Equações de Friedmann

As equações de Friedmann-Lemaître correspondem às equações da relatividade geral (chamadas de equações de Einstein ) escritas no contexto de um modelo cosmológico homogêneo e isotrópico , sendo este último representado por uma métrica de Robertson-Walker . Eles, portanto, governam a evolução da taxa de expansão do universo e como resultado da distância entre duas estrelas distantes (o fator de escala ) e em função do tempo chamado neste contexto de tempo cósmico . A evolução dessas quantidades é determinada pelas propriedades do conteúdo material do universo ( radiação , átomos , matéria escura , constante cosmológica , etc.), bem como possivelmente pela teoria da gravitação considerada: é de fato possível substituir o geral relatividade por outra teoria relativística da gravitação . Pode ser, por exemplo, uma teoria escalar tensorial . Outra maneira de mudar o modelo é considerar a relatividade geral padrão, mas em um universo com uma ou mais dimensões adicionais . Este é o caso dos modelos de cosmologia de branar .

As equações de Friedmann-Lemaître são a base de quase todos os modelos cosmológicos, incluindo o Big Bang .

História

O homônimo das equações de Friedmann-Lemaitre é o físico russo Alexander Friedmann (1888-1925) e o físico belga Georges Lemaître (1884-1966) Friedmann é o primeiro dos dois a propô-los: o primeiro em um artigo publicado em1922e relativos ao caso de espaços com curvatura espacial positiva; então em um artigo publicado em1924e mais geral, incluindo o caso de curvatura espacial negativa. Pouco depois de Friedmann e independentemente dele, Lemaître encontrou essas equações que publicou em1927e interpreta inequivocamente o fenômeno de expansão que eles implicam e prevendo ou explicando a lei de Hubble antes de ela ser descoberta em 1929. Anteriormente, em1917, Albert Einstein os escreveu no caso particular de um universo estático , e Willem de Sitter no caso de um campo de universo vazio, mas com uma constante cosmológica . A métrica do espaço-tempo e sua forma geral são encontradas e apresentadas de forma unificada por Howard P. Robertson em1929, então de forma independente por Arthur G. Walker em1936. Por todas essas razões, o tipo de modelo cosmológico descrito por essas equações é chamado de universo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (abreviado como FLRW).

Embora Friedmann e Lemaître sejam considerados co-descobridores de equações, o nome de Lemaître costuma ser omitido. Em particular, por um lado, a expressão “equação de Friedmann” (no singular) é utilizada para designar uma das duas equações, a saber :; e, por outro lado, a expressão "equações de Friedmann" (plural) é usada para denotar ambas as equações no caso . A ordem dos nomes raramente é invertida e a de Friedmann é mais raramente omitida do que a de Lemaître. ${\ displaystyle H ^ {2} = \ left ({\ dot {a}} / a \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Lambda = 0}$

As duas equações de Friedmann-Lemaître

As equações de Friedmann-Lemaître são um conjunto de duas equações que expressam a evolução do fator de escala cosmológica em função do tempo cosmológico e descrevem a expansão do Universo . O primeiro relaciona a taxa de expansão ou parâmetro de Hubble H = \ dot {a} / a , a curvatura espacial K = k / ae o fator de escala à densidade de energia ρ (igual à densidade de massa μ vezes c 2 ); a segunda relaciona a pressão P à derivada temporal da taxa de expansão. A variável de tempo usada é o tempo cósmico , que corresponde essencialmente ao tempo medido na Terra . No contexto da relatividade geral, essas duas equações são escritas: $no)$ $t$ $no$

{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {2}}} \ rho}

{\ displaystyle -2 {\ frac {\ dot {H}} {c ^ {2}}} - 3 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {K} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} P}

onde L é constante de Newton e c é a velocidade da luz (a quantidade π 8 L / C 4 é, por vezes, chamado constante de Einstein ). Essas duas equações não são independentes: a segunda é obtida tomando a derivada de tempo da primeira e usando o princípio das equações de conservação aplicadas à conservação de energia , relacionando a derivada da densidade de energia à pressão. Quando consideramos uma extensão da relatividade geral ou alguma outra teoria, essas equações são modificadas. Por este motivo, a expressão “equação de Friedmann” é por vezes utilizada no singular, caso em que a única equação considerada é a primeira.

Pode acontecer (por exemplo, em modelos com dimensões adicionais) que eles não sejam mais consequências um do outro. Nos outros casos, é possível combinar as duas equações para modificar a segunda, seja para revelar apenas uma certa combinação da pressão e da densidade de energia do lado direito, seja para fazer aparecer como a segunda derivada do fator de escala no lado esquerdo (ver parágrafo abaixo). Também é possível realizar uma mudança variável para usar o tempo conforme em vez do tempo cósmico. A solução dessas equações é realizada uma vez conhecida a dependência da densidade de energia e da pressão com o tempo ou com o fator de escala. Algumas soluções exatas são conhecidas.

No âmbito do modelo padrão de cosmologia (modelo do Big Bang), a forma geral do fator de escala a ( t ) em função da curvatura espacial K e da constante cosmológica Λ é conhecida.

Algumas soluções específicas

Quando o lado direito tem apenas uma espécie e na ausência de curvatura espacial, as equações de Friedmann podem ser resolvidas sem dificuldade. Na presença de vários tipos de matéria e / ou curvatura, às vezes podem ser encontradas soluções analíticas exatas. Nos demais casos, a resolução numérica das equações é feita sem dificuldade.

