Uma equação diofantina , em matemática , é uma equação polinomial com uma ou mais incógnitas cujas soluções são buscadas entre números inteiros , possivelmente racionais , sendo os coeficientes eles próprios também inteiros. O ramo da matemática que está interessado em resolver tais equações há muito é chamado de análise indeterminada antes de se fundir na aritmética ou teoria dos números .
Se a expressão do problema proposto for às vezes simples, os métodos de resolução podem se tornar complexos. Carl Friedrich Gauss , o XIX th século , escreveu sobre a teoria dos números que "o seu encanto vem da simplicidade das declarações anexadas à dificuldade de provas. "
Algumas equações diofantinas exigiram para sua resolução os esforços combinados de muitos matemáticos ao longo de vários séculos. Gauss queixou-se “dos esforços desordenados que lhe custou determinar o sinal de um radical na teoria dos números; muitas outras coisas não o detiveram tantos dias quanto essa questão o deteve por anos. " O último teorema de Fermat é um exemplo arquetípico; é conjecturado por Pierre de Fermat e demonstrado em 1994 por Andrew Wiles , após 357 anos de esforços por parte de muitos matemáticos.
O interesse em resolver questões desta natureza raramente reside em estabelecer um teorema chave para a matemática, física ou aplicações industriais, mesmo que haja contra-exemplos como a criptologia , que faz grande uso do pequeno teorema de Fermat . Sua análise leva ao desenvolvimento de ferramentas matemáticas poderosas, cujo uso vai além da estrutura da aritmética. As formas quadráticas a este respeito são exemplares. A riqueza e a beleza formal das técnicas resultantes da resolução das equações diofantinas fazem da aritmética o ramo da “rainha da matemática” para David Hilbert .
Este tipo de equação é chamado Diofanto , matemático grego do III ª século , autor de Aritmética , lidar com questões desta natureza.
Se as questões diofantinas rapidamente se tornam difíceis, há certas exceções que podem ser resolvidas com um mínimo de ferramentas teóricas e uma demonstração curta e simples.
Algumas técnicas elementares permitem resolver uma primeira família de equações diofantinas. Um exemplo é dado pela equação linear do primeiro grau com dois indeterminados x, y e três parâmetros inteiros a, b, c :
Essa equação leva o nome de identidade de Bézout , do nome do matemático que generalizou esse resultado para polinômios . Sua resolução usa apenas divisão euclidiana e algoritmo euclidiano . Essa identidade tem um status duplo. Corresponde a uma equação diofantina e representa um dos pilares que sustentam o edifício da aritmética elementar. O lema de Euclides é provado usando esta identidade e o teorema fundamental da aritmética usando o lema de Euclides. O teorema fundamental nos permite determinar as propriedades dos operadores máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, bem como as dos números primos entre eles .
Um exemplo de equação diofantina usando essas ferramentas para sua solução é o teorema de Wilson. Corresponde à solução da seguinte equação, o sinal! denotando a função fatorial :
Os únicos inteiros x > 1 que satisfazem essa equação são os números primos .
O lema de Euclides nos permite superar a busca por triplos pitagóricos, ou seja, triplos ( x , y , z ) de inteiros que satisfazem a equação:
Essas mesmas técnicas permitem mostrar que a seguinte equação, correspondente ao último teorema de Fermat para n = 4 , não possui outras soluções além daquelas que verificam xyz = 0. Esta equação diofantina corresponde a:
Pierre de Fermat dedica grande parte de sua pesquisa matemática à solução de questões diofantinas. Ele descobre o pequeno teorema de Fermat, que expressa da seguinte forma: “Qualquer número primo mede infalivelmente uma das potências –1 de qualquer progressão, e o expoente dessa potência é um submúltiplo do número primo dado - 1” . Em termos diofantinos, oferece uma resposta parcial à seguinte equação, onde a denota um inteiro ep um número primo:
O pequeno teorema de Fermat indica que p - 1 é um valor possível para x . Este resultado tem muitas aplicações. Permite construir grandes números primos, como os de Mersenne , correspondendo à seguinte equação onde se procura y entre os números primos:
Podemos mostrar que x também é um número primo. Essa questão diofantina nos permite encontrar os maiores números primos conhecidos em 2013. Fermat está interessado em uma equação análoga, que permite construir outros números primos que agora levam seu nome . Aqui há ainda é procurado nos números primos:
Nesta ocasião, Fermat faz a única conjectura falsa que conhece. Ele imagina que qualquer número de Fermat é primo: “Se eu puder uma vez ter a razão fundamental de que 3, 5, 17, etc. são números primos, parece-me que vou encontrar coisas muito bonitas neste assunto, porque já encontrei coisas maravilhosas que vou partilhar convosco ” . Quase um século se passou antes que Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) apresentasse um divisor do quinto número de Fermat. Ele não revelou a construção de sua prova até quinze anos depois. Corresponde exatamente à obra de Fermat, tendo permitido demonstrar em 1640 a não primalidade de dois números de Mersenne.
