Expansão térmica

A expansão térmica é o volume constante da pressão de expansão de um corpo causado pelo seu aquecimento, geralmente imperceptível. No caso de um gás , ocorre expansão com pressão constante ou manutenção do volume e aumento da pressão com o aumento da temperatura . Em contraste com a expansão, o resfriamento causa contração térmica.

Origem da expansão térmica

Em um sólido , os átomos têm energia térmica e vibram em torno de sua posição média. Essa vibração depende da temperatura, mas também da vizinhança dos átomos, mais precisamente do potencial interatômico criado pelos átomos circundantes.

Em baixa temperatura, os potenciais interatômicos podem ser descritos harmonicamente  : para temperaturas próximas a T = 0 K, os átomos permanecem centrados em sua posição média r 0 . Já não é o caso das altas temperaturas: a anarmonicidade dos potenciais interatômicos introduz uma dependência da posição média dos átomos com a temperatura, o que provoca o fenômeno da expansão térmica.

Quando um gás é submetido ao aquecimento, o momentum das partículas que o compõem aumenta. Em volume constante, isso resulta em um aumento na pressão, conforme o número de impactos entre as partículas por unidade de área aumenta. Para que a pressão permaneça constante, o volume do gás deve aumentar, de acordo com a lei dos gases ideais . Para gases não ideais, as forças de atração entre as partículas do gás podem reduzir a expansão térmica.

A expansão térmica dos líquidos tem, em princípio, as mesmas causas que a dos gases, mas o efeito das forças de atração entre as partículas sobre a expansão é acentuadamente aumentado porque elas estão mais próximas umas das outras.

Definição termodinâmica

A energia interna de um sistema é uma função de estado que depende da pressão , volume e temperatura  : você{\ displaystyle U}p{\ displaystyle p}V{\ displaystyle V}T{\ displaystyle T}

você=f(p,V,T){\ displaystyle U = f (p, V, T)}.

Como essas três variáveis ​​estão relacionadas pela equação de estado do sistema, é possível, por exemplo, expressar uma variação infinitesimal da energia interna de um sistema de acordo com as variações infinitesimais do volume e da temperatura: você{\ displaystyle U}

dvocê=(∂você∂T)VdT+(∂você∂V)TdV{\ displaystyle \ mathrm {d} U = \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial T}} \ right) _ {V} \ mathrm {d} T + \ left ({\ frac {\ partial U} {\ parcial V}} \ direita) _ {T} \ mathrm {d} V}.

O primeiro termo da soma contém a mudança na energia interna em função da temperatura em volume constante, a capacidade térmica isocórica . Se a mudança de temperatura ocorre a pressão constante, obtemos: VSV{\ displaystyle \ mathrm {C_ {V}}}

(∂você∂T)p=VSV(T)+(∂você∂V)T(∂V∂T)p=VSV(T)+βV(∂você∂V)T{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial T}} \ right) _ {p} = C_ {V} (T) + \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ direita) _ {T} \ esquerda ({\ frac {\ parcial V} {\ parcial T}} \ direita) _ {p} = C_ {V} (T) + \ beta V \ esquerda ({ \ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T}}.

O termo é o coeficiente isobárico de expansão térmica do sistema (coeficiente de expansão de volume), ele descreve a mudança no volume a pressão constante em função da temperatura: β{\ displaystyle \ beta}

β=1V(∂V∂T)p=-1ρ(∂ρ∂T)p{\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {V}} \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial T}} \ right) _ {p} = - {\ frac {1} {\ rho}} \ left ({\ frac {\ partial \ rho} {\ partial T}} \ right) _ {p}}.

Observe que para um gás ideal, temos:

β=1T{\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {T}}}

O coeficiente de expansão de volume está relacionado em materiais isotrópicos de uma forma simples ao coeficiente de expansão linear  : β{\ displaystyle \ beta}α{\ displaystyle \ alpha}

β=3α{\ displaystyle \ beta = 3 \; \ alpha}

Na verdade, uma variação infinitesimal de comprimento de um cubo nas três direções do espaço leva a uma variação de volume dA=αAdT{\ displaystyle \ mathrm {d} L = \ alpha \; L \ mathrm {d} T}

