Operador assistente

Em matemática , um operador assistente é um operador em um espaço préhilbertiano que é definido, quando possível, a partir de outro operador A e que denotamos por A * . Diz-se também que A * é o adjunto do operador A .

Este operador assistente torna possível fazer com que o operador A passe da parte direita do produto escalar que define o espaço préhilbertiano para a parte esquerda do produto escalar. É, portanto, uma generalização da noção de matriz transposta para espaços de dimensão infinita.

Se o operador inicial for contínuo e o espaço vetorial estiver completo , o adjunto é sempre definido. Assim, no caso de dimensão finita, o assistente de qualquer operador é bem definido. A aplicação que associa seu adjunto a um operador é uma isometria semi-linear  (en) e involutiva .

A noção de adjunto permite definir um conjunto de operadores que possuem uma compatibilidade particular com respeito ao produto escalar, os operadores se deslocando com seu adjunto. Eles são então considerados normais . Entre esses operadores, há três casos particulares importantes, o de um operador auto- assistente (assistente de si mesmo), anti-auto- assistente (assistente de seu oposto) e unitário (inverso de seu assistente). Em um espaço vetorial real, os termos usados ​​são respectivamente: simétrico , antissimétrico e ortogonal . Em um espaço vetorial complexo, dizemos respectivamente: hermitiano (ou hermítico ), anti-hermítico (ou anti-hermítico) e unitário .

O conceito de assistente de operador tem muitas aplicações. Em dimensão finita e no campo dos números complexos, a estrutura dos endomorfismos normais é simples, eles podem ser diagonalizados em uma base ortonormal . O caso da dimensão infinita é mais complexo. É importante na análise funcional . O caso autoadjoint é particularmente estudado, ele fornece a estrutura mais simples da teoria espectral , que está no coração da mecânica quântica . Na teoria dos operadores , uma álgebra C * é um espaço de Banach dotado de uma lei de composição interna semelhante à composição de operadores e uma operação em estrela com as mesmas propriedades que a aplicação que associa seu adjunto a um operador.

Definições

O assistente de um operador é uma noção que corresponde a situações muito diferentes. Pode ser aplicado no caso de um espaço euclidiano ou hermitiano , ou seja, em dimensão finita . Também é usado no contexto mais simples de análise funcional , ou seja, em um espaço de Hilbert ou um espaço pré - hilbertiano . Finalmente, pode ser aplicado em uma estrutura muito geral para espaços de Banach . Por isso, duas definições coexistem.

Préhilbertiano

Esta definição cobre na prática dois referenciais teóricos um tanto diferentes. Aquele da dimensão finita e aquele em que nenhuma suposição é feita sobre a dimensão. Também corresponde a um primeiro caso de análise funcional, o mais simples. Em geral, o espaço vetorial escolhido é um espaço de Hilbert, ou seja, um espaço pré-hilbertiano completo . Como é relativamente fácil completar um espaço pré-hilbertiano e os teoremas disponíveis são muito mais numerosos, esta estrutura é amplamente utilizada. Uma única definição cobre estes dois casos:

Seja H um espaço préhilbertiano sobre um campo K igual a ℝ de números reais ou ℂ de complexos. O produto escalar é denotado (⋅ | ⋅) neste artigo. Deixe um e um * ser dois operadores em H , isto é, dois mapas lineares de H em si.

Definição  -  O operador é considerado o adjunto de se: Para∗{\ displaystyle a ^ {*}}Para{\ displaystyle a}

∀x,y∈H(Para(x)|y)=(x|Para∗(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)).}

C * -álgebra

Como o restante do artigo mostra o mapa *, que associa seu adjunto a um endomorfismo, é um mapa semilinear do espaço do endomorfismo. Este espaço possui, com a composição dos endomorfismos, uma estrutura álgebra . Uma aplicação *, tendo as mesmas características do apêndice e definida em uma álgebra, é a estrutura de uma estrutura chamada C * -álgebra. A imagem de um elemento a pelo aplicativo * é chamada de auxiliar de a .

