Expansão decimal da unidade

Em matemática , o desenvolvimento decimal periódico que é escrito $0,999 ...$ , que é posteriormente denotado por ou ou , representa um número real que pode ser mostrado como o número $1$ . Em outras palavras, as duas notações $0,999\dots$ e $1$ são duas notações diferentes para o mesmo número. As demonstrações matemáticas desta identidade foram formuladas com vários graus de rigor matemático e de acordo com preferências relacionadas com a definição de números reais, os pressupostos subjacentes, o contexto histórico e o público-alvo. $0, {\ bar {9}}$ $0, {\ ponto {9}}$ $0, (9)$

O fato de que alguns números reais podem ser representados por mais de uma sequência de "decimais" não se limita ao decimal , ou seja, sistema de base dez. O mesmo fenômeno ocorre em todas as bases inteiras , e os matemáticos também descobriram como escrever $1$ em sistemas de base não inteiros. Além disso, este fenômeno não é específico do número $1$ : qualquer número decimal diferente de zero tem uma escrita finita e outra escrita com um infinito de 9, como $18,32 = 18,31999\dots$ . Escrever com um número finito de casas decimais é mais simples e quase sempre a preferida, o que contribui para o preconceito de ser a “única” representação. Porém, a outra forma, com infinidade de casas decimais, às vezes é mais útil para entender a expansão decimal de certas frações , ou, na base 3 , para caracterizar o conjunto de Cantor . A forma “não única” deve ser levada em consideração em certas demonstrações porque o conjunto de números reais não é contável . Mais geralmente, qualquer sistema de representação numérica posicional para números reais contém uma infinidade de números com múltiplas representações.

A igualdade $0,999\dots = 1$ há muito é aceita pelos matemáticos e é ensinada nos livros didáticos. Somente nas últimas décadas os pesquisadores em educação matemática têm estudado como os alunos percebem essa igualdade. Alguns o rejeitam, por "intuição" de que cada número tem uma expansão decimal única, que deve haver infinitesimais diferente de zero, ou que a expansão $0,999 ...$ acaba terminando. Essas intuições estão erradas no sistema de números reais, mas existem outros sistemas de números que podem admitir algumas.

Provas algébricas

Existem várias provas elementares da igualdade $0,999\dots = 1$ .

Frações e divisões colocadas

Uma das razões para a necessidade de expansões decimais infinitas é a representação decimal de frações . Definir uma divisão de inteiros como $1/9$ dá uma expansão decimal $0,111 ...$ na qual os decimais são repetidos indefinidamente . Esta igualdade dá uma prova rápida de $0,999 ... = 1$ : ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {9}} & = 0 {,} 111 \ ldots \\ 9 \ times {\ frac {1} {9}} & = 9 \ times 0 { ,} 111 \ ldots \\ 1 & = 0 {,} 999 \ ldots \ end {alinhado}}}$

Em outra forma, podemos multiplicar os dois membros da igualdade $1 / 3 = 0,333\dots$ por $3$ , para obter por um lado $3 \times 1 / 3 = 1$ e, por outro lado, $3 \times 0,333\dots = 0,999\dots$ . Esses dois números são, portanto, bastante iguais.

Tratamento de decimais

Quando um número em notação decimal é multiplicado por $10$ , os dígitos não mudam, mas o separador de unidades é deslocado um passo para a direita. Assim, $10 \times 0,999\dots = 9,999\dots$ . O seguinte requer um pouco de álgebra:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} x & = 0 {,} 999 \ ldots \\ 10x & = 9 {,} 999 \ ldots & {\ text {multiplicando por}} 10 \\ 9x & = 9 & { \ text {pt subtraindo a primeira equação da segunda}} \\ x & = 1 & {\ text {dividindo por}} 9 \\ 0 {,} 999 \ ldots & = 1 & {\ text {por definição de }} x. \ end {alinhado}}}

Discussão

“Embora essa prova estabeleça que $0,999\dots = 1$ , não parece oferecer nada que explique por que essa igualdade é verdadeira. [... No entanto,] na aritmética elementar , este tipo de prova pode ajudar a explicar porque $0,33 ... \neq 0,4$ , enquanto $0,99 ...$ é igual a $1,0$ . Ou, em álgebra elementar , [... a ser explicado] um método geral para encontrar a fração correspondente a uma expansão decimal periódica ” . Mas essas demonstrações não lançam luz sobre as relações fundamentais entre as expansões decimais e os números que representam, relações que estão subjacentes ao próprio significado a ser dado à igualdade entre duas expansões decimais.

