Na álgebra linear , o traço de uma matriz quadrada A é definido como a soma de seus coeficientes diagonais e freqüentemente observado como Tr ( A ). O traço pode ser visto como uma forma linear no espaço vetorial das matrizes. Ele verifica a identidade: Tr ( AB ) = Tr ( BA ) e, conseqüentemente, é invariante por similaridade .
Da mesma forma, se u for um endomorfismo de um espaço vetorial de dimensão finita em um campo comutativo K , podemos definir o traço do operador u , por exemplo, como o traço de sua matriz em qualquer base .
Mais geralmente, em uma álgebra A , um traço é uma forma linear λ tal que λ ( ab ) = λ ( ba ) . Esta definição é encontrada em particular no estudo de álgebras de von Neumann, que são álgebras de operadores em espaços de Hilbert .
Dada uma matriz quadrada
com coeficientes em um campo comutativo K (ou apenas em um anel comutativo ), seu traço, denotado por Tr ( A ) , é a soma escalar dos coeficientes de sua diagonal principal :
.Para todas as matrizes quadradas A e B (da mesma ordem) e para qualquer escalar α∊ K , as seguintes propriedades são verificadas:
onde A T indica a transposição de um .
Em outras palavras, o traço é uma forma linear no espaço vetorial ℳ n ( K ) de matrizes quadradas de ordem n , invariante por transposição .
Sendo o mapa Tr uma forma linear, seu núcleo é um hiperplano de ℳ n ( K ).
Se agora A e B são ( n , m ) e ( m , n ) matrizes (não necessariamente quadradas, mas fornecendo matrizes quadradas por multiplicação), temos a identidade:
A igualdade precedente resulta na seguinte identidade, válida para qualquer matriz quadrada A e para qualquer matriz invertível P da mesma ordem:
Em outras palavras, o traço é uma “ invariante de similaridade” para matrizes quadradas de uma dada ordem, ou seja, duas matrizes semelhantes têm o mesmo traço, o que não é surpreendente se conhecermos a ligação entre o traço e o polinômio característico ( veja abaixo ) e a invariância de similaridade do último .
Podemos mostrar por uma prova bastante curta, envolvendo as unidades da matriz (en) ( ou seja, as matrizes da base canônica de ℳ n ( K ), que são as matrizes das quais um único coeficiente é igual a 1 e todos os outros 0) que uma forma linear no espaço ℳ n ( K ) invariante por similaridade é necessariamente proporcional ao traço.
Em particularSe o traço de uma matriz quadrada pode ser definido sem particularidades técnicas em qualquer anel comutativo, não é o mesmo para o traço de um endomorfismo . Usando uma representação de matriz , isso é barato para um endomorfismo de espaço vetorial ; uma construção mais abstrata, usando álgebra tensorial , permite que o conceito seja estendido a alguns endomorfismos de módulo - mas não a todos.
No espaço vetorialSe E é um espaço finito vector de dimensão N , o rastreio de um endomorfismo , denotado , é definida como o traço da matriz u em uma base fixa antes de E . Esta definição não depende da escolha arbitrária de porque se é outra base, a “ fórmula de mudança de base ” mostra que as matrizes de u respectivamente em e são semelhantes portanto (cf. supra ) têm o mesmo traço.
As seguintes propriedades são válidas para todos os endomorfismos , qualquer escalar e qualquer w ∈ GL ( E ) (ou seja, w é um automorfismo de E )
Em outras palavras: o traço é uma forma linear no espaço vetorial , invariante por conjugação .
Além disso, onde denota o mapa transposto de u .
Em um móduloAo usar a contração tensorial , é possível estender o conceito de traço para endomorfismos de módulos projetivos do tipo finito .
Seja ( E , g ) um espaço euclidiano . Definimos uma bijeção (detalhada na seção associada Forma bilinear simétrica (resp. Forma hermitiana) do artigo Operador auto-adicionado ) entre as formas quadráticas q em E e os operadores simétricos A em ( E , g ) por:
.O traço de A é denominado traço da forma quadrática q em relação a g .
Seja E um K - espaço vetorial de dimensão finita n .
Em espaços euclidianos:
Para matrizes:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n com coeficientes em um anel comutativo.
Denotamos por p A ( X ) seu polinômio característico e c i o coeficiente de X i em p A ( X ) . Em outras palavras, nós representamos
,onde I n denota a matriz identidade de ordem n . Então,
.Provamos a igualdade acima e, se
(onde o λ i pertence a um anel comutativo contendo os coeficientes de A ), a seguinte igualdade:
. DemonstraçãoCaso especial de coeficientes em um anel integral
Primeiro, assumimos que o anel de coeficientes é integral . Podemos então considerar A como uma matriz com coeficientes em um campo comutativo K , ou seja, o campo das frações desse anel.
