Rede (geometria)

Em matemática , uma rede de espaço (vetor) euclidiana é um espaço discreto de subgrupo de classificação finita n . Por exemplo, os vetores de R n com coordenadas inteiras em uma base formam uma rede de R n . Esta noção permite descrever matematicamente as malhas, como a correspondente à figura 1.

Fixando um ponto de origem, podemos associá-lo a uma rede de pontos de R n (várias redes podendo definir a mesma rede de pontos). Esta rede de pontos preenche o espaço no sentido de que existe um raio R tal que qualquer bola de raio R contém pelo menos um ponto da rede. É discreto no sentido de que existe um número estritamente positivo r tal que qualquer bola de raio r contém no máximo um ponto da rede. Ele é regular.

O estudo das redes está na encruzilhada de diferentes ramos da matemática, teoria dos grupos , álgebra linear , a teoria dos grupos de Lie, a geometria dos números , a geometria convexa , mas também outras áreas como algorítmica ou cristalografia ( rede de Bravais ) e a as ferramentas de análise são essencialmente geométricas . As questões específicas para a análise de uma rede dizem respeito às diferentes simetrias que deixam a rede invariante, à resolução de problemas de empilhamento de esferas ou convexos .

Álgebra linear e espaço métrico

Neste artigo, as letras ℂ, ℝ, ℚ e ℤ designam respectivamente o corpo de imaginários também chamados complexos, números reais , racionais números e o anel de números inteiros e n um inteiro estritamente positivo. O espaço vetorial ℝ n denota o conjunto de n -uplos compostos de n números reais em uma determinada ordem. Geometricamente, nós os imaginamos como as coordenadas de um ponto em um espaço fornecido com um sistema de coordenadas ortonormal . Na dimensão 2 ou 3, obtemos uma representação do mundo físico, desde que seja aproximado por uma geometria euclidiana .

Definição

Definição  -  Uma rede Λ ℝ n é um subgrupo discreto de ℝ n para adição, como o subespaço estendido por Λ igual a ℝ n .

Essa definição merece alguma explicação. A escolha de ℝ n em vez de um espaço vetorial real de dimensão n é de pouca importância. Qualquer espaço vetorial real de dimensão n é uma cópia de ℝ n e os resultados verdadeiros em ℝ n são verdadeiros em um espaço real de dimensão n . Falamos de isomorfismo . O fato de os pontos formarem um grupo implica na regularidade da rede. Um polígono de vértices dos pontos da rede, traduzido por um deslocamento de um ponto da rede para outro, sempre tem pontos da rede como vértices. O exemplo na Figura 2 ilustra isso. Os pontos da rede correspondem à intersecção da grade, o hexágono em roxo, traduzido sempre tem vértices dos elementos da rede. No contexto específico de uma parte de ℝ n , podemos explicar o significado da palavra discreto pela seguinte declaração:

Proposição  -  Uma parte fechada de ℝ n é discreta se, e somente se, para qualquer número real , ela contém apenas um número finito de pontos a uma distância menor ou igual à origem. R{\ displaystyle R}R{\ displaystyle R}

ℚ o grupo n , consistindo de coordenadas de pontos racionais, é um exemplo de subgrupo não discreto.

A terceira propriedade significa que não existe um subespaço vetorial estrito contendo a rede. Se a dimensão for igual a 3, nenhum plano contém a rede. Se um plano inteiro for coberto e se houver um único ponto da rede fora de um plano, a estabilidade de adição e subtração mostra que todo o espaço está coberto. Dizer que o espaço está coberto significa que existe um raio ρ tal que qualquer bola com um raio maior que ρ contém pelo menos um ponto da rede, e este seja qual for o seu centro.

Qualquer espaço vetorial E de dimensão n sobre números complexos também é um espaço vetorial real de dimensão 2 n . Assim, se Λ é um grupo discreto que gera E , como um espaço vetorial real, é uma rede de dimensão 2 n . Assim como ℤ n é uma rede de ℝ n , G n é uma rede de ℂ n . A letra G designa aqui os inteiros de Gauss , ou seja, os números da forma a + i b , onde a e b são elementos de ℤ.

Sediada

Existência de uma base  -  Seja Λ uma rede de ℝ n , existe uma família ( b i ) de n elementos da rede, de modo que cada elemento é expresso de uma forma única como uma combinação linear desta família, com coeficientes em os números inteiros. Essa família tem o nome básico .

Λ={∑eu=1nãoeueubeu∣eueu∈Z}e∀λ∈Λ∃!(eueu)∈Znãoλ=∑eu=1nãoeueubeu{\ displaystyle \ Lambda = \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} l_ {i} b_ {i} \ mid l_ {i} \ in \ mathbb {Z} \ right \} \ quad { \ text {et}} \ quad \ forall \ lambda \ in \ Lambda \ quad \ existe! (l_ {i}) \ in \ mathbb {Z} ^ {n} \ quad \ lambda = \ sum _ {i = 1 } ^ {n} l_ {i} b_ {i}}.

Existem várias maneiras de ler e demonstrar este teorema. Em termos de teoria de grupos , uma rede é um grupo abeliano de tipo finito sem torção , em outras palavras, um grupo abeliano livre de categoria finita .

Outra maneira de ver isso é usar álgebra linear . Consideramos a rede um espaço quase vetorial, com a diferença de que nem todos os escalares são invertíveis. Os escalares aqui são iguais a inteiros. Essa estrutura é chamada de módulo . Se existe uma família geradora finita, se o módulo ℤ forma um grupo aditivo sem torção, o teorema do fator invariante é uma forma de mostrar o resultado.

Essas demonstrações não são muito geométricas e dificilmente utilizam as ferramentas associadas às redes. Pode-se imaginar uma demonstração direta, guiada pela intuição geométrica que tal estrutura traz. O princípio está ilustrado na dimensão 2 da Figura 3. Consideramos dois vetores livres da rede, escolhidos com a menor norma possível. O padrão é o termo técnico matemático para o comprimento de um vetor. Esses vetores são chamados de α e β. Definem um paralelogramo , em amarelo na figura 3. A minimalidade das normas de α e β permite mostrar que este paralelogramo não contém nenhum ponto da rede além de seus vértices.

Consideramos qualquer ponto λ da rede, que sempre podemos expressar como uma combinação linear de α e β se a estrutura considerada for o espaço vetorial ℝ n . Subtraindo do vetor de coordenadas de λ todas as partes de λ, obtemos um pequeno vetor da rede, dentro do paralelogramo amarelo. Este princípio é um tanto análogo a uma divisão euclidiana . O pequeno vetor seria, com essa analogia, o resto. O fato de estar no paralelogramo e na rede, mostra que é zero. O vetor λ é, portanto, expresso como uma combinação linear de α e β com coeficientes inteiros.

Esta prova, bem como sua generalização em qualquer dimensão, é mais simples do que as duas citadas anteriormente. O uso da geometria simplifica a abordagem. Por outro lado, o método aqui proposto não é eficaz, ao contrário do que ocorre com os fatores invariantes, por exemplo. Eficaz significa que podemos, com este método, realmente construir uma base. No caso geral, é difícil encontrar o vetor diferente de zero da menor norma.

Detalhes da prova na dimensão 2 e generalização para qualquer dimensão

• Dimensão 2:

A rede não se limita ao vetor zero, pois gera o espaço vetorial ℝ n , existe pelo menos um vetor de norma diferente de zero, ou seja, b esta norma. O disco com centro, o vetor zero e o raio b intersecta a rede em um ponto diferente da origem e contém um número finito de pontos da rede. Isso mostra que existe pelo menos um vetor diferente de zero α de norma menor na rede. Agora consideramos a rede reduzida pelos múltiplos de α. O conjunto não está vazio porque senão a rede não geraria o espaço vetorial ℝ n , o mesmo raciocínio do anterior mostra a existência de um vetor β de comprimento mínimo, na rede, com a possível exceção de alguns múltiplos de α , correspondendo à faixa azul na Figura 3. O grande ponto azul é a origem. O vetor α é de fato um vetor diferente de zero com a menor norma da rede e então vem β, cuja norma só é reduzida pela de α, seu inverso e o vetor zero.

Existe no máximo uma maneira de escrever um vetor de rede como uma combinação linear de α e β. De fato, essa propriedade é consequência do fato de esses dois vetores estarem livres no espaço vetorial ℝ n . Existe apenas uma maneira de escrever qualquer vetor de ℝ n como uma combinação linear de α e β, o que é especialmente verdadeiro para vetores de rede.

Vamos agora mostrar que qualquer vetor da rede é uma combinação linear de α e β, com coeficientes inteiros. Considere o disco vermelho, com centro α e raio a norma de β, tal disco pode conter como ponto da rede, fora de sua borda, apenas alguns múltiplos de α na zona azul da figura 3, de acordo com a definição de a norma de β. O disco verde tem centro β e raio a norma de α. O mesmo raciocínio mostra que o interior deste disco não pode conter nenhum ponto da rede. O segmento [0, α] só pode conter seus extremos como um ponto da rede, é o mesmo para o segmento [0, β]. Também é o mesmo para [α, β] e [β, α + β] porque do contrário, subtraindo α ou β, teríamos uma contradição. Em resumo, o paralelogramo, em amarelo, dos vértices 0, α, β e α + β não contém outro ponto da rede além de seus vértices. Observe que este paralelogramo é composto de vetores de ℝ n tendo dois coeficientes entre 0 e 1 na base (α, β).

Considere qualquer elemento λ da rede. É necessariamente uma combinação linear da base (α, β) de ℝ n , e λ = a α + b β com a e b reais. O objetivo é mostrar que a e b são inteiros. Seja p a (resp. P b ) a parte inteira de a (resp. B ) e r a (resp. R b ) sua parte fracionária. Como α e β são elementos da rede e p a e p b são inteiros, p a α + p b β é um ponto da rede assim como λ. Sua diferença, igual a r a α + r b β, está portanto na rede. É também um ponto do paralelogramo amarelo porque suas duas coordenadas estão entre 0 e 1. Existem quatro pontos da rede possível, como uma parte fracionária é sempre estritamente menor que 1, o único valor possível é 0, o que mostra que um é igual a p a e b a p b . Em outras palavras, as coordenadas de λ na base são inteiras, o que encerra a prova.

• Qualquer dimensão:

Vamos provar esse resultado por indução em n . Para as dimensões 1 e 2, uma demonstração já é apresentada. Suponha que a propriedade demonstrada na ordem n - 1 e prove-a na ordem n . A rede forma uma família geradora de ℝ n , de qualquer família geradora, é possível extrair uma base, portanto existe uma subfamília da rede do cardinal n que gera todo o espaço. Seja ( f i ), para i variando de 1 a n , essa base. Não é a priori o que se busca, pois nada indica que os elementos da rede sejam expressos como uma combinação linear com coeficientes inteiros nesta base. Seja S o espaço vetorial gerado por ( f i ), para i variando de 1 a n - 1. A interseção da rede e S é um grupo discreto que gera S , existe uma base ( b i ), para i variando de 1 a n - 1 da intersecção da rede e de S , por hipótese de indução. O hiperplano S está representado na figura 5, cor creme, o vetor zero é o ponto azul. A família ( b i ) é uma boa candidata para a base procurada, mas ainda falta um vetor.

Seja φ uma forma linear zero em S tal que a imagem da rede por φ não seja reduzida a 0. Tal forma existe, caso contrário a rede geraria apenas o espaço S e não todo o espaço. O objetivo é mostrar que a imagem por φ da rede é um subgrupo discreto de ℝ, ou seja, existe um real ε estritamente positivo tal que se u for um elemento da rede, l A imagem da rede por φ contém apenas o valor φ ( u ) entre φ ( u ) - ε e φ ( u ) + ε. Notamos que podemos assumir u zero; de fato, se a imagem φ da rede não é discreto, seja qual for £, existem dois vetores u e v de imagens distintas por φ e cuja diferença é, em valor absoluto, a menos de ε, esta que mostra que a imagem φ de u - v é, em valor absoluto, menor que ε.

Para mostrar este resultado, mostraremos que existe apenas um número finito de valores alcançados por φ no intervalo [-1,1]. Todos os pontos da rede tendo uma imagem por φ neste intervalo estão entre os hiperplanos afins da equação φ ( x ) = - 1 e φ ( x ) = 1, representados em azul na figura 5. Seja V o volume de ℝ n composto pelos vetores incluídos entre os dois hiperplanos e cujas coordenadas, na base ( b i ), da projeção ortogonal de p em S , estão todas entre 0 e 1. O volume V está representado em verde na figura 5. Observe que V é bem delimitado porque representa o conjunto de vetores de ℝ n tendo coordenadas entre 0 e 1 na base ( b i ,, π). Aqui π denota o vetor ortogonal a S e imagem igual a 1 pela forma φ. Se δ é um número real entre 1 e -1, e a imagem da rede por φ, δ tem um antecedente em V . De fato, existe um vetor u da rede incluída entre os dois hiperplanos e tal que φ ( u ) = δ. O vetor p ( u ) está em S e se decompõe na base ( b i ); sejam ( u i ) as coordenadas de p ( u ) nesta base. Se q i denota a parte inteira de u i e r i a parte fracionária:

você=q+rcomq=∑eu=1não-1qeubeu,r=∑eu=1não-1reubeu{\ displaystyle u = q + r \ quad {\ text {com}} \ quad q = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} q_ {i} b_ {i}, \; r = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} r_ {i} b_ {i}}.

