Simetria central

Em geometria , uma simetria central é uma transformação de um espaço afim .

É realizado a partir de um ponto fixo assinalado Ω denominado centro de simetria . Ele transforma qualquer ponto M em um ponto de imagem M 'de forma que o ponto Ω seja o ponto médio do segmento [MM'].

Em termos de vetores , isso se traduz em:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega M '}} = - {\ overrightarrow {\ Omega M}}.}

Como qualquer simetria , é uma involução , ou seja, encontramos o ponto de partida ou figura se o aplicarmos duas vezes. Em particular, é uma bijeção .

No plano euclidiano , as simetrias centrais são as rotações de meia volta.

Propriedades da simetria central

Propriedade custodial

A simetria central é uma aplicação afim ; mantém:

os alinhamentos (os simétricos de três pontos alinhados são alinhados),
o paralelismo (os dois paralelos retos simétricos são paralelos).

Ele até transforma qualquer linha reta em uma linha reta que é paralela a ela, uma vez que é uma homotetia (de proporção –1).

Quando o espaço afim tem uma estrutura euclidiana há isometria afim par (um movimento se a dimensão do espaço é par e um deslocamento que impede se for ímpar); mantém:

as distâncias ,
os ângulos geométricos (simétrico de um ângulo é uma medida do mesmo ângulo) e ainda, no plano, os ângulos orientados ,
os perímetros (a simetria de uma figura é uma figura com o mesmo perímetro),
as áreas (o simétrico de uma figura é uma figura da mesma área).

Exemplos

Com relação a um ponto Ω,

o simétrico de Ω é Ω;
o simétrico de um segmento é um segmento;
simétrico um arco de curva é um arco do mesmo comprimento ;
o simétrico de uma linha d é uma linha paralela a d ;
simétrico a centro do círculo O é o círculo do mesmo raio e centro do O simétrico .

Complexos e simetria central

No plano euclidiano, a simetria do centro Ω é a rotação do centro Ω e do ângulo $π$ .

No plano complexo , seja ω o afixo de Ω e z o afixo de M

O afixo z ' de M' é

{\ displaystyle \, z '= {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi} (z- \ omega) + \ omega = -z + 2 \ omega.}

Construção da simetria de um ponto por simetria central

Régua e compasso

Posicione o ponto Ω e o ponto M distinto de Ω.
Desenhe a linha (Ω M ).
Seguir o centro do círculo e o raio Ω Ω M .
Os dois pontos de intersecção entre o círculo e a linha são o ponto M de um lado e o ponto M ' simétrico de M em relação a Ω do outro.

Com a bússola sozinha

Posicione o ponto Ω e o ponto M distinto de Ω.
Seguir o centro do círculo e o raio Ω Ω M .
Desenhe o círculo com centro M e raio 2 × Ω Μ .
O ponto de intersecção entre os dois círculos é o ponto M ' simétrico para M .