βVdT=3A2dA+3A(dA)2+(dA)3{\ displaystyle \ beta V \; \ mathrm {d} T = 3L ^ {2} \; \ mathrm {d} L + 3 \; L (\ mathrm {d} L) ^ {2} + (\ mathrm { d} L) ^ {3}}

onde os dois últimos termos são desprezíveis. É assim que conseguimos . β=3α{\ displaystyle \ beta = 3 \; \ alpha}

Na prática, os coeficientes de expansão térmica e muitas vezes são expressos como uma função de um valor de referência para uma determinada temperatura  : α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}T0{\ displaystyle T_ {0}}

β=1V0ΔVΔT{\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {V_ {0}}} {\ frac {\ Delta V} {\ Delta T}}}e .α=1A0ΔAΔT{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {L_ {0}}} {\ frac {\ Delta L} {\ Delta T}}}

Esta fórmula é válida nos casos em que a variação do comprimento depende linearmente da variação da temperatura, mas não para grandes intervalos de temperatura ou se o material sofrer uma transição de fase no intervalo considerado. Em geral, a dependência do coeficiente de expansão térmica do volume com a temperatura é expressa pela relação de Grüneisen β{\ displaystyle \ beta}

βχTVSVρ=γ≃constante{\ displaystyle {\ frac {\ beta} {\ chi _ {T} C_ {V} \ rho}} = \ gamma \ simeq {\ mbox {constante}}}

onde está a compressibilidade isotérmica do material, sua capacidade térmica isocórica, sua densidade e o parâmetro de Grüneisen . Como e estão em uma primeira aproximação independente da temperatura, as variações térmicas de compensam as de . χT{\ displaystyle \ chi _ {T}}VSV{\ displaystyle C_ {V}}ρ{\ displaystyle \ rho}γ{\ displaystyle \ gamma}χT{\ displaystyle \ chi _ {T}}ρ{\ displaystyle \ rho}VSV{\ displaystyle C_ {V}}β{\ displaystyle \ beta}

Coeficientes de expansão térmica α{\ displaystyle \ alpha}

Caso isotrópico

Pode-se calcular para todos os materiais isotrópicos a variação do comprimento e, portanto, do volume de acordo com a variação da temperatura:

ΔA=αA0ΔT{\ displaystyle \ Delta L = \ alpha \; L_ {0} \; \ Delta T}

com :

• ΔA{\ displaystyle \ Delta L}a variação do comprimento em metros ( m );
• α{\ displaystyle \ alpha}o coeficiente de expansão linear na potência de Kelvin menos um ( K −1 );
• A0{\ displaystyle L_ {0}}o comprimento inicial em metros ( m );
• ΔT=T-T0{\ displaystyle \ Delta T = T-T_ {0}}a variação da temperatura em Kelvin ( K ) ou em graus Celsius ( ° C ).

Nota: como usamos uma variação (uma diferença de temperatura), a diferença original entre Kelvin e graus Celsius é cancelada, a distinção, portanto, não é necessária.

Também podemos calcular diretamente o comprimento em função da temperatura:

A(T)=A0+ΔA=A0(1+α(T-T0)){\ displaystyle L (T) = L_ {0} + \ Delta L = L_ {0} \; (1+ \ alpha \; (T-T_ {0}))}

com :

• A(T){\ displaystyle L (T)} comprimento em metros (m) em função da temperatura;
• T{\ displaystyle T} a temperatura considerada em Kelvin (K) ou em graus Celsius (° C);
• T0{\ displaystyle T_ {0}} a temperatura inicial em Kelvin (K) ou em graus Celsius (° C).

Aplicativo

Ou um trilho de aço de 30 m no  inverno a −20  ° C  ; no verão, a temperatura é de 40  ° C . O trilho, portanto, sofre uma variação de temperatura ΔT = 60  ° C , sua variação de comprimento é:

ΔA=αParavseuer⋅A0⋅ΔT=12×10-6×30×60=2,16×10-2 m{\ displaystyle \ Delta L = \ alpha _ {\ mathrm {aço}} \ cdot L_ {0} \ cdot \ Delta T = 12 \ times 10 ^ {- 6} \ times 30 \ times 60 = 2 {,} 16 \ times 10 ^ {- 2} \ \ mathrm {m}}

Assim, o trilho aumenta 21,6  mm , seu comprimento no verão é 30,021 6  m .