O interesse do pequeno teorema de Fermat não se limita ao estudo da primalidade dos inteiros. Também permite resolver algumas equações, o seguinte é um exemplo onde p denota um número primo:
Corresponde a uma etapa na resolução da seguinte equação:
Se esta equação for resolvida para p linha , torna-se relativamente fácil resolvê-la para p qualquer número inteiro positivo. A solução desta equação é baseada em um resultado denominado teorema dos dois quadrados de Fermat , cuja primeira prova conhecida é o trabalho de Euler. Este matemático generaliza o pequeno teorema, fornecendo uma resposta da mesma natureza que a de Fermat com a seguinte equação, aqui a e b denotando dois inteiros privilegiada entre eles:
Este resultado é conhecido como teorema de Euler .
Joseph-Louis Lagrange busca generalizar as equações diofantinas já tratadas em casos particulares. A equação do teorema dos dois quadrados torna-se, se n denota um inteiro sem um fator ao quadrado e p um número primo:
Para isso, ele estuda as formas quadráticas com duas variáveis, ou seja, as funções φ, dependendo de três parâmetros inteiros a , b , c , que a um par ( x , y ) associam:
Ele procura saber qual forma quadrática é "equivalente" a qual outra. “Equivalente” significa, em termos modernos, que uma mudança de base em ℤ 2 (ℤ denota o conjunto de inteiros) permite mudar de uma forma para outra. Esta abordagem permite que ele resolva a equação (1) no caso em que n é igual a 1, 2, 3 ou 5. O caso geral permanece fora do escopo.
Outra generalização desta equação é resolvida usando este método, que consiste em encontrar o menor número de quadrados necessários para encontrar pelo menos uma solução para qualquer inteiro positivo. A resposta é 4, corresponde à seguinte equação:
O teorema dos quatro quadrados de Lagrange diz que para todos os valores de n , esta equação tem uma solução. Edward Waring ( 1736 - 1798 ) generaliza a questão sob o nome de problema de Waring, que é expresso da seguinte forma. Quantos termos são necessários em uma soma de potências k -ths para obter todos os inteiros positivos?
A equação (1), para um determinado valor de n , requer a resolução para o mesmo valor do parâmetro n e para p qualquer número primo, a equação:
Para cada valor de n , muitas vezes é relativamente simples encontrar a lista de números primos que permite uma solução para a equação (2). A expressão da solução geral é conjecturado por Euler, mas sua demonstração escapa aritméticos do XVIII th século .
Lagrange está interessado em outra questão, já levantada por Fermat 150 anos antes e por Diophantus na Antiguidade. Corresponde à equação de Pell-Fermat . Se n for um número inteiro sem fator quadrado, está escrito:
Esta questão é o objeto de estudo de matemáticos indianos se m for igual a 1. O método chakravala permite encontrar soluções com grande eficiência. Bhaskara II ( 1114 - 1185 ) o utiliza para n igual a 61 e encontra a solução x = 1 766 319 049 e y = 226 153 980. Fermat reencontra este método e demonstra que de acordo com os critérios rigorosos do tempo. Lagrange encontra outro método, baseado em frações contínuas . Também torna possível encontrar uma infinidade de soluções para todos os valores de n ; o fato de que todas as soluções são de fato alcançadas para m = ± 1 é finalmente demonstrado; o caso geral, entretanto, permanece fora de alcance.