Universo de poeira

Quando o Universo está cheio de matéria não relativística (ou seja, cuja pressão é desprezível, daí o termo "poeira"), a densidade de energia diminui apenas devido à diluição devido à expansão. Também falamos da era da matéria . Para um universo de densidade crítica, chamado de universo de Einstein-de Sitter, o fator de escala então evolui de acordo com a lei

{\ displaystyle a (t) = a_ {0} \ left ({\ frac {t} {t_ {0}}} \ right) ^ {\ frac {2} {3}}}

as quantidades de 0 e t 0 correspondente ao factor de escala e para o tempo avaliada em um determinado período de referência. Além disso, a idade do universo nesta época, t 0, é deduzida da taxa de expansão na mesma época por . ${\ displaystyle t_ {0} = {\ frac {2} {3}} {\ frac {1} {H_ {0}}}}$

Demonstração

Devido à natureza da matéria, a densidade de energia ρ m evolui de acordo com a lei

{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {m}} = \ rho _ {\ rm {m}} ^ {0} \ left ({\ frac {a_ {0}} {a}} \ right) ^ {3 }}

o índice 0 refere-se às quantidades correspondentes avaliadas em uma determinada época de referência. Temos, portanto, na ausência de curvatura

{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d} } t}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ rm {m}} ^ {0} \ left ({\ frac { a_ {0}} {a}} \ right) ^ {3}}

Podemos avaliar esta equação em um determinado momento, o que dá

{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} H_ {0} ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ rm { m}} ^ {0}}

Se denotarmos por x o "fator de escala reduzido", normalizado para 1 na época de referência, a combinação dessas duas equações pode ser escrita

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {x ^ {3}}}}

Resolver esta equação dá imediatamente

{\ displaystyle x (t) = \ left ({\ frac {3} {2}} H_ {0} t \ right) ^ {\ frac {2} {3}}}

Tal solução é chamada, por razões históricas, de universo de Einstein-de Sitter , embora estes não sejam os primeiros a exibi-la.

Nesse modelo, o universo é, portanto, mais jovem do que na época de Hubble . As primeiras determinações do Hubble (cerca de 520 quilômetros por segundo e por megaparsec ) estavam erradas devido à calibração deficiente das Cefeidas (existem dois tipos!) O que levou a uma idade do universo em torno de 2 bilhões de anos (!) Muito mais jovem do que a espécie já vivendo na Terra. Uma vez que esta idade é significativamente menor do que a idade estimada de muitos objetos astrofísicos (certas estrelas , anãs brancas e a Via Láctea como um todo), considera-se que tal universo de poeira não pode corresponder ao universo observável, que é um dos as indicações, entre outras, da existência de energia escura (ver abaixo).

É útil consultar os artigos recentes que resumem a evolução da constante de Hubble, levando em consideração várias gerações de experimentos. Atualmente, de acordo com os resultados do WMAP (2003), o valor medido da constante de Hubble é dado 70,1 \ pm 1,3 quilômetros por segundo por megaparsec , correspondendo a uma idade de 13,7 \ pm 1% bilhão de anos. Deve-se notar também que a dependência do fator de escala com o tempo é tal que sua segunda derivada é negativa, o que corresponde a uma fase de expansão desacelerada, compatível com a intuição de que a natureza atrativa da gravidade tende a retardar o movimento de expansão. As observações, principalmente de supernovas do Tipo Ia, sugerem que a expansão atual está acelerada, o que é outra indicação da necessidade da presença de energia escura . Por outro lado, é certo que o universo conheceu no passado uma fase em que sua expansão foi dominada por matéria não relativística, pois é o único momento em que pode ocorrer o mecanismo de instabilidade gravitacional .

Universo de radiação

Quando o Universo está cheio de matéria relativística ou radiação ( era radiativa ), a densidade de energia ρ r diminui mais rápido do que antes porque, além da diluição devido à expansão, a energia das partículas individuais diminui com a expansão (nada mais é do que o redshift efeito ). À medida que a densidade diminui mais rapidamente, a taxa de expansão também diminui mais rapidamente e a expansão desacelera mais rapidamente do que no caso de um universo de poeira. O fator de escala muda de acordo com a lei

{\ displaystyle a = a_ {0} \ left ({\ frac {t} {t_ {0}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

A idade do universo em tal modelo é então escrita

{\ displaystyle t_ {0} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {H_ {0}}}}

. Demonstração

Devido à natureza da matéria, a densidade de energia ρ r agora evolui de acordo com a lei

{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {r}} = \ rho _ {\ rm {r}} ^ {0} \ left ({\ frac {a_ {0}} {a}} \ right) ^ {4 }}

o índice 0 novamente se referindo às quantidades correspondentes avaliadas em uma determinada época de referência. Temos, portanto, na ausência de curvatura

{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d} } t}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ rm {r}} ^ {0} \ left ({\ frac { a_ {0}} {a}} \ right) ^ {4}}

Podemos avaliar esta equação em um determinado momento, o que dá

{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} H_ {0} ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ rm { r}} ^ {0}}

Se denotarmos por x o "fator de escala reduzido", normalizado para 1 na época de referência, a combinação dessas duas equações pode ser escrita

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {x ^ {4}}}}

Resolver esta equação dá imediatamente

{\ displaystyle x (t) = \ left (2H_ {0} t \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

Como no caso do universo de poeira, a expansão é desacelerada e a idade dada por este modelo não pode corresponder às observações. Por outro lado, esse modelo corresponde bem a tempos remotos da história do universo, quando quase toda a matéria estava na forma relativística. Em particular, a época da nucleossíntese ocorreu quando a densidade de energia era principalmente devido à matéria relativística, uma hipótese que é testada diretamente pela medição da abundância de elementos leves . Outra indicação de que o universo passou por um período dominado pela radiação é a existência do fundo difuso cósmico .

