Grupo de simetria
O grupo de simetria de um objeto ( imagem , sinal , etc.) é o grupo de todas as isometrias sob as quais esse objeto é globalmente invariante , sendo a operação desse grupo composição . É um subgrupo do grupo euclidiano , que é o grupo de isometrias do espaço afim euclidiano ambiental.
(Se não for declarado, aqui consideramos grupos de simetria na geometria euclidiana , mas o conceito também pode ser explorado em contextos mais amplos, veja abaixo .)
"Objetos" podem ser figuras geométricas, imagens e padrões, como padrões de papel de parede . A definição pode ser mais precisa especificando o que se entende por imagem ou padrão, por exemplo, uma função de posição com valores em um conjunto de cores. Para a simetria dos corpos em 3D, por exemplo, pode-se também levar em consideração a composição física. O grupo de isometrias de espaço induz uma ação grupal sobre os objetos que contém.
O grupo de simetria é algumas vezes referido como o grupo de simetria completo para enfatizar que inclui isometrias que invertem a orientação (como reflexos , reflexos escorregadios e rotações impróprias ) sob as quais a figura é invariante. O subgrupo de isometrias que preservam a orientação (isto é , translações , rotações e composições das mesmas) e que deixam a figura invariante é chamado de grupo de simetria adequado . O grupo de simetria adequado de um objeto é igual ao seu grupo de simetria completo se e somente se o objeto for quiral (e, portanto, não há isometrias que invertem a orientação sob a qual é invariante).
Qualquer grupo de simetria cujos elementos têm um ponto fixo comum, o que é verdadeiro para todos os grupos de simetria de figuras limitadas, pode ser representado como um subgrupo do grupo ortogonal O (n) escolhendo um ponto fixo como a origem. O grupo de simetria adequado é então um subgrupo do grupo especial ortogonal SO (n), razão pela qual também é chamado de grupo de rotação da figura.
Existem três tipos de grupos de simetria discreta :
- os grupos de pontos de simetria terminados, que incluem apenas rotações, reflexões, inversões e rotações inadequadas - que são na verdade apenas subgrupos finalizados de O (n),
- grupos de rede infinitos, que incluem apenas traduções, e
- o espaço agrupa infinitos que combinam elementos de ambos os tipos anteriores e também podem incluir alterações adicionais, como parafusos ou reflexos deslizantes.
Existem também grupos de simetria contínua (en) , que contêm rotações de ângulos arbitrariamente pequenos ou translações de distâncias arbitrariamente pequenas. O grupo de todas as simetrias de uma esfera O (3) é um exemplo disso e, em geral, tais grupos de simetrias contínuas são estudados como grupos de Lie .
À classificação dos subgrupos do grupo euclidiano corresponde uma classificação dos grupos de simetria.
Dizemos que duas figuras geométricas têm o mesmo tipo de simetria se seus respectivos grupos de simetria H 1 , H 2 forem subgrupos conjugados do grupo euclidiano E ( n ), ou seja, se houver uma isometria g de R n tal que H 1 = g -1 H 2 g . Por exemplo :
- duas figuras 3D têm simetria de espelho, mas com respeito a um plano de espelho diferente;
- duas figuras 3D têm simetria rotacional de ordem 3, mas em relação a um eixo diferente;
- dois padrões 2D têm simetria translacional, cada um em uma direção; os dois vetores de translação têm o mesmo comprimento, mas uma direção diferente.
Às vezes, um conceito mais amplo, “mesmo tipo de simetria” é usado, por exemplo, em todos os 17 grupos de papéis de parede .
Quando consideramos os grupos isométricos, podemos nos limitar àqueles onde, para todos os pontos, o conjunto de imagens sob as isometrias é topologicamente fechado . Isso exclui, por exemplo, na dimensão 1, o grupo de traduções por um número racional. Uma "figura" com este grupo de simetria é impossível de desenhar e homogênea em um nível de detalhe arbitrário, sem ser realmente homogênea.
