A mecânica quântica é o ramo da física teórica que sucedeu à teoria quântica e à mecânica ondulatória para estudar e descrever os fenômenos básicos que atuam nos sistemas físicos , principalmente nas escalas atômica e subatômica .
Foi desenvolvido na década de 1920 por uma dezena de físicos europeus para resolver problemas que a física clássica não conseguia explicar, como a radiação de corpo negro , o efeito fotoelétrico ou a existência de linhas espectrais . Provou ser frutífero em resultados e em várias aplicações: tornou possível, em particular, elucidar o mistério da estrutura do átomo e, de forma mais geral, acabou por ser o quadro geral para descrever o comportamento das partículas elementares , até o ponto de constituir o alicerce da física moderna.
A mecânica quântica envolve profundas dificuldades conceituais. Se seu formalismo matemático é incomparável em eficiência, sua interpretação não é unânime na comunidade científica. Seus conceitos incluem a dualidade partícula-onda , a superposição quântica , o emaranhamento ou a não localidade .
O termo física quântica se refere ao corpo maior de teoria que se baseia na mecânica quântica para descrever um conjunto maior de fenômenos, incluindo as interações fundamentais no Modelo Padrão .
Um quantomecanista é um especialista em mecânica quântica e um quantoquímico um especialista em química quântica .
Globalmente, a mecânica quântica difere da física clássica por dois aspectos: regras diferentes sobre a aditividade das probabilidades e a existência de quantidades físicas que só podem ser manifestadas por múltiplos de quantidades fixas, chamados quanta, que dão seu nome à teoria.
Na concepção clássica das leis da probabilidade, quando um evento pode ocorrer de duas maneiras diferentes incompatíveis entre si, as probabilidades se somam. Este não é o caso da mecânica quântica, onde a probabilidade de um evento está ligada a uma amplitude de probabilidade que pode interferir , inclusive de forma destrutiva.
Esta propriedade é ilustrada pela experiência das fendas de Young , consideradas em particular por Richard Feynman como as mais emblemáticas do comportamento quântico da matéria. Em seu curso de mecânica quântica, Feynman dedica um longo capítulo à sua análise detalhada. Este experimento também ilustra o conceito de dualidade onda-partícula , que é a base da interpretação padrão da teoria.
Atualmente, considera-se que, em escalas macroscópicas, a aparente não observação desse comportamento probabilístico é explicada por um fenômeno denominado decoerência . No entanto, existem outras explicações, mas nenhuma é unânime: elas decorrem essencialmente de diferenças na interpretação da mecânica quântica .
A mecânica quântica deriva seu nome da existência de quantidades que só podem se manifestar em múltiplos de quantidades fixas, muitas vezes ligadas à constante descoberta por Max Planck . Essas quantidades são, por exemplo, a energia ou o momento angular das partículas.
A ilustração mais óbvia e a mais rica em consequências desse fenômeno provavelmente se encontra na estrutura do átomo e, mais precisamente, na organização dos elétrons ao redor do núcleo. Na verdade, os elétrons são distribuídos ocupando os lugares deixados livres pelos possíveis valores dos números quânticos ligados a sua energia e seu momento angular. Essa organização permite explicar o comportamento químico e espectroscópico dos elementos naturais .
A existência de quanta não é uma propriedade fundamental da mecânica quântica, porque pode ser demonstrada a partir de outras considerações, em particular relativas à regra sobre a aditividade de probabilidades mencionada acima. No entanto, é certamente um dos aspectos mais característicos da mecânica quântica, pois é o que mais facilmente se manifesta em equações, e é historicamente por esse aspecto que a mecânica quântica foi descoberta.
É sem dúvida a resolução do problema da radiação do corpo negro que marcou o início da teoria quântica . No início do XX ° século, Max Planck resolve realmente o problema tomando a suposição de que a energia dos átomos podem ser negociadas em múltiplos de uma quantidade particular, uma vez chamado constante de Planck e conhecido posteriormente como um dos quatro constantes fundamentais .
Essa ideia de quantidades de energia que só podem ser trocadas discretamente inspirará muitos físicos, como Niels Bohr , que a usará em particular para desenvolver um modelo da estrutura do átomo. De maneira mais geral, esse foi o início do que foi chamado de teoria quântica .
Pouco depois da descoberta de Planck, Albert Einstein , seguindo em particular sua análise do efeito fotoelétrico , sugere que a quantidade h ν é a energia de uma partícula eletromagnética que mais tarde será chamada de fóton . Esta reintrodução de uma concepção corpuscular de luz encorajará Louis de Broglie a propor uma relação semelhante à de Planck, mas pela quantidade de movimento:
onde está um vetor de onda . é a chamada constante de Planck reduzida .
Ao fazer isso, ele é o instigador da dualidade da onda de partículas, que encorajará certos físicos a buscar uma descrição ondulatória da matéria. Entre estes, Erwin Schrödinger consegue e obtém uma equação diferencial, agora com o seu nome, que permite descrever com precisão a evolução quântica de uma partícula. Esta equação provou rapidamente sua relevância em sua descrição do modelo do átomo de hidrogênio .
Ao mesmo tempo, Werner Heisenberg desenvolveu uma abordagem radicalmente diferente, que se apoiava em cálculos matriciais diretamente inspirados pela mecânica analítica clássica.
Essas duas abordagens, bem como a confusão em relação ao conceito de dualidade das ondas de partículas, deram à mecânica quântica emergente uma necessidade de esclarecimento. Esse esclarecimento surgiu graças ao trabalho do físico britânico Paul Adrien Dirac .