Constante cosmológica

Uma constante cosmológica pode ser interpretada como uma forma de matéria de densidade de energia constante e pressão exatamente oposta a ela. Quando a densidade de energia é positiva, as equações de Friedmann admitem, na ausência de curvatura espacial, a solução exponencial

{\ displaystyle a \ propto e ^ {H_ {0} t}}

o parâmetro Hubble sendo constante ao longo do tempo. O domínio da constante cosmológica é a era da energia escura .

Demonstração

A primeira equação de Friedmann dá, como de costume

{\ displaystyle 3 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {\ Lambda}}

a densidade de energia da constante cosmológica sendo aqui constante. O parâmetro Hubble é, portanto, constante e, portanto, temos

{\ displaystyle {\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d}} t}} = H_ {0} = {\ rm {Constant}} }

cuja solução é evidentemente

{\ displaystyle a = a_ {0} e ^ {H_ {0} (t-t_ {0})}}

Esse modelo representa um universo eterno, sem começo nem fim. Este é o universo de de Sitter , obedecendo ao princípio cosmológico perfeito . Há outra configuração que dá origem à mesma dinâmica de expansão: as duas formas de matéria são, então, matéria não relativística comum e uma forma de matéria extremamente exótica, chamada campo C , responsável por uma criação contínua de matéria. Exatamente compensando o diluição devido à expansão. É a base da teoria do estado estacionário , hoje abandonada pela ausência total de motivação teórica ou observacional do campo C. Finalmente, na presença de um campo escalar , este pode, temporariamente, comportar-se de maneira extremamente semelhante. a uma constante cosmológica, um comportamento que ele pode abandonar mais tarde. Assim, é possível que, sob o efeito de tal campo escalar, a expansão do universo experimente uma fase exponencial. É a base dos modelos de inflação cósmica que prevêem a existência de tal fase em um momento muito remoto da história do universo.

Equação de estado constante

Desde que a pressão seja proporcional à densidade, com uma constante de proporcionalidade constante, as equações de Friedmann podem ser resolvidas. Denotamos por w a razão entre a pressão e a densidade,

{\ displaystyle w = {\ frac {P} {\ rho}}}

Para qualquer forma razoável de matéria, o fator w está entre -1 e 1. O caso em que w é menor que -1 corresponde ao que é chamado de energia fantasma , uma forma altamente especulativa de energia que dá origem a um estranho cenário cosmológico. Big Rip . Os casos em que w é 0, 1/3, -1 correspondem respectivamente aos casos de poeira, radiação e constante cosmológica . Quando w é diferente de -1, obtemos

{\ displaystyle a = a_ {0} \ left ({\ frac {3 (1 + w)} {2}} H_ {0} | t | \ right) ^ {\ frac {2} {3 (1 + w) )}}}

. Demonstração

Por equações de conservação, a evolução temporal da densidade de energia é determinada por

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} \ rho} {{\ rm {d}} t}} = - 3H (P + \ rho)}

Usando a relação entre densidade de energia e pressão e a definição da constante de Hubble, esta equação é reescrita

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} \ rho} {{\ rm {d}} t}} = - 3 {\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d }} a} {{\ rm {d}} t}} (1 + w) \ rho}

{\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3 (1 + w)}}

As equações de Friedmann são então reescritas

{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} \ left ({\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d} } t}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {0} \ left ({\ frac {a_ {0}} {a} } \ right) ^ {3 (1 + w)}}

Podemos avaliar esta equação em um determinado momento, o que dá

{\ displaystyle {\ frac {3} {c ^ {2}}} H_ {0} ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho _ {0}}

Se denotarmos por x o "fator de escala reduzido", normalizado para 1 na época de referência, a combinação dessas duas equações pode ser escrita

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {x ^ {3 (1 + w)}}}}

Quando w = -1 , estamos no caso de uma constante cosmológica vista anteriormente. Nos outros casos, resolver esta equação dá imediatamente

{\ displaystyle x (t) = \ left ({\ frac {3 (1 + w)} {2}} H_ {0} | t | \ right) ^ {\ frac {2} {3 (1 + w) }}}

Quando w é maior que -1, o fator de escala tende a 0 enquanto t tende a 0. Portanto, há um Big Bang e a expansão continua indefinidamente. Por outro lado, quando w é menor que -1, então, desta vez, o fator de escala tende a 0 quando t é negativo e tende ao infinito, e tende ao infinito quando t tende a 0. Neste caso, temos um universo existente a partir de por toda a eternidade, mas tendo uma vida útil finita no futuro (veja abaixo).

Quando w é maior que -1, a idade do universo é escrita

{\ displaystyle t_ {0} = {\ frac {2} {3 (1 + w)}} {\ frac {1} {H_ {0}}}}

Os valores de w iguais a 0 e 1/3, é claro, retornam os resultados anteriores. Quando w é igual a -1, temos um universo sem começo ou fim e sem evolução. Quando w é menor que -1, temos um universo sem começo, mas atingindo uma singularidade gravitacional em um tempo finito, embora permanecendo em expansão. Na verdade, quando o fator de escala tende para o infinito, então a densidade de energia diverge, e isso em um tempo finito: é o Big Rip ( lit. "grande lágrima"). O tempo restante no universo antes desta singularidade é dado por

{\ displaystyle t_ {f} = {\ frac {2} {3 | 1 + w |}} {\ frac {1} {H_ {0}}}}

Soluções com várias espécies

No caso em que várias espécies ou formas de matéria preenchem o universo e participam notavelmente nas equações de Friedmann, é necessário levar em consideração suas respectivas equações de estado e sua abundância relativa. No caso de duas espécies, por exemplo, a primeira equação de Friedmann é reescrita