Tensor de expansão térmica

Materiais cristalinos não cúbicos exibem expansão térmica anisotrópica  : o mesmo coeficiente de expansão α não é observado em todas as direções. Por esta razão, usa-se um tensor simétrico de ordem 2 para descrever a expansão em materiais anisotrópicos:

[α11α12α13α21=α12α22α23α31=α13α32=α23α33]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {11} & \ alpha _ {12} & \ alpha _ {13} \\\ alpha _ {21} = \ alpha _ {12} & \ alpha _ {22 } & \ alpha _ {23} \\\ alpha _ {31} = \ alpha _ {13} & \ alpha _ {32} = \ alpha _ {23} & \ alpha _ {33} \ end {bmatrix}} }

Assim, no caso geral de um material triclínico , seis coeficientes de expansão térmica são necessários. Esses coeficientes relativos a uma marca de referência ortogonal, os coeficientes de expansão não têm necessariamente uma relação direta com os eixos cristalográficos do material. De fato, os valores próprios e vectores próprios de um tensor de ordem 2 sempre formulário (no caso em que os valores próprios são positivas) um elipsóide de revolução, cujos eixos são perpendiculares entre si: dizemos que um tensor de ordem 2 tem sempre em pelo menos a simetria máxima do ponto ortorrômbico 2 / m 2 / m 2 / m .

Para uma ortorrbica cristalina , por exemplo, onde α 12 = α 13 = α 23 = 0, o tensor de expansão é diagonal e α 11 , a- 22 e α 33 descrevem a expansão ao longo das três direcções cristalográficas de um , b e c do material. Contra, no sistema monoclínico , α 13 é diferente de zero: enquanto α 22 representa a expansão térmica ao longo de b , a relação entre α 11 , α 33 , α 13 e o parâmetro de malha tem , c , β n 'não é assim trivial. Por convenção, o sistema de coordenadas ortogonais ( e 1 , e 2 , e 3 ) escolhido para descrever a expansão térmica em materiais monoclínicos é tal que e 2 é paralelo ao vetor b , eixo de simetria do cristal, e 3 é paralelo a c e e 1 é paralelo ao vetor da rede recíproca a * , que por definição forma um triedro direto com b e c  : α 33 representa a expansão térmica ao longo de c , enquanto α 11 representa a expansão ao longo do vetor recíproco a * que é diferente de a .

No caso triclínico geral, é possível calcular os coeficientes do tensor de expansão térmica a partir das variações de temperatura dos parâmetros da malha. No sistema de coordenadas ortogonais convencional ( e 1 , e 2 , e 3 ), definido por e 3 paralelo a c , e 2 paralelo a b * e e 1 sendo o produto vetorial de e 2 e e 3 , obtemos:

α11=1ParadParadT+dβdTcusto⁡βα22=1bdbdT+dαdTcusto⁡α+dγ∗dTcusto⁡γ∗α33=1vsdvsdTα12=12custo⁡γ∗(1ParadParadT-1bdbdT-dαdTcusto⁡α+dβdTcusto⁡β)+12dγ∗dTα13=12custo⁡β(1ParadParadT-1vsdvsdT)-12dβdTα23=12{(1ParadParadT-1vsdvsdT)custo⁡γ∗custo⁡β+(1bdbdT-1vsdvsdT)custo⁡αpecado⁡γ∗-(1pecado⁡γ∗dαdT+dβdTcusto⁡γ∗)}{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ alpha _ {11} & = & \ displaystyle {{\ frac {1} {a}} {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d } T}} + {\ frac {\ mathrm {d} \ beta} {\ mathrm {d} T}} \ cot {\ beta}} \\ [3ex] \ alpha _ {22} & = & \ displaystyle { {\ frac {1} {b}} {\ frac {\ mathrm {d} b} {\ mathrm {d} T}} + {\ frac {\ mathrm {d} \ alpha} {\ mathrm {d} T }} \ cot {\ alpha} + {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma ^ {*}} {\ mathrm {d} T}} \ cot {\ gamma ^ {*}}} \\ [3ex] \ alpha _ {33} & = & \ displaystyle {{\ frac {1} {c}} {\ frac {\ mathrm {d} c} {\ mathrm {d} T}}} \\ [3ex] \ alpha _ {12} & = & \ displaystyle {{\ frac {1} {2}} \ cot {\ gamma ^ {*}} \ left ({\ frac {1} {a}} {\ frac {\ mathrm { d} a} {\ mathrm {d} T}} - {\ frac {1} {b}} {\ frac {\ mathrm {d} b} {\ mathrm {d} T}} - {\ frac {\ mathrm {d} \ alpha} {\ mathrm {d} T}} \ cot {\ alpha} + {\ frac {\ mathrm {d} \ beta} {\ mathrm {d} T}} \ cot {\ beta} \ right) + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma ^ {*}} {\ mathrm {d} T}}} \\ [3ex] \ alpha _ {13 } & = & \ displaystyle {{\ frac {1} {2}} \ cot {\ beta} \ left ({\ frac {1} {a}} {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} T}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ mathrm {d} c} {\ mathrm {d} T}} \ right) - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} \ beta} {\ mathrm {d} T}}} \\ [3ex] \ alpha _ {23} & = & \ displaystyle {{\ frac {1} {2}} \ left \ {\ left ({\ frac {1} {a}} {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} T}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ mathrm {d} c} {\ mathrm {d} T}} \ right) \ cot {\ gamma ^ {*}} \ cot {\ beta} + \ left ({\ frac {1} {b}} {\ frac {\ mathrm {d} b} {\ mathrm {d} T}} - { \ frac {1} {c}} {\ frac {\ mathrm {d} c} {\ mathrm {d} T}} \ right) {\ frac {\ cot {\ alpha}} {\ sin {\ gamma ^ {*}}}} - \ left ({\ frac {1} {\ sin {\ gamma ^ {*}}}} {\ frac {\ mathrm {d} \ alpha} {\ mathrm {d} T}} + {\ frac {\ mathrm {d} \ beta} {\ mathrm {d} T}} \ cot {\ gamma ^ {*}} \ right) \ right \}} \ end {array}}}