Em um livro publicado em 1930, intitulado Principles of Quantum Mechanics , Dirac mostra que as duas abordagens, as de Schrödinger e Heisenberg, são na verdade apenas duas representações da mesma álgebra linear . Neste trabalho de fundação, Dirac extrai as leis quânticas propriamente ditas, ignorando as leis já impostas pela física clássica. Dirac então dá uma representação axiomática da mecânica quântica, provavelmente inspirada nos desenvolvimentos matemáticos da época, em particular no que diz respeito à geometria projetiva .
O trabalho de Dirac havia sido precedido alguns anos antes pelo de John Von Neumann , mas o trabalho de Von Neumann era muito mais matematicamente rigoroso, de modo que atraiu principalmente os matemáticos. Os físicos preferiram a de Dirac a ele e, portanto, é essencialmente a obra de Dirac que deixou uma posteridade. No prefácio de uma reedição de seu livro, Von Neumann menciona o trabalho de Dirac e o descreve como "uma representação da mecânica quântica que dificilmente pode ser superada em termos de brevidade e elegância" , mas acrescenta no parágrafo seguinte que seu método "não satisfaz de forma alguma os requisitos do rigor matemático" .
Paul Dirac identifica as propriedades essencialmente quânticas dos fenômenos físicos e as expressa por meio de alguns postulados e conceitos que são a base da mecânica quântica. Eles são apresentados aqui de uma forma menos formal, mais conducente a um entendimento geral. O artigo detalhado apresenta sua formulação de uma forma mais rigorosa, mas também mais abstrata.
Em essência, um estado quântico é o que quantifica o que podemos saber sobre um sistema quântico. Permite calcular as probabilidades e os valores médios medidos dos observáveis (posição, momento, etc.). Os estados quânticos são descritos matematicamente por vetor de estado em um espaço de Hilbert , representado por uma notação dedicada introduzida por Dirac, chamada notação bra-ket . Um estado quântico é então escrito na forma . A evolução ao longo do tempo desse vetor de estado é descrita matematicamente pela função de onda , governada pela equação de Schrödinger .
Essas duas representações dizem respeito a estados puros , ou seja, os estados de sistemas quânticos simples idealizados e isolados, onde cada componente pode ser quantizado e observado. Para estados mistos , representando estados quânticos em interação complexa com um ambiente ou um dispositivo de medição, onde os componentes são muito numerosos ou inacessíveis para observação, o estado quântico é mais representado por uma matriz de densidade .
No caso da notação bra-ket, expressamos o estado quântico em função dos autoestados, ou seja, os estados para os quais temos certeza de que, se realizássemos uma medição de um observável, sem dúvida obteríamos um determinado valor . Em geral, o mesmo símbolo é usado para esses estados como aquele usado para identificar este valor. Por exemplo, quando temos certeza de que se realizássemos esta medição, o resultado seria um valor , então observamos o estado . Geralmente existe um certo número (até mesmo uma infinidade) de estados próprios para um determinado observável. Por exemplo, se estamos interessados no spin de uma partícula de spin 1/2, obtemos dois autoestados de direção oposta: e . Para a posição observável, um número infinito são obtidos autoestados correspondentes a cada uma das possíveis posições ... .
Esses autoestados são vetores ortogonais do espaço vetorial de Hilbert e formam uma base dos mesmos , ligados a um dado observável . Qualquer estado quântico é então expresso como uma combinação linear desses autoestados, por exemplo, um estado generalizado de spin 1/2 :, aeb sendo números complexos .
Quaisquer dois estados quânticos distintos não são necessariamente distinguíveis , porque há uma probabilidade de que a medição de dois estados distintos forneça o mesmo valor medido. Diz-se que dois estados quânticos são distinguíveis quando há pelo menos um processo de medição no qual temos absoluta certeza de que os dois estados fornecem resultados diferentes.
Provavelmente, o postulado mais importante da mecânica quântica é o princípio da superposição . De acordo com este princípio, se um sistema físico pode estar em um estado , e se também pode estar em um estado , então também pode estar em um estado linearmente composto:
onde e são quaisquer dois números complexos .
Em outras palavras, o conjunto de estados possíveis de um sistema físico é um espaço vetorial (ou mais precisamente um espaço de Hilbert , como mencionado acima), cuja dimensão pode ser arbitrária.
O ponto importante é que um estado sobreposto não é um estado que traduz uma ignorância vis-à-vis o estado "real" do sistema, mas sim uma indeterminação intrínseca ao sistema, que não está nem no estado , nem no estado. . Este ponto levantou muitas questões na comunidade científica. Em particular, o princípio da superposição está na origem do chamado problema da medição quântica , que Schrödinger popularizou aplicando-o a um gato que, segundo o paradoxo de Schrödinger , não está vivo nem morto.
O princípio da superposição também foi analisado e criticado por Einstein que, com Boris Podolsky e Nathan Rosen , imaginou um experimento, conhecido como experimento EPR , para colocá-lo em erro. Uma experiência semelhante foi realizada no final da XX th século por Alain Aspect , que confirmou o princípio da sobreposição.
A regra de Born, em homenagem ao físico Max Born , é uma interpretação probabilística dos coeficientes lineares do princípio de superposição. Também é freqüentemente chamada de interpretação probabilística.