Em seguida, nos colocamos em um campo L contendo K e onde p A é dividido , (por exemplo, seu fechamento algébrico ou o campo de decomposição de p A ) e notamos:
O λ i são os autovalores de A , contados com multiplicidade. Pela teoria da trigonalização , sabemos encontrar uma matriz quadrada triangular T , com coeficientes em L e semelhante a A , cuja diagonal principal é formada por λ i . Usando a invariância do traço por similaridade, concluímos:
.Além disso, se desenvolvermos a escrita de p A em fatores de primeiro grau, a soma de λ i aparece como o oposto do coeficiente de X n - 1 neste polinômio. Concluímos, portanto, que, se denotarmos por c n - 1 este coeficiente:
.Caso Geral
Não assumimos mais que A tem coeficientes em um anel integral; no entanto, pode-se obter resultados semelhantes por outra rota.
No desenvolvimento do determinante que define o polinômio característico pela fórmula usando permutações , vemos que um monômio em X n - 1 só aparece em um dos n ! termos da soma, aquele que é o produto dos termos diagonais de XI n - A , ou seja:
O traço de A então aparece como o coeficiente de X n - 1 . Provamos a fórmula de maneira diferente:
.Agora, assumimos ainda o polinômio característico de uma divisão e notamos:
uma decomposição deste polinômio em fatores de primeiro grau.
Ao desenvolver este produto, obtemos uma nova expressão de c n - 1 ; reunindo isso com a fórmula anterior, obtemos:
.Seja q um polinômio (com coeficientes em um anel comutativo contendo o λ i acima e os coeficientes de A ). Então :
. DemonstraçãoSe o anel estiver intacto, as técnicas e notações empregadas acima podem ser usadas. A matriz q ( A ) é semelhante a q ( T ) , enquanto a diagonal principal de T é formada por q ( λ i ) . Deduzimos a fórmula.
Esta fórmula permanece válida sem o pressuposto de integridade, a prova Baseando-se em o tratamento preliminar do caso dos anéis intactos .
Ao especializar a fórmula anterior para o monômio q = X k , obtemos:
.Na característica nula, os polinômios simétricos elementares podem ser reconstituídos polinomialmente a partir das somas de Newton, por meio das identidades de Newton . Portanto, existem fórmulas polinomiais universais que permitem expressar os coeficientes do polinômio característico de uma matriz ( n , n ) em função dos traços de suas potências (e mesmo das potências com expoente menor ou igual a n ). Para dar um exemplo:
Aqui está uma aplicação: se A é uma matriz ( n , n ) com coeficientes em um campo de característica zero e satisfaz :, então A é nilpotente .
Dado um espaço vetorial real E de dimensão finita, o determinante define um mapa det do espaço de operadores de E para R , que é homogêneo de grau n . Det o número ( u ) é expressa como uma função polinomial nos coeficientes da matriz representando u em uma base de qualquer E . A função det é, portanto, diferenciável . Seu diferencial de identidade é o traço . Em outras palavras, para qualquer operador u em E ,
onde o ( u ) significa que o resto é desprezível em comparação com u quando u se aproxima de zero. Como consequência, para qualquer operador u em E ,
.Em particular, o exponencial de u é o determinante 1 se e somente se u for um operador de rastreamento zero. Este resultado pode ser interpretado na teoria dos grupos de Lie da seguinte forma. A aplicação Det é um morfismo contínua de grupos, do grupo linear GL ( S ) para R . Seu kernel, o conjunto de operadores com determinante 1, é portanto um subgrupo de GL ( E ), denotado SL ( E ). É um grupo de Lie clássico , ou seja, um subgrupo fechado de GL ( E ). Geometricamente, um operador pertence ao SL ( E ) se e só se preserva o volume Lebesgue de E . Sua álgebra de Lie é exatamente o conjunto de operadores u com traço zero, denotado .
Em um U de E aberto , um campo vetorial X é uma aplicação . Se este mapa for Lipschitziano, o teorema de Cauchy-Lipschitz afirma a existência de soluções máximas da equação diferencial ordinária
(1).O fluxo de X é a família de difeomorfismos f t que enviam x em c (t), onde c é a solução de (1) com como condição inicial c (0) = x . O fluxo é definido localmente. Nós introduzimos a divergência de X
onde dX (x) é o diferencial de X em X , que é um operador em E . O fluxo f t preserva o volume de Lebesgue se a divergência for zero. Mais precisamente, para qualquer abertura cuja adesão esteja incluída em U ,
.(Essa igualdade torna possível estender a definição de divergência, por exemplo, em variedades orientadas na presença de formas de volume.)