{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ left (\ rho _ {1} + \ rho _ {2} \ right)}

Se chamarmos w 1 e w 2 as razões de pressão para densidade de energia de cada uma das duas espécies e assumi-las constantes ao longo do tempo, podemos reescrever esta equação usando várias variáveis adimensionais, na forma

{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {xH_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} = \ left [\ Omega _ {1 } ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {1})} + \ Omega _ {2} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {2})} \ right]}

onde definimos, a partir de uma época de referência observada com o índice ou o expoente 0, a densidade crítica por ${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {c}} ^ {0}}$

{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {c}} ^ {0} = {\ frac {3c ^ {2} H_ {0} ^ {2}} {8 \ pi G}}}

bem como as quantidades adimensionais chamadas parâmetros de densidade por ${\ displaystyle \ Omega _ {i} ^ {0}}$

{\ displaystyle \ Omega _ {i} ^ {0} = {\ frac {\ rho _ {i} ^ {0}} {\ rho _ {\ rm {c}} ^ {0}}}}

e o fator de escala normalizado, x , par . ${\ displaystyle x = a / a_ {0}}$

Demonstração

Ao tomar uma época de referência, que denotamos com o índice ou o expoente 0, temos

{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ left [\ rho _ {1} ^ {0} \ left ({\ frac {a_ {0}} {a}} \ right) ^ {3 (1 + w_ {1})} + \ rho _ {2} ^ {0} \ left ({\ frac {a_ {0}} {a}} \ right) ^ {3 (1 + w_ {2})} \ right] }

Apresentamos a densidade crítica por ${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {c}} ^ {0}}$

{\ displaystyle \ rho _ {\ rm {c}} ^ {0} = {\ frac {3c ^ {2} H_ {0} ^ {2}} {8 \ pi G}}}

bem como as quantidades adimensionais chamadas parâmetros de densidade por ${\ displaystyle \ Omega _ {i} ^ {0}}$

{\ displaystyle \ Omega _ {i} ^ {0} = {\ frac {\ rho _ {i} ^ {0}} {\ rho _ {\ rm {c}} ^ {0}}}}

Assim, obtemos, ao introduzir o fator de escala normalizado , ${\ displaystyle x = a / a_ {0}}$

{\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} + {\ frac {Kc ^ {2}} {H_ {0} ^ {2} a_ {0} ^ { 2}}} {\ frac {1} {x ^ {2}}} = \ left [\ Omega _ {1} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {1})} + \ Omega _ {2} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {2})} \ direita]}

Ao avaliar essa quantidade na época de referência, chega-se então

{\ displaystyle 1 + {\ frac {Kc ^ {2}} {H_ {0} ^ {2} a_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {1} ^ {0} + \ Omega _ { 2} ^ {0}}

onde finalmente

{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {xH_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} + \ left (\ Omega _ {1 } ^ {0} + \ Omega _ {2} ^ {0} -1 \ right) {\ frac {1} {x ^ {2}}} = \ left [\ Omega _ {1} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {1})} + \ Omega _ {2} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {2})} \ right]}

Esta expressão é simplificada quando a densidade total é igual à densidade crítica, ou, equivalentemente, quando a soma dos parâmetros de densidade é igual a 1. Temos então

{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {xH_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} = \ left [\ Omega _ {1 } ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {1})} + \ Omega _ {2} ^ {0} x ^ {- 3 (1 + w_ {2})} \ right]}

Cada uma dessas duas expressões generaliza para um número arbitrário de componentes. Existem soluções exatas para certos valores dos parâmetros w 1 e w 2 .

Em particular, dentro da estrutura do Modelo Padrão de cosmologia , o universo pode ser descrito como sendo preenchido com três tipos de espécies: matéria relativística ( neutrinos e radiação), matéria não relativística ( matéria bariônica e matéria escura ) e energia escura , que iremos aproximar aqui por uma constante cosmológica. As abundâncias relativas dessas espécies, que variam com o tempo, significam que elas nunca coexistem com cada uma das densidades de energia significativas. Na atualidade, encontramos principalmente energia escura e matéria não relativística, enquanto nos tempos antigos, encontramos matéria relativística e não relativística, sendo a constante cosmológica desprezível. Isso vem do fato de que as abundâncias desses diferentes tipos de matéria variam ao longo do tempo, dependendo de : a densidade de energia associada à constante cosmológica permanece constante, enquanto a da matéria relativística ou não relativística aumenta à medida que se volta ao passado. ${\ displaystyle 1 / x ^ {3 (1 + w)}}$

Poeira e radiação

Quando voltar para o passado, as densidades de não-relativista ( "poeira") ou relativista ( "radiação") aumenta a matéria como x -3 e x -4 respectivamente. Então nós temos

{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {xH_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} = \ left [{\ frac {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}} {x ^ {3}}} + {\ frac {\ Omega _ {\ rm {r}} ^ {0}} {x ^ {4}}} \ direito]}

com

{\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {r}} ^ {0} = 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}

Integração dá

{\ displaystyle {\ frac {4 \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} {3 \ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {2}}} \ left [1 - {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x } {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}} \ left (1 - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ Omega _ {\ rm {m} } ^ {0} x} {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} \ right) \ right] = H_ {0} t}

. Demonstração

Simplificamos a equação inicial por

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x {\ rm {d}} x} {H_ {0} {\ rm {d}} t}} \ right) ^ {2} = \ left [\ Omega _ { \ rm {m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {x {\ rm {d}} x} {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}} = H_ {0} {\ rm {d}} t}