Esta regra pode ser ilustrada considerando, por exemplo , o gato de Schrödinger , mencionado acima, e cujo estado quântico pode ser escrito da seguinte forma:
Um experimento que buscasse determinar se esse gato está vivo ou morto não daria nenhum resultado com certeza (caso contrário, o gato estaria no estado ou no estado ). De forma simplificada, pode-se dizer que a regra de Born quantifica essa incerteza ao afirmar que a probabilidade de encontrar o gato morto é igual ao quadrado do módulo de , dividido pela soma dos quadrados dos módulos de e .
De forma mais geral, para um sistema cujo vetor de estado é uma combinação linear de estados distinguíveis , a probabilidade de que o resultado da medida que define a distinguibilidade seja o mesmo como se o sistema estivesse no estado é:
,onde são os coeficientes lineares do vetor de estado.
Para simplificar os cálculos, os vetores de estado geralmente são normalizados para que o denominador seja igual a um. Isso não afeta os cálculos de probabilidade de forma alguma. Na prática, a regra de Born é, portanto, escrita com mais frequência:
,ou :
Em que o coeficiente de proporcionalidade está subtendido pela relação normalização: ,A regra de Born é um dos postulados mais difíceis de compreender da mecânica quântica. É também objeto de controvérsia, até porque seu status axiomático é questionado por pelo menos duas interpretações: a interpretação de mundos múltiplos e a interpretação transacional . De acordo com essas duas interpretações, a regra de Born pode ser deduzida de considerações matemáticas e físicas mais profundas.
Quando, após uma experiência, temos a certeza de obter sempre o mesmo resultado de medição , dizemos que o sistema físico considerado está nesse estado . Isso não significa, entretanto, que saibamos com certeza o resultado de uma medição realizada com um dispositivo experimental diferente. Em outras palavras, mesmo o conhecimento total do estado de um sistema não garante o conhecimento perfeito dos resultados de qualquer experimento feito nele.
Então, por exemplo, se medirmos a posição de uma partícula no estado , temos certeza que iremos obter , mas por outro lado não é possível saber a priori com certeza qual é o resultado da medição do impulso, porque senão a partícula também estaria no estado , o que não é o caso geral e, portanto, constitui uma hipótese ad-hoc .
Mais geralmente, se para um determinado processo de medição A denotamos todos os estados de resultados de medição perfeitamente determinados, então, em virtude do princípio de superposição, todas as combinações lineares possíveis também são estados possíveis para certos sistemas:
Estas combinações lineares, alguns podem muito bem ser capaz de aperfeiçoar condições determinadas para um outro processo de medição B . A questão é, o que pode ser o resultado de medição A para estes estados "limpas" B .
A interpretação probabilística dos coeficientes lineares sugere então que o resultado da medição, se não for determinístico, ainda será estatisticamente igual à expectativa matemática :
Esta expressão é uma forma sesquilinear dos coeficientes . No subespaço vetorial gerado por arquivos , podemos, portanto, escrever esta expressão usando um produto escalar no qual a base é ortonormal . É a escolha desse produto escalar que dá significado à notação bra-ket: os vetores bra, anotados "à esquerda", são então os elementos do espaço dual do espaço de estado do ket. Temos então a relação:
onde está o símbolo Kronecker .
A expressão da expectativa matemática pode então ser escrita:
O termo sugere a introdução do operador linear cujos autovetores são os e cujos autovalores associados são os valores possíveis dos resultados da medição. Este operador é chamado o observáveis associado com o processo de medição Um . Nada mais é do que uma ferramenta matemática que permite o cálculo da expectativa matemática do resultado da medição, expectativa que é então escrita:
O interesse de tal expressão é que ela não depende mais explicitamente da base . Assim, ganhamos em abstração e simplificamos os cálculos, um pouco como na geometria analítica onde muitas vezes é mais fácil manipular os vetores com sua notação abstrata do que com suas coordenadas em uma base particular.
A partir de considerações algébricas elementares, é fácil convencer-se de que o observável é um operador auto-adjunto que pode ser escrito como uma função de seus autovetores e autovalores da seguinte forma:
Quando temos observáveis suficientes para descrever qualquer resultado de medição, dizemos que temos um conjunto completo de observáveis de comutação , e isso é no espaço Hermitiano gerado pelos autovetores desses observáveis. Que trabalhamos.
Por construção, o produto escalar no espaço de estados torna possível calcular as probabilidades de resultados de medição. Assim, é fácil entender que os operadores lineares que mantêm este produto escalar desempenham um papel muito importante na mecânica quântica. Na álgebra linear, esses operadores que mantêm o produto escalar são chamados de operadores de unidade . Eles têm a propriedade essencial de ser o reverso de seu substituto:
Caso GeralUma vez que mantém o produto escalar, um operador de unidade se transforma em um espaço fisicamente indistinguível porque dá exatamente as mesmas probabilidades de medição. Por outro lado, é razoável supor que um operador que transforma o espaço de estados em um espaço indistinguível seja unitário.
A consideração do conjunto de todos os operadores unitários em , bem como de um subconjunto que pode ser parametrizado continuamente por um escalar μ, torna então possível aproximar à primeira ordem em μ:
onde é um operador linear arbitrário a priori que pode, sem perder a generalidade, ser escrito na forma .
Escrevendo a relação de unidade de , vem, permanecendo na primeira ordem:
Isso quer dizer que é autoassistente.
