Poder de um número

Em álgebra , a potência de um número é o resultado da multiplicação repetida desse número por ele mesmo. Freqüentemente, é observado combinando o número com um inteiro , digitado em sobrescrito , que indica o número de vezes que o número aparece como um fator nessa multiplicação.

a ^ {n} = \ underbrace {a \ times \ cdots \ times a} _ {{n \ {\ mathrm {fatores}}}}

Ele lê " à potência de n " ou " a um expoente n ". O inteiro n é chamado de expoente .

Em particular, o quadrado e o cubo são potências dos expoentes 2 e 3, respectivamente.

Qualquer número é igual à sua própria potência do expoente 1, enquanto qualquer potência do expoente zero é igual a 1 por convenção.

Para cada expoente, a potência, portanto, define uma operação , cuja notação tem prioridade sobre os outros símbolos de operações algébricas elementares. A operação binária associada é a exponenciação , que às vezes é observada usando o símbolo "^", especialmente em calculadoras. Também encontramos o símbolo ** em algumas linguagens de programação (por exemplo, Python ou Ada )

Quando um número tem inverso , é possível definir suas potências de expoente negativo como potências deste inverso. Sob certas condições, é até possível definir potências de expoentes racionais como 1/2, que corresponde à raiz quadrada de reais positivos. A função exponencial então torna possível estender esta definição para expoentes reais ou complexos .

As operações algébricas nas potências de um ou vários números têm propriedades particulares. Potências de dez, como 10-5 , são usadas regularmente em outras ciências , especialmente em física e química .

Potência com expoente inteiro positivo

Consideramos qualquer número $a$ e um número natural diferente de zero n . A enésima potência de $a$ , anotada $a n$ e lida " à potência de n ", ou " um expoente n " é o resultado da multiplicação deste número $a$ por si mesmo n - 1 vezes:

a ^ {n} = \ underbrace {a \ times \ cdots \ times a} _ {{n {\ text {fatores}} \ atop n-1 {\ text {sinais}} \ times}} = \ prod _ { {i = 1}} ^ {n} a

O número $n$ é chamado de expoente da potência $a n$ .

O número $n$ é um inteiro natural (portanto positivo) e $a n$ é uma potência com expoente inteiro positivo de $a$ .

Casos especiais

$a 1 = a$ ;
Chamamos $a 2$ o poder quadrado ou o quadrado de $um$ ;
Chamamos $a 3$ o poder cúbico ou o cubo de $um$ .

Notamos que, qualquer que seja o número natural diferente de zero n , 0 n = 0 e 1 n = 1 (esses números são idempotentes).

Potência de expoente zero

Para qualquer verdadeiro um , montamos um 0 = 1 de acordo com a produtos vazio convenção . Esta definição será consistente com operações algébricas em potências .

A convenção 0 0 = 1 é usada em uma estrutura abstrata maior, por exemplo, para identificar o polinômio X 0 com a função constante de valor 1. Da mesma forma, dentro da estrutura da teoria dos conjuntos , a notação 0 0 pode representar o número de elementos de o conjunto de mapeamentos do conjunto vazio em si mesmo e, portanto, igual a 1.

No entanto, a aplicação , bem definida em , não admite uma continuação por continuidade em (0, 0), o que proíbe a escolha de uma convenção aceitável em qualquer generalidade. No entanto, acordos são possíveis, limitados a áreas bem definidas. $(x, y) \ mapsto x ^ {y} = \ exp (y \ ln (x))$ $\ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ times \ mathbb {R}$

Potência com expoente inteiro negativo

Agora consideramos um número diferente de zero ae $um$ número natural $n$ . O número um -n , leia “ tem o poder de menos n ”, ou “ um expoente negativo n ” por abuso de linguagem, é o inverso do n -ésimo poder de $um$ , ou seja:

{\ textstyle a ^ {- n} = {\ dfrac {1} {a ^ {n}}}.}

O número $-n$ é o expoente da potência $a -n$ .

Como o número $-n$ é negativo, já que $n$ é um inteiro natural, $a -n$ é a potência de $a$ com expoente negativo . Observe, em particular, que $a -1 = 1 / a$ (o inverso do número $a$ ).