Observe que q é um elemento da rede porque é uma combinação linear da família ( b i ) com coeficientes em ℤ. Sua imagem por φ é zero, porque é parte S . O ponto u - q é formado pela diferença de dois elementos da rede e faz parte da rede. A imagem de q por φ é zero e φ é linear. A projecção ortogonal de L - q na hiperplana gerado por S é igual a R , o que mostra que u - q é um elemento V . O volume V é limitado, contém apenas um número finito de pontos da rede, pois a rede é discreta. Só pode existir um número finito de valores assumidos pela imagem da rede pela função φ entre −1 e 1, o que mostra que o valor 0 está de fato isolado nesta imagem.

Seja Δ uma linha vetorial de ℝ n não contida em S e contendo um ponto diferente de zero da rede. A imagem por φ de Δ é um grupo discreto de acordo com a demonstração anterior, existe um ponto b n de Δ e da rede de menor imagem a estritamente positivo por φ; este ponto é representado em vermelho na figura 5. Seja finalmente um elemento arbitrário λ da rede, o elemento λ é expresso como uma combinação linear de ( b i ), pois esta família é uma base de ℝ n . Devemos então mostrar que os diferentes coeficientes são inteiros:

λ=∑eu=1não-1λeubeu+λnãobnão{\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ lambda _ {i} b_ {i} + \ lambda _ {n} b_ {n}}.

A imagem por φ de λ é igual a λ n a , que é um elemento de aR , a imagem de Δ por φ. Deduzimos que λ n é inteiro. O vetor λ - λ n b n é um elemento da rede e de S , o que mostra que as coordenadas λ i são todas inteiras. A família ( b i ), para i varia entre 1 e n de ℝ n gera a rede. O fato de ser do cardeal n encerra a demonstração.

Domínio fundamental

Uma determinada zona foi utilizada, na demonstração anterior, corresponde à zona ilustrada em amarelo na figura 3 para a dimensão 2. Corresponde à seguinte definição:

Definição  -  O domínio fundamental em relação a uma base B , se B é uma base ( b i ) da rede é o conjunto de pontos P  :

P={∑eu=1nãoλeubeu|λeu∈[0,1[}{\ displaystyle P = \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} b_ {i} \; | \; \ lambda _ {i} \ in [0,1 [\ direito \}}

A área vermelha na Figura 6 é um exemplo de um domínio fundamental. A definição de um domínio fundamental é obtida a partir de uma base. Para redes, como para espaços vetoriais, existem várias bases e, conseqüentemente, vários domínios fundamentais. Exceto na dimensão 1, onde existem apenas dois, tendo a mesma geometria, existe em todos os outros casos um infinito. Para isso, basta substituir o segundo vetor da base pela soma de k vezes o primeiro vetor e o segundo. Se k denota um inteiro, temos aqui um meio de construir um número infinito de bases com diferentes geometrias. Na Figura 6, a área verde é outra área fundamental.

Existe um invariante associado à rede. O covolume de uma rede é o volume do domínio fundamental. Na Figura 6, os volumes definidos pelos paralelepípedos verde e vermelho são iguais.

Invariância de covolume  -  O covolume é independente da base que define o domínio fundamental.

Com efeito, o covolume de Λ é, por definição, o valor absoluto do determinante , na base canónica de ℝ n , de uma base de Λ, e a matriz de passagem a partir de uma base de Λ para outro pertence ao grupo GL N (ℤ ) matrizes com coeficientes inteiros do determinante ± 1.

Existe uma forma intrínseca de definir o domínio fundamental, que exige conceitos mais avançados. O grupo de Lie ℝ n / Λ tem uma medida canônica. Para qualquer ponto p de ℝ n / Λ, existe um conjunto aberto de p tal que a projeção canônica de ℝ n em ℝ n / Λ é um difeomorfismo . Esses difeomorfismos tornam possível definir uma medida. O grupo de Lie é compacto; sua medida total pode ser escolhida igual ao covolume da rede.

Uma maneira simples de olhar para isso é limitar-se à dimensão 2. Os pontos da primeira coordenada igual a um inteiro são identificados com os pontos da primeira coordenada igual a 0. Isso equivale a enrolar o espaço para obter um cilindro onde todos os pontos da primeira coordenada completa são sobrepostos. Em seguida, identificamos os pontos da segunda coordenada iguais a um inteiro com os pontos da segunda coordenada iguais a 0. Isso equivale a enrolar o cilindro para obter um toro , ilustrado na figura 7.

A representação é, em termos de medição, imperfeita. Os círculos horizontais do toro correspondem aos pontos da segunda coordenada constante. Todos esses círculos têm uma circunferência igual a 1. Na representação, dependendo se o círculo é mais ou menos escolhido dentro do toro, a circunferência varia. Exceto por esse detalhe, a representação por uma forma se aproximando de uma bóia é um bom suporte para a intuição da geometria do domínio fundamental de uma rede.

Grupo ortogonal

O grupo ortogonal de um espaço euclidiano é o conjunto de mapas lineares que transformam o espaço em si mesmo, mantendo distância e ângulos. Essas aplicações são chamadas de isometria . O grupo ortogonal contém um subgrupo , denominado grupo ortogonal especial , composto por transformações de determinantes positivos, necessariamente iguais a 1. Na dimensão 2, o grupo ortogonal especial é formado por rotações . As outras isometrias são os reflexos correspondentes à imagem dada pelo avião através de um espelho, que passa pelo ponto de origem. Dotado da lei da composição dos mapeamentos, o grupo ortogonal é um grupo , o que significa que o elemento neutro, que deixa os elementos idênticos, é uma isometria. Se uma aplicação for uma isometria, seu recíproco , também chamado de inverso, ainda é uma isometria. Finalmente, a composição das isometrias é associativa .

Definição  -  O grupo ortogonal de uma rede Λ de ℝ n é o grupo de mapas lineares da rede tal que a norma da imagem de um ponto λ da rede é a do ponto λ.

O termo norma designa a norma da restrição do produto escalar euclidiano à rede Λ.

No caso de uma rede, o grupo ortogonal é um grupo finito . Para isso, basta considerar a imagem de um vetor de uma base por uma isometria, é um vetor da mesma norma e existe apenas um número finito. Para determinar o grupo ortogonal de uma rede, temos três teorias diferentes.

A álgebra linear clássica oferece outras ferramentas, um elemento do grupo ortogonal de uma rede pode de fato ser estendido em uma isometria de ℝ n , o que traz o estudo de volta a uma situação conhecida. Finalmente, uma isometria respeita distâncias e ângulos, a geometria euclidiana oferece teoremas utilizáveis.

Uma maneira de visualizar esse grupo ortogonal é estudar um mosaico regular de espaço. Dizer que o ladrilho é regular equivale a dizer, no exemplo ilustrado na figura 8, que os pontos no centro de cada estrela formam uma rede. Se olharmos para um bloco feito de estrelas que estão à mesma distância de uma determinada estrela, encontramos um hexágono . Exceto pela cor, girar o centro, o de uma estrela e um sexto de uma volta, deixa o padrão ilustrado na figura e, portanto, a rede associada invariante. A rotação de um sexto de volta faz parte do grupo ortogonal da rede. A análise geométrica aqui proposta não leva em consideração a cor.

Cristalografia

O grupo ortogonal de uma rede tem aplicações nas ciências naturais. No estado sólido , é comum que a matéria se organize em torno da estrutura de uma rede. Se assim não for, falamos então de material amorfo ou vidro, o estudo torna-se mais complexo e não é o assunto deste artigo.

A matéria sólida é composta de blocos de construção , que podem ser átomos , íons ou moléculas. Esses tijolos elementares têm pontos de fixação em certos lugares muito precisos. Esses tijolos elementares são geralmente os mesmos, se o material for analisado na escala correta. Eles tendem a se encaixar em uma base regular, bem como uma construção Lego de uma única peça. Este estado é modelado por uma rede e um padrão. O padrão corresponde à geometria do tijolo elementar, a rede indica os pontos onde esses diferentes tijolos estão posicionados. Uma geometria dessa natureza é ilustrada na figura 9. Uma molécula, composta por dois átomos, forma o tijolo elementar, representado, no canto superior direito, pela associação de uma bola azul e uma verde. As mesmas moléculas se reúnem de acordo com uma geometria ilustrada no canto superior esquerdo. Os pontos de fixação formam um ângulo ortogonal, obtemos uma rede que os cristalógrafos chamam de cúbica centrada na face .

O grupo ortogonal é a fonte de muitas propriedades desse estado da matéria. É responsável, por exemplo, pela forma tão característica de um floco de neve (figura 10). A regularidade da rede está na origem da existência de planos privilegiados de simetrias, que privilegiam tamanhos particulares para uma pedra preciosa. Esta geometria também determina seu índice de refração e parcialmente sua cor. As propriedades elétricas de um cristal são amplamente explicadas usando essa geometria.

Cristalógrafos usam um vocabulário diferente daquele dos matemáticos. Explica-se tanto por razões históricas como por uma forma de ver que nem sempre é a mesma. Um matemático fala da estrutura do grupo para descrever as propriedades de regularidade da rede. Para ele, a estabilidade de adição e subtração é a própria razão dessa regularidade. O cristalógrafo vê uma repetição de um padrão em intervalos regulares. Para descrever a mesma propriedade, ele usa o termo periodicidade . O termo rede passa a ser rede de Bravais , grupo ortogonal: grupo de pontos de simetria , rede primitiva de domínio fundamental . Os nomes dos diferentes grupos também são modificados, o termo grupo Klein passa a ser: grupo de pontos ortorrômbicos e grupo cíclico de ordem 2: grupo de pontos monoclínicos .

Dimensão 2

O caso da dimensão 2 ainda é simples, nenhuma ferramenta sofisticada é necessária para analisá-lo. Existem apenas quatro grupos ortogonais:

Classificação das redes bidimensionais  -  O grupo ortogonal de uma rede bidimensional é isomórfico a um dos quatro grupos a seguir: um grupo diédrico D 12 , D 8 , D 4 ou D 2 = C 2 .

O maior é chamado de grupo diédrico de ordem 12 e é denotado D 12 , que os cristalógrafos chamam de grupo de pontos hexagonais. É composto por 6 rotações de um ângulo da forma k π / 3 onde k denota um inteiro e 6 reflexões de eixo passando pela origem e, ou um vetor diferente de zero da rede de norma mínima, ou o meio de dois vetores dessa natureza. Existe apenas uma geometria para uma rede correspondente a este grupo ortogonal. Isso significa que se duas redes tiverem esse grupo ortogonal, é possível alternar de uma para a outra usando uma rotação e uma homotetia . Uma rede desta natureza é ilustrada na Figura 11. Corresponde ao conjunto de combinações lineares com coeficientes inteiros de dois vetores, denotados por α e β na ilustração, do mesmo padrão e formando um ângulo π / 3.

Uma configuração análoga apresenta um grupo ortogonal diédrico de ordem 8, denotado D 8 , que os cristalógrafos chamam de grupo de pontos tetragonal ou grupo de pontos quadráticos. O grupo ortogonal contém 4 rotações de um ângulo da forma k π / 4, onde k denota um inteiro e 4 reflexões de eixo que passam pela origem e, um vetor diferente de zero da rede de norma mínima ou o meio de dois vetores dessa natureza. Uma rede desta natureza é ilustrada na FIG. 12. Como anteriormente, ela é gerada pelas combinações lineares com coeficientes inteiros de dois vetores, denotados por α e β na ilustração, da mesma norma e formando um ângulo de π / 4.

Esses dois grupos ortogonais são os únicos que não são comutativos. O maior dos grupos comutativos contém quatro elementos. Se esse grupo pode ser visto como um grupo diedro de ordem 4, é mais frequentemente chamado de grupo de Klein . Corresponde ao grupo de 4 elementos, cada um dos quais é o seu próprio inverso e a soma de dois elementos diferentes de zero é sempre igual ao terceiro, o que torna a mesa fácil de construir.