Dimensão 1
Os grupos de isometrias na dimensão 1 onde, para todos os pontos, o conjunto de imagens sob as isometrias é topologicamente fechado são:
- o grupo trivial C 1
- os grupos de dois elementos gerados por uma simetria central ; eles são isomórficos ao grupo cíclico de ordem 2, C 2
- os infinitos grupos discretos gerados por uma tradução; eles são isomórficos ao grupo cíclico infinito, Z
- Os infinitos grupos discretos gerados por uma translação e uma simetria central; eles são isomorfos para o grupo diedro generalizada de Z , Dih ( Z ), ou mais directamente para o infinito grupo diedro D ∞ (que é um produto semi-directa de Z por C 2 ).
- O grupo gerado por todas as traduções (isomorphic to R ); este grupo não pode ser o grupo de simetria de um "padrão": seria homogêneo, portanto também poderia ser refletido. No entanto, um campo vetorial unidimensional uniforme tem esse grupo de simetria.
- O grupo gerado por todas as traduções e reflexões em todos os pontos; é isomórfico ao grupo diédrico generalizado de R , Dih ( R ).
Dimensão 2
Exceto pela conjugação , os grupos de pontos discretos em um espaço bidimensional pertencem às seguintes classes:
- os grupos cíclicos C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , etc. onde C n é formado por todas as rotações, em torno de um ponto fixo, por múltiplos do ângulo 360 ° / n
- os grupos diédricos D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , etc. onde D n (de ordem 2 n ) é o grupo de simetria de um polígono regular com n lados. É constituído pelas rotações pertencentes a C n e por n simetrias em relação aos eixos que passam pelo centro comum a essas rotações.
C 1 é o grupo trivial contendo apenas a operação de identidade, que aparece quando a figura não tem simetria de todo, por exemplo, a letra F . C 2 é o grupo de simetria da letra Z , C 3 o de um triscele , C 4 de uma suástica e C 5 , C 6 etc. são os grupos de simetria de figuras semelhantes à suástica com cinco, seis, etc. braços em vez de quatro.
D 1 é o grupo 2 elementos contendo a identidade e uma única operação de reflexão, que aparece quando a figura tem apenas um eixo de simetria bilateral , por exemplo, a letra A . D 2 , que é isomórfico ao grupo de Klein , é o grupo de simetria de um retângulo não quadrado.
Os grupos de simetria do concreto em cada um desses casos têm dois graus de liberdade para o centro de rotação e, no caso dos grupos diédricos, mais um para as posições dos espelhos.
Os demais grupos isométricos em 2D com ponto fixo, onde para todos os pontos, o conjunto de imagens sob as isometrias é topologicamente fechado, são:
- o grupo ortogonal especial SO (2) formado por todas as rotações em torno de um ponto fixo; é isomórfico ao grupo circular S 1 , que é o grupo multiplicativo de números complexos de módulo 1. É o grupo de simetria próprio de um círculo e o equivalente contínuo de C n . Nenhuma figura tem este grupo de círculo como um grupo de simetria completo , mas para um campo vetorial isso pode acontecer (veja o caso 3D abaixo),
- o grupo ortogonal O (2) formado por todas as rotações em torno de um ponto fixo e os reflexos de qualquer eixo que passa por este ponto. É o grupo de simetria de um círculo. É também chamado de Dih (S 1 ) porque é o grupo diedro generalizado de S 1 .
Para figuras ilimitadas, grupos isométricos adicionais podem incluir traduções; aqueles que estão fechados são:
- os 7 grupos de frisos ,
- os 17 grupos de papéis de parede ,
- para cada grupo de simetria em 1D, a combinação de todas as simetrias deste grupo em uma direção e de todas as translações na direção perpendicular,
- idem adicionando os reflexos em relação a um eixo na primeira direção.