Em suma, quando há um parâmetro que continuamente se transforma em um espaço fisicamente indistinguível, então existe um operador de unidade e uma quantidade observável de tal forma que se transforma em e:
Ao igualar a , e notando o vector de tal modo que , aparece como a taxa de aumento de para uma variação infinitesimal da μ na vizinhança de zero, de modo que pode ser escrita:
onde a dependência de en está implícita ( ).
Equação de SchrödingerAs considerações anteriores podem ser utilizadas para introduzir a equação de Schrödinger do ponto de vista teórico, graças a um princípio de simetria segundo o qual as leis da física são invariantes no tempo. Outra maneira de dizer isso é dizer que um experimento realizado em um espaço de estados é indistinguível de um experimento idêntico realizado em um espaço de estados . Podemos, portanto, aplicar os resultados anteriores tomando t (ou -t) para :
O fator é reintroduzido aqui para satisfazer as restrições dimensionais anteriormente ignoradas. A expressão detalhada do observável , chamada de hamiltoniano por analogia com a mecânica clássica , é mais freqüentemente obtida usando o princípio da correspondência .
Esta formulação da equação de Schrödinger é bastante diferente da formulação histórica e, como tal, às vezes é referida como a equação de Schrödinger generalizada e dependente do tempo .
Pulso e momento angularQuanto à equação de Schrödinger, mas desta vez aplicando o princípio segundo o qual as leis da física são invariantes no espaço, introduzimos o observável do momento linear (também chamado de momento ) e seus três componentes espaciais:
O caso do momento angular (às vezes chamado mais explicitamente de momento angular ) é tratado da mesma maneira, mas para rotações no espaço.
Dados dois operadores A e B, não necessariamente observáveis, definimos seu comutador da seguinte forma:
Este operador desempenha um papel muito importante na mecânica quântica. Por exemplo, quando estamos interessados na evolução da expectativa matemática de um A observável para um estado :
Obtemos, usando a equação de Schrödinger e com a notação :
expressão que constitui o teorema de Ehrenfest .
O comutador é análogo ao colchete de Poisson da mecânica clássica. Também está envolvido na explicação e descrição do princípio da incerteza .
Propriedades:
Na prática, o estado é mais frequentemente escrito em uma base de estados de posição espacial perfeitamente determinada:
Aqui, a integração desempenha o papel da soma usada acima, em particular na afirmação do princípio da superposição, com a diferença de que se trata de uma soma contínua, isto é, da soma de uma infinidade de termos infinitamente pequenos.
A função é chamada de “função de onda” e é nela que são feitos a maioria dos cálculos obtidos a partir da equação de Schrödinger.
A escrita da equação de Schrödinger não mais como uma função, mas da função de onda, é feita substituindo cada termo do hamiltoniano pelas expressões correspondentes, dependendo da função de onda. Por exemplo, o impulso é escrito como visto acima, onde T ( x ) é o operador unitário de translação de comprimento x no espaço, ou seja, tal que:
.A partir daí, vem:
Alterando a variável sob a integral e lembrando que a equação é escrita na vizinhança de x = 0, segue:
Em outras palavras, o operador de pulso atua no vetor de estado fornecendo um vetor cujas coordenadas na representação espacial são as derivadas da função de onda (exceto para um fator ignorado aqui). Isso torna possível realizar todos os cálculos apenas na função de onda e assim reduzir à resolução de uma equação diferencial parcial , ou seja, a equação de Schrödinger de uma forma mais próxima de sua forma histórica:
A regra de Born implica que o resultado de um experimento pode ser indeterminado mesmo quando o estado do sistema é perfeitamente determinado. Essa indeterminação é intrínseca ao sistema e, em um sentido que não tem equivalente clássico. No entanto, o desconhecimento do estado exato do sistema também pode justificar uma descrição probabilística no sentido clássico do termo, ou seja, com a aceitação usual das leis da probabilidade.
Assim, em uma base de estado ortonormal , mesmo que o estado exato seja desconhecido, ainda é possível atribuir a ele uma distribuição de probabilidade , onde é a probabilidade de o sistema estar no estado quântico . A questão então é como contabilizar esse tipo de probabilidade nos cálculos.
O estudo do sistema é reduzido ao da medição dos observáveis disponíveis, que por sua vez se reduz à medição do seu valor médio que está escrito, para um observável e se o sistema está no estado :
Como o sistema está em um estado desconhecido, mas com a distribuição de probabilidade , a expectativa matemática torna-se:
Essa expressão é, de certa forma, uma dupla expectativa matemática, levando em consideração tanto as probabilidades quânticas quanto as clássicas. Os termos são, na verdade, expectativas matemáticas, para distribuições de probabilidade associadas ao princípio da superposição e à regra de Born. A expressão, por sua vez, é uma expectativa matemática associada a uma distribuição de probabilidade que reflete a ignorância do estado real do sistema, ou seja, uma distribuição de probabilidade clássica.
A expectativa matemática pode então ser escrita:
A expressão é o que se denomina matriz de densidade associada à distribuição de probabilidade na base . é o traço .
A matriz de densidade é, como os observáveis, apenas uma ferramenta matemática que permite o cálculo das expectativas matemáticas dos resultados de medição, mas ao contrário dos observáveis, a matriz de densidade incorpora a consideração de um possível desconhecimento do estado exato do sistema .
Na mecânica quântica, existem alguns problemas e temas de estudo que agora estão muito bem analisados e que são muito úteis para a compreensão de outros sistemas. Eles são parte integrante do corpus teórico e são tratados detalhadamente em todos os livros didáticos.