Banach

Na análise funcional, nem todos os espaços têm um produto escalar. A abordagem dos deputados, no entanto, continua frutífera. O operador a tem propriedades mais pobres do que as do parágrafo anterior.

No caso geral, ele não é mais limitado, ou seja, não existe necessariamente um limite superior da norma da imagem de um vetor da bola unitária. Assim, a derivada de uma função da variável real no conjunto real com suporte compacto , infinitamente diferenciável e aumentada em valor absoluto por um, não é aumentada por uma constante independente da função. Este espaço fornecido com a norma de convergência uniforme é importante para a definição das distribuições . A derivada é um operador linear ilimitado que desempenha um grande papel na análise funcional.

Um operador a não é necessariamente definido em todo o Banach. Assim, o operador de derivação não é definido em nenhuma função de] –1/2, 1/2 [em ℝ e integrável em valor absoluto. Pelo mesmo motivo do parágrafo anterior, é, no entanto, útil considerar este operador.

Nesta secção, E e F designam dois Banach tem um operador ilimitado de E a F , E * e F * denotam as duos topológicos de E e F . No restante do artigo, o termo dual significa dual topológico. Na verdade, é mais usado do que o dual algébrico neste contexto. O termo D ( a ) denota o domínio de a , ou seja, o subespaço vetorial no qual a é definido. Assume-se denso em E . A notação 〈⋅, ⋅〉E (resp. 〈⋅, ⋅〉F ) denota o colchete de dualidade , que corresponde ao mapa bilinear de E * × E (resp. F * × F ) que para um par formado por d ' uma forma linear e um vetor de E (resp. F ) associa um escalar.

Definição  -  O domínio denotado D ( a *) do operador adjunto de a é o seguinte subconjunto de F *:

D(Para∗)={y∗∈F∗,∃vs≥0,∀x∈D(Para)|⟨y∗,Para(x)⟩F|≤vs‖x‖}{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) = \ {y ^ {*} \ in F ^ {*}, \; \ exists c \ geq 0, \; \ forall x \ in { \ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} | \ leq c \ | x \ | \}}

Esta definição permite o seguinte:

Definição  -  O operador adjunto a * de a é o operador de D ( a *) em E * verificando a igualdade:

∀x∈D(Para),∀y∗∈D(Para∗)⟨y∗,Para(x)⟩F=⟨Para∗(y∗),x⟩E{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a), \; \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \ quad \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {F} = \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle _ {E}}

É comum que E e F sejam confundidos; o assistente é então um operador de E *.

Espaço Hilbert

Assumimos, ao longo desta seção, que H é um espaço de Hilbert , ou seja, um espaço prehilbertiano completo . Neste caso, as duas topológicos identifica com o espaço H . Os resultados obtidos no caso das formas bilineares aplicam-se sem muitas modificações.

O caso da dimensão finita é um pouco mais simples porque qualquer mapa linear é contínuo e o isomorfismo entre o espaço e seu dual é mais óbvio. Uma abordagem mais didática está disponível no artigo Espaço euclidiano para o caso real e espaço Hermitiano para o caso complexo.

Nota: No caso em que o corpo subjacente a H é o de complexos, o produto escalar é sesquilinear . A convenção escolhida no artigo é que a forma é linear para a primeira variável e semilinear para a segunda. O conjugado de um escalar λ é denotado por λ . Por padrão, as instruções são fornecidas para espaços complexos. Eles permanecem verdadeiros para o real e a aplicação combinada torna-se a identidade.

Existência (e singularidade)