William Byers pensa que um aluno que admite que $0,999 ... = 1$ por causa das demonstrações anteriores, mas que não resolveu a ambigüidade da notação $0,999 ...$ - que, segundo ele, denota tanto um processo de soma quanto um objeto matemático - não pode realmente compreender a igualdade.

Uma vez que um sistema de representação é definido, ele pode ser usado para justificar as regras aritméticas decimais usadas nas demonstrações anteriores. Além disso, pode-se demonstrar diretamente que as expressões $0,999 ...$ e $1,000 ... ambas$ representam o mesmo número real, pois isso faz parte da definição ( ver abaixo ).

Demonstrações analíticas

Uma vez que o exame de $0,999 ...$ não interfere na formalização da matemática de forma alguma, ele pode ser adiado até que os teoremas padrão da análise real sejam estabelecidos .

É necessário antes de tudo dar sentido à escrita de números reais, em notação decimal, na forma de um sinal possível - , de uma série finita de algarismos formando o número natural $b 0$ parte inteira do valor absoluto , um separador decimal , e uma sequência possivelmente infinita $( b i ) i \geq 1$ de dígitos que pode assumir os valores de 0 a 9, formando a parte fracionária desse mesmo valor absoluto. Nessa notação posicional , é essencial que, ao contrário da parte inteira $b 0$ , a parte fracionária não seja limitada a um número finito de dígitos.

Para discutir $0,999\dots$ , não usamos a possibilidade de um sinal -, então nos limitamos a uma expansão decimal da forma $b 0 , b 1 b 2 b 3 \dots$ .

Séries infinitas e suítes

Talvez a apresentação mais comum de expansões decimais seja defini-las como séries infinitas . Em geral:

{\ displaystyle b_ {0} {,} b_ {1} b_ {2} b_ {3} b_ {4} \ ldots = b_ {0} + {\ frac {b_ {1}} {10}} + {\ frac {b_ {2}} {10 ^ {2}}} + {\ frac {b_ {3}} {10 ^ {3}}} + {\ frac {b_ {4}} {10 ^ {4}} } + \ ldots}

Para $0,999\dots$ , podemos aplicar o teorema de convergência das séries geométricas : if $| r | <1$ , então:

{\ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ ldots = {\ frac {a} {1-r}}.}

Uma vez que $0,999 ...$ é essa soma, com $r = 1 / 10$ , o teorema resolve rapidamente a questão:

{\ displaystyle 0 {,} 999 \ ldots = 0 + {\ frac {9} {10}} + {\ frac {9} {10 ^ {2}}} + {\ frac {9} {10 ^ {3 }}} + {\ frac {9} {10 ^ {4}}} + \ ldots = {\ frac {9} {10}} + {\ frac {9} {10}} \ times {\ frac {1 } {10}} + {\ frac {9} {10}} \ times \ left ({\ frac {1} {10}} \ right) ^ {2} + {\ frac {9} {10}} \ times \ left ({\ frac {1} {10}} \ right) ^ {3} + \ ldots = {\ frac {\ frac {9} {10}} {1 - {\ frac {1} {10} }}} = 1.}

Esta demonstração (na verdade, de $9.999 ... = 10$ ) aparece a partir de 1770 nos Elementos de Álgebra de Leonhard Euler , mas o somatório de uma série geométrica é em si um resultado anterior. Uma manifestação típica do XVIII th século utilizada uma palavra semelhante para manuseamento de manipulação palavra decimais dadas acima ; Bonnycastle , em 1811 , usa esse tipo de argumento para justificar que $0,999\dots = 1$ .