Desta vez, não há uma, mas duas configurações de rede possíveis, ilustradas nas figuras 13 e 14. A da figura 13 é obtida por dois vetores, sempre denotados por α e β, que são necessariamente de padrões diferentes e que formam um ângulo de π / 2. A outra solução, ilustrada na figura 14, corresponde a dois vetores não alinhados, do mesmo padrão, mas formando um ângulo necessariamente diferente de π / 2. Os cristalógrafos notam que vamos da configuração da esquerda para a direita adicionando um ponto ao centro do retângulo com os lados α e β. Eles chamam essas redes de ortorrômbica primitiva e ortorrômbica centrada. O grupo ortogonal é formado pelas duas reflexões do centro da origem e do eixo paralelo a um dos lados do retângulo, os dois últimos elementos são a identidade, que faz parte da rede, e a rotação de π.

O último grupo é o obtido se nenhuma das configurações anteriores estiver presente. O grupo contém duas simetrias , a identidade e a rotação de π. A rotação de π transforma um ponto em seu oposto, deixa a rede estável e sempre faz parte do grupo ortogonal. Esse grupo é denominado cíclico de segunda ordem pelos matemáticos e monoclínico pelos cristalógrafos.

Encontrando grupos ortogonais de uma rede bidimensional

Nenhuma ferramenta sofisticada é necessária para elucidar as diferentes configurações. Podemos nos ater às técnicas elementares de álgebra linear e geometria. Assim procedeu Auguste Bravais para estabelecer as diversas estruturas de dimensão 2 e 3, a meio do XIX °  século, muito antes do aparecimento da definição formal de uma estrutura de grupo.

• Grupo diédrico de ordem 12:

O grupo ortogonal contém um subgrupo comutativo composto pelas rotações: Para perceber isso, basta notar que a composição de duas rotações ainda é uma rotação e que na dimensão 2 as rotações comutam. O grupo ortogonal sempre contém duas rotações, a identidade do ângulo 0 e o mapa que associa a um vetor seu oposto, correspondendo à rotação de uma meia volta. Isso mostra que o conjunto de rotações nunca está vazio. Finalmente, se uma rotação deixa a rede estável, a rotação reversa também necessariamente deixa a rede estável.

Inicialmente, busca-se apenas estabelecer este subgrupo também denominado grupo ortogonal especial . Na verdade, não há muitas rotações de candidatos para esse subgrupo:

Se uma rotação Θ está em um grupo ortogonal de uma rede de dimensão 2, seu ângulo é da forma k.π / 3 ou k.π / 2 , aqui k denota um inteiro: Para demonstrar isso, vamos começar notando que se Θ é uma rotação na rede, então ele transforma uma base da rede em uma base formada por vetores de mesmo comprimento e formando o mesmo ângulo orientado. Isso é o suficiente para mostrar que Θ também pode ser visto como uma rotação do plano ℝ n . Escreve-se a matriz de rotação Θ em uma base ortonormal direta, isto é composta de dois vetores de norma 1 e formando, um ângulo orientado de π / 4. Nessa base, a matriz M de Θ assume a seguinte forma, se θ denota o ângulo de rotação: M=(porque⁡θ-pecado⁡θpecado⁡θporque⁡θ){\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}} Usamos um truque, o traçado de um mapa linear, ou seja, a soma dos dois coeficientes diagonais em nosso caso, não se modifica se a base em que o mapa linear é expresso for modificada. Se escolhermos uma base na rede, a matriz tem coeficientes inteiros, o traço é, portanto, um inteiro, o que mostra que 2cos ( θ ) é um inteiro, ou que cos ( θ ) é igual a - 1, −1/2, 0, 1/2 ou 1. Encontramos os valores anunciados para o ângulo de rotação.

Intuitivamente, podemos perceber isso observando que é possível pavimentar o espaço com triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos , que vemos graficamente no exemplo de uma rede ilustrada no parágrafo Definição . Um pequeno desenho mostra que isso é impossível com pentágonos e, para polígonos regulares, assim que atingirmos ou excedermos 7 vértices, estaremos próximos demais do círculo para podermos ter esperança de pavimentar o espaço.

Se houver uma rotação no grupo ortogonal do ângulo π / 3 , 2π / 3 , 4π / 3 ou 5π / 3 , o grupo ortogonal conterá exatamente as seis rotações do ângulo k π / 3 , com k variando de 0 a 5: Vamos mostrar primeiro que a rotação, observada aqui Θ, do ângulo π / 3 está no grupo. Seja λ qualquer elemento da rede, é necessário mostrar que sua imagem por Θ está de fato na rede. A figura do hexágono correspondente a este caso nos ajudará. Se a rotação presente no grupo é de ângulo π / 3, não há nada a provar. Se for de ângulo 2π / 3, basta aplicar a rotação Θ duas vezes a λ. O oposto desse resultado é igual a Θ (λ), o que mostra que esse valor está de fato na rede e, portanto, Θ está no grupo ortogonal. Se a rotação que deixa a rede estável é a do ângulo 4π / 3, basta aplicá-la quatro vezes a λ e notar que seu oposto é igual a Θ (λ). Finalmente, se for a rotação do ângulo 5π / 3, basta aplicá-la cinco vezes a λ para obter o resultado desejado. Como a rotação Θ deixa a rede estável, a aplicação dupla desta rotação, ou seja, a rotação do ângulo 2π / 3 também está no grupo ortogonal. Aplicando esse raciocínio cinco vezes, descobrimos que as seis rotações do enunciado deixam a rede estável. Resta mostrar que não há outro. De um resultado anterior, isso só poderia ser uma rotação de um quarto de volta. No entanto, uma rotação de um quarto de volta depois de uma rotação de um sexto de volta é uma rotação, seja de um duodécimo de volta ou de um décimo de segundo de volta. Nenhuma destas duas rotações pode fazer parte do grupo ortogonal, uma rotação de um quarto de volta, neste contexto não pode, portanto, fazer parte do grupo ortogonal. A proposição está bem demonstrada.

Agora sabemos todas as rotações do grupo ortogonal. Para ir mais longe, precisamos do vetor α das ilustrações, ou seja, um vetor da rede, diferente de zero e de norma menor. Também usamos β, sua imagem pela rotação de um sexto de volta. É hora de mostrar que a configuração da rede é de fato a da primeira figura do parágrafo.

Qualquer ponto na rede é uma combinação linear de α e β com coeficientes inteiros: Já conhecemos a configuração da rede no disco de raio a norma de α e de centro o vetor zero. Corresponde exatamente ao da figura. No interior do disco, encontramos o vetor zero porque não há outra rede vetorial padrão estritamente menor que α. Na borda do disco, encontramos as seis imagens de α pelas seis rotações, como na ilustração. Para elucidar a situação fora do disco, usamos o mesmo truque usado para demonstrar a existência de uma base na dimensão 2. Observe que o par (α, β - α) é uma base de ℝ n , um vetor λ é expresso nesta base. Resta apenas mostrar que as duas coordenadas a e b de λ nessa base de dados são inteiros. Nós decompor um = q um + r um e b = q b + r b . O vetor q a α + q b (β - α) é uma combinação linear com coeficientes inteiros de dois pontos da rede, é um ponto da rede. A diferença entre λ e este vetor também é um ponto da rede, igual a r a α + r b (β - α). Como suas coordenadas são estritamente menores que 1, essa diferença encontra-se no paralelogramo dos vértices 0, α, β - α e β. Notamos que este paralelogramo está dentro do disco de raio a norma de α e de centro o vetor zero. Como r a e r b são estritamente menores que 1, o único ponto da rede nesta área é o vetor zero. Isso mostra que r a e r b são zero e que λ é de fato uma combinação linear de α e β - α com coeficientes inteiros. Esta propriedade é equivalente à da proposição a ser demonstrada.

A determinação está quase acabando. Tanto as rotações como os pontos da rede são conhecidos, resta apenas determinar os elementos do grupo ortogonal que não são rotações. Em um plano, uma isometria vetorial que não é uma rotação é um reflexo, esta primeira observação nos ajudará. Um segundo é útil: o composto de dois reflexos é uma rotação e o composto de uma rotação e um reflexo é um reflexo. A última observação é que o composto de uma reflexão consigo mesmo é a aplicação idêntica, falamos de uma aplicação involutiva  :

O grupo ortogonal contém exatamente 12 elementos e é uma cópia do grupo diédrico D 12  : Comecemos por construir uma reflexão, O mapa linear Γ, que deixa α estável e que transforma β em α - β é uma reflexão, porque preserva as distâncias e os ângulos de uma base e tem uma linha invariante e não é identidade . Se considerarmos os seis mapas compostos por Γ com Θ k para k variando de 0 a 5, obtemos seis reflexões. O símbolo Θ k denota a aplicação Θ aplicada k vezes ou a rotação do ângulo k π / 3. Os reflexos são todos diferentes; para realizá-lo, basta aplicar essas reflexões à reflexão Γ: obtém-se seis mapas diferentes, o que seria impossível se dois dos mapas do tipo Γ.Γ k fossem iguais. Resta mostrar que um reflexo Γ é sempre um dos 6 encontrados. Primeiro aplicamos Γ 1 e depois duas vezes Γ; encontramos Γ 1 porque aplicar duas vezes Γ equivale a não fazer nada. Notamos que Γ.Γ 1 é uma rotação; portanto, existe um valor k tal que Γ, Γ 1 é igual a Θ k . Reaplicamos Γ para obter Γ 1 novamente e descobrimos que Γ 1 é igual a Γ , k , um dos 6 já contados. Notamos que Γ e Θ não comutam; Γ.Θ é a reflexão do eixo dirigido por 2α - β enquanto Θ.Γ é a reflexão do eixo dirigido por α + β. O grupo ortogonal contém 12 elementos, um dos quais é de ordem 6 e não é comutativo. Apenas as cópias do grupo diédrico D 12 verificam todas essas propriedades.

• Grupo diédrico de ordem 8:

Basta aplicar exatamente o mesmo raciocínio de D 4 . Verificamos que se houver uma rotação de um quarto de volta, o grupo ortogonal é composto por quatro rotações e quatro reflexões e que a rede é gerada por dois vetores de normas menores α e β, que possuem o mesmo padrão e que eles formam um ângulo de um quarto de volta.

• Grupo Klein:

Presume-se ao longo do restante das demonstrações que a configuração não é uma das já tratadas. As únicas rotações do grupo ortogonal são a identidade, que não move nenhum vetor, e a volta em U, que a um vetor associa seu oposto. Torna-se útil estudar as reflexões com um pouco mais de precisão:

Não pode haver mais do que duas reflexões diferentes: Suponha que haja duas reflexões distintas Γ 1 e Γ 2 . A rotação Γ 1 .Γ 2 é igual ou à identidade, ou ao seu oposto, porque são as únicas rotações do grupo ortogonal. Se Γ 1 .Γ 2 for igual à identidade, aplicando Γ 1 novamente , descobriríamos que Γ 1 e Γ 2 são iguais, o que é contrário à hipótese. Deduzimos que Γ 1 .Γ 2 é igual ao oposto da identidade e, aplicando então Γ 1 , descobrimos que Γ 2 é igual a −Γ 1 . Não pode existir um terceiro, também seria igual a −Γ 1 , portanto a Γ 2 . Existe apenas uma estrutura possível para um grupo ortogonal de mais de dois elementos, o grupo de Klein: O grupo contém apenas duas rotações. Os outros elementos são reflexos e só pode haver dois, um notado Γ e seu oposto - Γ . O grupo ortogonal é então composto por quatro elementos, cada um sendo involutivo , ou seja, o elemento, composto por si mesmo, é igual à identidade. Existe apenas uma estrutura de grupo composta por 4 elementos, cada um sendo seu próprio inverso: o grupo de Klein.

Mais uma vez, α denota um vetor da rede diferente de zero de norma menor.