Os princípios fundamentais declarados acima já são suficientes para explicar uma das propriedades mais importantes da matéria: a distinção entre bósons e férmions .
Na verdade, essa distinção deriva essencialmente do caráter vetorial do espaço de estados e de sua interpretação probabilística. Se considerarmos um sistema físico (ou mais simplesmente uma partícula) e observarmos seu estado, então um sistema físico composto de duas dessas partículas será escrito usando o produto tensorial dos dois vetores.
A questão que então se coloca é a de saber como o sistema se comporta se, pelo pensamento, invertermos os papéis desempenhados pelas duas partículas. Em outras palavras, nos perguntamos sobre a relação entre e . Esses dois sistemas sendo perfeitamente análogos, quando as partículas são consideradas indistinguíveis, elas devem se comportar da mesma maneira. Sua distribuição de probabilidade é, portanto, a mesma e eles são, portanto, conectados por um escalar :
Agora, se invertermos as partículas novamente, devemos necessariamente obter novamente o sistema inicial, de modo que:
Mesmo entre os números complexos, existem apenas duas raízes quadradas da unidade: 1 e -1. Isso implica que só pode haver dois tipos muito distintos de partículas, aquelas para as quais , os bósons , e aquelas para as quais , os férmions (esses nomes se referem aos físicos que descobriram as estatísticas associadas: Satyendranath Bose e Enrico Fermi ).
Disto segue diretamente o princípio de exclusão de Pauli , ao qual apenas os férmions obedecem. Considere, por exemplo, um férmion e imagine duas partículas desta espécie exatamente no mesmo estado .
Temos: e portanto:
Em outras palavras, a probabilidade de que dois férmions estejam no mesmo estado é sempre zero. Essa propriedade é de considerável importância na natureza. Devemos a ele em grande parte a impenetrabilidade do corpo (en) .
Por outro lado, os bósons tendem a se agrupar uns com os outros, porque suas amplitudes de probabilidades interferem construtivamente quando estão no mesmo estado. Essa é a causa de muitos fenômenos, como a emissão estimulada , que são a base do funcionamento dos lasers .
Considerações comparáveis aos cálculos feitos acima permitem entender que um número par de férmions se comporta como bósons. Essa é a causa de fenômenos como a supercondutividade , em que os elétrons formam pares de Cooper . Isso também explica as diferenças de comportamento entre os diferentes isótopos de hélio : em um átomo de hélio 4 ( 4 He), cada partícula está presente em duplicata (dois elétrons, dois prótons e dois nêutrons, formando pares de Cooper), o que faz este átomo um bóson. Este não é o caso do átomo de hélio 3 ( 3 He), que possui apenas um nêutron, o que torna este átomo um férmion; que pode se combinar com outro átomo de hélio 3 para formar um bóson de par de Cooper.
O caráter bosônico ou fermiônico das partículas está ligado ao seu spin , pelo que é denominado teorema estatístico do spin .
Dentre os sistemas que podem ser resolvidos analiticamente na mecânica quântica, um deles tem particular importância histórica e teórica. Este é o oscilador harmônico .
Na mecânica clássica, o oscilador harmônico é um sistema de grande importância porque constitui uma boa aproximação de qualquer sistema estável em torno de uma posição de equilíbrio. Em um sistema adequado de unidades, a equação de energia é escrita:
Onde e são respectivamente o impulso e a posição do móbile.
Na mecânica quântica, a equação é formalmente a mesma, mas as quantidades envolvidas são de natureza diferente. Em vez de serem escalares dependentes do tempo real, o momento e a posição são operadores lineares no espaço vetorial de estados. Essas quantidades podem ser manipuladas algebricamente como com escalares normais, exceto que é uma álgebra não comutativa. Por conseguinte, deve ser dada atenção às mudanças entre os operadores em causa. Nesse caso, a alternância entre e é:
A resolução do sistema passa então por uma fatoração inspirada na identidade marcante . Ao lembrar disso , introduzimos dois operadores (com um fator de normalização próximo):
Por razões que aparecem durante o cálculo (ver artigo detalhado ), esses operadores são chamados respectivamente de operadores de criação e aniquilação de quanta, ou operadores de escala . Então, um raciocínio por recorrência permite mostrar o caráter quantificado dos níveis de energia possíveis e calcular seus valores. Esses quanta são os análogos mecânicos dos fótons e, como tal, às vezes são chamados de fônons .
Esta introdução de operadores de criação e aniquilação é uma técnica bastante emblemática da física quântica. É encontrado, por exemplo, na teoria do momento angular quântico ou na teoria quântica de campos .
Um dos sistemas mais simples da mecânica quântica é a partícula livre, cuja energia é reduzida ao seu componente cinético . A equação de Schrödinger é então escrita:
As soluções são da forma:
O efeito túnel designa a propriedade que um objeto quântico tem de cruzar uma barreira potencial, mesmo que sua energia seja menor do que a energia mínima necessária para cruzar essa barreira. É um efeito puramente quântico, que não pode ser explicado pela mecânica clássica. Para tal partícula, a função de onda, da qual o quadrado do módulo representa a densidade de probabilidade de presença, não se anula no nível da barreira, mas se atenua dentro da barreira, praticamente exponencialmente para uma barreira bastante larga. Se, na saída da barreira de potencial, a partícula tiver probabilidade de presença diferente de zero, ela pode cruzar essa barreira. Esta probabilidade depende dos estados acessíveis em cada lado da barreira, bem como da extensão espacial da barreira.