Reação do XIX ° século contra tais métodos descuidados somatório resultou na definição ainda dominante hoje:

a soma de uma série é o limite da sequência das suas somas parciais ;
uma sequência $( x 0 , x 1 , x 2 ,\dots)$ admite um limite $x$ se a distância $| x - x n |$ torna-se arbitrariamente pequeno à medida que $n$ aumenta.

Com essas definições, a prova do teorema acima consiste em calcular a distância entre o limite esperado, $x = Para / 1 - r$ , e as somas parciais das séries geométricas , $x n = a + ar +\dots + ar n$ . Descobrimos que essa distância é uma seqüência geométrica de razão $r$ , portanto de limite zero (uma vez que $| r | <1$ ).

No caso particular de $0,999 ... = 1$ , esta prova é simplesmente escrita:

{\ displaystyle 1-0 {,} \ underbrace {99 \ ldots 99} _ {n} = 0 {,} \ underbrace {00 \ ldots 01} _ {n} = {\ frac {1} {10 ^ {n }}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} = 0.}

Antes dessa formalização, era esboçado em termos mais pictóricos, porém menos precisos. Por exemplo, em 1846, Davies explicou: “ $0,999 +$ , continuado $ad$ infinitum $= 1$ , porque adicionar cada novo $9$ aproxima o valor de $1$ . " ; Smith e Harrington, em 1895 , escreveram: “Quando você pega um grande número de 9, a diferença entre $1$ e $0,999 ...$ torna-se inconcebivelmente pequena. " Essas heurísticas de abordagem são frequentemente interpretadas pelos alunos como implicando que $0,999 ...$ é estritamente menor que $1$ .

Segmentos aninhados e limites superiores

A representação acima por série é uma maneira simples de definir o número real associado a uma expansão decimal. Para garantir que essa notação não abuse do sinal “=”, usamos as propriedades dos limites. Mas outras construções usam aquelas da ordem.

Um deles é baseado no teorema dos segmentos aninhados (veja a terceira construção ), que diz que para uma sequência de segmentos aninhados cujos comprimentos se tornam arbitrariamente pequenos, a interseção desses intervalos contém exatamente um ponto. O número $b 0 , b 1 b 2 b 3 ...$ é, portanto, definido como o único real pertencente a todos os segmentos $[ b 0 , b 0 + 1], [ b 0 , b 1 , b 0 , b 1 + 0, 1 ]$ , etc. Assim, $0,999 ...$ é o real único que é encontrado em todos os segmentos $[0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1], [0,999, 1]$ , etc. ou seja, o $1$ real .

O processo inverso é determinar, para um dado número real, todas as expansões decimais às quais ele corresponde. Se sabemos que um número real $x$ está no segmento $[0, 10]$ (ou seja, $0 \leq x \leq 10$ ), podemos dividir esse intervalo em 10 partes iguais, que não se sobrepõem em suas extremidades: $[0, 1] , [1, 2], [2, 3],\dots, [9, 10]$ . O número $x$ deve pertencer a um desses intervalos; se pertencer a $[2, 3]$ , anotamos o número $2$ e subdividimos o intervalo em dez: $[2,0, 2,1], [2,1, 2,2], [2, 2, 2,3],\dots, [2,9, 3]$ . Em seguida, anotamos o separador decimal e o número correspondente ao intervalo em que $x$ está localizado ; continuando este processo, obtemos uma sequência infinita de segmentos aninhados, que identificamos por uma sequência infinita de dígitos $b 0 , b 1 b 2 b 3 \dots$ e escrevemos $x = b 0 , b 1 b 2 b 3 \dots$ . Neste formalismo, as identidades $0,999 ... = 1$ e $1,000 ... = 1,$ respectivamente, refletem que $1$ está ambos no segmento $[0, 1]$ e $[1, 2]$ , de modo que se pode escolher um ou outro desses intervalos no início da procura de casas decimais. O resto decorre dessa escolha inicial.