Realizamos a mudança de variável

{\ displaystyle u = {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}

de onde tiramos

{\ displaystyle x = {\ frac {u ^ {2} - \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right)} {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}

{\ displaystyle {\ rm {d}} x = {\ frac {2u {\ rm {d}} u} {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}

A equação a ser resolvida torna-se

{\ displaystyle {\ frac {2 \ left [u ^ {2} - \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) \ right] {\ rm {d}} u } {\ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {2}}} = H_ {0} {\ rm {d}} t}

que imediatamente se integra em

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {2}}} \ left [{\ frac {u ^ {3}} { 3}} - \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) u \ right] _ {u_ {i}} ^ {u} = H_ {0} t}

a quantidade correspondente ao valor , ou seja . Então encontramos $u_i$ $x = 0$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {2}}} \ left [{\ sqrt {\ Omega _ {\ rm { m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} \ left ({\ frac {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x + 1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}} {3}} - \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) \ right) + {\ frac {2} {3}} \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] = H_ {0} t }

{\ displaystyle {\ frac {4 \ left (1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} {3 \ left (\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} \ right) ^ {2}}} \ left [1 - {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} x } {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}} \ left (1 - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ Omega _ {\ rm {m} } ^ {0} x} {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} \ right) \ right] = H_ {0} t}

De acordo com o valor de x em relação a , que corresponde à época de transição em que as densidades relativística e não relativística da matéria são iguais, encontramos dois regimes previamente estudados. Para pequenos valores de x , obtemos ${\ displaystyle {\ frac {1- \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}} {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} x ^ {2} = {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {r}} ^ {0}}} H_ {0} t}

que corresponde ao resultado para o universo de radiação encontrado acima, substituindo o valor de H 0 por , corresponde ao valor que a constante de Hubble teria na ausência de matéria não relativística. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {r}} ^ {0}}} H_ {0}}$

No outro regime, encontramos

{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} = {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} H_ {0} t}

o que novamente dá o resultado do universo de poeira à correção do valor da constante de Hubble.

Poeira e constante cosmológica

O segundo caso particular importante é o de um universo dominado por matéria não relativística ( w m = 0) e cuja constante cosmológica ( w Λ = -1) se torna dominante. É muito provável em uma situação semelhante em nosso universo, a aceleração da expansão do universo atestando a existência de uma forma de matéria que se comporta de maneira bastante semelhante a uma constante cosmológica. Neste caso, a integração das equações de Friedmann dá, com , ${\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0} = 1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}$

{\ displaystyle {\ frac {a} {a_ {0}}} = \ left [{\ sqrt {\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} \ sinh \ left ({\ frac {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} {2}} H_ {0} t \ right) \ right] ^ {\ frac {2} {3}}}

. Demonstração

Tomamos novamente a mesma equação com as variáveis reduzidas. Em um universo espacialmente plano, temos

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {x ^ {3}}} + \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}

que podemos reescrever em

{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} (H_ {0} t)}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {x}} + \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} x ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} x} {\ sqrt {{\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {x}} + \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} x ^ {2}}}} = {\ rm {d}} (H_ {0} t)}

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ frac {1} {2}} {\ rm {d}} x} {\ sqrt {(1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}) + \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} x ^ {3}}}} = {\ rm {d}} (H_ {0} t)}

Nós posamos

{\ displaystyle y = H_ {0} t}

{\ displaystyle u = x ^ {\ frac {3} {2}}}

o que torna possível reescrever a equação anterior em

{\ displaystyle {\ frac {2} {3 {\ sqrt {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}}} {\ frac {{\ rm {d}} u} {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}} u ^ {2}}}} = {\ rm {d}} y }

Perguntando

{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} u}

de onde

{\ displaystyle {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}}} {\ frac {{\ rm {d}} v} {\ sqrt {1 + v ^ {2}}}} = {\ rm {d}} y}

Esta equação pode ser integrada em

{\ displaystyle {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}}} \ operatorname {arsinh} (v) = y}

que invertemos em

{\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} {2}} y \ right) = v}

{\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} {2}} y \ right) = {\ sqrt {\ frac {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} u}

e finalmente

{\ displaystyle {\ frac {a} {a_ {0}}} = \ left [{\ sqrt {\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} \ sinh \ left ({\ frac {3 {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}} {2}} H_ {0} t \ right) \ right] ^ {\ frac {2} {3}}}

Por curtos períodos, podemos realizar um desenvolvimento limitado que restaura o comportamento : ${\ displaystyle t ^ {\ frac {2} {3}}}$

{\ displaystyle {\ frac {a} {a_ {0}}} \ sim \ left [{\ frac {3} {2}} {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}} } H_ {0} t \ right] ^ {\ frac {2} {3}}}

Encontramos exatamente a fórmula já obtida para um universo de poeira, exceto que é o que aparece em vez de . Isso ocorre porque, na ausência de uma constante cosmológica, a constante de Hubble seria reduzida por um fator . O fato de encontrarmos a fórmula do universo da poeira vem do fato de que, nessas horas, a constante cosmológica é insignificante em comparação com a densidade da matéria. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}} H_ {0}}$ $H_0$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Omega _ {\ rm {m}} ^ {0}}}}$

Por outro lado, por muito tempo, encontramos o comportamento exponencial do fator de escala em relação ao tempo:

{\ displaystyle {\ frac {a} {a_ {0}}} \ sim \ left ({\ frac {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {4 \ Omega _ {\ Lambda} ^ { 0}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} \ exp \ left ({\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}} H_ {0} t \ right)}