onde , , , , , são parâmetros de rede de cristal na rede directa e é o ângulo entre os vectores de um * e b * da rede recíproca. Para{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs{\ displaystyle c}α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}γ{\ displaystyle \ gamma}γ∗{\ displaystyle \ gamma ^ {*}}

Os autovalores do tensor de expansão térmica, ou coeficientes lineares principais de expansão , e , também possibilitam a obtenção do coeficiente de expansão voluminal visto acima, traço do tensor :, já que o traço de uma matriz quadrada é invariante pela mudança de base . Para materiais isotrópicos, encontramos o resultado . α1{\ displaystyle \ alpha _ {1}}α2{\ displaystyle \ alpha _ {2}}α3{\ displaystyle \ alpha _ {3}}β{\ displaystyle \ beta}β=α1+α2+α3=α11+α22+α33{\ displaystyle \ beta = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ alpha _ {3} = \ alpha _ {11} + \ alpha _ {22} + \ alpha _ {33}}β=3α{\ displaystyle \ beta = 3 \; \ alpha}

Medição de coeficientes de expansão linear

Um método estabelecido para medir os coeficientes de expansão térmica é o da dilatometria .

No caso de materiais cristalinos, a expansão térmica pode ser medida com precisão por difração de raios-X . Um método comumente usado é medir os parâmetros da rede cristalina para diferentes temperaturas e derivar coeficientes de expansão linear deles. No entanto, o cálculo intermediário dos parâmetros de rede introduz erros adicionais no cálculo dos coeficientes e é preferível obtê-los a partir da variação de temperatura do ângulo de difração θ. Vários programas fornecem os componentes do tensor de dilatação a partir das variações de θ.

Coeficientes de expansão linear para os materiais principais

Os coeficientes dadas abaixo são ordens de grandeza válido para temperaturas entre cerca de 0  ° C e 100  ° C . Na realidade, esses coeficientes dependem da temperatura, a lei do alongamento, portanto, não é linear para diferenças de temperatura muito altas. Para fins de ilustração, são fornecidos abaixo:

• a variação com a temperatura do coeficiente de volume (três vezes o coeficiente linear) de um polipropileno semicristalino para várias pressões; o pico corresponde à fusão;
• a variação com a temperatura do coeficiente linear à pressão atmosférica para vários graus de aço.