• Qualquer operador limitado a em H admite um auxiliar (único).
  De fato, seja y um vetor de H , o mapa que para um vetor x associa ( a ( x ) | y ) é uma forma linear contínua. O teorema da representação de Riesz garante então a existência de um vetor (único) z tal que a forma linear contínua coincide com a aplicação a x associados ( x | z ). A aplicação tem * para que ele combina z é, em seguida, o assistente tem .
• Por outro lado, se quaisquer dois mapas satisfizeremPara,Para∗:H→H{\ displaystyle a, a ^ {*}: H \ a H}∀x,y∈H(Para(x)|y)=(x|Para∗(y)){\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y))}então a , a * são lineares e contínuos .
  Deixe-nos mostrá-lo, por exemplo, para um *.
  • A linearidade é uma consequência direta das propriedades de bilinearidade e não degeneração do produto escalar. Usamos isso:∀x,y1,y2∈H,∀λ∈K(x|Para∗(y1+λy2))=(Para(x)|y1+λy2)=(Para(x)|y1)+λ¯(Para(x)|y2){\ displaystyle \ forall x, y_ {1}, y_ {2} \ in H, \; \ forall \ lambda \ in K \ quad (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2 })) = (a (x) | y_ {1} + \ lambda y_ {2}) = (a (x) | y_ {1}) + {\ bar {\ lambda}} (a (x) | y_ {2})}Podemos deduzir:(x|Para∗(y1+λy2))=(x|Para∗(y1))+(x|λPara∗(y2))assim(1)(x|Para∗(y1)+λPara∗(y2)-Para∗(y1+λy2))=0{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = (x | a ^ {*} (y_ {1})) + (x | \ lambda a ^ { *} (y_ {2})) \ quad {\ text {so}} \ quad (1) \; (x | a ^ {*} (y_ {1}) + \ lambda a ^ {*} (y_ { 2}) - a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = 0}A igualdade (1) é verdadeira para todos os valores de x, o que mostra que o termo à direita é zero. Essa nulidade demonstra o caráter linear de a *.
  • Para mostrar a continuidade de a * basta, graças ao teorema do gráfico fechado , verificar que se x n tende para x e se a * (x n ) tende para y então a * ( x ) = y . Agora, essas duas hipóteses implicam (usando a equação de adição) que para todo z , ( z | a * ( x n )) tende tanto para ( z | a * ( x )) e para ( z | y ), de modo que a * ( x ) - y é zero (porque ortogonal a todo z ).

Exemplo Para todos os vetores , o assistente do operador é o operador .x,y∈H{\ displaystyle x, y \ in H}x⊗y:z↦⟨z,y⟩x{\ displaystyle x \ otimes y: z \ mapsto \ langle z, y \ rangle x}y⊗x{\ displaystyle y \ otimes x}

Propriedades elementares

Em muitos aspectos, o assistente é uma imagem espelhada do operador.

• O assistente do operador a é linear.

Este resultado (que não envolve a linearidade de a ) foi demonstrado acima.

Em dimensão finita, a matriz do adjunto de a é o adjunto da matriz de a . Com efeito, deixa Uma matriz tem uma base ortonormal de H e X (resp. Y ) da matriz de um vector x (resp. Y) H .

(x|Para∗(y))=(Para(x)|y)=t(PARAX)Y¯=tX(tPARAY¯)=tXtPARA¯Y¯.{\ displaystyle (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = {} ^ {t} \! (AX) {\ overline {Y}} = ^ {t} \! X (^ {t} A {\ overline {Y}}) = ^ {t} \! X {\ overline {^ {t} {\ overline {A}} Y}}.}

• Se o operador a é limitado , então o assistente também é limitado e sua norma de operador é igual à de a .

O termo delimitado aqui significa que a imagem da bola unitária é delimitada. Um operador é limitado se e somente se for contínuo.

A continuidade do adjunto foi demonstrada acima, sem assumir que a é limitado, usando o poderoso teorema do gráfico fechado. Assumindo que está se limita, a evidência é mais básico: só notei que o padrão era , bem como a do assistente é a de bilinear ou forma sesquilinear em x e y associados ( um ( x ) | y ) = ( x | um * ( y )).

• A norma do composto de a e seu adjunto é igual ao quadrado da de a  :

‖Para∘Para∗‖=‖Para‖2.{\ displaystyle \ | a \ circ a ^ {*} \ | = \ | a \ | ^ {2}.}

Aplicação de assistente

A isometria * , de ℒ ( H ) em si, que para o operador a associa o assistente a *, é chamada de mapa assistente .