Podemos aplicar esta regra para transformar uma potência positiva no inverso de uma potência negativa:

{\ displaystyle a ^ {n} = {\ dfrac {1} {a ^ {- n}}}}

Sinal de expoente inteiro e sinal de número

Não há relação direta entre o sinal do número e o sinal do resultado. Isso depende da paridade do expoente.

Um número elevado a uma potência par dá um resultado positivo: se $n$ for par, então $(- a ) n = a n$ .

Um número elevado a uma potência ímpar dá um resultado do mesmo sinal: se $n$ for ímpar, então $(- a ) n = - a n$ .

Exemplos

(–2) 3 , potência cúbica de –2, é (–2) × (–2) × (–2) = –8 <0.
3 -4 , o inverso da quarta potência de 3, é

{\ displaystyle {\ dfrac {1} {3 ^ {4}}} = {\ dfrac {1} {3 \ times 3 \ times 3 \ times 3}} = {\ dfrac {1} {81}}> 0 }

. Observação.

Não confunda os scripts $(- a ) n$ , onde o poder se aplica $- um$ ( sinal de menos incluído) e $- um n$ , onde o poder se aplica a $uma$ única. De fato :

$(-a) ^ {n} = (- a) \ times (-a) \ times (-a) \ times \ dots \ times (-a)$
$-a ^ {n} = - a \ vezes a \ vezes a \ vezes \ pontos \ vezes a$

Operações algébricas em potências inteiras

Não existe uma fórmula geral para adicionar ou subtrair potências, exceto a fatoração de $a n - b n$ e a expansão de $( a + b ) n$ .

Por outro lado, para multiplicações e divisões de poderes, sabemos que para todos os números $um$ e $b$ e para todos os naturais números $m$ e $n$ :

$a ^ m \ vezes a ^ n = a ^ {m + n}$ ;
$\ dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {mn} \ text {si} a \ ne0$ ;
$(a ^ {m}) ^ {n} = a ^ {{m \ vezes {n}}}$ ;
$(a \ vezes {b}) ^ n = a ^ {n} \ vezes {b ^ n}$ ;
${\ displaystyle \ left ({\ dfrac {a} {b}} \ right) ^ {n} = {\ dfrac {a ^ {n}} {b ^ {n}}} {\ text {si}} b \ neq 0}$ .

Estas fórmulas são ainda válidos, se $m$ ou $n$ são números inteiros estritamente negativos, desde que $um$ e $b$ não são zero.

Observe que todas essas fórmulas são consistentes entre si e com a convenção “ $a 0 = 1$ para qualquer número real $a \neq 0$ ”. Por exemplo, para todos os $números$ naturais $n$ $\neq 0$ e para todos os $números$ reais $a \neq 0$ , $a ^ 0 = a ^ {nn} = \ dfrac {a ^ n} {a ^ n} = 1.$

Poderes de dez

Os poderes de 10 são casos especiais de poder. Seu interesse reside no fato de que nossa escrita é decimal .

Poderes de dez mesa

Potência de dez negativo ou zero	Prefixo	Potência de dez positivo ou zero	Prefixo
10 0 = 1	-	10 0 = 1	-
10 −1 = 0,1	d (deci-)	10 1 = 10	da (deca-)
10 -2 = 0,01	c (centi-)	10 2 = 100	h (hecto-)
10 –3 = 0,001	m (mili-)	10 3 = 1000	k (quilo-)
10 –4 = 0,0001		10 4 = 10.000	ma (miria-)
10 –5 = 0,00001	-	10 5 = 100.000	-
10 –6 = 0,000001	µ (micro-)	10 6 = 1.000.000	M (mega)
etc.	etc.	etc.	etc.

O número 10 elevado a uma potência de número inteiro positivo n é um número 1 seguido por n zeros.

O número 10 elevado a uma potência inteira negativo - n é um 1 colocado no n- posição th num número decimal, isto é, precedido de n zeros, contando o anterior à vírgula decimal.

Freqüentemente usamos múltiplos de potências de 3, que correspondem aos prefixos do Sistema Internacional de Unidades :

Tabela de potências de dez múltiplos de três

Potência de dez negativos	Prefixo SI	Poder dos dez positivos	Prefixo SI
10 –3 = 0,001 milésimo	m (mili-)	10 3 = 1.000 mil	k (quilo-)
10 –6 = 0,000001 um milionésimo	µ (micro-)	10 6 = 1.000.000 um milhão	M (mega)
10 –9 = 0,000000001 um bilionésimo	n (nano-)	10 9 = 1.000.000.000 um bilhão	G (giga-)
10 -12 = ,000000000001 um milésimo de um bilionésimo	p (pico-)	10 12 = 1.000.000.000.000 trilhões	T (tera-)
etc.	etc.	etc.	etc.

Se a vírgula indica a posição das unidades na escrita de um número decimal , multiplicar por 10 é equivalente a mover o decimal uma linha para a direita e dividir por 10 é equivalente a mover o decimal uma linha para a esquerda. Portanto, multiplicar por 10 n para qualquer número inteiro positivo n equivale a mover o ponto decimal n linhas para a direita; dividir por 10 n para qualquer número inteiro positivo n é o mesmo que mover o ponto decimal n linhas para a esquerda. Então,

325,72 × 10 = 3.257,2
325,72 / 10 = 32,572
325,72 × 10 5 = 32.572.000
325,72 / 10 5 = 0,0032572

As propriedades declaradas nas potências de a permanecem válidas para as potências de 10.

O uso de potências de 10 ocorre:

na escrita explícita na base 10:

325,72 = 3 · 10 2 + 2 · 10 1 + 5 · 10 0 + 7 · 10 −1 + 2 · 10 -2 ;

na redação científica de decimais:

325,72 é observado em 3,2572 × 10 2 onde o número é escrito como o produto de um número, denominado mantissa , entre 1 e 10 (estritamente menor que 10), com uma potência inteira de 10 denominada expoente ;

e na notação de engenharia:

325,72 é observado 325,72 32.572 é observado como 32.572 × 10 3 onde o número é escrito como o produto de um número entre 1 e 999 inclusive, com uma potência de 10 cujo expoente é um múltiplo de 3.

Generalização para potências com expoente real

Nós também pode levantar uma estritamente positivo número $um$ a um poder com qualquer expoente real.

Para isso, podemos definir sucessivamente:

primeiras potências fracionárias simples: $a 1 / n$ = $n \sqrt a$ , onde $n$ é um inteiro, que coincide com as $n-$ ésimas raízes para todo $a > 0$ . Visualize a raiz quadrada , a raiz cúbica e o número da raiz ;
então as potências fracionárias compostas: $a p / q = ( a 1 / q ) p = ( a p ) 1 / q$ ;
e finalmente, por continuidade, potências com qualquer expoente real: $a x$ pode então ser definido para todo real $x$ e todo $a$ $> 0$ .

Para um dado número $a > 0$ , a função assim obtida é chamada de função exponencial de base a . Pode ser expresso usando apenas o logaritmo natural e funções exponenciais : $x \ mapsto a ^ {x}$

a ^ {x} = \ exp (x \ ln (a))

Esses poderes fracionários e reais seguem as mesmas regras dos poderes inteiros. Em particular, para todos $a > 0$ , $b$ e $c$ arbitrário números reais:

$a ^ {b} \ vezes a ^ {c} = a ^ {{b + c}} ~;$
$(a ^ {b}) ^ {c} = a ^ {{b \ vezes c}}.$

Temos em particular:

${\ displaystyle a ^ {- 1 / b} = {\ dfrac {1} {\ sqrt [{b}] {a}}}}$ para qualquer número inteiro diferente de zero $b$ ;
${\ sqrt [{c}] {a ^ {b}}} = a ^ {{b / c}}$ se $c$ for um inteiro diferente de zero;
${\ displaystyle (a ^ {b}) ^ {1 / b} = (a ^ {1 / b}) ^ {b} = {\ sqrt [{b}] {a ^ {b}}} = \ left ({\ sqrt [{b}] {a}} \ right) ^ {b} = a ^ {b / b} = a}$ se $b$ for um inteiro diferente de zero.

Exemplo

De qualquer encontrar a área $S$ de um cubo de volume de $V$ . Ao selecionar $um$ comprimento de uma aresta, temos: . ${\ displaystyle \ left (S = 6a ^ {2} \ quad {\ text {et}} \ quad V = a ^ {3} \ right) \ Rightarrow S = 6V ^ {2/3}}$

Notas e referências

Jean Jacquelin , " Zero power zero ", Quadrature , vol. 66,outubro de 2007, p. 34-36 ( ler online ).
TILF

Veja também