substâncias	coeficiente de expansão linear K −1
aço	12,0 × 10 −6
aço inoxidável	14 × 10 −6 +/- 4 dependendo da família
alumínio	23 × 10 −6
concreto	12 × 10 −6
bronze	17,5 × 10 −6
Constantan	15,2 × 10 −6
cobre	17 × 10 −6
diamante	1 × 10 −6 [1]
Derretendo	10,5 × 10 −6
invar (36% Ni + 64% Fe)	1,2 × 10 -6
titânio	8,6 × 10 −6
latão	18,5 × 10 −6
níquel prata	18,0 × 10 −6

substâncias	coeficiente de expansão linear K −1
nylon	30 × 10 −6
polipropileno	150 × 10 −6
porcelana	4,0 × 10 −6
quartzo	0,5 × 10 -6
Rilsan	150 × 10 −6
esteatite	8 × 10 −6
vidro soda-cal (vidro comum)	9 × 10 −6 [2]
vidro de borossilicato ( Pyrex )	4 × 10 −6
Zerodur	0,05 × 10 −6

Coeficientes de expansão linear dos elementos a 25  ° C (10 −6  K −1 ):

H

ei

Li 46

Be 11,3

B

VS

NÃO

O

F

Nascer

Na 71

Mg 24,8

Al 23.1

Si 2,49

P

S

Cl

Ar

K 83,3

Ca 22,3

Sc 10.2

Ti 8.6

V 8.4

Cr 4,9

Mn 21,7

Fe 11,8

Co 13

Ni 13,4

Cu 16,5

Zn 30,2

Ga 18

Ge 6.1

Ás

Se

Br

Kr

Rb

Sr 22,5

Y 10,6

Zr 5.7

Nb 7.3

MB 4.8

Tc

Ru 6.4

Rh 8.2

Pd 11,8

Ag 18.9

Cd 30,8

Em 32,1

Sn 22

Sb 11

Você

eu

Xe

Cs 97

Ba 20.6

*

Leia 9,9

Hf 5,9

Seu 6,3

W 4.5

Re 6.2

Bone 5.1

Ir 6.4

Pt 8.8

Aos 14,2

Hg 60,4

Tl 29,9

Pb 28.9

Bi 13,4

Po 23,5

No

Rn

Fr

Ra

**

Lr

Rf

Db

Sg

Bh

Hs

Mt

Ds

Rg

Cn

Nh

Fl

Mc

Lv

Ts

Og

↓

*

Os 12,1

Este 6,3

Pr 6.7

Nd 9,6

Pm 11

Sm 12,7

Tenho 35

Gd 9,4

Tb 10.3

Dy 9,9

Ho 11,2

Er 12.2

Tm 13,3

Yb 26.3

**

Ac

th 11

Pa

U 13,9

Np

Pu 46,7

Sou

Cm

Bk

Cf

É

Fm

Md

Não

Anomalias

O caso mais conhecido de anomalia dilatométrica é o da água , que apresenta um comportamento particular na sua fase líquida entre 0  ° C e + 4  ° C  : quando a temperatura aumenta neste intervalo, a água se contrai, o seu volume mássico diminui, o que corresponde a um coeficiente de expansão térmica negativo. Este fenômeno é comumente referido como “paradoxo da água”.

No entanto, outros materiais têm um coeficiente de expansão térmica negativo:

• tungstato de zircônio, α-ZrW 2 O 8, se contrai quando a temperatura aumenta entre -272,85  ° C e 777  ° C , a temperatura na qual o material se decompõe. Este fenômeno também foi observado para outros membros da família AM 2 O 8 (A = Zr ou Hf e M = Mo ou W);
• germanato de cobre e ferro Cu 2 Fe 2 Ge 4 O 13, monoclínico e composto de cadeias de FeO 6 octaedrasziguezagueando ao longo da direção b que são separados na direção a por dímeros de planos quadrados CuO 4, Tem um coeficiente de expansão térmica negativa ao longo de uma entre -233,15  ° C e -73,15  ° C , enquanto que nas outras direcções do coeficiente de expansão térmica é positivo. Acredita-se que essa contração térmica de baixa temperatura seja devida à repulsão magnética entre os íons Cu 2+ dentro dos dímeros;
• borato de estrôncio e cobre SrCu 2 (BO 3 ) 2, quadrático e composto de camadas onduladas Cu 2 (BO 3 ) 2no plano ( um , b ) separados ao longo c por átomos de estrôncio, tem um coeficiente de expansão térmica negativa na direcção c entre 76,85  ° C e 121,85  ° C . Este material sofre uma transição de fase estrutural de segunda ordem a 121,85  ° C  : acima desta temperatura as camadas de Cu 2 (BO 3 ) 2tornam-se planos, exigindo menos espaço na direção perpendicular c , o que explica o coeficiente de expansão térmica negativo;
• a libetenita Cu 2 PO 4 (OH)encolhe na direcção c , quando a temperatura aumenta de 500  ° C , precursor para desidratação do material está completo em 580  ° C .