Se alguns casos particulares são tratados com métodos elementares, por outro lado, as soluções gerais permanecem inacessíveis. Nenhum dos três casos de equações diofantinas quadráticas com dois indeterminados é tratado no caso geral. Eles correspondem a uma elipse com a equação (1) do parágrafo anterior, ou a uma parábola com a equação (2), ou a uma hipérbole com a equação (3). Os métodos da aritmética elementar não são poderosos o suficiente.
Em 1801 , Gauss propôs o uso de uma nova abordagem agora chamada de aritmética modular . Consiste, em termos modernos, numa abordagem estrutural. Os conjuntos são fornecidos com operações, uma adição e às vezes uma multiplicação. As estruturas, ou seja, o todo e suas operações são estudadas em um quadro geral, permitindo a obtenção de teoremas com um amplo campo de aplicação. Esta abordagem permite simplificar as soluções de equações diofantinas já conhecidas, resolver novos casos particulares e até mesmo estabelecer soluções gerais, por exemplo para a equação (2).
É possível considerar o quociente do anel ℤ por n ℤ ; o elemento genérico dessa estrutura é a classe de todos os inteiros que têm o mesmo resto pela divisão euclidiana por n . Os elementos dessa estrutura se somam e se multiplicam. O estudo do quociente fornece uma formulação mais simples de certas equações diofantinas. O pequeno teorema de Fermat é escrito, se p é um número primo e tem um inteiro diferente de zero:
Se n é um número primo, o conjunto de elementos diferentes de zero forma um grupo abeliano não apenas finito, mas também cíclico . A igualdade precedente torna-se uma consequência direta do teorema de Lagrange sobre grupos . Se n não é primo, o conjunto (ℤ / n ℤ) * dos elementos invertíveis de ℤ / n ℤ novamente forma um grupo abeliano finito, oferecendo assim uma prova simples da generalização de Euler do pequeno teorema de Fermat. A estrutura geral de um grupo Abeliano finito, elucidada pelo teorema de Kronecker , não foi demonstrada até muito mais tarde, em 1870 . Este formalismo também simplifica a prova do teorema de Wilson.
Resolver a equação (2) se resume ao seguinte problema, exceto para o sinal:
Esta equação admite uma solução diferente de zero se e somente se n for um elemento do subgrupo de quadrados de (ℤ / p ℤ) *. O estudo dos morfismos deste grupo no das raízes da unidade dos números complexos permite a Gauss resolver a equação (2) em toda a sua generalidade. Esse resultado é conhecido como lei da reciprocidade quadrática . É a primeira família de equações quadráticas totalmente resolvida, corresponde ao caso parabólico.
Outra estrutura, que permite resolver as equações diofantinas, está no cerne da aritmética modular: a do anel euclidiano. Um anel é um conjunto fornecido com uma adição e uma multiplicação compatíveis entre si. Às vezes, é possível definir uma divisão euclidiana. Esse anel tem todos os teoremas da aritmética elementar: a identidade de Bézout, o lema de Euclides e o teorema fundamental da aritmética ainda se aplicam.
Gauss estuda o conjunto de números da forma de uma + i b onde um e b significam dois inteiros e i é uma das duas raízes quadradas complexos de -1 . O conjunto forma um anel euclidiano cujos elementos levam o nome completo de Gauss . Trabalhar neste anel simplifica a solução de algumas equações diofantinas como a dos dois quadrados. Existem outros anéis euclidianos dessa natureza. Gotthold Eisenstein estuda aqueles da forma de uma + j b onde um e b denotam dois mais números inteiros e j a raiz cúbica da unidade cujo componente imaginário é estritamente positivo. Esse número é chamado de inteiro de Eisenstein . Este anel é a estrutura de uma solução da equação (1) para n igual a três.