Nesse caso, a constante de Hubble efetivamente tende para o valor assintótico que vai para o expoente. A transição entre esses dois regimes ocorre quando o argumento do seno hiperbólico é da ordem de 1. Quando isso ocorre, a quantidade é da ordem de . Isso corresponde ao momento em que a densidade de energia associada à constante cosmológica passa a ser da ordem da matéria. Antes dessa época é a matéria que domina, e encontramos os resultados do universo do pó, depois dessa época é a constante cosmológica que domina e encontramos a dinâmica do universo de de Sitter. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}} H_ {0}}$ ${\ displaystyle a / a_ {0}}$ ${\ displaystyle \ left [\ left (1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} \ right) / \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0} \ right] ^ {\ frac {1} {3} }}$

Um ponto interessante é calcular a relação entre a idade do universo e o tempo de Hubble . Assim encontramos ${\ displaystyle 1 / H_ {0}}$

{\ displaystyle t_ {0} = {\ frac {1} {H_ {0}}} {\ frac {2} {3}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ Omega _ {\ Lambda} ^ { 0}}}} \ operatorname {arsinh} {\ sqrt {\ frac {\ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}} {1- \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}}}}

Para pequenos valores de , encontramos o valor usual de , enquanto à medida que aumenta (embora permanecendo, é claro, menor que 1), a idade do universo se torna maior do que o tempo de Hubble. ${\ displaystyle \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}$ ${\ displaystyle t_ {0} = 2 / 3H_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ Lambda} ^ {0}}$

Outros escritos

Em alguns casos, podemos preferir expressar as equações em função do fator de escala e não do parâmetro de Hubble. Ele vem então

{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac { K} {a ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho}

{\ displaystyle -2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {a}} {a}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {K} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} P}

Se necessário, a segunda equação pode ser reescrita removendo o termo de curvatura usando o primeiro, o que dá

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left ({\ frac {\ rho + 3P} {c ^ {2} }} \ direito)}

Esta última forma, que dá a aceleração relativa de dois objetos distantes devido à expansão do universo, é um caso especial da equação de Raychaudhuri e por isso às vezes é chamada assim. Mais geralmente, qualquer escrita da segunda equação de Friedmann mostrando a segunda derivada do fator de escala (ou a primeira derivada da taxa de expansão) pode ser chamada assim.

Finalmente, pode-se também preferir extrair a constante cosmológica do conteúdo material do universo, atribuindo-lhe assim um papel puramente geométrico. Esta escolha agora é considerada inadequada em cosmologia porque a natureza exata da energia escura é desconhecida, mas historicamente corresponde à de Einstein e Lemaître. Obtemos então, considerando que a constante cosmológica é homogênea ao inverso do quadrado de um comprimento,

{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac { K} {a ^ {2}}} \ right) - \ Lambda = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho}

{\ displaystyle -2 {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {a}} {a}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {K} {a ^ {2}}} + \ Lambda = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} P}

As escrituras acima usam o tempo cósmico. É possível e às vezes útil substituí-lo pelo tempo conforme , η , definido pela fórmula

{\ displaystyle a (\ eta) {\ rm {d}} \ eta = c {\ rm {d}} t \,}

{\ displaystyle \ eta (t_ {0}) = \ int ^ {t_ {0}} c {\ frac {{\ rm {d}} t} {a (t)}}}

de modo que o elemento de comprimento torna-se proporcional a uma métrica de Minkowski (diz-se de acordo com minkowskien ):

{\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = a ^ {2} (\ eta) \ left ({\ rm {d}} \ eta ^ {2} - \ gamma _ {ij} {\ rm {d}} x ^ {i} {\ rm {d}} x ^ {j} \ right)}

Neste caso, podemos definir um "parâmetro compatível do Hubble" por ${{\ mathcal H}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {a}} {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d}} \ eta}}}

Essa quantidade não tem interpretação física imediata, mas permite a reescrita das equações de Friedmann em termos de tempo conforme:

{\ displaystyle 3 \ left ({\ mathcal {H}} ^ {2} + K \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} a ^ {2} \ rho}

{\ displaystyle -2 \ parcial _ {\ eta} {\ mathcal {H}} - {\ mathcal {H}} ^ {2} -K = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}} } a ^ {2} P}

A resolução dessas equações segue substancialmente as mesmas etapas dos casos anteriores. Em particular, encontramos as seguintes dependências do fator de escala em relação ao tempo conforme:

${\ displaystyle a \ propto \ eta}$ em um universo de radiação
${\ displaystyle a \ propto \ eta ^ {2}}$ em um universo de poeira
${\ displaystyle a \ propto - \ eta ^ {- 1}}$ com uma constante cosmológica
${\ displaystyle a \ propto | \ eta | ^ {\ frac {2} {1 + 3w}}}$ com uma forma de matéria cuja equação de estado é . $P = w \ rho$

Demonstração

O relacionamento

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {2} \ propto a ^ {2} \ rho}

tem a consequência imediata de que

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d}} \ eta}} \ propto a ^ {2} {\ sqrt {\ rho}}}

Usando ainda o fato de que para uma equação de estado do tipo , a dependência de ρ permanece $P = w \ rho$

{\ displaystyle \ rho \ propto a ^ {- 3 (1 + w)}}

ele vem

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} a} {{\ rm {d}} \ eta}} \ propto a ^ {{\ frac {1} {2}} - {\ frac {3w} {2}}}}

que resolve em

{\ displaystyle a \ propto | \ eta | ^ {\ frac {2} {1 + 3w}}}

Observe que η varia de 0 a de acordo com uma lei de potência com expoente positivo, desde que w seja maior que -1/3, varia exponencialmente quando w é igual a -1/3 e varia de a 0 de acordo com uma lei de potência com negativo expoente quando w é menor que -1/3. $+ \ infty$ $- \ infty$

