . O espaço das órbitas é então separado . Uma ação contínua própria de um grupo discreto é dita apropriadamente descontínua (en) . Quando G é localmente compacto e X separado, a ação é adequada se e somente se quaisquer dois pontos x e y de X sempre têm vizinhanças V x e V y, de modo que V y apenas encontra gV x para um conjunto relativamente compacto de elementos g de g . Quando G é separado e X localmente compacto, uma ação contínua é apropriada se, e somente se, para qualquer K compacto de X , o fechamento dos elementos g de G para os quais gK encontra K é compacto. Se G é um grupo compacto , essas condições de compactação (relativa) das partes de G são verificadas automaticamente. Se G é um grupo discreto, eles são equivalentes à finitude das partes consideradas.
Por meio das noções de órbita e estabilizador, as ações de grupo são uma ferramenta útil em combinatória . Por outro lado, um certo número de propriedades relativas à estrutura de certos grupos pode ser demonstrado contando argumentos.
Duas identidades surgem com frequência, especialmente quando o grupo G termina.
Vamos L um grupo operativo (esquerda) de um conjunto X e um conjunto Y . Diremos que essas duas operações são equivalentes se existe uma bijeção f de X em Y tal que, para qualquer elemento g de G e qualquer elemento x de X , temos
,onde os pontos representam as operações de G em X e em Y, respectivamente .
Agora vamos L um grupo operativo (esquerda) de um conjunto X ou H um grupo operativo (esquerda) de um conjunto Y . Dizemos que essas duas ações são quase equivalentes ou mesmo isomórficas se existe uma bijeção f de X em Y e um isomorfismo de grupos σ de G em H tal que, para qualquer elemento g de G e qualquer elemento x de X , temos
,onde os pontos representam a operação de G em X e de H em Y, respectivamente .
Isso equivale a dizer que se f * denota o isomorfismo s ↦ f ∘ s ∘ f −1 de S X em S Y , se φ denota o homomorfismo de grupos de G a S X correspondendo à ação de G em X , se ψ denota o homomorfismo de grupos de H a S Y correspondendo à ação de H em Y , então
.No caso particular onde G = H e onde σ é o isomorfismo de identidade de G, encontramos a equivalência de duas operações do mesmo grupo.
Se duas ações são quase equivalentes, o conjunto de órbitas da primeira é equipotente a todas as órbitas da segunda. Mais precisamente, podemos colocar as órbitas da primeira em correspondência um a um com as órbitas da segunda de modo que duas órbitas correspondentes sempre tenham o mesmo cardeal (para uma órbita da primeira ação, faça sua imagem corresponder pela bijeção f considerado acima). Em particular, duas ações quase equivalentes são transitivas ou não transitivas. O mesmo é verdade para as propriedades de transitividade múltipla, fidelidade, etc.
Sejam G e H dois grupos. Suponha que uma ação G × H → H : ( g , h ) ↦ g ⋅ h de G sobre (o conjunto subjacente de) H tem a seguinte propriedade:
para qualquer elemento g de G , para todos os elementos h , k de H , g ⋅ ( h * k ) = ( g ⋅ h ) ∗ ( g ⋅ k ),onde o asterisco representa o grupo H lei . Isto significa que para cada elemento g de G , a permutação H ↦ g ⋅ h de H é um automorphism do grupo H . Dizemos então que a ação de G sobre H é uma ação por automorfismos . Neste caso, o homomorphism de L em S H acção associada a tira os valores no grupo Aut ( H ) de automorphisms H . Uma ação de G sobre H por automorfismos pode, portanto, ser assimilada a um homomorfismo de G em Aut ( H ).
Por exemplo, a ação de um grupo sobre si mesmo por conjugação é uma ação por automorfismos ( interior ).
Seja G um grupo operando por automorfismos em um grupo H , ou G 1 um grupo operando por automorfismos em um grupo H 1 . Dizemos que essas duas ações são quase equivalentes a ações por automorfismos (e não apenas como ações de grupos em conjuntos) se houver um isomorfismo (e não apenas uma bijeção) f de H em H 1 e um isomorfismo de grupos σ de G em G 1 de modo que, para qualquer elemento g de G e qualquer elemento x de X , temos
,onde os pontos representam respectivamente a operação de G em H e de G 1 em H 1 .
As ações de grupo sobre grupo por automorfismos permitem definir o produto semi-direto (externo) de um grupo por outro.