Também permite resolver o último teorema de Fermat para n igual a três. Esta resolução segue as linhas gerais de uma tentativa de Euler de resolver esta questão. Em contraste, o matemático usou o anel de números da forma a + i √ 3 b . Ele presumiu que o anel considerado é euclidiano, o que não é o caso e invalidou sua demonstração. Na verdade, o número quatro tem duas decomposições em fatores irredutíveis, o que é impossível em um anel euclidiano:
O anel de inteiros de ℚ ( √ 5 ) também é euclidiano. Ele pode ser usado para uma prova do grande teorema de Fermat para n igual a 5.
Uma equação diofantina apresenta uma questão cuja resposta já foi conjecturada por Gauss e Legendre. Se um e b são dois números inteiros primos entre si, leva uma das duas formas seguintes, sendo que ambos são equivalentes:
As soluções buscadas são aquelas em que x é um número primo. A conjectura afirma que existem infinitos valores de x satisfazendo a equação.
Dirichlet conseguiu demonstrar esse resultado em 1837 . A prova usa aritmética modular através do estudo dos morfismos do grupo multiplicativo de ℤ / a ℤ em ℂ. Ele generaliza a análise harmônica sobre um grupo abeliano finito iniciado por Gauss com somas e períodos de Gauss que tratam apenas do caso em que a é um número primo. Dirichlet é inspirado nas descobertas de Joseph Fourier ( 1768 - 1830 ) em sua série . Charles Gustave Jacob Jacobi ( 1804 - 1851 ) disse sobre ele: "Ao aplicar a série de Fourier à teoria dos números, Dirichlet encontrou recentemente resultados que alcançam as alturas da percepção humana" .
Sua demonstração é notável no sentido de que não se limita ao simples uso de técnicas algébricas. Ela retoma o trabalho de Euler sobre um produto infinito , encontrado após o estudo do problema de Mengoli e que estabelece o seguinte resultado, se P denota o conjunto de números primos:
A prova abre as portas para uma nova aritmética, valendo-se também da análise e agora chamada de teoria analítica dos números .
Quatorze anos depois, o sucesso de Dirichlet é seguido por uma tentativa bem-sucedida de Gabriel Lamé ( 1795 - 1870 ) de resolver o caso n igual a 7 do último teorema de Fermat. Mais uma vez, as técnicas modulares estão em ação, a estrutura-chave é novamente um anel euclidiano. Mas a complexidade da prova mostra que a abordagem não pode ser generalizada.
Assim, a aritmética modular permite avanços reais, mas a resolução geral de uma família de equações permanece geralmente fora de alcance. Esta observação é válida para o último teorema de Fermat, bem como para equações quadráticas. Na verdade, se é possível encontrar um número infinito de soluções para a equação (3), ninguém pode demonstrar se o conjunto de soluções é exaustivo ou não. Finalmente, a equação (1) permanece inacessível no caso geral. Uma família de anéis representa bons candidatos para ir mais longe; eles são compostos de inteiros algébricos .
Vários exemplos de anéis de inteiros algébricos já foram observados neste artigo: os inteiros de Gauss, Eisenstein ou os inteiros de ℚ ( √ 5 ). Uma abordagem mais geral consiste em estudar um campo quadrático , ou seja, o menor subcampo do campo ℂ dos números complexos contendo as raízes de um polinômio de grau 2. Um inteiro quadrático é um elemento deste campo que é o raiz de um polinômio unitário (o monômio de grau 2 tem coeficiente 1) e com coeficientes em ℤ. Os inteiros quadráticos formam um anel incluído no campo quadrático.
Em alguns aspectos, os exemplos usados são excepcionais. No caso geral, duas obstruções requerem a adaptação dos resultados da aritmética modular para permitir a resolução das equações diofantinas. Uma vez que a estrutura dessas obstruções é compreendida, as equações do tipo (1) e (3) podem ser processadas.