O teorema do segmento aninhado é geralmente baseado em um caráter mais fundamental dos números reais: a existência do menor limite superior, chamado de limite superior (ou supremo ). Para usar diretamente este tipo de objeto, podemos definir $b 0 , b 1 b 2 b 3 ...$ como o limite superior do conjunto de aproximações $b 0$ , $b 0 , b 1$ , $b 0 , b 1 b 2$ , $b 0 , b 1 b 2 b 3$ , etc. . Podemos então mostrar que esta definição (ou aquela pelos segmentos aninhados) é consistente com o procedimento de subdivisão, o que novamente implica que $0,999\dots = 1$ . Tom Apostol conclui: “O fato de que um número real pode ter duas representações decimais diferentes é simplesmente uma reflexão de que dois conjuntos diferentes de números reais podem ter o mesmo limite superior. " .

Provas de construção de números reais

Algumas abordagens definem explicitamente os números reais como estruturas baseadas em números racionais , usando a teoria dos conjuntos axiomáticos . Os números naturais : 0, 1, 2, etc. comece com 0 e continue em ordem crescente, de forma que cada número tenha um sucessor. Podemos estender os números naturais pelos inteiros negativos, para obter todos os inteiros , e então para suas proporções, o que dá os números racionais . Esses sistemas numéricos são acompanhados pela aritmética das quatro operações básicas, adição, subtração, multiplicação e divisão. Mais sutilmente, incluem a noção de ordem , de modo que um número pode ser comparado a outro e considerado maior, menor ou igual a este.

A mudança do racional para o real é uma extensão importante. Existem pelo menos duas maneiras comuns de atingir esse resultado, ambas publicadas em 1872 : os recortes de Dedekind e as suítes de Cauchy . $Provas$ de $0,999\dots = 1$ que usam diretamente esses construtos não são encontradas em livros de análise real , onde a tendência nas últimas décadas tem sido usar a análise axiomática. Mesmo que uma construção seja proposta, ela geralmente é usada para provar os axiomas dos números reais, que por sua vez permitem as provas fornecidas acima. No entanto, alguns autores expressam a ideia de que seria logicamente preferível começar com uma construção, e que as demonstrações resultantes seriam mais autônomas.

Cortes de Dedekind

A definição de Dedekind de números reais como denominações foi publicada pela primeira vez por Richard Dedekind em 1872 . No reformulação agora clássica (cf. artigo detalhado), um corte é um adequado parte não-vazia do conjunto de lógicas, estável pelo limite inferior e que não possuem um elemento de maior . Um real é então representado pelo conjunto infinito de todas as racionalidades que são estritamente inferiores a ele. Qualquer expansão decimal positiva define facilmente um corte de Dedekind: o conjunto de racionais estritamente inferior a um certo truncamento da expansão. Por exemplo, o corte correspondente à expansão infinita $0,999 ...$ é o conjunto de números racionais menor que $0$ , ou $0,9$ , ou $0,99$ , etc. , e o correspondente ao desenvolvimento finito $1$ é o conjunto de números racionais estritamente menor que $1$ . Esses dois conjuntos são iguais, então as duas expansões decimais $0,999\dots$ e $1$ representam o mesmo real, por definição.

Suítes Cauchy

Outra abordagem para construir números reais usa a noção de ordem dos fundamentos menos diretamente. Esta é a definição da série de racionais de Cauchy, publicada pela primeira vez em 1872, de forma independente, por Eduard Heine e Georg Cantor .

Começamos por definir a “distância” entre duas lógicas $x$ e $y$ como valor absoluto $| x - y |$ , ou seja, o maior dos dois fundamentos $x - y$ e $y - x$ (esta distância é, portanto, um racional positivo).

Neste quadro, os números reais são definidos como as sequências de números racionais $( x 0 , x 1 , x 2 , ...)$ que são “ de Cauchy para esta distância”, ou seja, para qualquer racional $δ> 0$ , existe um inteiro $N$ tal que $| x m - x n | \leq δ$ para todos $m$ e $n$ maior do que $N$ . Em outras palavras, a distância entre dois termos se torna menor do que qualquer racional positivo de um determinado posto.