O interesse em resolver as equações de Friedmann em termos de consistência no tempo é que o conceito de partículas do horizonte e horizonte de eventos está intimamente ligado ao relacionamento , incluindo seu comportamento para valores menores e maiores de η . Além disso, os conceitos de distância angular e distância de luminosidade também dependem diretamente dessa mesma relação. ${\ displaystyle a (\ eta)}$

Interpretação

As equações de Friedmann na presença de matéria não relativística podem ser encontradas (heuristicamente) por um raciocínio puramente newtoniano. Na verdade, podemos considerar a evolução de uma esfera da matéria, cuja densidade é considerada constante em todos os momentos. Esta suposição é incorreta em geral, mas fazê-la nos permite nos colocar em uma situação bastante semelhante à de um universo homogêneo e isotrópico. nesse caso, a taxa de expansão da esfera está relacionada à sua densidade pela mesma fórmula da primeira equação de Friedmann.

Demonstração

Consideramos, portanto, uma esfera de poeira (isto é, desprezamos as forças de pressão) de massa M, da qual estudamos a evolução do raio R (t) em função do tempo, sob o efeito da gravidade. Um ponto na superfície da esfera está apenas sujeito às forças da gravidade e, portanto, obedece à equação

{\ displaystyle {\ ddot {R}} = - {\ frac {GM} {R ^ {2}}}}

Multiplicando pela derivada de R , chega-se

{\ displaystyle {\ ddot {R}} {\ dot {R}} = - GM {\ frac {\ dot {R}} {R ^ {2}}}}

Os dois membros da equação correspondem às derivadas em relação ao tempo, que podem ser integradas em

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ dot {R}} ^ {2} = {\ frac {GM} {R}} + E}

a quantidade E sendo então uma constante de integração determinada pelas condições iniciais. Esta constante de integração nada mais é do que a energia total por unidade de massa, igual à soma da energia cinética e da energia potencial :

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} {\ dot {R}} ^ {2} - {\ frac {GM} {R}}}

Se substituirmos a massa da esfera pelo produto de seu volume e sua densidade μ, obtemos

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} ({\ dot {R}}) ^ {2} = {\ frac {4 \ pi} {3}} G \ mu R ^ {2} + E}

que podemos reescrever em

{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {{\ dot {R}} ^ {2}} {R ^ {2}}} - {\ frac {2E} {R ^ {2}}} \ right) = 8 \ pi G \ mu}

Finalmente, ao substituir a densidade de massa μ pela densidade de energia de massa ρ = μ c 2 , encontramos

{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {{\ dot {R}} ^ {2}} {c ^ {2} R ^ {2}}} - {\ frac {2E} {c ^ {2} R ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho}

A diferença crucial entre essas duas abordagens vem do papel desempenhado pela curvatura K (no modelo relativístico), que é semelhante no modelo newtoniano a uma constante de integração sem significado geométrico. Na relatividade geral, ele determina as propriedades geométricas do espaço.

Derivação das equações de Friedmann

As equações de Friedmann nada mais são do que a escrita das equações de Einstein que descrevem um universo homogêneo e isotrópico. Sua derivação não apresenta nenhuma dificuldade particular, e eles até representam uma das soluções analíticas exatas mais simples entre as conhecidas por essas equações.

Demonstração

A suposição da homogeneidade e da isotropia das seções espaciais do universo permite escrever o elemento de comprimento na forma

{\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a ^ {2} (t) \ gamma _ {ij} {\ rm {d}} x ^ {i} {\ rm {d}} x ^ {j}}

onde γ ij representa a métrica das seções espaciais, descritas pelas coordenadas x i . Esse sistema de coordenadas é chamado de coordenadas comobile . Um observador que descreve a trajetória segue uma geodésica. Ele é chamado de observador fundamental . Seu próprio tempo corresponde aqui exatamente à coordenada t , chamada de tempo cósmico (o tempo próprio dos observadores fundamentais). Tal trajetória corresponde como uma primeira aproximação às trajetórias de galáxias , se desconsiderarmos seu próprio movimento . A distância entre dois observadores fundamentais aumenta em proporção à função a (t) , que é o fator de escala . Uma vez que esta forma da métrica é assumida, as equações de Einstein determinam o curso do tempo do fator de escala. ${\ displaystyle x ^ {i} = {\ rm {Constant}}}$

Os coeficientes da métrica são escritos

{\ displaystyle g_ {00} = c ^ {2}}

{\ displaystyle g_ {0i} = 0}

{\ displaystyle g_ {ij} = - a ^ {2} (t) \ gamma _ {ij}}

A forma exata de não importa e depende do tipo de coordenadas escolhidas (cartesianas ou esféricas, por exemplo, assumindo seções espaciais euclidianas). O único resultado importante é saber que as seções espaciais sendo homogêneas e isotrópicas formam um espaço com máxima simetria , e que tal espaço cuja métrica seria tem um tensor de Ricci dado por $\ gamma _ {{ij}}$ $\ gamma _ {{ij}}$

{\ displaystyle {} ^ {3} R_ {ij} = 2K \ gamma _ {ij}}

a quantidade K sendo a curvatura espacial associada.