Teorema  -  A isometria a ↦ a *, de ℒ ( H ) em si:

• verificado(Para∘b)∗=b∗∘Para∗ ;{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*} ~;}
• é semi-linear:(Para+λb)∗=Para∗+λ¯b∗ ;{\ displaystyle (a + \ lambda b) ^ {*} = a ^ {*} + {\ overline {\ lambda}} b ^ {*} ~;}
• é involutivo  :Para∗∗=Para.{\ displaystyle a ^ {**} = a.}

Manifestações

• Deputado de um composto:∀x,y∈H(Para∘b(x)|y)=(b(x)|Para∗(y))=(x|b∗∘Para∗(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a \ circ b (x) | y) = (b (x) | a ^ {*} (y)) = (x | b ^ {*} \ circ a ^ {*} (y)).}
• Semilinearidade:∀x,y∈H((Para+λb)(x)|y)=(Para(x)|y)+λ(b(x)|y)=(x|(Para∗+λ¯b∗)(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad ((a + \ lambda b) (x) | y) = (a (x) | y) + \ lambda (b (x) | y) = (x | (a ^ {*} + {\ bar {\ lambda}} b ^ {*}) (y)).}
• Involutividade:∀x,y∈H(Para(x)|y)=(x|Para∗(y))=(Para∗(y)|x)¯=(y|Para∗∗(x))¯=(Para∗∗(x)|y).{\ displaystyle \ forall x, y \ in H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)) = {\ overline {(a ^ {*} (y) | x )}} = {\ overline {(y | a ^ {**} (x))}} = (a ^ {**} (x) | y).}

Como um endomorfismo involutivo do espaço vetorial real, é portanto uma simetria, ou seja, é diagonalizável com autovalores 1 e -1 (mais detalhes são dados no § “Simetria” do artigo sobre diagonalização ).

Um operador igual (resp. Oposto) a seu assistente é considerado hermitiano ou auto-assistente (resp. Anti-hermitiano ou anti-auto-assistente). Esse operador é normal , ou seja, ele troca com seu assistente. Outra família de operadores normais é a dos automorfismos ortogonais .

Os endomorfismos normais de um espaço hermitiano e os endomorfismos auto-unidos de um espaço euclidiano são diagonalizáveis.

Ortogonalidade

As propriedades de ortogonalidade associadas às formas bilineares estão presentes neste contexto:

• O núcleo de a * é o ortogonal da imagem de a  :KerPara∗=(Eu estouPara)⊥.{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}De fato, ∀x∈H,x∈KerPara∗⇔∀y∈H(Para∗(x)|y)=0⇔∀y∈H(x|Para(y))=0⇔x∈(Eu estouPara)⊥.{\ displaystyle \ forall x \ in H, \; x \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (a ^ {*} (x) | y ) = 0 \ Leftrightarrow \ forall y \ in H \ quad (x | a (y)) = 0 \ Leftrightarrow x \ in ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}.}Um corolário imediato - também demonstrável matricialmente - é que na dimensão finita a e a * têm a mesma classificação porque qualquer subespaço vetorial é então fechado, então seu ortogonal é um adicional .

Ao tomar o ortogonal dos dois membros deduz-se dele:

• O ortogonal do núcleo de a * é a adesão da imagem de a  :(KerPara∗)⊥=Eu estouPara¯.{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}.}A adesão de um conjunto E , denotado E , é o menor fechado que o contém. Por exemplo, se a * é injetivo , então a tem uma imagem densa em H , o que, em dimensão infinita, não significa que a seja sobrejetora .
• Seja E um subespaço estável por a , o ortogonal de E é estável por a *.
  Na verdade, seja y um elemento do ortogonal de E , sua imagem por a * é ortogonal a E porque∀x∈E(x|Para∗(y))=(Para(x)|y)=0{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = 0.}Em dimensão infinita, se E não é fechado, o inverso é falso (por exemplo, se E é um hiperplano não fechado, seu ortogonal é sempre estável por a * - uma vez que é reduzido ao vetor zero - enquanto E n 'não é estável por a em geral).

Espectro

O espectro de um operador a é o conjunto de escalares λ tal que o mapa a - λId não é bijetivo (Id designando o mapa de identidade). Em dimensão finita, o espectro é o conjunto de autovalores . Em dimensão infinita, pode ser mais amplo (ver os artigos Espectro de um operador linear e Valor espectral ).