A estrutura do grupo ortogonal é de Klein se existe um vetor β tal que α e β formem uma base da rede e β é da mesma norma que α , ou β é ortogonal a α , mas não ambos: Já sabemos que β não pode ser ambos, o grupo ortogonal seria então diedro de ordem 8. Suponhamos que o grupo ortogonal seja de Klein. Existem quatro isometrias involutivas. Uma vez que existem apenas duas rotações involutivas, a identidade e seu oposto, há também um reflexo no grupo ortogonal. A imagem de α por este reflexo tem a mesma norma que α. Se esta imagem é −α ou α, denotamos por Γ a reflexão que envia α em −α. Corresponde quer à reflexão considerada, quer ao seu oposto. Denotamos por β o vetor da rede de menor norma entre aquelas não colineares com α. O ponto γ designa um vetor colinear com o eixo da reflexão Γ. Mostraremos que β está no eixo de reflexão de Γ, o que equivale a dizer que é perpendicular a α. O par (α, γ) é uma base de ℝ n  ; podemos expressar o vetor β nesta base: β = a α + c γ; a coordenada a é, em valor absoluto , estritamente menor que 1/2. De fato, se fosse maior, o vetor β - α seria de norma menor que o de β e se a fosse menor que −1/2, o vetor β + α seria de norma menor que o de β. O vetor Γ (β) é um elemento da rede, igual a - a α + c γ, o que mostra que β - Γ (β), igual a 2 a α, é um ponto da rede e que 2 a é um número inteiro. Como a é estritamente menor que 1/2 em valor absoluto e 2 a é um inteiro, a é zero e β é proporcional a γ; é um elemento do eixo de reflexão. O par (α, β) é formado por um vetor diferente de zero da rede de menor norma e de um vetor da rede de não elemento do eixo dirigido por α e de menor norma. De acordo com a prova da existência de uma base na dimensão 2, esses dois vetores formam a base da rede. De fato, encontramos dois vetores que satisfazem as hipóteses da proposição. Se a imagem β de α por uma reflexão não é nem α nem −α, o vetor β tem a mesma norma que α e, portanto, a menor norma na rede, com exceção do vetor zero. O ponto β não pode ser igual a α ou a −α por hipótese, mesmo que esses pontos tenham a mesma norma. Portanto, eles não podem ser proporcionais. Mostramos a existência de dois vetores de norma mínima, com exceção do vetor zero, na rede e não colineares. Eles formam uma base que satisfaz as hipóteses da afirmação.

Resta provar o contrário:

A estrutura do grupo ortogonal é de Klein apenas se houver um vetor β tal que α e β formem uma base da rede e β é da mesma norma que α , ou β é ortogonal a α , mas não ambos: Assumimos que a base (α, β) existe. O grupo ortogonal contém apenas duas rotações. Basta mostrar que há uma reflexão para estabelecer a proposição. Se α e β são da mesma norma, o mapa linear Γ, que para α associa β e para β associa α, respeita com base (α, β), tanto a distância quanto o ângulo, é uma isometria. O vetor α + β é invariante por Γ e Γ não é o mapa de identidade, pois a imagem de α não é α. A aplicação Γ é, portanto, um reflexo. As imagens de α e β por esta reflexão são elementos da rede, portanto qualquer combinação linear com coeficientes inteiros desses dois vetores ainda é um elemento da rede. Isso equivale a dizer que Γ é uma isometria que deixa a rede estável, é a definição de um elemento do grupo ortogonal. O grupo ortogonal contém uma reflexão, vimos que isso significa que este grupo é de Klein. Se agora β é ortogonal a α, a aplicação linear Γ, que para α associa −α e para β associa β é uma reflexão. O mesmo raciocínio do anterior permite-nos concluir.

Resta apenas um caso para tratar:

• Grupo cíclico de ordem 2:

Se nenhuma das configurações já estudadas estiver presente, o grupo ortogonal conterá exatamente duas rotações, a identidade e seu oposto e sem reflexão. É um grupo de dois elementos, que é necessariamente o grupo cíclico de ordem 2, porque não há outro grupo de dois elementos.

Dimensão 3

A dimensão 3 é semelhante em natureza à dimensão 2. Desta vez, encontramos 7 grupos e 14 redes de diferentes tipos.

Classificação das redes tridimensionais  -  O grupo ortogonal de uma rede tridimensional é isomórfico a um dos seguintes sete grupos: o grupo cubo, isomórfico a S 4 × C 2 , o grupo de pontos hexagonais D 12 × C 2 , D trigonal 12 , tetragonal D 8 × C 2 , ortorrômbica K × C 2 , monoclica K e triclínico C 2 .

Aqui, D 2 n denota o grupo diédrico de ordem 2 n , S n denota o grupo simétrico de índice ne ordem n !, K o grupo de Klein (de ordem 4) e C 2 o grupo cíclico d ordem 2. Existem quatro grupos não abelianos de ordens 48, 24, 16 e 12, depois três grupos abelianos de ordens 8, 4 e 2, que contêm apenas elementos involutivos .

Três diferentes geometrias de rede exibem simetria cúbica, mostrada na Figura 15 abaixo. O primeiro, correspondente à imagem à direita, é isomórfico à rede ℤ 3 , ou seja, há uma rotação e uma homotetia que envia a rede para ℤ 3 . Em cristalografia, falamos de uma estrutura cúbica primitiva . Existe um domínio fundamental cúbico, globalmente invariante por qualquer isometria do grupo ortogonal. O segundo caso é ilustrado no centro da figura 15. Tem como figura característica, em verde, um cubo cujos centros das faces são ocupados por um ponto. Falamos de uma estrutura cúbica centrada na face . O domínio fundamental ilustrado não é mais cúbico. O terceiro caso é ilustrado na imagem à esquerda da figura 15. Uma figura repetitiva que aparece na rede é a de um cubo cujo centro também é um elemento da rede; os cristalógrafos falam de uma rede cúbica centrada .

Duas geometrias contêm rotações de um terço de volta. A Figura 16 corresponde à replicação da rede hexagonal bidimensional. O eixo ortogonal a um plano contendo a rede hexagonal de dimensão 2, é um eixo de simetria contendo o terceiro vetor δ de um domínio fundamental. As isometrias encontradas no caso da dimensão 2 estendida em δ por identidade estão todas no grupo ortogonal. A simetria deixando o plano do hexágono invariante e transformando δ em −δ também é uma isometria deixando a rede invariante. O grupo ortogonal é isomórfico a D 12 × C 2 , o produto direto das isometrias D 12 da rede hexagonal bidimensional pelo grupo C 2 gerado pela simetria ortogonal transformando δ em −δ.

A Figura 17 ilustra uma rede contendo um grupo ortogonal menor. A rede é obtida adicionando 6 pontos adicionais da figura 16. Se δ denota o menor vetor da rede ortogonal ao plano do hexágono, 3 pontos estão a uma altura de / 3 e os outros três a 2δ / 3. Os 3 pontos a uma altura de δ / 3 formam um triângulo equilátero da mesma geometria daqueles que constituem o hexágono. O centro de gravidade deste triângulo é vertical ao centro de um hexágono e a projeção paralela a δ, de cada ponto do triângulo corresponde ao centro de gravidade de um dos triângulos do hexágono. Os três últimos pontos formam outro triângulo, obtido girando o eixo dirigido por δ e meia volta.

Existe uma maneira única de estender a toda a rede uma isometria do grupo ortogonal da rede hexagonal de dimensão 2. Para metade dos elementos do grupo, em δ esta extensão é a identidade. Para a outra metade, esse prolongamento é a dilatação da razão -1. O grupo ortogonal é isomórfico a D 12 . Com as rotações do cubo, essas duas geometrias são as únicas a conter uma rotação de um terço de volta. Nenhum desses dois grupos é comutativo.

As redes tetragonais têm muitas analogias com o caso anterior. Corresponde à passagem para a dimensão 3 do agrupamento da praça. Para que as simetrias do quadrado possam ser estendidas na dimensão 3, é necessário colocar o último ponto que define a rede, em um eixo perpendicular ao quadrado e passando por um dos pontos do quadrado ou pelo seu ponto médio.

Cada simetria do quadrado pode ser estendida por uma rotação na dimensão 3. É então possível compor a isometria pela dilatação da razão -1. Assim, a cada isometria do quadrado corresponde duas extensões na dimensão 3. Como a homotetia da razão -1 comuta com todas as isometrias, o novo grupo ortogonal é o produto direto daquele da dimensão 2 com C 2, que pode ser visto como o identidade e homotetia da razão −1 em ℝ 3 . Este grupo é o último não comutativo.

Uma parte da convenção entra na definição dos tipos de redes de Bravais. Assim, identifica-se, para os grupos de pontos tetragonais, as redes centradas e aquelas com faces centradas. Se considerarmos uma rede centrada e escolhermos como a figura do quadrado horizontal, aquela formada por duas diagonais, obtemos uma figura com a face centrada. Essa observação também é verdadeira para redes cúbicas.

Os outros grupos ortogonais são todos comutativos. Não se caracterizam pelo fato de compreenderem apenas isometrias involutivas , ou seja, se as aplicarmos duas vezes, encontraremos a identidade. O maior desses grupos contém 8 elementos. Corresponde ao grupo às vezes observado K 4 ou ao produto do grupo Klein e do grupo cíclico de ordem 2.

Existem 4 tipos diferentes de redes, embora todas tenham a mesma aparência. Eles são construídos a partir de 4 vetores ortogonais, nenhum dos quais tem o mesmo tamanho. A rede primitiva é um paralelepípedo dessa natureza. Existem, então, três maneiras de centrar pontos adicionais, ou no meio do paralelepípedo, ou no centro de cada face, ou no centro de duas faces opostas (fig. 19).

Se existe um eixo ortogonal a um plano da rede, mas o plano não contém eixos de simetria, o grupo não tem mais 8, mas 4 elementos. Em seguida, encontramos uma estrutura semelhante à da dimensão 2 e o grupo de pontos é o de Klein. É composto por dois reflexos opostos, da identidade e da homotetia da razão -1. Dois tipos distintos de redes, ilustrados na Figura 18, possuem esse grupo ortogonal.

Finalmente, se nenhuma das configurações anteriores aparecer, então há apenas duas isometrias restantes no grupo, a identidade e a dilatação da razão -1.

Representações de um grupo finito

Se a situação na dimensão 3 for da mesma natureza da dimensão 2, as demonstrações são um tanto complicadas. Vários fatores que diferenciam as dimensões 2 e 3 não simplificam a tarefa. O mais importante é provavelmente o fato de que o grupo ortogonal especial não tem mais razão para ser abeliano , nem sempre duas rotações comutam. Então, os grupos são maiores, o maior contém 48 elementos na dimensão 3, contra 12 na dimensão 2. É sempre possível usar os rudimentos da álgebra linear e da geometria. O método torna-se mais longo e acima de tudo mais perigoso. A primeira classificação de Frankenheim  (em) , datada de 1842 , não era clara. Demorou seis anos para que os erros fossem corrigidos pelo Bravais.

É possível enriquecer a parafernália com ferramentas mais poderosas. Uma teoria abrangendo a de grupos e álgebra linear é particularmente adequada. Seu objeto é o estudo dos morfismos de um grupo G no grupo linear de um espaço vetorial E de dimensão finita, escolhido como complexo e equipado com um produto Hermitiano tal que o conjunto de chegada contém apenas isometrias. Quatro resultados são usados ​​aqui. Qualquer representação se decompõe em uma soma direta de representações irredutíveis, um resultado conhecido como teorema de Maschke . Isso quer dizer que é possível decompor E em uma soma direta de subespaços mutuamente ortogonais e estáveis ​​por todas as isometrias da representação. A restrição da representação a um subespaço estável não contém nenhum subespaço estável para cada isometria da representação, exceto para subespaços triviais. Uma representação dessa natureza é considerada irredutível . O caractere χ φ de uma representação φ é o mapa de G em ℂ, que a um elemento h de G associa o traço de φ ( h ). Se g denota a ordem do grupo G e φ, ψ duas representações, associamos aos caracteres o seguinte produto hermitiano:

⟨χφ,χψ⟩=1g∑h∈Gχφ(h)χ¯ψ(h){\ displaystyle \ langle \ chi _ {\ varphi}, \ chi _ {\ psi} \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {h \ in G} \ chi _ {\ varphi} ( h) {\ overline {\ chi}} _ {\ psi} (h)}.

Uma representação é irredutível se, e somente se, a norma de seu caráter é igual a 1. Se duas representações irredutíveis não são isomórficas, então o produto Hermitiano de seus dois caracteres é igual a 0, em outras palavras, os dois caracteres são ortogonais. Existem exatamente tantas representações irredutíveis quanto o número de classes de conjugação no grupo. Finalmente, existe uma representação particular chamada representação regular . Para construí-lo, consideramos que a família ( h i ) dos elementos do grupo é uma base ortonormal de um espaço vetorial. Com h um elemento do grupo, associamos a isometria que transforma a base ( h i ) na base ( hh i ). Uma representação regular contém tantas cópias de uma representação irredutível quanto o grau dessa representação irredutível.

Ordem de um grupo especial ortogonal

Nesta caixa suspensa, o termo grupo ortogonal designa as isometrias de uma rede tridimensional, o termo grupo especial ortogonal designa o subgrupo de isometrias com determinante igual a 1. Vamos começar com uma proposição geral:

• Qualquer isometria do grupo ortogonal é da ordem 1, 2, 3, 4 ou 6:

Seja φ um elemento do grupo ortogonal. Sua matriz M , à potência da ordem do grupo é igual à identidade, segundo o teorema de Lagrange . Isso mostra que M é diagonalizável . O endomorfismo φ também admite uma matriz com coeficientes inteiros; deduzimos que existe um número complexo ω tal que a matriz M é semelhante a M ω , com: Mω=(1000ω000ω¯){\ displaystyle M _ {\ omega} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ omega & 0 \\ 0 & 0 & {\ overline {\ omega}} \ end {pmatrix}}} O traço de M ω é um inteiro; deduzimos que a soma de ω e seu conjugado é um inteiro, o que mostra o resultado.

O Cauchy , uma consequência direta de um teorema de Sylow, mostra que se n é um fator primo do número de ordem do grupo, então há um elemento do grupo de ordem n . Deduzimos que a ordem do grupo ortogonal é da forma 2 p .3 q , onde p e q são inteiros positivos. Primeiramente, procuramos determinar a estrutura de um grupo ortogonal especial, ou seja, isometrias da rede com um determinante igual a 1. Sua ordem tem apenas 2 ou 3 como fator primo. Podemos ser mais precisos:

• Qualquer grupo especial ortogonal é da ordem de um divisor de 24:

O expoente de 3 da ordem de um grupo ortogonal especial de uma rede de R 3 não pode ser estritamente maior que 1: Esta é uma consequência bastante direta dos teoremas de Sylow . Esses teoremas nos ensinam que qualquer grupo de ordem 3 p . b , onde p e b denotam inteiros positivos e como b é um número primo, contém um grupo de ordem 3 p , denominado subgrupo 3 máximo. Esse grupo é um grupo de 3 e tem propriedades muito específicas. Seu centro, ou seja, o subgrupo dos elementos que comutam com todos os elementos do 3-grupo, não é trivial. Considere um grupo G de 3 com mais de 3 elementos. Mostraremos que ele contém um subgrupo abeliano de 9 elementos. Ou seu centro contém estritamente mais de 3 elementos, ou existe um elemento g , que não está no centro e o grupo gerado pelo centro eg é um grupo abeliano estritamente de mais de três elementos. Sempre podemos extrair deste subgrupo um novo subgrupo de exatamente 9 elementos.O grupo ortogonal especial não pode conter um subgrupo abeliano de 9 elementos. Tal subgrupo é isomórfico a C 9 - o grupo cíclico de 9 membros - mas nenhum elemento do grupo ortogonal especial é da ordem 9. Caso contrário, ele contém uma cópia do grupo C 3 × C 3 . No entanto, a teoria das representações de grupos finitos nos ensina que não há representação fiel, ou seja, injetiva, de tal grupo na dimensão 3. O lema, e o fato de que o grupo ortogonal especial não pode conter tal subgrupo mostra o proposta.

Agora vamos encontrar o máximo de 2 grupos de um grupo especial ortogonal.

O expoente de 2 da ordem de um grupo especial ortogonal não pode ser estritamente maior que 3:O caso dos grupos abelianos é relativamente simples. Seja G um subgrupo 2 abeliano, sua decomposição em representações irredutíveis mostra que a dimensão necessária para representar C 2 é 1 e que é igual a 2 para C n se n for estritamente maior que 2. O valor n não pode exceder 4 em nosso caso, porque nenhum elemento do grupo especial ortogonal tem uma maior ordem de 4. L pode ser isomorfa a C 2 , C 2 × C 2 , C 4 × C 2 e C 2 × C 2 × C 2 n 'não é possível porque alguns elementos seriam determinantes -1. O maior subgrupo abeliano está na ordem máxima 8 e se esta for a sua ordem, é isomorfo a C 4 × C 2 .Para o caso não abeliano, consideremos seu caráter , os únicos valores possíveis das imagens são: ou 3, obtido para ω igual a 1, ou 1 obtido para ω igual a i ou - i . O valor 3 pode ser obtida uma vez, o valor 1 é necessariamente 2 p - 1, 2 se p designa a ordem de L . Tal representação não pode ser irredutível, o quadrado da norma do personagem é de fato igual a 1/2 p (9 + 2 p - 1), que não pode ser igual a 1, ao passo que sempre é o caso para uma representação irredutível. Esta representação é a soma direta de duas representações irredutíveis, uma denotada χ 1 de grau 1, a outra, χ 2 de grau 2. Se χ 2 não fosse irredutível, a representação se decomporia em representações irredutíveis de grau 1, o que impõe a comutatividade do grupo, o que não é o caso estudado. Notamos que os caracteres χ 1 e χ 2 são necessariamente com valores reais porque sua soma é, de fato: χ1+χ2=χ¯1+χ¯2{\ displaystyle \ chi _ {1} + \ chi _ {2} = {\ overline {\ chi}} _ {1} + {\ overline {\ chi}} _ {2}} Do contrário, teríamos uma combinação linear nula entre 4 caracteres irredutíveis distintos, o que não pode ser porque os caracteres irredutíveis formam uma família livre (e mesmo uma base do espaço de funções centrais ). O caractere χ 2 possui valores reais, mas os endomorfismos associados, agora em um espaço de dimensão 2, não estão necessariamente com um determinante positivo. Desta vez, os valores possíveis são 2, −2 e 0. O traço 2 é necessariamente aquele da identidade e −2 aquele da dilatação da razão -1 porque os valores próprios de um endomorfismo do grupo são necessariamente de módulo igual a 1. Deduzimos que os valores 2 e −2 são alcançados apenas uma vez. O quadrado da norma do personagem agora é igual a 1/2 p (2 2 + 2 2 ) = 1. Deduzimos que p é igual a 3 e a ordem do grupo a 8. O único grupo não comutativo de a ordem 8 é o grupo diédrico D 8 , cujo caráter é reconhecido como uma representação irredutível e fiel. O termo fiel significa que a representação é injetiva.

Foi demonstrado que os 2 grupos maiores são os 2 grupos C 4 × C 2 e D 8 , dois grupos de ordem 8 provavelmente contidos em um grupo ortogonal especial de uma rede tridimensional. O grupo 3 grande é C 3 e não há outro grupo p , o que comprova a proposição.

Representações irredutíveis de grau 3

O princípio da abordagem consiste em estudar inicialmente os grupos ortogonais que admitem uma representação irredutível, depois aqueles que têm uma representação de grau 2, finalmente aqueles que têm apenas representações de grau 1. Para simplificar, procuramos primeiro apenas o grupo ortogonal especial e limitamos nos a grupos que não têm elementos de ordem 6. Esta abordagem destaca o grupo do cubo. Só se poderia usar as ferramentas da álgebra linear, mas, com tanto esforço, só se encontrariam resultados mais parciais.

O grupo ortogonal tem uma representação natural. Um elemento de tal grupo é uma isometria de uma rede, que naturalmente se estende em uma isometria de ℝ 3 . Também podemos considerá-lo como uma isometria de ℂ 3 . Existem duas maneiras de fazer isso. Ou consideramos sua matriz na base canônica, ela também pode ser vista como a matriz de uma isometria de ℂ 3 expressa na base canônica. Ou estudamos o produto tensorial de ℂ por ℝ 3 , que é um espaço vetorial ℂ tridimensional sobre o qual a isometria do grupo ortogonal se estende naturalmente. Sabemos que tal representação é fiel, ou seja, injetiva. Na verdade, para uma dada matriz em uma determinada base, apenas uma aplicação linear corresponde.

• Os únicos subgrupos de um grupo especial ortogonal sem um elemento de ordem 6 e tendo uma representação irredutível de grau 3 são S 4 e A 4  :

Aqui, A 4 denota o grupo alternado de elementos de índice 4 a 12. Corresponde às permutações de um conjunto de 4 elementos com assinatura positiva. O grupo A 4 nunca é um grupo ortogonal especial, que mostraremos um pouco mais tarde.

Se um subgrupo de um grupo especial ortogonal admite uma representação irredutível de grau 3, sua ordem é 12 ou 24: Ou L no grupo de estudo, g seu fim e φ uma representação irredutível de L . Os únicos valores possíveis do traço das imagens de φ são 3, 1, 0 e −1. De fato, as imagens de φ são rotações de um ângulo particular igual a k π / 3 ou k π / 4 com k inteiro. O ângulo zero corresponde à identidade, elemento do grupo de traço 3. As rotações dos ângulos π / 3 e 4π / 3 são impossíveis porque o grupo não possui nenhum elemento de ordem 6. As rotações dos ângulos 2π / 3 e 4π / 3 dão o traço 0. Aqueles de uma meia volta -1 e que de um quarto de volta 1. seja p 1 (resp. p 0 e p -1 ) ser o número de isometries do grupo possuindo um traço igual a 1 (resp. 0 e −1), há apenas um endomorfismo com traço igual a 3, a identidade. Procuramos uma representação irredutível φ; isso impõe como restrição que o quadrado da norma de seu caráter χ φ seja igual a 1, isto é, novamente: 9 + p 1 + p −1 = g , a ordem do grupo procurado. Também sabemos que g = 1 + p 1 + p −1 + p 0 e que o caractere χ φ é ortogonal ao caractere trivial χ t , que associa 1 a cada elemento e, portanto, 3 + p 1 - p −1 = 0 Deduzimos que p 0 é igual a 8, p −1 pelo menos a 3. Finalmente, sabemos que g é um divisor de 24.Essas diferentes equações têm apenas duas soluções, ou p 1 é igual a 6, p −1 a 9 ep 0 a 8, ou p 1 é igual a 0, p −1 a 3 ep 0 a 8. O que prova a proposição bem, de fato, no primeiro caso g = 1 + 9 + 8 + 6 = 24 e no segundo g = 1 + 8 + 3 = 12.

Na verdade, a demonstração nos dá mais informações. A assinatura 3 impõe um elemento de ordem 1, o grupo contém apenas uma unidade (o que não é surpreendente, esta propriedade é verdadeira para todos os grupos), 9 isometrias de traço −1 impõe que existem 9 elementos de ordem 2, traço 0 indica 8 elementos de ordem 3 e traço 1, 6 elementos de ordem 4. Esses resultados se aplicam ao grupo de 24 elementos.

Agora nos concentramos em um grupo G com 24 elementos; o objetivo é mostrar que este grupo é necessariamente o do cubo:

O Grupo G contém um subgrupo distinto de ordem 12: A representação regular de G é de grau 24; contém 3 cópias da representação estudada, que ocupa 9 dimensões e a representação trivial, que ocupa uma. Restam 14, que podem ser usadas por representações de grau 1, 2 ou 3. Analisemos aquelas de grau 1; estão necessariamente associados a subgrupos cíclicos, os únicos valores possíveis para a duração do ciclo são 2, 3 e 4. O valor 3 é impossível, aliás, se 3 fosse um valor possível, haveria um morfismo do grupo G sobrejetivo em C 3 e G seria o produto semi-direto de um subgrupo de ordem 8 e C 3 . Os únicos morfismos de C 3 no grupo de automorfismos de um grupo de ordem 8 são os morfismos triviais, o produto seria, portanto, direto. Como G não é abeliano - por ter uma representação irredutível de grau 3 - o único valor possível do grupo é D 8 , o único grupo não comutativo de ordem 8, ou o produto direto de D 8 e C 3 contém um elemento de ordem 12, que G não contém . Uma análise dimensional mostra que G não contém representações de C 4 . Com efeito, se as contivesse, essas representações ocupariam, além da representação trivial, três dimensões, restariam então 11 dimensões a serem preenchidas com representações de ordem 2 que ocupam 4 dimensões cada e aquelas de ordem 3 que ocupam 9 , o que é impossível. Resta apenas o uso da segunda representação σ de C 2 , diferente da trivial. As representações de ordem 1: a trivial e σ, ocupam duas dimensões, uma de grau 2 eleva as dimensões ocupadas a 6 e duas representações de grau 3 ocupam as 18 restantes.Deduzimos que existe uma representação não trivial de dimensão 1, associada ao grupo cíclico de ordem 2. Representa a assinatura , o núcleo desta representação é de ordem 12 e é distinto.

Já não estamos muito longe de sermos capazes de identificar G a S 4 . Podemos identificar quatro classes de conjugação de G , unidade de classe, aquela de ordem 2 elementos de ordem 3 e ordem 4 ou 2. Ela realmente existe 5. Além disso, conhecemos 3 representações irredutíveis, o t trivial , a assinatura σ e um irredutível φ , cujos determinantes são todos iguais a 1.

Existe apenas um grupo de 24 elementos que pode ser um grupo especial ortogonal, S 4 , cuja tabela de caracteres é a seguinte:

Porque. irr. 1 (ab) (ABC) (ab) (cd) (abcd) N º de Unidades 1 6 8 3 6 χ t 1 1 1 1 1 χ σ 1 -1 1 1 -1 χ θ 2 0 -1 2 0 χ φ 3 1 0 -1 -1 χ φσ 3 -1 0 -1 1

Os valores da tabela não são dados nos elementos, mas nas classes de conjugação cuja cardinalidade é dada na segunda linha. Na verdade, um caractere é sempre constante em uma classe de conjugação. A representação φσ corresponde àquela que, com um elemento h do grupo, associa a isometria (−1) σ (h) φ ( h ). A representação θ ainda não foi determinada.