O primeiro é atualizado por Dirichlet. Para inteiros quadráticos, diz respeito apenas aos casos em que os elementos estão todos incluídos no conjunto de números reais , falamos de um campo quadrático totalmente real . O grupo de unidades é o conjunto de elementos invertíveis do anel. Torna-se infinito em um campo quadrático totalmente real. A equação (3) consiste em encontrar todos os elementos do grupo de unidades do anel. O teorema das unidades de Dirichlet dá à estrutura tal grupo, sem se limitar a extensões associadas a polinômios de grau 2. No caso de um corpo quadrático totalmente real, ele é isomórfico ao grupo aditivo ℤ / 2ℤ × ℤ. Graficamente, a ilustração à esquerda mostra que os elementos estão em quatro ramos das hipérboles. Qualquer solução da equação de Pell-Fermat corresponde a um par de raízes inversas entre si. As frações continuadas permitem determinar uma raiz primitiva do grupo de unidades, isto é, que esta raiz gera todas as outras. A compreensão da estrutura dessa obstrução mostra que o método de Lagrange efetivamente torna possível encontrar todas as soluções da equação (3) e fecha a questão.
A segunda obstrução diz respeito à fatoração primária de um inteiro algébrico. É único no caso de anéis euclidianos, principais ou fatoriais . Esta propriedade, expressa pelo teorema fundamental da aritmética, é um dos fundamentos da aritmética elementar ou modular. Não é mais verificado no caso de um anel de inteiros algébricos. Ernst Kummer interpreta essa realidade como uma falta de números primos, é porque faltam que a singularidade da decomposição desaparece. Ele tem a ideia de enriquecer o anel com números ideais para substituir os números primos que faltam. Richard Dedekind dá a essa teoria seu formalismo moderno. Ele mostra em 1876 que os números ideais de Kummer são formalizados simplesmente usando o conceito de ideal , um subgrupo do anel estável por multiplicação por qualquer elemento. Nesta ocasião, ele usa o vocabulário de Kummer, enquanto modifica o formalismo. Os números primos ideais na verdade correspondem a ideais primos não principais . Graças à noção de ideal fracionário , ele encontra um equivalente do teorema fundamental: todo ideal se decompõe de uma maneira única em um produto de ideais primos. Resta então determinar a estrutura dos ideais primos e não os principais. Considerando o quociente monóide comutativo dos ideais pelos ideais principais, ele prova o teorema-chave, a saber, que esse quociente é um grupo finito , denominado grupo de classes de ideais . Em casos simples, como o de anéis de inteiros quadráticos, esse resultado permite determinar os ideais primos não principais e ao mesmo tempo resolver a equação (3) no caso geral.
Se o formalismo moderno derrotar a segunda obstrução é o trabalho de Dedekind e data do final do XIX ° século, uma parte significativa do trabalho matemático vem de Kummer obra de meados do século. Sua preocupação é a generalização da lei da reciprocidade quadrática, bem como o último teorema de Fermat.
A prova do caso de Lamé n = 7 ainda é baseada no anel de inteiros algébricos de um campo quadrático. A impossibilidade de uma resposta geral baseada no estudo de inteiros quadráticos levou Lamé e Kummer a estudar outros campos numéricos , ou seja, o menor subcampo de ℂ contendo todas as raízes de um polinômio. Ambos escolhem os polinômios ciclotômicos , isto é, os polinômios unitários de grau mínimo tendo por raiz uma raiz da unidade . O campo de número associado é denominado "corpo ciclotômico". Esses corpos têm várias "boas propriedades". O polinômio ciclotômico tem coeficientes em ℤ, então uma raiz de unidade é sempre um inteiro algébrico. Um campo ciclotômico permanece principal por mais tempo e, se assim for, o anel de inteiros satisfaz o teorema fundamental da aritmética. Assim, os anéis de inteiros algébricos de campos ciclotômicos de índice 5, 7, 11, 13, 17 e 19 são principais. Essa observação leva Lamé a apresentar uma solução que ele acredita ser geral para o grande teorema de Fermat em 1847 . Kummer é mais cuidadoso; ele já havia demonstrado três anos antes que, para o índice 23, o anel não é o principal.