Também definimos, neste contexto, a noção de uma sequência de lógicos convergindo para $0$ , usando apenas o racional $δ> 0$ . Então, se $($ $x$ $n$ $)$ e $($ $y$ $n$ $)$ são duas sequências de Cauchy, dizemos que elas são iguais como números reais se sua diferença $($ $x$ $n$ $- y$ $n$ $)$ converge para $0$ . Os truncamentos da expansão decimal $b$ $0$ $,$ $b$ $1$ $b$ $2$ $b$ $3$ $\dots$ formam uma sequência de números decimais (portanto racionais) que é Cauchy. É considerado o valor do número. Neste formalismo, a igualdade $0,999 ... = 1,$ portanto, vem simplesmente, como na abordagem anterior pela série , do fato de que a sequência de números racionais

{\ displaystyle \ left (1-0,1- {9 \ over 10}, 1- {99 \ over 100}, \ dots \ right) = \ left (1, {1 \ over 10}, {1 \ over 100}, \ dots \ right),}

ou seja, a sequência dos poderes de $1 / 10$ , converge para $0$ (no sentido mais fraco a priori definido aqui: para qualquer racional $δ> 0$ , temos $1 / 10 n \leq δ$ para qualquer inteiro $n$ grande o suficiente).

Generalizações

O resultado $0,999\dots = 1$ pode ser facilmente generalizado em duas direções. Primeiro, qualquer número diferente de zero que tem uma expansão decimal finita (seguido por uma infinidade de zeros), tem outra expansão que termina com um infinito de $9$ . Por exemplo, $0,25 (= 0,25000\dots)$ é igual a $0,24999\dots$ , assim como $1 (= 1.000\dots)$ é igual a $0,999\dots$ . Esses números são decimais . Formam, como acabamos de ver, uma parte densa do conjunto dos reais.

Em segundo lugar, o mesmo fenômeno ocorre em todas as bases . Por exemplo, na base dois , $0,111\dots = 1$ , e na base três, $0,222\dots = 1$ . Os livros de análise real tendem a pular o sistema decimal e começar apresentando uma ou ambas dessas generalizações.

O número $1$ também possui várias representações em bases não inteiras . Por exemplo, no sistema de numeração baseado em ouro (aquele que admite o número dourado $φ$ como base), as duas representações padrão da unidade são $1.000 ...$ e $0,101010 ...$ , e $1 também$ tem contagem infinita de representações não padrão, isto é , contendo $1s$ adjacentes; para qualquer $q$ estritamente entre $1$ e $φ$ , a situação é ainda pior: o conjunto de expansões de $1$ na base $q$ tem o poder do contínuo (portanto é infinito e incontável ); por outro lado, no intervalo $] φ, 2 [$ , as bases $q$ em que $1$ tem apenas uma expansão diferente da expansão trivial $1.000 ...$ (como nas bases inteiras) formam um conjunto coma sour (que, portanto, tem o poder de contínuo ) Em 1998 , Komornik e Loreti determinaram a menor dessas bases, a constante de Komornik-Loreti $q = 1,787231650\dots$ . Nesta base, $1 = 0,110100110010110\dots$ ; os decimais são dados pela sequência Prouhet-Thue-Morse , que não se repete.

Uma generalização muito mais profunda diz respeito aos sistemas numéricos posicionais mais gerais. Eles também admitem representações múltiplas e, em certo sentido, com dificuldade pior. Por exemplo :

no sistema ternário balanceado , $1/2 = 0,111\dots = 1, 111 \dots$ ;
no sistema fatorial (usando as bases 2 !, 3 !, 4!,… para as posições após a vírgula decimal), $1 = 1.0000\dots = 0.1234\dots$ .