Os elementos de G com imagem igual a 0 ou 3 por χ φ são de ordem ímpar, respectivamente 1 e 3, basta multiplicar suas matrizes por si mesmos para perceber isso. A representação associada a σ é igual a 1 para esses valores. O valor 1 ainda é atingido 3 vezes e o valor −1, 12 vezes para os elementos de G que têm 1 e −1 como imagem por χ φ . Sabemos que existem 12 imagens de valor 1 e 12 de valor -1. Denotamos por p (resp. Q ) o número de elementos do grupo tendo por imagem por χ φ 1 e por χ σ 1 e (resp. −1). Da mesma forma, denotamos por r (resp. S ) o número de elementos do grupo tendo por imagem por χ φ −1 e por χ σ 1 e (resp. −1). Obtemos as igualdades: p+q=6,r+s=9,p+r=3,eq+s=12{\ displaystyle p + q = 6, \; r + s = 9, \; p + r = 3, \; {\ text {e}} \; q + s = 12}. Essas quatro equações estão relacionadas; a soma das duas primeiras é igual à das duas últimas, o que não permite uma resolução direta. No entanto, a análise que levou à existência de um subgrupo de ordem 12 mostra que existem 5 representações irredutíveis, portanto 5 classes de conjugação . No entanto, a imagem recíproca de −1 por χ φ contém elementos de ordem 2 e 4, portanto, contém duas classes. Deduzimos que p ou q é zero e que o outro valor é igual a 6. A igualdade p + r = 3 mostra que a única solução positiva do sistema é p = 0, deduzimos q = 6, r = 3 e s = 6. Multiplicando χ φ por χ σ , obtemos um novo caráter irredutível, que agora é 4 dos cinco procurados. A combinação linear dos caracteres irredutíveis com sua dimensão como coeficientes dá o caráter de representação regular, o que permite encontrar o último caractere, aqui anotado χ θ .É hora de concluir. O grupo G procurado tem como tabela de caracteres a de S 4 , o que mostra que os dois grupos são isomórficos.

As isometrias do grupo G correspondem à representação φ, pois a representação φσ possui isometrias de determinantes negativos. Assim, sabemos exatamente os elementos do grupo ortogonal especial. Este grupo pode ser de fato um subgrupo, porque já sabemos que não pode haver grupo ortogonal de ordem estritamente maior do que a de G .

Vamos agora analisar o segundo caso, aquele em que o grupo G contém 12 elementos.

O único subgrupo de um grupo especial ortogonal, de ordem 12 e admitindo uma representação irredutível de grau 3 , é isomorfo a A 4  :

Possui, como tabela de caracteres:

Porque. irr. 1 (ab) (cd) (abc) 1 (abc) 2 N º de Unidades 1 3 4 4 χ t 1 1 1 1 χ j 1 1 j j χ j 1 1 j j χ ψ 3 -1 0 0

O grupo G agora é da ordem 12, e o caráter da representação associada ao grupo ortogonal especial ψ leva 1 vez o valor 3, 8 vezes o valor 0 e 3 vezes o valor −1. Além do caráter χ trivial t , existem apenas duas dimensões para encontrar a compreender a representação regular de G . Essas duas dimensões podem corresponder apenas a representações da dimensão 1, porque uma representação da dimensão 2 já possui 4 dimensões. O único subgrupo cíclico que oferece duas dimensões adicionais é C 3  ; os dois caracteres ausentes, portanto, assumem os valores j e seu conjugado. Agora conhecemos uma partição do grupo em 3 subconjuntos, precisamos de 4 para conhecer todas as classes de conjugação. A única solução para preservar a ortogonalidade dos caracteres é dividir em duas partes iguais a imagem recíproca de 0 por χ φ . Obtemos a tabela de caracteres esperada, correspondente ao grupo alternado do índice 4. Agora sabemos que um grupo especial ortogonal com uma representação irredutível da dimensão 3 sem elemento de ordem 6 é o grupo S 4 ou o grupo A 4 .

Ainda faltam 3 passos para completar o estudo de grupos ortogonais desta natureza. Mostre que nem os grupos contendo elementos de ordem 6 nem A 4 são provavelmente grupos ortogonais especiais, determine o grupo ortogonal de uma rede com grupo especial ortogonal S 4 e caracterize as geometrias de uma rede tendo este grupo para o conjunto de isometrias. Vamos proceder na ordem inversa. Em primeiro lugar, determine a geometria de uma rede contendo como isometrias diretas (do determinante 1) um grupo isomórfico a S 4 e encontre três soluções que tenham S 4 × C 2 como grupo ortogonal, exceto um isomorfismo. Chegará então a hora de tratar do caso da existência de um elemento de ordem 6.

• Existem, exceto para um isomorfismo, apenas três redes tendo um grupo ortogonal contendo um subgrupo isomorfo a A 4 . Todos eles têm um grupo ortogonal especial isomórfico a S 4  :

Esta proposta mata dois coelhos com uma cajadada só. Esclarecidas as três geometrias, será muito simples mostrar que o grupo ortogonal é sempre o das isometrias do cubo, de ordem 48. Só existe uma representação fiel da dimensão 3 do grupo A 4  ; concluímos que conhecemos, dentro de uma isometria, exatamente esses elementos do grupo ortogonal. Mesmo que isso signifique aplicar uma rotação, é sempre possível escolher como eixos principais de simetria aqueles dirigidos por i , j e k , a base canônica de ℝ 3 . O grupo é gerado por isometrias constituídas por permutações dos três elementos da base, sem deixar nenhum invariante, por isometrias que mudam o sinal das coordenadas. As únicas isometrias presentes no grupo A 4 são as do determinante 1. Elas podem ser construídas a partir dos geradores propostos no artigo Representações do grupo simétrico  ; as isometrias correspondem à representação denotada por φ 1 . O grupo alternativo é composto pelas isometrias desta representação com assinatura positiva. Assim, temos a representação matricial na base canônica.

Uma rede com um grupo ortogonal contendo um subgrupo isomórfico para A 4 é a imagem composta por uma rotação e uma homotetia de uma sub-rede de ℤ 3  :Cada eixo principal contém elementos da rede. Vamos mostrá-lo para o eixo dirigido por i  ; a prova seria a mesma para j e k . Observe primeiro que a rotação, com um eixo dirigido por i e meia volta, é um elemento de A 4 . Para se ter certeza disso, é possível calcular a matriz da representação da permutação (ab) (cd) . Seja α um elemento diferente de zero da rede tendo por coordenadas na base canônica ( x , y , z ), o ponto ( x , - y , - z ) é um elemento da rede por causa da imagem de α pela rotação de meia volta. A soma desses dois pontos é outro elemento da rede, tendo um componente zero em j e k .É hora de encontrar a rede contendo λ. Seja a o menor valor estritamente positivo afetado pela forma linear definida pelo produto escalar associado a i . A existência de tal valor é comprovada pela prova da existência de fundamento no caso geral. Basta notar que existe uma sub-rede de dimensão 2 no plano dirigido por j e k . As rotações da imagem de A 4 garantem que os coeficientes definidos da mesma forma para os eixos j e k sejam iguais a a . Para perceber isso, basta construir a matriz associada ao composto das permutações (ab) e (bc) . Exceto pelo sinal, ele transforma ai em aj e depois em ak . Considere a rede de pontos de ℝ 3 com coordenadas de múltiplos de a , com coeficientes em ℤ, na base canônica. Essa rede contém necessariamente λ e, até uma homotetia de razão a −1 , é igual a ℤ 3 .Notamos que ℤ 3 é estável pelas rotações de um terço de volta e dos eixos aquelas dirigidas por ± i ± j ± k . Como a imagem de A 4 pela representação é gerada por essas oito rotações, a rede é bastante estável pela ação da representação do grupo A 4 . O que termina a demonstração.

Agora temos pelo menos uma rede com um subgrupo isomorfo a A 4 no grupo ortogonal. Ainda há algum trabalho a fazer para encontrar os outros, certifique-se de que a lista seja exaustiva e mostre que o grupo ortogonal é sempre igual ao do cubo.

A demonstração anterior simplifica nossa vida. Basta estudar as sub-redes de ℤ 3 . Com um isomorfismo próximo, são os únicos que contêm uma representação irredutível de dimensão 3, em detalhe próximo aos grupos ortogonais contendo um elemento de ordem 6, que ainda não é tratado. O próximo passo é estabelecer a lista de sub-redes estáveis ​​pelo subgrupo isomórfico a A 4 em ℤ 3 . Para isso, consideramos um ponto diferente de zero da rede e o denotamos ( a , b , c ), sabendo que as coordenadas são inteiras. O subgrupo isomórfico a A 4 é feito para atuar neste elemento, ou seja, diferentes isometrias do subgrupo são aplicadas a este elemento. Usando a estabilidade da adição e da subtração do grupo, obtém-se, com uma quase homotetia, três famílias de rede.

Se formos um pouco mais longe, mostraremos que a rede gerada por (1,1,0) é isomórfica àquela gerada por (1,1,1). A separação dessas duas redes é, portanto, um pouco convencional. Existe porque faz sentido na cristalografia.

Qualquer sub-rede de ℤ 3 e de grupo ortogonal contendo um subgrupo isomorfo a A 4 , é homotética a uma das três redes, gerada por (1,0,0) ou por (1,1,0) ou por ( 1,1,1): Vimos que a mudança de sinal de uma coordenada não modifica a associação da rede de um ponto. Devemos, portanto, supor que um , b e c são positivas. Se os três são iguais, a sub-rede é gerada por a . (1,1,1) e a proposição é provada. É o mesmo se duas coordenadas são iguais e a terceira é zero ou se duas coordenadas são zero. Supomos que estamos no último caso, as três coordenadas são distintas dois a dois e diferentes de 0. Para fixar as idéias, supomos que a seja o maior e c o menor. Os cálculos do parágrafo anterior mostram que o ponto (0, 0, 2 c ), depois (2 c , 0, 0) e finalmente (| a - 2 c |, b , c ) ainda são pontos da sub-rede . Poderíamos reduzir estritamente a maior coordenada. Este algoritmo pode ser reiterado até que a primeira coordenada seja igual à última ou seja zero.Podemos, portanto, supor que o ponto está escrito ( c , b , c ) ou ( 0 , b , c ), se não for a imagem por homotetia de um dos três pontos mencionados no enunciado. Reiteramos o mesmo algoritmo, desta vez sobre b e c . Obtemos um ponto da forma c (1, 1, 1) ou c (0, 1, 1) ou mesmo c (0, 0, 1). É então possível permutar o único 1 (resp. 0) ou na primeira (resp. Last) posição para os dois últimos casos. De fato, existem 3 redes, com homotetia de razão c- 1 próxima.

Passamos do estudo de todas as redes cujo grupo ortogonal contém um subgrupo isomórfico para A 4 , para aqueles de ℤ 3 e então para três casos especiais. Basta determinar o grupo ortogonal dessas três redes para concluir o caso em que não há elementos de ordem 6 no grupo.

Qualquer rede de grupo ortogonal contendo um subgrupo isomorfo a A 4 tem um grupo ortogonal isomorfo ao grupo S 4 × C 2  : O caso mais simples é aquele que contém i = (1, 0, 0); existe no grupo isomórfico para A 4 uma isometria cuja imagem de i é - k e a imagem de - k é j que mostra que a rede é igual a ℤ 3. É simples verificar que esta rede é estável pelos três geradores do grupo correspondente às rotações de imagem de (abcd) , (adbc) e (acdb) . A rede é estável por três isometrias gerando todo o grupo S 4 , o grupo ortogonal, portanto, contém S 4 . Raciocinamos exatamente o mesmo para os outros três casos para encontrar um resultado semelhante. Este grupo é o núcleo do morfismo de grupos que associa seu determinante a um elemento. Há pelo menos um elemento do grupo determinante igual a -1, o oposto de identidade. O morfismo divide o grupo em duas classes, o núcleo e outro contendo o oposto de identidade. Duas classes desta natureza têm necessariamente a mesma cardinalidade, o grupo ortogonal é da ordem 48. Consideremos agora o morfismo de S 4 × C 2 que com ( h , ε) associa ε.φ ( h ). O valor ε é igual a ± 1 e φ denota a representação de S 4 com valores no grupo ortogonal especial. Esta aplicação é claramente injetiva: um elemento do núcleo é composto por um membro h do grupo tendo uma imagem igual a mais ou menos a identidade ou o caráter da representação mostra que há apenas um elemento dessa natureza, a identidade. O morfismo considerado injetivo e entre dois grupos de mesma cardinalidade, é necessariamente bijetivo, o que encerra a demonstração.