Historicamente, o spin do elétron é antes de tudo um fenômeno experimental observado em particular durante o experimento de Stern e Gerlach . Em essência, aparece como uma espécie de momento magnético muito fraco admitindo apenas dois valores possíveis, que são opostos e que não variam continuamente ao longo do eixo de medição. É, portanto, uma quantidade que não respeita, pelo menos na aparência, as leis espaciais da trigonometria , embora seja direcional. Essas observações bastante curiosas só poderiam ser explicadas pela mecânica quântica.
O spin do elétron é, portanto, um direcional de magnitude a priori que só pode assumir dois valores de igual magnitude e de direção oposta. Os estados quânticos correspondentes são geralmente denotados e . Esses estados dependem de um determinado eixo de observação, tradicionalmente colocado na vertical, ou seja, ao longo do eixo .
Com uma escolha adequada de unidades, isso significa que para um elétron no estado , a medição do momento magnético de spin de acordo com dará +1 como o resultado da medição com certeza. Da mesma forma, um elétron no estado dará necessariamente -1 como resultado da medição ao longo desse mesmo eixo.
Portanto, e forma a base de um espaço vetorial bidimensional, e o observável associado à medição do spin ao longo do eixo é então escrito, em representação matricial:
(o índice 3 é escolhido aqui porque o eixo é tradicionalmente o terceiro eixo do triedro espacial)
Pela aplicação do princípio de superposição, qualquer superposição linear de e também é um estado possível para o elétron. Entre essas combinações lineares, existem algumas que são os autovetores de duas matrizes e :
, e formar com a matriz unitária o que são chamadas de matrizes de Pauli .
A consideração de um vetor unitário e do observável: torna então possível mostrar o seguinte valor médio de para o estado :
onde está o ângulo afastado do eixo .
Ou seja, assim que e forem associados aos observáveis vinculados à medição do spin ao longo dos eixos e , então, surgem as regras da trigonometria, mas com significado probabilístico. Este é um resultado típico da mecânica quântica.
O spin do elétron desempenha um papel muito importante na mecânica quântica, por um lado porque é um fenômeno que não possui equivalente clássico, e por outro lado porque é um dos sistemas quânticos mais simples na medida em que possui apenas dois estados. (ou mais precisamente, seu espaço vetorial é de dimensão dois). Como tal, é frequentemente usado como um modelo de estudo para sistemas mais complexos, mesmo quando o fenômeno físico subjacente é completamente diferente. O exemplo emblemático é o modelo de Ising .
Richard Feynman , em sua tese de 1942, introduziu a noção de integral de caminho para apresentar uma nova formulação da mecânica quântica. Esses resultados não serão publicados até 1948 devido à Segunda Guerra Mundial. Em última análise, o objetivo desta abordagem seria formular uma teoria da eletrodinâmica quântica através do desenvolvimento da quantização integral do caminho. Se hoje em dia mantemos o formalismo hamiltoniano da mecânica quântica para lidar com problemas clássicos (no sentido não relativístico), verifica-se que a formulação de Feynman é amplamente predominante para lidar com problemas relativísticos, particularmente na teoria quântica de campos , vantagem decorrente da fato de que esta abordagem é não perturbativa.
Além disso, em 1953, Feynman aplicou sua abordagem para formular a mecânica estatística quântica (en) por integral de caminho ( integral de Wiener , fórmula de Feynman-Kac (en) ) e tentou explicar a transição lambda no hélio superfluido.
A mecânica quântica é uma teoria "não relativística": ela não incorpora os princípios da relatividade especial . Aplicando as regras de quantização canônica à relação de dispersão relativística, obtemos a equação de Klein-Gordon (1926). As soluções desta equação apresentam, no entanto, sérias dificuldades de interpretação no âmbito de uma teoria que supostamente descreve "uma única partícula": não se pode, em particular, construir uma "densidade de probabilidade de presença" em todos os lugares positivos, porque a equação contém uma derivada de segunda vez . Dirac procurará então outra equação relativística de "primeira ordem no tempo" e obterá a equação de Dirac , que descreve muito bem os férmions de spin meio como o elétron.
A teoria quântica de campos para interpretar todas as equações quânticas relativísticas sem dificuldade.
A equação de Dirac incorpora naturalmente a invariância de Lorentz com a mecânica quântica, bem como a interação com o campo eletromagnético , mas que ainda é tratada de forma clássica (falamos de aproximação semiclássica ). Constitui mecânica quântica relativística . Mas, precisamente por causa dessa interação entre as partículas e o campo, é então necessário, para se obter uma descrição coerente do todo, aplicar o procedimento de quantificação também ao campo eletromagnético. O resultado desse procedimento é a eletrodinâmica quântica em que a unidade entre o campo e a partícula é ainda mais transparente, pois agora também a matéria é descrita por um campo. A eletrodinâmica quântica é um exemplo particular da teoria quântica de campos .
Outras teorias quânticas de campo foram posteriormente desenvolvidas à medida que as outras interações fundamentais foram descobertas ( teoria eletrofraca e , em seguida, cromodinâmica quântica ).
As relações de incerteza de Heisenberg refletem a impossibilidade de preparar um estado quântico correspondente a valores precisos de certos pares de grandezas conjugadas. Isso está ligado ao fato de que os operadores quânticos associados a essas grandezas clássicas “ não comutam ”.