O formalismo utilizado neste artigo é o que está em vigor hoje e difere do de Kummer, porém o conteúdo matemático é o mesmo. A dificuldade a ser resolvida é entender como os ideais não-principais primos se encaixam. Este problema, embora resolvido anteriormente, é em última análise mais complexo do que os anéis inteiros quadráticos. O polinômio na origem do campo numérico é de qualquer grau e não é mais igual a 2. A teoria de Galois é de grande ajuda. No caso de um campo ciclotômico K , a extensão é chamada de Galois , ou seja, existem tantos automorfismos de K quanto o conjunto tem dimensões se for considerado um espaço vetorial ℚ . Esses automorfismos formam um grupo finito G , denominado grupo de Galois . A imagem de um ideal primário por um automorfismo também é um ideal primário. Essa observação ajuda a compreender a estrutura dos ideais primários usando ramificação . Todo ideal primo contém um número primo único p . A técnica consiste então em decompor o pK ideal principal em ideais primos. O grupo G atua transitivamente sobre os ideais primos decompondo pK , o que permite determinar a decomposição dos ideais primos nas extensões de Galois .
Além disso, K é uma extensão abeliana e mesmo cíclica, ou seja, o grupo de Galois é cíclico. Uma consequência é que o grupo de classes também é cíclico. O grupo de classes torna-se relativamente fácil de determinar e, se p for um número primo regular , ele não divide a ordem do grupo de classes. Esta propriedade permite obter uma demonstração relativamente fácil deste caso particular do último teorema de Fermat. As únicas exceções menores que 100 são 37, 59 e 67.
A abordagem baseada na análise precisa de um corpo de números tem limites. Para uma equação polinomial diofantina não homogênea, ou seja, se o grau dos diferentes monômios não for o mesmo, as ferramentas impõem acrobacias que limitam muito o escopo do método. Mesmo nos casos mais simples, como o da extensão ciclotômica, a estrutura dos ideais primos às vezes é complexa, como é o caso dos ideais associados a números primos não regulares.
Por outro lado, as ferramentas desenvolvidas neste contexto são generalizadas para outros ramos da matemática. A teoria dos anéis, e particularmente dos anéis de Dedekind com seus ideais primos ou fracionários, também se aplicam à geometria algébrica. Uma variedade algébrica é definida como o conjunto de raízes comuns de um ideal de polinômios. A teoria de Galois também é operacional neste campo. Finalmente, outras ferramentas estão disponíveis, um polinômio é derivado enquanto um inteiro não, uma superfície tem muitas propriedades topológicas, como gênero , fonte de novos teoremas.
Uma equação polinomial diofantina também pode ser interpretada como a interseção de uma variedade algébrica e uma rede igual a ℤ n . Esta abordagem permite métodos de soluções simples de equações diofantinas como a busca por triplas pitagóricas. Estas razões diferentes porque os matemáticos do XX ° século para estudar equações diofantinas com este eixo.
Esses problemas tradicionais foram colocados e muitas vezes não resolvidos por séculos. Além disso, os matemáticos estão gradualmente começando a compreendê-los em sua profundidade (em alguns casos), em vez de tratá-los como quebra - cabeças . Em 1900, Hilbert propôs a capacidade de resolução de todos os problemas diofantinos como o décimo de seus famosos problemas . Em 1970, um novo resultado em lógica matemática conhecido como teorema de Matiyasevich resolveu negativamente: em geral os problemas diofantinos não são solúveis, no sentido de que se pode construir explicitamente tais problemas para os quais a existência de uma solução é indecidível (no sistema axiomático em que nos colocamos; construímos um polinômio preciso a partir da lista de axiomas). Como resultado, a visão da geometria diofantina , que é uma aplicação das técnicas da geometria algébrica neste campo, continuou a se desenvolver; visto que lidar com equações arbitrárias leva a um beco sem saída, a atenção se volta para equações que também têm um significado geométrico.
Uma das abordagens gerais é através do princípio de Hasse . A descida infinita é o método tradicional e foi levado muito longe.
A profundidade do estudo das equações diofantinas gerais é demonstrada pela caracterização dos conjuntos diofantinos como recursivamente enumeráveis .
O domínio da aproximação diofantina tem a ver com os casos de desigualdades diofantinas : as variáveis são sempre assumidas como inteiros, mas alguns coeficientes podem ser números irracionais, e o sinal da igualdade é substituído pelos limites superior e inferior.