Se for uma álgebra de Lie sobre um campo K , a representação adjunta de , denotada ad , é dada por
.A forma Killing em é a forma bilinear simétrica
.Os automorfismos da álgebra de Lie preservam a forma Killing. Em particular, a sua representação adjunta preserva B . A forma Killing foi introduzida por Élie Cartan para caracterizar a semi-simplicidade das álgebras de Lie . Quando K = R , ele também fornece informações sobre o grupo de Lie associado. Veja o critério de Cartan (en) .
Seja G um grupo de Lie (por exemplo, um subgrupo fechado de GL ( E )). Por definição, sua álgebra de Lie é o espaço de campos vetoriais invariantes à esquerda em G , fornecidos com o colchete de Lie [,] (comutador de campo vetorial). A forma de Killing associada B define uma pseudo-Riemannianos métrica bi-invariante em L . Se a forma B de Killing for definida positiva, então a métrica associada é uma métrica Riemanniana com curvatura positiva. O teorema de Meyers implica que G é compacto. Existem outros links.
Deixe e seja duas matrizes em . Nós notamos que
Temos, portanto, uma escrita agradável do produto escalar canônico no espaço .
Se H é um euclidiana ou Hermitiana , o operador adjunta de um operador L em H é um operador em H . Em seguida, definimos o seguinte produto escalar no espaço do operador em H :
.Com essa definição, fica claro que os operadores auto-associados e os operadores anti-auto-associados formam dois subespaços ortogonais de . A adição é a simetria ortogonal em relação ao espaço dos operadores autoassociados.
Seja U um conjunto aberto de espaço vetorial real contendo 0 e seja da classe C 2 . O Hessiano H de f em 0 é uma forma bilinear simétrica em E , satisfazendo
.Por definição, o Laplaciano de f em 0 é o traço do Hessiano:
As funções da classe C 2 do Laplaciano nulo são chamadas de harmônicas . Necessariamente analíticas , estas funções intervêm em particular na análise complexa e na análise funcional . Em particular, as funções do Laplaciano nulo são as soluções do problema de Dirichlet que é a busca pelos extremos da energia de Dirichlet.
Além disso, a definição do Laplaciano é generalizada em geometria diferencial para funções em variedades Riemannianas ( operador de Laplace-Beltrami ), mas também para objetos mais gerais, como formas diferenciais . Incluindo neste quadro mais geral , a definição pode ser dada por traços de formas bilineares. As formas laplacianas nulas são chamadas de harmônicas, e a teoria de Hodge mostra sua importância.
Dada uma superfície S orientada lisa do espaço euclidiano , a curvatura média de S em x é a média das duas curvaturas principais de S em x . Formalmente, essas curvaturas são os autovalores de uma forma quadrática no plano tangente T x S , chamada de segunda forma fundamental de S em x , observada II x . A curvatura média de S em x é
.A definição de curvatura média se estende a subvariedades suaves N de variedades Riemannianas. Seu valor em x não é mais um escalar, mas um vetor ortogonal a T x N , que ainda é definido por meio de traços. As subvariedades de curvatura de média zero são chamadas de mínimas e são os extremos do volume Riemanniano.
Seja H um espaço de Hilbert , com uma base de Hilbert ( e i ) i ∈ I (não necessariamente contável ). Um operador limitado A ∈ ℒ ( H ) é dito ter um traço se
(Esta soma não depende da escolha da base de Hilbert.) Neste caso, definimos
Os operadores de rastreamento são compactos . Eles formam um ideal de ℒ ( H ) observado ℒ 1 ( H ), que é completo para a norma ‖ ‖ 1 definida abaixo. O traço Tr é uma forma linear contínua definida positiva em ℒ 1 ( H ).
Em dimensão finita, o traço de um operador é a soma dos coeficientes diagonais de uma representação matricial. O exemplo a seguir é uma generalização. Vamos μ uma medida de Borel em um espaço compacto K . Seja f : K 2 → ℝ um mapa contínuo. No espaço de Hilbert L 2 ( K , ℝ) de funções de K em ℝ com um quadrado somatório , o operador de kernel
está com trace, e seu trace é igual a: