Teoria espectral
Em matemática , e mais particularmente em análise , uma teoria espectral é uma teoria que estende a operadores definidos em espaços funcionais gerais a teoria elementar de autovalores e autovetores de matrizes . Embora essas ideias tenham origem no desenvolvimento da álgebra linear , elas também estão relacionadas ao estudo das funções analíticas , pois as propriedades espectrais de um operador estão relacionadas às das funções analíticas sobre os valores de seu espectro.
Contexto matemático
O nome teoria espectral foi introduzido por David Hilbert em sua formulação inicial da teoria dos espaços de Hilbert , declarada em termos de formas quadráticas com infinidade de variáveis. O teorema espectral inicial foi, portanto, concebido como uma generalização do teorema que define os eixos principais de um elipsóide , no caso de um espaço de dimensão infinita. A aplicabilidade, em mecânica quântica , da teoria espectral à explicação de aspectos dos espectros de emissão de átomos , foi, portanto, acidental.
A teoria espectral foi formulada de três maneiras diferentes, ainda em uso hoje. Após o trabalho inicial de Hilbert, desenvolvimentos subsequentes na teoria dos espaços de Hilbert e na teoria espectral de um único endomorfismo normal acompanharam o desenvolvimento da física quântica , particularmente no trabalho de von Neumann . A teoria foi desenvolvida para incluir a das álgebras de Banach , e construções mais abstratas, levando à representação de Gelfand (in) , cobrindo o caso comutativo, e para abordar a análise harmônica não comutativa .
A diferença entre essas abordagens pode ser melhor vista no caso da análise de Fourier. A transformação de Fourier na linha real pode ser vista como a teoria espectral de derivação, considerada um operador diferencial . Mas para poder estudar esse operador dessa maneira, é necessário considerar o interesse em distribuições de eigen (por exemplo, por meio de um tripleto de Gelfand (en) ). Em contrapartida, é simples construir uma álgebra de grupo (en) (topológica), o espectro irá capturar a maioria das propriedades da transformada de Fourier, isso sendo realizado por meio da dualidade de Pontryagin .
Também é possível estudar as propriedades espectrais de operadores em espaços de Banach . Em particular, os operadores compactos nesses espaços têm propriedades espectrais semelhantes às das matrizes .
Contexto físico
A utilidade da teoria espectral na física, e especialmente para fenômenos vibratórios, foi explicada da seguinte forma:
“A teoria espectral está relacionada ao estudo das vibrações locais de vários objetos, que vão desde átomos e moléculas a obstáculos no caminho das ondas sonoras. A questão principal é determinar se essas vibrações ocorrem e em que frequências. Este é um problema muito difícil, pois cada objeto não possui apenas uma frequência fundamental, mas também um conjunto complexo de harmônicos, dependendo da natureza do objeto ” .
A teoria matemática não depende dessas considerações físicas do ponto de vista técnico, mas ambas as abordagens influenciaram uma à outra (veja por exemplo a questão de Mark Kac : Ouça a forma de um tambor (in) ). Jean Dieudonné afirma que a adoção do termo espectro por Hilbert vem de um artigo de Wilhelm Wirtinger sobre a equação de Hill (1897), e que seus alunos, em particular Erhard Schmidt e Hermann Weyl , adotaram a palavra durante os primeiros anos do século XX. As bases teóricas do conceito de espaço de Hilbert foram então desenvolvidas, a partir das ideias de Hilbert, de Erhard Schmidt e Frigyes Riesz . Quase vinte anos depois, quando a mecânica quântica foi formulada a partir da equação de Schrödinger , a ligação foi feita com as linhas espectrais ; essa relação com a física matemática das vibrações já havia sido considerada, como Henri Poincaré havia apontado , mas fora rejeitada por razões quantitativas e por falta de explicação da série Balmer . Além disso, a descoberta posterior de que a teoria espectral poderia explicar as características dos espectros atômicos foi fortuita, e não um dos objetivos da teoria de Hilbert.
Uma definição do espectro
Seja T um operador limitado definido em um espaço de Banach . Definimos o operador onde I é o operador de identidade , ζ um número complexo, e onde o inverso de um operador U , denotado U −1 , é o operador único (se existir) tal que (se l 'inverso existe, dizemos que U é regular e, caso contrário , é singular ).
Rζ=(ζ eu-T)-1 ,{\ displaystyle R _ {\ zeta} = \ left (\ zeta \ IT \ right) ^ {- 1} \,}você∘você-1=você-1∘você=eu{\ displaystyle U \ circ U ^ {- 1} = U ^ {- 1} \ circ U = I}
Com essas definições, o conjunto de resolução de T é o conjunto de números complexos ζ tais que R ζ existe e é limitado; este conjunto é freqüentemente denotado ρ (T) . O espectro de T , geralmente denotado por σ (T) , é o complemento do conjunto de resolução, ou seja, o conjunto de ζ tal que é singular, ou que R ζ é ilimitado. A função R ζ (por ζ de ρ (t) ) é chamado o resolvente de T . Cada autovalor de T (ou seja, cada ζ tal que existe um vetor diferente de zero v tal que T (v) = ζv ) pertence a σ (T) , mas o espectro de T pode conter d 'outros valores.
ζ eu-T{\ displaystyle \ zeta \ IT}
Esta definição pode ser generalizada para todos os espaços vetoriais topológicos (definindo a condição " T é um operador limitado" por " T envia qualquer parte limitada (no sentido de espaços vetoriais topológicos gerais) para outra parte limitada"), mas c 'It é sobretudo, pelo contrário, no caso particular dos espaços de Hilbert que a teoria é a mais rica e que as suas aplicações são as mais numerosas. A estrutura do espectro de operadores dos espaços de Hilbert, em particular, é bem compreendida; assim, no caso dos operadores auto-adjacentes , o espectro está contido na linha real e se divide (em) em geral em um espectro discreto formado pelos autovalores e em um espectro contínuo (em) .
Origem do sucesso das teorias espectrais
Na análise funcional , como já na álgebra linear , o teorema espectral fornece condições que permitem que um operador seja expresso como uma soma de operadores mais simples. A apresentação a seguir é informal; para uma abordagem mais rigorosa, consulte o artigo Operador compacto .
Usamos a notação bra-ket de Dirac para os operadores. Por exemplo, um determinado operador linear L pode, no caso mais simples, ser escrito como um produto tensorial (de dois vetores):
o ser "bra" e o "ket" . Uma função é descrita por um tipo de cet . O valor que assume nas coordenadas é então anotado e a norma do par
eu=|k1⟩⟨b1|,{\ displaystyle L = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} |,}⟨b1|{\ displaystyle \ langle b_ {1} |}|k1⟩{\ displaystyle | k_ {1} \ rangle}f{\ displaystyle f}|f⟩{\ displaystyle | f \ rangle}f(x){\ displaystyle f (x)}(x1,x2,x3,...){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots)}f(x)=⟨x,f⟩{\ displaystyle f (x) = \ langle x, f \ rangle}f{\ displaystyle f}
||f||2=⟨f,f⟩=∫⟨f,x⟩⟨x,f⟩dx=∫f∗(x)f(x)dx{\ displaystyle || f || ^ {2} = \ langle f, f \ rangle = \ int \ langle f, x \ rangle \ langle x, f \ rangle \, dx = \ int f ^ {*} (x ) f (x) \, dx}onde '*' denota a conjugação (complexa). Esta escolha de produto escalar define um espaço prehilbertiano muito preciso, para o qual podemos então descrever o efeito de em uma função por:
eu{\ displaystyle L}f{\ displaystyle f}
eu|f⟩=|k1⟩⟨b1|f⟩{\ displaystyle L | f \ rangle = | k_ {1} \ rangle \ langle b_ {1} | f \ rangle},
em outras palavras, opere produzindo uma nova função, multiplicada pelo produto escalar representado por .
eu{\ displaystyle L}f{\ displaystyle f}|k1⟩{\ displaystyle | k_ {1} \ rangle}⟨b1|f⟩{\ displaystyle \ langle b_ {1} | f \ rangle}
De forma mais geral, um operador pode ser representado por:
eu{\ displaystyle L}
eu=λ1|e1⟩⟨f1|+λ2|e2⟩⟨f2|+λ3|e3⟩⟨f3|+...,{\ displaystyle L = \ lambda _ {1} | e_ {1} \ rangle \ langle f_ {1} | + \ lambda _ {2} | e_ {2} \ rangle \ langle f_ {2} | + \ lambda _ {3} | e_ {3} \ rangle \ langle f_ {3} | + \ pontos,}onde o são escalares, a forma de uma base , e uma base dupla . A relação entre a base e a base dupla é descrita por :,
onde está o símbolo Kronecker .
{λeu}{\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}{|eeu⟩}{\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}{⟨feu|}{\ displaystyle \ {\, \ langle f_ {i} | \, \}}⟨feu|ej⟩=δeuj{\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}δeuj{\ displaystyle \ delta _ {ij}}
Com este formalismo, os são os autovalores de e as funções são os autovetores (ou melhor, as autofunções) que lhes correspondem. Os autovalores fazem parte do espectro de .
{λeu}{\ displaystyle \ {\, \ lambda _ {i} \, \}}eu{\ displaystyle L}{|eeu⟩}{\ displaystyle \ {\, | e_ {i} \ rangle \, \}}eu{\ displaystyle L}
As questões que então surgem são as seguintes.
- Sob quais condições gerais esse formalismo se aplica, e quais são os operadores que podem ser desenvolvidos em série?eu{\ displaystyle L}
- Qualquer função pode ser expressa em termos de autofunções (em outras palavras, as autofunções formam uma base )f{\ displaystyle f}
- Em quais casos um espectro discreto aparece em vez de um espectro contínuo?
- Ainda podemos generalizar essas ideias para outras classes de espaços funcionais?
As respostas a essas perguntas constituem a teoria espectral adequada; eles requerem desenvolvimentos consideráveis na análise funcional .
Representação de identidade
Esta seção apresenta uma abordagem tão solta quanto a anterior, ainda usando a notação bra-ket; os detalhes necessários para uma formalização completa podem ser encontrados nos trabalhos referenciados.
Com as notações anteriores, o operador de identidade pode ser escrito:
onde também supomos que o { } forma uma base e que o { } é a base dual verificando a relação:eu=∑eu=1não|eeu⟩⟨feu|{\ displaystyle I = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |}|eeu⟩{\ displaystyle | e_ {i} \ rangle}⟨feu|{\ displaystyle \ langle f_ {i} |}⟨feu|ej⟩=δeuj.{\ displaystyle \ langle f_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}
Diz-se que esta escrita é uma representação ou resolução de identidade. Formalmente, essa representação verifica todas as propriedades da identidade; em particular para qualquer número inteiro positivo n . Aplicando-o a qualquer função , obtemos:
eunão=eu{\ displaystyle I ^ {n} = I \,}|ψ⟩{\ displaystyle | \ psi \ rangle}
eu|ψ⟩=|ψ⟩=∑eu=1não|eeu⟩⟨feu|ψ⟩=∑eu=1não vseu|eeu⟩{\ displaystyle I | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ c_ {i} | e_ {i} \ rangle},
que generaliza a expansão da série de Fourier de ψ usando as funções da base {e i }.
Dada, de forma mais geral, uma equação da forma :, onde h é uma função do espaço e O um operador desconhecido, é formalmente resolvido na base anterior:
O|ψ⟩=|h⟩{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = | h \ rangle}
O|ψ⟩=∑eu=1nãovseu(O|eeu⟩)=∑eu=1não|eeu⟩⟨feu|h⟩,{\ displaystyle O | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ left (O | e_ {i} \ rangle \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle,}
⟨fj|O|ψ⟩=∑eu=1nãovseu⟨fj|O|eeu⟩=∑eu=1não⟨fj|eeu⟩⟨feu|h⟩=⟨fj|h⟩,∀j{\ displaystyle \ langle f_ {j} | O | \ psi \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle = \ soma _ {i = 1} ^ {n} \ langle f_ {j} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | h \ rangle = \ langle f_ {j} | h \ rangle, \ quad \ forall j}
que transforma esta equação operador desconhecido por uma equação da matriz, onde os coeficientes desconhecidos c j depender de coeficientes de Fourier generalizadas de H e os elementos da matriz (infinitas) = ligadas ao operador ó .
⟨fj|h⟩{\ displaystyle \ langle f_ {j} | h \ rangle}Ojeu{\ displaystyle O_ {ji}}⟨fj|O|eeu⟩{\ displaystyle \ langle f_ {j} | O | e_ {i} \ rangle}
A teoria espectral intervém para determinar a existência e a natureza da base e da base dual utilizada. Em particular, a base pode ser formada das funções próprias de um determinado operador G :
onde { λ i } são os valores próprios de L . Resolver a equação anterior, então, dá os componentes tensores de L :
eu|eeu⟩=λeu|eeu⟩;{\ displaystyle L | e_ {i} \ rangle = \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \,;}
eueu=eu=∑eu=1nãoeu|eeu⟩⟨feu|=∑eu=1nãoλeu|eeu⟩⟨feu|.{\ displaystyle LI = L = \ sum _ {i = 1} ^ {n} L | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} | = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i} |.}
Operador de resolução
A teoria espectral permite avaliar o operador de resolução R definido pelo uso das autofunções e dos autovalores de L , e obter a função de Green correspondente.
R=(λeu-eu)-1,{\ displaystyle R = (\ lambda IL) ^ {- 1}, \,}
Aplicando R a uma função arbitrária φ do espaço estudado, temos
R |φ⟩=(λeu-eu)-1 |φ⟩=Σeu=1não1λ-λeu|eeu⟩⟨feu,φ⟩.{\ displaystyle R \ | \ varphi \ rangle = (\ lambda IL) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} | e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle.}Esta função tem pólos no plano complexo variável λ para cada valor próprio de L . Usando o cálculo dos resíduos , obtemos
12πeu ∮VS dλ(λ-eu)-1 |φ⟩=-Σeu=1não |eeu⟩ ⟨feu,φ⟩=-|φ⟩,{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ anoint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -L) ^ {- 1} \ | \ varphi \ rangle = - \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ | e_ {i} \ rangle \ \ langle f_ {i}, \ varphi \ rangle = - | \ varphi \ rangle,}onde o integral é tomada ao longo de um contorno C circundante todos os valores próprios de L .
Suponha que as funções definidas nas coordenadas { x j }, ou seja, onde as chaves correspondentes a { x j } satisfazem δ (x - y) = δ (x 1 - y 1 , x 2 - y 2 , x 3 - y 3 , ...) sendo a distribuição Dirac .
⟨x, φ⟩=φ(x1, x2,... ),{\ displaystyle \ langle x, \ \ varphi \ rangle = \ varphi (x_ {1}, \ x_ {2}, ... \),}⟨x, y⟩=δ(x-y),{\ displaystyle \ langle x, \ y \ rangle = \ delta (xy),}
Então :
⟨x, 12πeu ∮VS dλ(λ-eu)-1φ⟩=12πeu ∮VS dλ ⟨x, (λ-eu)-1 φ⟩=12πeu ∮VS dλ∫ dy ⟨x, (λ-eu)-1 y⟩ ⟨y, φ⟩{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left \ langle x, \ {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ anoint _ {C} \ d \ lambda (\ lambda -L) ^ {- 1 } \ varphi \ right \ rangle & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ \ langle x, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} \ \ varphi \ rangle \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ oint _ {C} \ d \ lambda \ int \ dy \ \ \ langle x, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} \ y \ rangle \ \ langle y, \ \ varphi \ rangle \ end {alinhado}}}A função G (x, y; λ) definida por:
G(x, y; λ)=⟨x, (λ-eu)-1 y⟩=Σeu=1nãoΣj=1não⟨x, eeu⟩⟨feu, (λ-eu)-1ej⟩⟨fj, y⟩=Σeu=1não⟨x, eeu⟩⟨feu, y⟩λ-λeu=Σeu=1nãoeeu(x)feu∗(y)λ-λeu,{\ displaystyle {\ begin {alinhados} G (x, \ y; \ \ lambda) & = \ langle x, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ { i = 1} ^ {n} \ Sigma _ {j = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ (\ lambda -L) ^ {- 1} e_ {j} \ rangle \ langle f_ {j}, \ y \ rangle \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \\ & = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (y)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}}, \ end {alinhado}}}é chamada de função de Green do operador L e verifica:
12πeu ∮VS dλ G(x, y; λ)=-Σeu=1não⟨x, eeu⟩⟨feu, y⟩=-⟨x, y⟩=-δ(x-y).{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ \ anoint _ {C} \ d \ lambda \ G (x, \ y; \ \ lambda) = - \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} \ langle x, \ e_ {i} \ rangle \ langle f_ {i}, \ y \ rangle = - \ langle x, \ y \ rangle = - \ delta (xy).}
Equações para operadores
Considere a equação em termos de coordenadas :; um caso especial importante sendo λ = 0.
(O-λeu) |ψ⟩=|h⟩;{\ displaystyle (O- \ lambda I) \ | \ psi \ rangle = | h \ rangle;}∫ dy ⟨x, (O-λeu) y⟩⟨y, ψ⟩=h(x){\ displaystyle \ int \ dy \ \ langle x, \ (O- \ lambda I) \ y \ rangle \ langle y, \ \ psi \ rangle = h (x)}
A função de Green definida na seção anterior é:
⟨y, G(λ)z⟩=⟨y, (O-λeu)-1z⟩=G(y, z; λ) ,{\ displaystyle \ langle y, \ G (\ lambda) z \ rangle = \ langle y, \ (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ rangle = G (y, \ z; \ \ lambda) \ ,}e verificar
∫ dy ⟨x,( O-λeu) y⟩⟨y, G(λ)z⟩{\ displaystyle \ int \ dy \ \ langle x, (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ langle y, \ G (\ lambda) z \ rangle} =∫ dy ⟨x,( O-λeu) y⟩⟨y, (O-λeu)-1z⟩{\ displaystyle = \ int \ dy \ \ langle x, (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ langle y, \ (O- \ lambda I) ^ {- 1} z \ rangle} =⟨x, z⟩=δ(x-z) .{\ displaystyle = \ langle x, \ z \ rangle = \ delta (xz) \.}
Usando esta propriedade, temos: ∫ dy ⟨x,( O-λeu) y⟩G(y, z; λ)=δ(x-z) .{\ displaystyle \ int \ dy \ \ langle x, (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle G (y, \ z; \ \ lambda) = \ delta (xz) \.}
Em seguida, multiplicando ambos os lados da equação por h (z) e integrando, obtém-se:
∫ dz h(z) ∫ dy ⟨x, ( O-λeu) y⟩ G(y, z; λ){\ displaystyle \ int \ dz \ h (z) \ \ int \ dy \ \ langle x, \ (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ G (y, \ z; \ \ lambda)} =∫ dy ⟨x, ( O-λeu) y⟩∫ dz h(z) G(y, z; λ)=h(x) ,{\ displaystyle = \ int \ dy \ \ langle x, \ (\ O- \ lambda I) \ y \ rangle \ int \ dz \ h (z) \ G (y, \ z; \ \ lambda) = h ( x) \,}
indicando que a solução seria ψ(x)=∫ dz h(z) G(x, z; λ).{\ displaystyle \ psi (x) = \ int \ dz \ h (z) \ G (x, \ z; \ \ lambda).}
Assim, uma função ψ (x) que satisfaça a equação inicial será obtida se pudermos determinar o espectro de O e construir G , usando por exemplo ; há, naturalmente, muitas outras maneiras de determinar G . Para obter mais detalhes, consulte os artigos sobre as funções de Green e as equações integrais de Fredholm ; não se deve esquecer, por outro lado, que a análise anterior é puramente formal, e que um tratamento rigoroso dessas equações implica uma sofisticação matemática bastante grande, exigindo, em particular, um conhecimento profundo em análise funcional e na teoria dos espaços de Hilbert e distribuições .
G(x, z; λ)=Σeu=1nãoeeu(x)feu∗(z)λ-λeu .{\ displaystyle G (x, \ z; \ \ lambda) = \ Sigma _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (z)} {\ lambda - \ lambda _ {i}}} \.}
Notas e referências
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
“ Teoria espectral ” ( veja a lista de autores ) .
Notas
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-
Em inglês: "A teoria espectral está ligada à investigação de vibrações localizadas de uma variedade de objetos diferentes, desde átomos e moléculas na química até obstáculos em guias de ondas acústicas. Essas vibrações têm frequências, e a questão é decidir quando essas vibrações localizadas ocorrem , e como proceder para calcular as frequências. Este é um problema muito complicado, pois cada objeto não tem apenas um tom fundamental, mas também uma série complicada de sobretons, que variam radicalmente de um corpo para outro. "
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- (pt) "Spectral theory of linear operator" , em Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leia online )
- (pt) Shmuel Kantorovitz , Spectral Theory of Banach Space Operators , Springer,1983
- (pt) Gerald Teschl , Mathematical Methods in Quantum Mechanics: With Applications to Schrödinger Operators , Providence, RI, AMS,2009, 305 p. ( ISBN 978-0-8218-4660-5 , leia online )
Veja também
Artigos relacionados
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