• O espectro do operador a * é o conjugado daquele de a .

As propriedades do espectro são especificadas se H for de dimensão finita:

• Se H é de dimensão finita, o determinante (resp. O polinômio característico) de a * é o conjugado daquele de a .

• Se H é de dimensão finita, o polinômio mínimo de a * é o conjugado daquele de a .

Consequentemente, se λ é o autovalor da multiplicidade m do operador a (ou seja, raiz da ordem m de seu polinômio característico), então o conjugado de λ é o autovalor da multiplicidade m do operador a *, e da mesma forma, se λ é a raiz da ordem m do polinômio mínimo de a (o que é equivalente a dizer que m é o menor inteiro tal que o kernel de ( a - λId) m é igual ao kernel de ( a - λId) m + 1 ), então o o conjugado de λ é a raiz da ordem m do polinômio mínimo de a *.

Manifestações

• O espectro do operador a * é o conjugado daquele de a  :

Um operador é bijetivo se e somente se seu adjunto for (de acordo com a propriedade ). Aplicando isso a a - λId, o resultado é deduzido. (Para∘b)∗=b∗∘Para∗{\ displaystyle (a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*}}

• Se H for de dimensão finita, o determinante (resp. O polinômio característico) de a * é o conjugado daquele de a  :

O artigo Determinante (matemática) demonstra que uma matriz quadrada possui o mesmo determinante de sua transposta. Além disso, o determinante de uma matriz conjugada é o conjugado do determinante. O fato de o determinante de um endomorfismo ser igual ao de sua matriz mostra que o determinante do adjunto de a é o conjugado daquele de a . As mesmas propriedades aplicadas ao endomorfismo a - λId mostram a igualdade dos polinômios característicos.

• Se H é de dimensão finita, o polinômio mínimo de a * é o conjugado daquele de a  :

Seja P ( X ) o polinômio mínimo de a . O endomorfismo P ( a ) é zero e seu conjugado também é zero, o que mostra que o polinômio conjugado de P ( X ) cancela o adjunto, seu conjugado é, portanto, um múltiplo do polinômio de a *. Também mostramos que o polinômio conjugado do polinômio mínimo do adjunto cancela a . Os dois polinômios são múltiplos um do outro, ambos são unitários, o que permite concluir que existe igualdade.

Espaço banach

A substância deste artigo de matemática deve ser verificada (dezembro de 2016)

Melhore ou discuta coisas para verificar . Se você acabou de afixar o banner, indique aqui os pontos a serem verificados .

Compare com o artigo em inglês em: Operador ilimitado

Muitas propriedades, válidas para os Hilberts, podem ser generalizadas. A análise do assistente de um operador no quadro mais geral de Banach tem certas analogias com o caso anterior. As técnicas utilizadas são, no entanto, um pouco diferentes. Nesta secção E e F designam Banach e tem um operador ilimitado de E a F .

O termo “operador ilimitado” designa um mapa linear sem precisão no caráter contínuo do operador. O matemático Haïm Brezis especifica: Pode, portanto, acontecer que um operador ilimitado seja limitado. A terminologia não é muito feliz, mas é muito usada e não causa confusão!

Existência e singularidade

Como antes, qualquer operador tenha admitido um único deputado. Mais precisamente :

• Para qualquer operador ilimitado a de D ( a ) em F existe um adjunto único, e o adjunto é linear.

Surge então a questão se D ( um *) é denso na dupla de F .

• Se um é um operador de fechado, em seguida, a topologia fraco da dupla de F , D ( um *) é denso na dupla de F . Se, além disso, F é reflexivo, então D ( a *) é denso para a topologia usual.

Demonstração

• Para qualquer operador ilimitado a de D ( a ) em F existe um adjunto único, e o adjunto é linear.