Resta apenas um caso para tratar:

Nenhum grupo ortogonal contendo um elemento de ordem 6 tem uma representação irredutível de grau 3: Aqui usamos uma técnica geométrica. Nós olhamos para um plano Δ como invariantes isometries possíveis do grupo ortogonal G . Seja Θ uma rotação de ordem 6, ou seja, de um ângulo π / 3. Existe uma tal rotação, existe um elemento de ordem 6 ou este elemento, a sua frente é girado e ambos são isométrica em L . A rotação Θ deixa um único plano invariante, portanto supomos que Δ é esse. Seja α um ponto diferente de zero da rede no plano Δ e de norma mínima. A mesma técnica tendo sido usada para mostrar que qualquer plano invariante pelo grupo ortogonal contém uma sub-rede de dimensão 2, permite mostrar que o plano Δ contém uma sub-rede de dimensão 2 e que α existe. As imagens de α pelas iterações de Θ formam um hexágono, como na figura 20. Denotamos β a imagem de α por Θ. O objectivo é o de mostrar que Δ é estável todos os elementos G . Para isso consideramos Σ uma rotação que não deixa o plano invariante. Ou a imagem de α por Σ, ou a de β não está em Δ. Mesmo que isso signifique modificar as notações em um sexto de volta, podemos sempre supor que o ponto γ, igual a Σ (α), não está no plano.Se o ponto γ for ortogonal a Δ, então Σ não está no grupo ortogonal. A Figura 20 explica tudo. A rotação Σ tem um eixo ortogonal a α e γ. É uma rotação de um quarto de volta. Considere as coordenadas do ponto Σ (β). Se Σ estivesse no grupo ortogonal, o tripleto (α, β, γ) formaria uma base da rede, uma vez que são padrões mínimos e formam uma família livre. O ponto Σ (β) seria um elemento da rede e, portanto, teria coordenadas inteiras na base anterior. No entanto, sua coordenada no vetor γ é igual a 1/2, que não é um número inteiro.Se o ponto γ não for ortogonal a Δ, então Σ não estará no grupo ortogonal. Desta vez, a figura 21 explica tudo. O ponto γ não está em Δ, sua projeção ortogonal neste plano é de norma estritamente menor que a de α. Agora considere a diferença δ entre γ e Θ (γ). Esta diferença δ, de norma igual à projeção ortogonal de γ sobre Δ é estritamente menor que a de α, não pode pertencer à rede. Com efeito, em Δ não há outro vetor senão o vetor zero, ao mesmo tempo elemento da rede e de norma estritamente menor que o de α. Agora, se Σ estivesse no grupo ortogonal, δ seria um ponto da rede e de Δ.Em resumo, todas as rotações do grupo ortogonal deixam Δ invariante globalmente. Todas as isometrias deixam este plano invariante, porque se uma isometria não é uma rotação, seu oposto é e se seu oposto não deixa o plano invariante, tampouco é isometria. O teorema de Maschke mostra que ele impõe a representação de não ser irredutível.

Agora podemos declarar o teorema desta caixa de diálogo.

• O único grupo ortogonal com uma representação tridimensional irredutível é isomórfico ao grupo de cubos S 4 × C 2 . É obtido com três tipos de rede, todas as sub-redes de ℤ 3 , essas sub-redes são geradas respectivamente por (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 1, 1):

Os desempenhos de um grupo finito foram muito úteis. Mostrar a existência de uma rede com um grupo ortogonal isomorfo ao do cubo torna-se mais rápido e simples, o que pode ser verificado com a referência que procede de outra forma. Mas não é aí que reside a verdadeira dificuldade. É devido à completude da análise. Estamos procurando todos os grupos ortogonais. O fato de sabermos que os outros grupos não têm uma representação irredutível de grau 3 e, portanto, que existe um plano invariante por todas as isometrias do grupo ortogonal, essencialmente traz o resto do estudo de volta ao dos grupos ortogonais. redes de dimensão 2. No entanto, este estudo já foi feito.

Outras representações

Supomos agora que o grupo ortogonal G admite uma representação irredutível da dimensão 2, mas não da dimensão 3, caso já tratado. O grupo não é abeliano porque as únicas representações irredutíveis de um grupo abeliano são de dimensão 1. As representações são, de fato, consideradas nos complexos. O grupo G é uma representação de si mesmo, esta representação necessariamente admite um espaço estável de dimensão 2, que talvez seja complexo. Seu ortogonal é também um subespaço estável para todos os elementos de G , este tempo de dimensão 1. O caractere, correspondente à razão da homotetia que é a restrição de uma isometria de G neste espaço de dimensão 1, ainda é real. Esta propriedade é demonstrada no estudo sobre a ordem do grupo. O subespaço unidimensional é, portanto, real e, conseqüentemente, também bidimensional. Sabemos agora que há um plano ℝ Δ 3 estável ao longo isométrica G e sua ortogonal é tão estável e é composto por vectores próprios para qualquer elemento de G . O único valor próprio para uma isometria real é ± 1. Como qualquer isometria de G também tem seu oposto em G , deduzimos que 1 é autovalor na ortogonal de Δ para metade dos elementos de G e −1 para a outra. Outra observação simplifica as demonstrações:

A interseção de Δ e a rede é uma sub-rede bidimensional : Seja Σ uma isometria de G com autovalor 1 na ortogonal de Δ e λ um elemento da rede tal que Σ (λ) seja diferente de λ. As projeções ortogonais de Σ (λ) e de λ no ortogonal de Δ são iguais; deduzimos que Σ (λ) - λ é um elemento de Δ. Um elemento de Δ pode ser vector próprio para todos isométrica de L , se o espaço vectorial gerado por este elemento e ortogonal ao Δ seriam dois espaços estáveis ℝ 3 por qualquer elemento de L . O ortogonal desses dois espaços seria um terceiro e todas as isometrias de G seriam diagonalizáveis ​​na mesma base, o que implica na comutatividade do grupo G , ao contrário das suposições. A imagem de Σ (λ) - λ por uma isometria de G não tendo este vetor como um autovetor fornece um segundo vetor não colinear com Σ (λ) - λ e também em Δ. Esses dois vetores geram uma sub-rede bidimensional dentro de Δ.

A estrutura das redes com grupo ortogonal não comutativo começa a tomar forma. A rede contém uma sub-rede bidimensional Δ tal que o grupo ortogonal desta sub-rede é não comutativo. No ortogonal de Δ, metade do grupo se comporta como identidade e a outra metade como seu oposto. Uma última observação é útil: um grupo que compreende apenas elementos de ordem 2 (exceto o elemento neutro) é comutativo.

Agora podemos listar os diferentes grupos ortogonais não comutativos. Eles podem ser divididos em duas partes, aquelas que contêm um elemento de ordem 3 e aquelas que contêm um elemento de ordem 4.

• Existem três grupos ortogonais não comutativos que são diferentes do grupo do cubo: D 12 × C 2 , D 12 e D 8 × C 2  :

Vamos começar com o pedido 3.

Com exceção do grupo de cubos, existem exatamente dois grupos ortogonais contendo um elemento de ordem 3: D 12 × C 2 e D 12  : Considere uma rotação de ordem 3; seu eixo é necessariamente ortogonal de Δ porque essa rotação não tem outra linha reta adequada. Seja α um elemento diferente de zero de Δ e de norma menor; o estudo da rede hexagonal na dimensão 2 mostra que as imagens de α por todas as rotações de um ângulo k π / 3 estão em Δ. Como anteriormente, denotamos por β a imagem de α pela rotação do ângulo π / 3. Resta apenas para determinar γ, um ponto diferente de zero da rede, um padrão mínimo e Δ fora, para saber exatamente a estrutura da rede e do seu grupo ortogonal G . Como γ é de norma mínima, sua projeção ortogonal em Δ está dentro do hexágono de raio metade da norma de α. Caso contrário, subtraindo ± α ou ± β, obteríamos um elemento da rede fora de Δ e de uma norma estritamente menor que a de γ.

• Se o grupo contém uma rotação Θ de ordem 6, G é isomorfo a A 2 × C 2 e γ é ortogonal ao plano Δ. De fato, o raciocínio usado para mostrar que nenhuma representação irredutível de grau 3 contém um elemento de ordem 6 mostra que o vetor γ - Θ (γ) é um elemento de Δ com uma norma estritamente menor que a de α. Existe apenas um: o vetor nulo. Dizer que o vetor γ - Θ (γ) é zero equivale a dizer que γ faz parte dos autovetores de Θ, que estão todos no eixo ortogonal a Δ. O grupo ortogonal da rede Δ é isomorfo a D 12 de acordo com os resultados anteriores. As únicas extensões dessas isometrias são aquelas obtidas dando, para a imagem de γ, ± ​​γ. Obtemos um grupo isomórfico a D 12 × C 2 .

• Se o grupo não contém uma rotação Θ de ordem 6, ele contém pelo menos Θ 2 uma rotação de ângulo 2π / 3, pois, por hipótese, existe um elemento de ordem 3. Para entender a geometria da rede, é necessário localizar γ. Denotamos por δ um vetor diferente de zero da rede de norma mínima e ortogonal ao plano Δ. Ele existe; de fato, seja λ um elemento da rede fora de Δ, o vetor λ + Θ 2 (λ) + Θ 4 (λ) da rede é diferente de zero e ortogonal ao plano Δ. A família (α, β, δ) forma uma base do espaço vetorial ℝ 3 , sejam ( a , b , c ) as coordenadas de γ nesta base. A projeção ortogonal σ de γ em Δ está em um dos seis triângulos equiláteros da rede da qual um dos vértices é a origem e cujos lados têm comprimento igual à norma de α. Mesmo que isso signifique modificando a escolha de um dos seis vetores de norma mínima que chamamos α, podemos supor que σ é no triângulo equilátero de vértice a origem, α e β, o que significa que um e b são positivos e menor que 1. também sabemos que um e b são menos de 1/2. A imagem Θ 2 (σ) é um ponto que está no triângulo de vértices: a origem, −α e β - α. Esta situação é ilustrada na figura 22. Como γ - σ está no eixo de rotação Θ, o ponto σ - Θ 2 (σ) é um ponto da rede. Como as coordenadas de σ na base (α, β) são menores que 1/2, o único valor possível para esta diferença é α, que pode ser facilmente visto na figura 22. A equação Θ 2 (σ) = σ - α admite apenas uma solução, dada por σ = 1/3 (α + β). Deduzimos que um vetor diferente de zero de menor norma, elemento do eixo ortogonal a Δ, é 3γ - α - β e o coeficiente c é igual a 1/3. Em outras palavras, γ = 1/3 (α + β + δ).

Uma vez que a geometria da rede foi estabelecida, é hora de analisar seu grupo ortogonal. Cada elemento do grupo ortogonal da rede do plano Δ pode ser estendido de duas maneiras diferentes em uma isometria de ℝ 3  : aquela que transforma δ em δ e a outra cuja imagem de δ é −δ. É necessário verificar se existem extensões deixando a rede invariável. Este trabalho é necessário apenas sobre geradores do grupo ortogonal do plano, considera-se dois deles, Θ e Σ a reflexão deixando o invariante α. A projeção ortogonal de γ sobre Δ tem por imagem Θ o ponto Θ (σ), novamente igual a −Θ 4 (σ), ou seja, a projeção ortogonal de β - γ. Existe uma extensão única de Θ em uma isometria deixando a rede tridimensional invariante: aquela que associa β - γ com γ. A imagem por Σ da projeção ortogonal de γ em Δ é igual a Θ −1 (σ) ou novamente a −Θ 2 (σ), ou seja, à projeção ortogonal de α - γ. Existe uma continuação única de Σ em uma isometria deixando invariante a rede de dimensão 3. O grupo ortogonal contém pelo menos tantos elementos quanto seu equivalente da rede de dimensão 2. Por outro lado, a restrição de uma isometria de G ao plano Δ é um membro do grupo ortogonal de rede 2-dimensional, porque Δ é estável todos isométricos de L . Assim, existem, pelo menos, como muitos elementos no grupo ortogonal de dimensão 2 rede em L . A aplicação de G no grupo ortogonal da rede de Δ é um isomorfismo de grupo. Portanto, sabemos que G é isomórfico a D 12 . Com exceção do grupo de cubos, há um único grupo ortogonal contendo um elemento de ordem 4: D 8 × C 2  : A análise começa como a anterior; Δ é o plano ortogonal ao eixo de Θ, uma rotação de ordem 4. O ponto diferente de zero α da rede e de Δ tem uma norma mínima e β é igual a Θ (α). Finalmente, γ é um vetor da rede fora de Δ e de menor norma. Como anteriormente, se γ for ortogonal a Δ, o grupo G é isomorfo ao produto do grupo ortogonal da rede de Δ e de C 2 . Os resultados anteriores mostram que este grupo é isomórfico a D 8 × C 2 . Supomos agora que γ não está na ortogonalidade de Δ e descobrimos que sua projeção σ é igual a (α + β) / 2 de modo que a rotação Θ deixa a rede estável. Se δ denota o vetor diferente de zero da rede, ortogonal a Δ, de norma mínima e na mesma direção de γ, encontramos que γ = (α + β + δ) / 2. Desta vez, a reflexão de γ no plano Δ é igual a (α + β - δ) / 2 ou novamente α + β - γ. A reflexão é parte do grupo ortogonal L . Mesmo nesta configuração, existem duas maneiras de estender uma isometria deixando a interseção da rede e invariante Δ. O grupo G ainda é isomórfico a D 8 × C 2 .