O inverso da métrica tem para as coordenadas:

{\ displaystyle g ^ {00} = {\ frac {1} {c ^ {2}}}}

{\ displaystyle g ^ {0i} = 0}

{\ displaystyle g ^ {ij} = - {\ frac {1} {a ^ {2} (t)}} \ gamma ^ {ij}}

onde é a métrica inversa de . ${\ displaystyle \ gamma ^ {ij}}$ $\ gamma _ {{ij}}$

Os símbolos de Christoffel são escritos:

{\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {0} = 0}

{\ displaystyle \ Gamma _ {0i} ^ {0} = 0}

{\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {i} = 0}

{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {0} = a ^ {2} {\ frac {H} {c ^ {2}}} \ gamma _ {ij}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {0j} ^ {i} = H \ delta _ {j} ^ {i}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i} = {} ^ {(3)} \ Gamma _ {jk} ^ {i}}

onde H é o parâmetro de Hubble , fornece por e corresponde aos símbolos de Christoffel associados à métrica . ${\ displaystyle H = {\ rm {d}} a / a {\ rm {d}} t}$ ${\ displaystyle {} ^ {(3)} \ Gamma _ {jk} ^ {i}}$ $\ gamma _ {{ij}}$

Os coeficientes do tensor de Ricci são então escritos

{\ displaystyle R_ {00} = - 3 {\ dot {H}} - 3H ^ {2}}

{\ displaystyle R_ {0i} = 0}

{\ displaystyle R_ {ij} = 3a ^ {2} {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} \ gamma _ {ij} + a ^ {2} {\ frac {\ dot { H}} {c ^ {2}}} \ gamma _ {ij} + {} ^ {(3)} R_ {ij}}

A curvatura escalar é escrita

{\ displaystyle R = -12 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} - 6 {\ frac {\ dot {H}} {c ^ {2}}} - 6 {\ frac {K} {a ^ {2}}}}

O tensor de Einstein é finalmente escrito

{\ displaystyle G_ {00} = 3H ^ {2} +3 {\ frac {K} {a ^ {2}}} {c ^ {2}}}

{\ displaystyle G_ {0i} = 0}

{\ displaystyle G_ {ij} = - \ left (3 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ dot {H}} {c ^ {2}} } + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ right) a ^ {2} \ gamma _ {ij}}

Devemos agora determinar o tensor de energia-momento da matéria. O único tensor de energia-momento compatível com as suposições de homogeneidade e isotropia usadas é o de um fluido perfeito . Ele é então descrito apenas pela densidade de energia, a pressão e a velocidade quádrupla do fluido de acordo com a fórmula

{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = (P + \ rho) u _ {\ mu} u _ {\ nu} -Pg _ {\ mu \ nu}}

Essa quatro velocidades corresponde à dos observadores fundamentais. A fórmula que dá a velocidade quádrupla é

{\ displaystyle u ^ {\ mu} = {\ frac {{\ rm {d}} x ^ {\ mu}} {{\ rm {d}} \ tau}}}

e o tempo adequado sendo dado pelo tempo coordenado, imediatamente temos

{\ displaystyle u ^ {0} = 1}

{\ displaystyle u ^ {i} = 0}

e os componentes contravariantes são escritos

{\ displaystyle u_ {0} = c ^ {2}}

{\ displaystyle u_ {i} = 0}

Os componentes do tensor de energia-momento são, portanto,

{\ displaystyle T_ {00} = \ rho c ^ {2}}

{\ displaystyle T_ {0i} = 0}

{\ displaystyle T_ {ij} = Pa ^ {2} \ gamma _ {ij}}

Usando a fórmula das equações de Einstein, o componente 00, portanto, dá

{\ displaystyle 3 \ left ({\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {K} {a ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ rho}

e o componente ij dá

{\ displaystyle -3 {\ frac {H ^ {2}} {c ^ {2}}} - 2 {\ frac {\ dot {H}} {c ^ {2}}} - {\ frac {K} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} P}

Notas e referências

Notas

Esses modelos são motivados pela teoria das cordas , embora sejam logicamente independentes, na qual dimensões adicionais aparecem naturalmente.
Às vezes adicionamos um terceiro às duas equações, a saber: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \! \ left (\ rho c ^ {2} a ^ {3} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = - p {\ frac {\ mathrm {d} a ^ {3}} {\ mathrm {d} t}}}$ .

Referências

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Veja também

Bibliografia

: documento usado como fonte para este artigo.

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Artigos históricos

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[Friedmann 1924] (de) Alexandre Friedmann , “ Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes ” [“Sobre a possibilidade de um Universo com curvatura espacial constante”], Zeitschrift für Physik , vol. 21,Dezembro de 1924, p. 326-332 ( DOI 10.1007 / BF01328280 , Bibcode 1924ZPhy ... 21..326F ). Escrita das equações de Friedmann no caso de uma curvatura espacial negativa.
[Lemaitre 1927] Georges Lemaître , " Um universo homogêneo de massa constante e raio crescente, representando a velocidade radial do extragaláctica nebulosa ," Anais da Sociedade Científica de Bruxelas , a: Ciência Matemática , 1 st parte: Contas reunião relatórios , t. XLVII ,Abril de 1927, p. 49-59 ( bibcode 1927ASSB ... 47 ... 49L ).
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Equações de Friedmann

História

As duas equações de Friedmann-Lemaître

Algumas soluções específicas

Universo de poeira

Universo de radiação

Constante cosmológica

Equação de estado constante

Soluções com várias espécies

Poeira e radiação

Poeira e constante cosmológica

Outros escritos

Interpretação

Derivação das equações de Friedmann

Notas e referências

Notas

Referências

Veja também

Bibliografia

Artigos históricos

Artigos relacionados