Observe primeiro que D ( a *) é um espaço vetorial. Seja y 1 * (resp. Y 2 *) um vetor de D ( a *), λ um elemento de K e c 1 (resp. C 2 ) uma constante que satisfaça a seguinte propriedade:

∀x∈D(Para)|⟨y1∗,Para(x)⟩|≤vs1‖x‖e|⟨y2∗,Para(x)⟩|≤vs2‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {1} \ | x \ | \ quad {\ text {and}} \ quad | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {2} \ | x \ |}

O aumento a seguir mostra que y 1 * + λ y 2 * é de fato um elemento de D ( a *).

∀x∈D(Para)|⟨y1∗+λ.y2∗,Para(x)⟩|≤|⟨y1∗,Para(x)⟩|+λ.|⟨y2∗,Para(x)⟩|≤(vs1+|λ|.vs2).‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*} + \ lambda .y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | + \ lambda. | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq (c_ { 1} + | \ lambda | .c_ {2}). \ | X \ |}

Seja y * um elemento de D ( a *). Por padrão, a * ( y *) é uma forma linear contínua sobre D ( a ). O conjunto de chegada K está completo, a forma é contínua, portanto, Cauchy-contínua e é estendida pela continuidade de uma maneira única. Assim, o mapa a * ( y *) é de fato um elemento de E *.

A linearidade de a * vem diretamente da bilinearidade de 〈⋅, ⋅〉.

Continuidade do assistente

O teorema do gráfico fechado indica que um operador a é contínuo se e somente se seu gráfico for fechado. O gráfico de a é o subespaço vetorial de E x F formado pelos pontos ( x , a ( x )) conforme x atravessa D ( a ). Um operador com um gráfico fechado é dito fechado , o que equivale a dizer limitado ou contínuo. Por razões estilísticas, é mais comum falar de um operador fechado ilimitado do que de um operador limitado não fechado, mesmo que os significados sejam os mesmos.

• Um operador ilimitado a com domínio denso tem um assessor fechado.

Demonstração

Seja ( v n *) uma sequência de D ( a *) convergindo para v * no dual de F e tal que a sequência (a * ( v n *)) também converta, mas desta vez para u * no dual de E . O objetivo é mostrar que ( v *, u *) é um elemento do gráfico do adjunto de a . A seguinte igualdade é verificada:

∀x∈E,∀não∈NÃO⟨vnão∗,Para(x)⟩=⟨Para∗(vnão∗),x⟩{\ displaystyle \ forall x \ in E, \; \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ langle v_ {n} ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle a ^ {*} ( v_ {n} ^ {*}), x \ rangle}

Uma passagem para o limite mostra que:

∀x∈E⟨v∗,Para(x)⟩=⟨você∗,x⟩≤‖você∗‖.‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad \ langle v ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle u ^ {*}, x \ rangle \ leq \ | u ^ {*} \ |. \ | x \ |}

O último aumento mostra que v * é um elemento de D ( a *) e a última igualdade mostra que u * é a imagem de v * por a *. Consequentemente, o ponto ( v *, u *) é um elemento do gráfico de a *, o que comprova a proposição.

Ortogonalidade

Se a for fechado e tiver um domínio denso, as propriedades de ortogonalidade correspondentes à situação de Hilbert permanecem verdadeiras:

• O núcleo de a é igual ao ortogonal da imagem de a * e o núcleo de a * é igual ao ortogonal da imagem de a .

KerPara=(Eu estouPara∗)⊥eKerPara∗=(Eu estouPara)⊥{\ displaystyle {\ text {Ker}} \, a = ({\ text {Im}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} \ quad {\ text {e}} \ quad {\ text { Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {\ bot}}

A situação difere ligeiramente para a ortogonal dos núcleos.

• O ortogonal do núcleo de a contém a adesão da imagem do deputado de a e o ortogonal do núcleo do deputado de a é a adesão da imagem de a .

(KerPara)⊥⊃Eu estouPara∗¯e(KerPara∗)⊥=Eu estouPara¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}} \ quad {\ text {e} } \ quad ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {\ bot} = {\ overline {{\ text {Im}} \, a}}}

Se o espaço E for reflexivo, então a ortogonal do núcleo de a é igual à adesão da imagem de a *; caso contrário, a igualdade não é garantida.