As desigualdades de Heisenberg são frequentemente designadas pela expressão “princípio da incerteza”. A rigor , esse nome é enganoso: essas desigualdades não são um princípio porque estão perfeitamente demonstradas graças à análise de Fourier , e não dizem respeito a incertezas no sentido comum do termo, mas a uma indeterminação intrínseca, própria do acaso. da mecânica quântica.
Considere, por exemplo, a posição e o momento de uma partícula. Usando as regras de quantização canônica, é fácil verificar se os operadores de posição e momento satisfazem:
A relação de incerteza é definida a partir dos desvios quadráticos médios das grandezas combinadas. No caso da posição e do momento de uma partícula, está escrito, por exemplo:
Quanto mais o estado tem uma distribuição estreita na posição, mais ampla é a sua distribuição nos valores do impulso associado a ele. Essa propriedade lembra o caso das ondas, por meio de um resultado da transformada de Fourier , e aqui expressa a dualidade onda-partícula. É claro que isso leva a um questionamento da noção clássica de trajetória como um caminho contínuo diferenciável.
Também existe uma relação de incerteza relacionada à energia de uma partícula e à variável de tempo. Assim, a duração necessária para detectar uma partícula de energia em estreita verifica a relação:
No entanto, a derivação dessa desigualdade de energia-tempo é bem diferente daquela das desigualdades de posição-momento.
De fato, se o hamiltoniano é de fato o gerador de traduções no tempo na mecânica hamiltoniana , indicando que o tempo e a energia são conjugados, não há operador de tempo na mecânica quântica (“teorema” de Pauli), é isto, não podemos construir um operador que obedece a uma relação de comutação canônica com o operador hamiltoniano :
isso por uma razão fundamental: a mecânica quântica foi de fato inventada para que cada sistema físico estável possua um "estado fundamental de energia mínima". O argumento de Pauli é o seguinte: se o operador do tempo existisse, ele teria um espectro contínuo. Porém, o operador de tempo, obedecendo à relação de comutação canônica, também seria o gerador de “traduções de energia”. Isso então implica que o operador hamiltoniano também teria um “espectro contínuo”, em contradição com o fato de que a energia de qualquer sistema físico estável deve ser limitada abaixo .
A noção de entrelaçamento quântico entra em jogo quando dois sistemas e são considerados como um todo, formando um único sistema . Esta assertiva pode ser verificada, por exemplo, no caso simples em que os espaços de estado de e têm por base os autovetores e de dois observáveis e atuando respectivamente sobre e .
e necessariamente também atua, pois é composta pela união de e . Podemos, portanto, notar o vetor de estado de tal que, neste estado, a medida de dá sem falhar e a medida de dá sem falhar .
De acordo com o princípio da superposição, todas as combinações lineares de vetores de estado são estados possíveis do sistema. No entanto, existem tais vetores e, portanto, o espaço vetorial que eles geram é pelo menos dimensional . No caso geral, esta dimensão é maior do que , ou seja, o número de graus de liberdade necessários para descrever os sistemas e considerados separadamente.
Parece, portanto, que, no caso geral, a descrição completa dos dois sistemas no seu conjunto não pode ser reduzida à dos dois sistemas considerados separadamente. Em outras palavras, existem estados de tal que não há nenhum estado de e nenhum estado de , isto é, nenhuma combinação linear de nem qualquer combinação linear que permita a obtenção das probabilidades de resultados de medição. Diz-se então que tais estados estão emaranhados . Um exemplo de estado emaranhado é:
Dois sistemas ou duas partículas podem ser emaranhados assim que houver uma interação entre eles. Como resultado, os estados emaranhados são a regra, e não a exceção. Uma medição feita em uma das partículas mudará seu estado quântico de acordo com o postulado quântico da medição. Por causa do emaranhamento, esta medição terá um efeito instantâneo no estado da outra partícula, mesmo que a linha do universo que conecta os dois eventos " medida 1 " e " medida 2 " do espaço-tempo seja uma curva semelhante ao espaço ! Consequentemente, o fato de que a mecânica quântica tolera a existência de estados emaranhados, estados que foram realmente observados em laboratório e cujo comportamento está de acordo com o previsto pela mecânica quântica (ver o experimento de Aspect ), implica que a mecânica quântica é um não teoria física local . A conjectura ER = EPR interpreta esta não localidade como uma propriedade fundamental do espaço-tempo, que seria em substância gerada pelo fenômeno do emaranhamento quântico.
No entanto, é incorreto equiparar o emaranhamento quântico com a transmissão de informações mais rápida do que a velocidade da luz (e, portanto, uma violação da teoria da relatividade). A razão é que o resultado da medição referente à primeira partícula é sempre aleatório, no caso de estados emaranhados como no caso de estados não emaranhados. Portanto, é impossível "transmitir" qualquer informação, uma vez que a modificação do estado da outra partícula, por mais imediata que seja, leva a um resultado da medição relativo à segunda partícula que é sempre também aleatório do que aquele relativo a a primeira partícula. As correlações entre as medições das duas partículas, embora muito reais e demonstradas em muitos laboratórios ao redor do mundo, permanecerão indetectáveis enquanto os resultados das medições não forem comparados, o que implica necessariamente uma troca clássica de informações, respeitando a Relatividade ( veja também o Paradoxo EPR ).
