Na história da matemática , a história da análise ocorre principalmente nos últimos séculos. No entanto, na Antiguidade e na Idade Média , respectivamente, os matemáticos gregos e indianos estavam interessados no infinitesimal e obtiveram resultados promissores, mas fragmentários. Por razões históricas, seus sucessores imediatos não puderam se basear nessas realizações.
Atribuímos ao matemático grego Eudoxus de Cnidus , cujas obras se perderam, a autoria das ideias desenvolvidas no livro V dos Elementos de Euclides , que permite tratar com rigor as igualdades entre proporções de grandezas geométricas da mesma natureza (comprimentos, áreas ou volumes), inclusive irracionais. Esse método, mais tarde denominado método da exaustão , permite a Euclides, por exemplo, demonstrar que a área de um disco é proporcional ao quadrado de seu diâmetro.
Foi brilhantemente ilustrado por Arquimedes , que entre outras coisas mostrou que a proporção da área do disco para o quadrado de seu raio era idêntica à proporção da circunferência do círculo para seu diâmetro (uma formulação que não é essa de Arquimedes, consulte o artigo detalhado). Ela ainda era muito estimada, por sua meticulosidade, por Blaise Pascal . Este é um método próximo da noção moderna de limite, mas "indireto": é complicado de manusear e só permite mostrar a igualdade, a igualdade dos números reais se o lermos novamente de uma forma moderna. O que corresponde à existência de um número limite é obtido por meios geométricos.
Se o método de Eudoxus foi abandonado pelos matemáticos XVII e século com o advento do cálculo infinitesimal , é apenas XIX ª século foi introduzido, através de vários métodos, a construção dos números reais que permite s 'rigorosamente livre de geometria.
Arquimedes também usou para um cálculo aproximado do número Pi um método de enquadramento que não é independente do método de Eudoxus, embora o objetivo deste último não seja o cálculo aproximado.
Os matemáticos indianos desenvolveram muito antes de seus colegas ocidentais as noções de cálculo diferencial e integral e de passagem ao limite.
Em XII th século , Bhāskara introduzido base de cálculo diferencial, com cálculos de números derivados, em particular, para derivar a função seno , a propriedade de cancelamento do derivado em um extremo e ainda uma primeira versão de Rolle teorema .
No XIV th século , Madhava foi o primeiro a fazer passagem real para o limite, introduzindo expansões de Taylor para funções trigonométricas e estimar o erro cometido durante o truncamento. Ele também trabalhou em frações contínuas e no número pi . Ele é o fundador da escola de matemática de Kerala , que prosperou até o XVI th século . Desde a descoberta da obra desta escola, vários historiadores não hesitam em qualificá-lo como o pai da análise moderna .
Análise moderna foi refundado no Ocidente, o XVII º século , com o cálculo de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz . No XVII th século , a análise de indivíduos, tais como cálculo, equações diferenciais, equações diferenciais parciais , análise de Fourier e funções geradoras foram desenvolvidas principalmente em trabalho aplicado. As técnicas de cálculo infinitesimal foram usadas com sucesso para abordar problemas do discreto por problemas do contínuo.
Ao longo do XVIII ° século , a definição de função era um assunto de debate entre os matemáticos. No XIX th século , Cauchy foi o primeiro a fundamentação lógica estrita do cálculo , introduzindo o conceito de sequência de Cauchy . Ele também iniciou a teoria formal da análise complexa . Poisson , Liouville , Fourier e outros estudaram equações diferenciais parciais e análise harmônica .
No meio do XIX ° século , Riemann introduziu sua teoria da integração . Durante o último terço do XIX ° século, as vidas de análise formalizadas por Karl Weierstrass , que pensou que o raciocínio geométrico era falacioso em si; ele também introduziu a definição de limites “ε-δ” . Então os matemáticos começaram a temer que presumissem sem prova a existência de um continuum de números reais . Richard Dedekind, portanto, construiu os números reais com suas denominações . Ao mesmo tempo, as tentativas de refinar os teoremas da integral de Riemann levaram ao estudo do “tamanho” do conjunto de pontos de descontinuidade de funções reais.
Em 1890, as bases da análise moderna estavam estabelecidas, com as publicações de obras de referência de Stolz na Alemanha, Jordânia na França e Peano na Itália.
Além disso, " monstros " (de funções contínuas em lugar nenhum , de funções contínuas mas em lugar nenhum diferenciável , o preenchimento curvo do espaço ) começaram a ser criados. Nesse contexto, Marie Ennemond Camille Jordan desenvolveu sua teoria sobre medição . Georg Cantor desenvolveu o que hoje é chamado de teoria ingênua dos conjuntos . No início do XX ° século cálculo foi formalizada pela teoria dos conjuntos . Henri Lebesgue resolveu o problema de medição e David Hilbert introduziu os espaços de Hilbert para resolver as equações integrais. A ideia de um espaço vetorial normalizado foi muito estudada na década de 1920 e Stefan Banach criou a análise funcional .