Dimensão 3
Exceto para a conjugação, o conjunto de grupos de pontos de simetria 3D (veja o artigo: Grupos de pontos de simetria na dimensão 3 (in) ) consiste em 7 séries infinitas e 7 separadas. Na cristalografia, eles são restritos para serem compatíveis com as simetrias translacionais discretas de uma rede de cristal. Esta restrição cristalográfica da família infinita de grupos de pontos gerais resulta em 32 grupos de pontos cristalográficos (27 das 7 séries infinitas e 5 das 7 outras).
Os grupos de pontos de simetria contínua incluem:
- simetria cilíndrica sem reflexão de um plano perpendicular ao eixo, isso geralmente se aplica a uma garrafa , por exemplo.
- simetria cilíndrica com uma reflexão de um plano perpendicular ao eixo
- simetria esférica
Para objetos e campos escalares , a simetria cilíndrica envolve planos verticais de reflexão. Este não é o caso para campos vetoriais : em coordenadas cilíndricas em relação a um determinado eixo, tem uma simetria cilíndrica em relação a este eixo se e somente se e tem essa simetria, ou seja, não dependem de φ. Além disso, há uma reflexão se e somente se .
Para a simetria esférica, não existe tal distinção, ela implica planos de reflexão.
Os grupos de simetria contínua sem um ponto fixo incluem aqueles com conexões roscadas , como o grupo de uma hélice infinita .
Generalização
Em contextos maiores, um grupo de simetria pode ser qualquer tipo de grupo de transformação ou grupo de automorfismo . Uma vez que sabemos com que tipo de estrutura matemática estamos lidando, podemos determinar quais aplicativos a preservam. Inversamente, ao especificar a simetria, podemos definir a estrutura, ou pelo menos esclarecer o que entendemos por invariante , uma linguagem geométrica que permite apreendê-la; esta é uma maneira de ver o programa Erlangen .
Por exemplo, os grupos de automorfismo de alguns modelos de geometria finita (en) não são "grupos de simetria" no sentido usual, embora mantenham a simetria. Eles fazem isso mantendo as famílias de conjuntos de pontos em vez dos próprios conjuntos de pontos ou "objetos".
Como acima, o grupo de automorfismos do espaço induz uma ação grupal sobre os objetos que ele contém.
Para uma dada figura geométrica em um dado espaço geométrico, consideramos a seguinte relação de equivalência: dois automorfismos do espaço são equivalentes se as duas imagens da figura são iguais (aqui "o mesmo" não significa algo como "o mesmo, exceto para uma translação e uma rotação ", mas significa" exatamente o mesmo "). Então, a classe de equivalência da identidade é o grupo de simetria da figura e cada classe de equivalência corresponde a uma versão isomórfica da figura.
Existe uma bijeção entre quaisquer duas classes de equivalência: o inverso de um representante da primeira classe de equivalência, composto por um representante da segunda.
No caso de um grupo de automorfismo finito de todo o espaço, sua ordem é a ordem do grupo de simetria da figura multiplicado pelo número de versões isomórficas da figura.
Exemplos:
- Isometrias do plano euclidiano, a figura é um retângulo: há um número infinito de classes de equivalência; cada um contém 4 isometrias.
- O espaço é um cubo com uma métrica euclidiana, as figuras incluem os cubos do mesmo tamanho do espaço, com cores ou padrões nas faces, os automorfismos do espaço são 48 isometrias; a figura é um cubo cuja face possui uma cor diferente, seu grupo de simetria contém 8 isometrias; existem 6 classes de equivalência de 8 isometrias, para 6 versões isomórficas da figura.
Notas
- Visão geral dos 32 grupos de pontos cristalográficos no site da Universidade de Exeter
- (em) Steven H. Cullinane, Grupos de padrões no site finitegeometry.org
- Compare com o teorema de Lagrange
- (fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Symmetry group " ( veja a lista de autores ) .
Veja também
- Grupo simétrico e permutação
- Agrupa pontos fixos de isometria no espaço euclidiano (in)
- Sistema de cristal
- Lista de grupos espaciais
- Lista de grupos de simetria do plano
- Teoria do grupo
- Simetria molecular