Assim, várias causas podem estar na origem de um coeficiente de expansão térmica negativo. Uma aplicação potencial de materiais de expansão térmica negativa em engenharia é o desenvolvimento de materiais compostos, misturas de materiais com coeficientes α positivos e negativos, que teriam expansão térmica total zero.

• Estrutura cristalina de ZrW 2 O 8. ZrO 6 octaedros em verde, WO 4 tetraedros em vermelho.

• Estrutura cristalina de Cu 2 Fe 2 Ge 4 O 13. Marrom: ferro , laranja: cobre , amarelo: germânio , azul: oxigênio .

• SrCu 2 (BO 3 ) 2a -173,15  ° C . Verde: estrôncio , vermelho: cobre , amarelo: boro , azul: oxigênio .

• SrCu 2 (BO 3 ) 2a 249,85  ° C . Verde: estrôncio , vermelho: cobre , amarelo: boro , azul: oxigênio .

Problemas devido à dilatação

A expansão de sólidos é compensada em certas estruturas por juntas de expansão . Por exemplo, no caso de pontes , "ranhuras" chamadas juntas de pavimento (ou simplesmente por uso da linguagem simplesmente juntas de dilatação) permitem compensar os efeitos devidos às diferenças de exposição ao sol e ao aquecimento da atmosfera , que podem . estender um sólido várias dezenas de metros por alguns centímetros. Sem o espaço deixado por essas juntas de expansão, a ponte sofreria tensões internas adicionais.

• A expansão de um líquido é freqüentemente insignificante em comparação com sua ebulição , mas pode explicar certos fenômenos, em particular com recipientes rígidos. Não é a causa do transbordamento do leite que é aquecido demais, que é um fenômeno específico das proteínas fervidas.
• A quebra do vidro fortemente aquecido ou resfriado é devido à expansão. Neste caso, falamos de choque térmico , devido à diferença de temperatura entre as áreas superficiais e o coração da peça. Tendo a superfície esfriada mais rápido, ela tenta se retrair, mas o coração, ainda quente e dilatado, impede. As restrições de tração então aparecem e causam uma ruptura quebradiça .
• Bloqueio da roda: se uma roda for de um material diferente do seu eixo, pode bloquear a determinadas temperaturas se as tolerâncias mecânicas tiverem sido calculadas incorretamente.

Aplicações de dilatação

• Termômetro de lâmina dupla
• Termômetro de gás e termômetro de líquido
• Dilatômetro
• Anel de Gravesande
• Atuação térmica

Notas e referências

1. John Frederick Nye , Propriedades físicas dos cristais ["Propriedades físicas dos cristais"], Paris, Dunod,1961[ detalhe da edição ]
2. (em) P. Paufler e T. Weber, "  Sobre a determinação dos coeficientes de expansão térmica de cristais triclínicos lineares usando difração de raios X  " , Eur. J. Mineral. , vol.  11, n o  4,1991, p.  721-730
3. (em) SM Jessen e H. Küppers, "  The Precision of Thermal Expansion-Tensors of Triclinic and Monoclinic Crystals  " , J. Appl. Cryst. , vol.  24, n o  3,1991, p.  239-242 ( DOI  10.1107 / S0021889891000778 )
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5. (em) David R. Lide, CRC Handbook of Chemistry and Physics , Boca Raton, CRC Press,2009, 90 th  ed. , 2804  p. , Capa dura ( ISBN  978-1-4200-9084-0 )
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Veja também

Personalidades que trabalharam na dilatação

• Louis Joseph Gay-Lussac descobriu a lei da expansão do gás
• Pierre Louis Dulong
• Charles Édouard Guillaume , Prêmio Nobel de Física (1920), descobriu ligas com baixos coeficientes de expansão
• Gravesande de Willem Jacob

Artigos relacionados

• Coeficientes calorimétricos e termoelásticos
• Lei de Gay-Lussac
• Encolhimento de plástico
• Magnetostrição
• Eletrostrição
• Dilatação do tempo
• Expansão do espaço na geometria
• Vasodilatação
• Dilatação da pupila