O teletransporte quântico faz uso do emaranhamento para transferir o estado quântico de um sistema físico para outro sistema físico. Este processo é a única maneira conhecida de transferir perfeitamente as informações quânticas. Não pode exceder a velocidade da luz e também é "desencarnado" por não haver transferência de matéria (ao contrário do teletransporte fictício em Star Trek).
Este estado não deve ser confundido com o estado de "superposição". O mesmo objeto quântico pode ter dois (ou mais) estados "sobrepostos". Por exemplo, o mesmo fóton pode estar no estado de "polaridade longitudinal" e "polaridade transversal" simultaneamente. O gato de Schrödinger está simultaneamente no estado "morto" e "vivo". Um fóton que passa por uma placa semirreflexiva está no estado sobreposto "fóton transmitido" e "fóton refletido". É somente durante o ato da medição que o objeto quântico terá um determinado estado.
No formalismo da física quântica, um estado de emaranhamento de "vários objetos quânticos" é representado por um produto tensorial dos vetores de estado de cada objeto quântico. Um estado de superposição diz respeito apenas a "um único objeto quântico" (que pode ser um emaranhamento), e é representado por uma combinação linear das várias possibilidades de estados deste.
Só podemos determinar o estado de um sistema quântico observando-o, o que tem o efeito de destruir o estado em questão. Por outro lado, uma vez conhecido, pode, em princípio, ser recriado em outro lugar. Ou seja, a “duplicação” não é possível no mundo quântico, apenas a “reconstrução em outro lugar” é possível, próxima ao conceito de teletransporte da ficção científica .
Teoricamente desenvolvido em 1993 por CH Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres e W. Wootters no artigo Teletransportando um estado quântico desconhecido por canais clássicos duplos e EPR , da Physical Review Letter , este a reconstrução foi realizada experimentalmente em 1997, em fótons, pela equipe de Anton Zeilinger em Innsbruck, e mais recentemente em átomos de hidrogênio .
Numerosos experimentos mostraram que fenômenos descritos pela mecânica quântica, como spin ou emaranhamento quântico , são muito reais. Entre os mais famosos, podemos citar:
Esses "paradoxos" nos questionam sobre a interpretação da mecânica quântica e, em certos casos, revelam até que ponto nossa intuição pode ser enganosa neste campo que não se relaciona diretamente com a experiência diária de nossos sentidos.
Este paradoxo (1935) destaca os problemas de interpretação do postulado de redução do pacote de ondas .
Este paradoxo (1935) destaca a não localidade da física quântica, implícita em estados emaranhados .
Este experimento pode ser interpretado como uma demonstração de que os resultados de um experimento registrado em um momento T dependem objetivamente de uma ação realizada em um momento posterior T + t. De acordo com essa interpretação, a não localidade dos estados emaranhados não é apenas espacial, mas também temporal.
No entanto, a causalidade não é estritamente violada porque não é possível - por razões fundamentais - demonstrar, antes do tempo T + t, que o estado registrado no tempo T depende de um evento subsequente. Este fenômeno não pode, portanto, fornecer qualquer informação sobre o futuro.
De acordo com a mecânica quântica, eventos que "poderiam ter acontecido, mas não" afetaram os resultados do experimento.
Enquanto os princípios da mecânica quântica se aplicam a priori a todos os objetos contidos no universo (incluindo nós), por que continuamos a perceber classicamente o essencial do mundo macroscópico ? Em particular, por que as superposições quânticas não são observáveis no mundo macroscópico? A teoria da decoerência explica seus desaparecimentos muito rápidos devido ao inevitável acoplamento entre o sistema quântico considerado e seu ambiente.
Essa teoria recebeu confirmação experimental com estudos em sistemas mesoscópicos para os quais o tempo de decoerência não é muito curto para permanecer mensurável, por exemplo, um sistema de alguns fótons em uma cavidade.
As aplicações da mecânica quântica incluem semicondutores , transistor , laser , microscópio eletrônico e ressonância magnética nuclear . Uma categoria especial de aplicações é dedicada a fenômenos quânticos macroscópicos, como superfluidez ou supercondutividade de hélio . O estudo dos semicondutores levou à invenção do diodo , do transistor e do circuito integrado , elementos essenciais da eletrônica moderna.
Acessível em nível de graduação.
Acessível a partir do segundo ciclo da universidade.
Acessível sem bagagem física prévia.
Existem muitas interpretações da mecânica quântica , algumas em desacordo com outras. Na ausência de consequências observáveis dessas interpretações, não é possível decidir a favor de uma ou outra dessas interpretações. A única exceção é a escola de Copenhague, cujo princípio é justamente recusar qualquer interpretação dos fenômenos.
Diagrama das principais interpretaçõesÁrvore de solução do problema de medição | |||||||||||||||||
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Teoria quântica | |||||||||||||||||
Não pretende representar a realidade | Não representa totalmente a realidade | Representa totalmente a realidade | |||||||||||||||
Positivismo | Leis quânticas modificadas | Influência da consciência | Adição de uma variável adicional: a posição | Decoerência quântica | Múltiplos universos | ||||||||||||
Stephen Hawking Niels Bohr |
Roger Penrose | Eugene Wigner | Teoria De Broglie-Bohm |
Roland Omnès Murray Gell-Mann James Hartle |
Hugh Everett David Deutsch |
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Giancarlo Ghirardi Alberto Rimini Wilhelm Eduard Weber |
John von Neumann Fritz London e Edmond Bauer |
John bell |
Hans-Dieter Zeh Wojciech Zurek |
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Bernard d'Espagnat Olivier Costa de Beauregard |