O caso dos grupos ortogonais abelianos ainda precisa ser tratado. É particularmente fácil, sabendo que os grupos ainda não tratados contêm apenas isometrias involutivas. Como um grupo contendo apenas as isometrias involutivas é necessariamente abeliano, sua estrutura é estabelecida imediatamente.

• Existem três grupos ortogonais abelianos: C 2 × C 2 × C 2 , C 2 × C 2 e C 2  :

O grupo ortogonal é isomorfa a C 2 × C 2 × C 2 se, e apenas se, há três direitos específicos comuns a todos os elementos de L . Esse grupo é obtido se houver uma base ortogonal da rede. As demais geometrias são obtidas generalizando a análise realizada na dimensão 2 do grupo Klein.

O grupo ortogonal é isomorfo a C 2 × C 2 se, e somente se, a rede não corresponde a nenhuma das geometrias anteriores e existe uma linha própria comum a todos os elementos do grupo ortogonal. É obtido, por exemplo, se houver uma base em que um dos vetores seja ortogonal aos outros dois. As demais geometrias são obtidas por meio de uma abordagem semelhante à anterior.

Se nenhuma das geometrias anteriores corresponder à da rede, seu grupo ortogonal contém apenas a identidade e seu oposto, então é isomórfico a C 2 .

Dimensões superiores

Quanto mais a dimensão cresce, mais delicada se torna a questão. Podemos ainda tratar o caso da dimensão 4 com as mesmas ferramentas que as da dimensão 3. Então, se os métodos são essencialmente derivados da teoria das representações de um grupo finito, outros teoremas parecem cada vez mais desnecessários.

Esses grupos ortogonais são estudados porque, para outros ramos do conhecimento, não faltam atrativos. Eles tornam possível representar certos grupos finitos e oferecem vários métodos para estudá-los. É assim que JH Conway encontra 3 entre os últimos grupos ausentes para uma classificação completa de grupos finitos. A rede utilizada é de dimensão 24 e leva o nome de Leech . Outro caso famoso é o do grupo Monster , o maior dos 26 grupos esporádicos . Sua existência havia sido anunciada por dez anos antes de sua construção. Devia resultar de uma representação de grau 196883, conjecturada e explicada sem o auxílio de um computador. Deve fechar a classificação de grupos simples finitos. Uma rede é usada.

Outros ramos da matemática fazem uso de uma rede. O estudo de curvas elípticas , desenvolvido na XIX th  dimensão demanda século de análise de rede 2. Este estudo se generaliza para dimensões mais elevadas pela teoria de funções abelianos .

Usos

Covolume

Uma ilustração do interesse do conceito vem da teoria algébrica dos números e, mais especificamente, da geometria aritmética . Se K é uma extensão finita de grau n do corpo ℚ, é possível identificar o anel de seus inteiros algébricos com um ℤ- módulo livre de dimensão n . Uma extensão finita de ℚ é um espaço vetorial ℚ de dimensão finita e pode ser vista como um subcampo de ℂ. Um inteiro algébrico é um número que é a raiz de um polinômio unitário com coeficientes em ℤ. Um exemplo simples é o campo das lógicas de Gauss , ou seja, números da forma a + i b , onde a e b são elementos de ℚ e i é a unidade imaginária . Os inteiros algébricos deste campo, chamados números inteiros de Gauss , são os números da forma de uma + i b em que, desta vez, um e b são elementos de ℤ. Os pontos da rede são representados na figura 23 pelas interseções da grade azul escura.

Essa visão torna possível interpretar geometricamente muitas situações aritméticas. Podemos interpretar, por exemplo, o fato de que o quociente do anel A por uma sub-rede M da mesma dimensão (como um ideal diferente de zero), é finito e igual ao valor absoluto do determinante de uma base de M em uma base a . Esta propriedade, válida para qualquer anel de inteiros algébricos de um campo quadrático ou mais geralmente de um campo numérico , é demonstrada por um cálculo elementar. Sua interpretação geométrica consiste em dizer que o número de pontos da rede que pertencem a um domínio fundamental da sub-rede é igual ao volume desse domínio fundamental, quando se considera uma base de A como ortonormal .

A Figura 23 ilustra esta interpretação quando M é o ideal principal gerado pelo inteiro algébrico α = 2 + i em inteiros de Gauss, ou seja, os pontos da sub-rede são os produtos de α por qualquer inteiro gaussiano. Uma base da rede A sendo B = (1, i ), uma base da sub-rede M = α A é α B = (α, α i ) = (2 + i , –1 + 2 i ). Esta sub-rede é representada pelos pontos verdes na figura. Uma classe de equivalência do anel quociente é geometricamente representada por um deslocamento da rede verde e que contém um ponto da grade, por exemplo, uma classe é ilustrada pelos pontos azuis. Cada classe contém um representante na zona vermelha dos vetores de coordenadas incluídos no intervalo [0, 1 [na base (2 + i , –1 + 2 i ). O número de inteiros de Gauss (rede representada pela grade azul escuro) localizado nesta área chave é igual ao valor absoluto do determinante da base aB de H da base B de A . Este determinante (sempre positivo no exemplo dos inteiros gaussianos, mas às vezes negativo em outros anéis de inteiros algébricos) é chamado de norma aritmética de α. Um cálculo rápido mostra que a norma aritmética de um inteiro gaussiano a + i b é igual a a 2 + b 2 . No exemplo escolhido, o número de inteiros gaussianos que estão no domínio fundamental é de fato igual a 5, a norma de 2 + i .

A Figura 24 ilustra um exemplo semelhante na dimensão 3. O anel (cujos pontos são representados por pequenas bolas) é aqui ℤ [ 3 √ 2 ], base B = (1, 3 √ 2 , 3 √ 4 ) considerado ortonormal, e o ideal principal M (cujos pontos estão em vermelho) é gerado por α = 2. O domínio fundamental da sub-rede M é o cubo vermelho, formado pelos pontos cujas coordenadas na base 2 B de M pertencem a [0, 1 [(isto é, cujas coordenadas em B pertencem a [0, 2 [). Seu volume, igual à norma de α, ou seja, 2 3 = 8 (determinante da dilatação da razão 2 na dimensão 3), é de fato igual ao número de pontos da rede pertencentes ao cubo vermelho. Cada classe do quociente A / M = A / (2 A ) é representada por um destes 8 pontos: se β é qualquer ponto de A , é congruente, módulo 2 A , ao ponto cujas coordenadas são os restos (0 ou 1) divisões euclidianas por 2 daquelas de β .

Este resultado deve ser comparado ao teorema de Pick que indica, na dimensão 2, a relação entre o número de pontos da rede contidos em um politopo P cujos vértices são elementos da rede e a superfície do politopo. A generalização na dimensão n é obtida usando o polinômio de Ehrhart  (en) .

Conjunto convexo

O teorema de Minkowski afirma que um convexo simétrico com respeito à origem e de volume maior que 2 n V de ℝ n necessariamente encontra um ponto diferente de zero do covolume V da rede . A figura 26 representa, para n = 3, um convexo simétrico em relação à origem, seu volume é portanto menor que 8 vezes o covolume, pois só encontra a rede no ponto de origem.

O artigo detalhado oferece várias provas, uma das quais pode ser interpretada em termos da representação do domínio fundamental na forma de um toro. O C convexo para n = 2, mostrado em verde na FIG. 25, tem um volume maior do que 4 V ; a imagem deste convexo por uma homotetia de proporção 1/2 é de maior volume que a do toro. Essa configuração é ilustrada na figura 25. A restrição do morfismo canônico de ℝ n a ℝ n / Λ não pode ser injetiva, pois do contrário ℝ n / Λ conteria um volume cuja medida seria estritamente maior que a sua. Existem, portanto, dois pontos X e Y tendo a mesma imagem por morfismo, ou mesmo X - Y é um elemento de Λ. Ou X e - Y são elementos de (1/2) C e ( X - Y ) / 2 é também, por conseguinte, X - Y é um elemento de C . A zona onde o morfismo não é bijetivo é indicada em cinza na figura 25. Sua imagem pelo morfismo é a zona cinza do toro ilustrado no parágrafo ( ver acima ) no domínio fundamental.

Este teorema é usado, por exemplo, para estabelecer o teorema das unidades de Dirichlet , elucidando a estrutura do grupo das unidades de um anel de inteiros algébricos.

Problemas de algoritmo em redes

Uma rede formando um conjunto discreto, existe em qualquer rede um vetor diferente de zero mais curto. Esse vetor obviamente depende da norma com a qual o espaço é fornecido. Este problema (freqüentemente chamado de SVP, do inglês Shortest Vector Problem ) é conhecido por ser NP-difícil no caso da norma euclidiana . Para outros padrões comuns, nada se sabe, mas conjectura-se que o problema seja pelo menos tão difícil de resolver.

O problema não homogêneo associado consiste, dados um vetor e uma rede, em encontrar o vetor mais próximo do vetor dado. É freqüentemente chamado de CVP (do inglês Closest Vector Problem ) e também é NP-difícil para o padrão euclidiano.

Algumas bases são mais adequadas do que outras para trabalhar em rede porque são compostas de vetores curtos e, portanto, permitem caminhar localmente em torno de um determinado ponto da rede. Eles são chamados de bases reduzidas e esses métodos, cortes de rede  (in) . Existem várias noções diferentes de reduções, mas a redução LLL inventada por Lenstra, Lenstra e Lovász tem a vantagem de ser computável em tempo polinomial pelo algoritmo LLL . Esse algoritmo, que fornece uma base de vetores razoavelmente curtos , tem várias aplicações, em particular na criptografia de chave pública .

Referências

1. Esta definição é muito geral. Cf por exemplo C. Lamy-Bergot, tese de doutorado [PDF] do ENST (2000), cap. 1: “As redes de pontos” .
2. Para mais detalhes, consulte por exemplo o início do capítulo "Geometria dos números" na Wikiversidade .
3. Uma explicação detalhada pode ser encontrada em "Redes de cristal no espaço real e recíproco" [PDF] , um curso de física do estado sólido na EPFL .
4. S. Norvez e F. Tournilhac, “Fenômenos de cor em minerais e pedras preciosas” , ESPCI , ver p.  2 a teoria do campo cristalino.
5. J. Huheey, E. e R. Keiter Keiter, Inorganic Chemistry , De Boeck, 1996 ( ISBN  2804121127 ) , pp.  266 .
6. (em) Sr. Aroyo, U. Müller e H. Wondratschek, Introdução Histórica , Tabelas Internacionais para Cristalografia, Vol. A1, Springer, 2006, p.  2-5
7. Os 7 grupos e 14 redes são ilustrados no site: (en) S. Rosen e J. Adler, The fourteen Bravais treliças , Technion , 2003.
8. G. Delafosse, Novo curso em mineralogia , Roret, 1860.
9. O seguinte documento propõe uma análise limitada ao grupo do cubo: C. Squarcini, "Grupo de isometrias do cubo" , documento de preparação para a agregação interna .
10. Pode-se verificar, por exemplo, nas notas de curso de R. Bédard, “  Representações de grupos, cap. 4  ” , em UQAM , p.  29
11. (in) JH Conway , "  Um grupo perfeito da ordem 8.315.553.613.086.720.000 e os meros grupos esporádicos  ' PNAS , n o  61, 1968 p.  398-400 .
12. [PDF] "Representações de grupos finitos, teoria dos personagens" , ensino da École polytechnique, p.  5 .

Veja também

Artigos relacionados

• Rede  : subgrupo discreto de volume finito co , em um grupo localmente compacto
• Rede (módulo  )

links externos

• PQ Nguyen, A geometria dos números, de Gauss aos códigos secretos , ENS Ulm e Denis Diderot University
• Redes Bravais , Universidade de Le Mans

Bibliografia

• (en) Enrico Bombieri e Walter Gubler, Heights in Diophantine Geometry , New Math. Monographs 4 , Cambridge University Press , 2006 ( ISBN  978-0-52171229-3 )
• M. Fetizon, H.-P. Gervais e A. Guichardet, Teoria dos grupos e suas representações. Aplicativo para espectroscopia molecular , Ellipses, 1987 ( ISBN  978-2-72988759-9 )