Com as premissas de fechamento e densidade do domínio de um  :

• As quatro propriedades a seguir são equivalentes:

(1) A imagem de a está fechada. (2) A imagem do deputado foi fechada. (3) A imagem de a é a ortogonal do kernel adjunto. (4) A imagem do adjunto é a ortogonal do núcleo de a . Manifestações

• O núcleo de a é igual ao ortogonal da imagem de a * e o núcleo de a * é igual ao ortogonal da imagem de a  :

Notamos que, como a é contínuo, o domínio de a * é o dual do inteiro F , portanto:

x∈KerPara⇔∀y∗∈F∗⟨y∗,Para(x)⟩=0⇔∀y∗∈D(Para∗)⟨Para∗(y∗),x⟩=0{\ displaystyle x \ in {\ text {Ker}} \, a \ Leftrightarrow \ forall y ^ {*} \ in F ^ {*} \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall y ^ {*} \ in {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0}

O que demonstra a primeira igualdade.

Notamos que, como D ( a ) é denso em E , um vetor do dual de E é zero se e somente se for ortogonal a D ( a ), portanto:

y∗∈KerPara∗⇔∀x∈D(Para)⟨Para∗(y∗),x⟩=0⇔∀x∈D(Para)⟨y∗,Para(x)⟩=0{\ displaystyle y ^ {*} \ in {\ text {Ker}} \, a ^ {*} \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (a) \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0}

O que demonstra o segundo empate.

• O ortogonal do núcleo de a contém a adesão da imagem do deputado de a e o ortogonal do núcleo do deputado de a é a adesão da imagem de a  :

O estudo de formas bilineares contínuas mostra que o ortogonal de um ortogonal de um espaço vetorial contém a adesão do espaço inicial. O ortogonal do ortogonal da imagem do adjunto de a, portanto, contém a aderência da imagem do adjunto de a . A proposição anterior permite concluir pela seguinte inclusão:

(KerPara)⊥⊃Eu estouPara∗¯{\ displaystyle ({\ text {Ker}} \, a) ^ {\ bot} \ supset {\ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}}}

Notas e referências

Notas

1. Ver, por exemplo, S. Lang , Analyze Réelle , InterEditions, Paris, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 ) , p.  157 .
2. Jacques Dixmier , Les C * -algebras e suas representações , Gauthier-Villars, 1964, reed. J. Gabay, 1996 ( ISBN  978-2-87647-013-2 ) .
3. Ver, por exemplo , Brezis , p.  27
4. Esta é uma das versões do teorema de Hellinger-Toeplitz  (em)  : RE Edwards, "  The Hellinger-Toeplitz teorema  ," J. London Math. Soc. , S. 1, vol. 32, n o  4, 1957 , p.  499-501 .
5. Brezis , p.  27

Referências

• Walter Rudin , análise real e complexa: lições e exercícios , Dunod, 3 rd ed. 1998 ( ISBN  978-210004004-9 )
• Serge Lang , Algebra [ detalhe das edições ]
• Haïm Brezis , Análise funcional: teoria e aplicações ,1999 [detalhe das edições]
• (en) Joram Lindenstrauss e Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces Vol I , Springer, 1996 ( ISBN  978-354060628-4 )
• (en) Gert Pedersen, C * -algebras and their automorphism groups , Academic Press, London, New-York, 1979 ( ISBN  978-012549450-2 )

Apêndices

Links internos

• Transformação Aluthge

links externos

• O adjunto de um endomorfismo e suas propriedades por A. Morame da Universidade de Nantes 2006. Este curso trata do caso real em dimensão finita.
• Assistente de um endomorfismo de um espaço Hermitiano no site les-mathematiques.net, por C. Antonini & al. Este curso trata do caso complexo principalmente em dimensão finita.
• Assistente de um site de endomorfismo da empresa Cabrilog apoiado pelo CNRS e pela Universidade Joseph Fourier de Grenoble. Trata-se do caso euclidiano de dimensão dois.
• Análise funcional e teoria espectral B. Maurey University of PARIS VII. Corresponde a um curso de mestrado e trata do caso geral do Banach.
• Assistente de operador por J.Ch. Gilbert de Inria. Este texto trata apenas do caso do Banach.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">