Marko Petkovšek propôs uma definição geral de sistema posicional e mostrou que, se tal sistema representa todos os reais, o conjunto de reais com várias representações é denso. Ele chama sua demonstração de "um exercício instrutivo em topologia geral elementar "; consiste em prover todas as séries de símbolos em tal sistema com uma topologia adequada, e em usar que o espaço dos reais seja Baire .

Esta seção pode conter trabalhos não publicados ou declarações não auditadas (abril de 2016) . Você pode ajudar adicionando referências ou removendo conteúdo não publicado.

Outra explicação para a impossibilidade de uma única representação, em certos Sistemas posicionais.

O fato de todos esses vários sistemas de numeração sofrerem de múltiplas representações para certos números reais pode ser atribuído a uma diferença fundamental entre o conjunto ordenado de números reais e as coleções de sequências infinitas e ordenadas lexicograficamente .

Na verdade, as dificuldades devem-se às duas propriedades a seguir:

se um intervalo real é dividido em duas partes L e R de modo que qualquer elemento de L seja (estritamente) menor do que qualquer elemento de R, então: ou L tem um elemento maior , ou R tem um elemento menor, mas não os dois em um tempo;
a coleção de todas as sequências de símbolos escolhidos em qualquer "alfabeto", ordenados lexicograficamente, pode ser particionada em duas partes L e R, de modo que qualquer elemento de L seja menor que qualquer elemento de R, e isto, de de modo que L tenha um elemento maior e R tem um elemento menor. Na verdade, é suficiente tomar dois começos finitos em uma linha, ℓ e r , idênticos, exceto por seus últimos símbolos, que se seguem, então tomar para L todas as sequências cujo início é menor ou igual a ℓ e para R todos as sequências cujo início é maior ou igual a r . Então L tem um elemento máximo: a sequência começando com ℓ e continuando com sempre o maior símbolo possível, e R tem um elemento mínimo: a sequência começando com re continuando com o menor símbolo possível em todas as posições.

A primeira propriedade segue de duas propriedades básicas dos reais: L tem um limite superior ℓ e R um limite inferior r ≥ ℓ, e r não pode ser estritamente maior que ℓ, caso contrário, uma vez que os reais formam uma ordem densa , haveria entre os dois reais que não pertencem a L nem a R. Este real r = ℓ pertence, por definição de uma partição, a L ou a R, mas não a ambos.

O segundo ponto generaliza a situação obtida com $0,999\dots$ e $1,000\dots$ . Em nenhum lugar assumimos que o alfabeto é o mesmo para cada posição de símbolo em uma sequência, nem que a partitura cobre a coleção completa de sequências possíveis. As restrições para alcançar o segundo ponto existem mas são mais fracas. Quando eles são feitos, o argumento acima mostra que não pode haver isomorfismo de ordem entre a coleção de sequências de símbolos e um intervalo real.

Formulários

O teorema de Midy é o resultado da aritmética elementar sobre a ocorrência de 9 nas frações de expansões decimais periódicas cujos denominadores são alguns primos . Por exemplo : $1 / 7$ = $0, 142857142857142857 \dots$ e $1 + 8 = 4 + 5 = 2 + 7 = 9$ . Étienne Midy demonstrou seu teorema em 1836 e muitos matemáticos o redescobriram e o ampliaram. Uma das provas é baseada na seguinte generalização da igualdade $0,999 ... = 1$ : de uma expansão decimal $0, a 1 a 2 a 3 ...$ de um real $x$ entre $0$ e $1$ , obtemos uma expansão $0, b 1 b 2 b 3 \dots$ de $1 - x$ tomando como dígitos os complementos de 9 daqueles de $x$ : $b i = 9 - a i$ .
Na análise real, o analógico de base três, $0,222 ... = 1$ , aparece no fato de que o conjunto de Cantor é fechado : um ponto no intervalo de unidade $[0, 1]$ é parte do conjunto de Cantor e pode ser escrito na base $3$ usando apenas os dígitos $0$ e $2$ . Assim, obtemos o conjunto Cantor removendo de $[0, 1]$ seu terço central: o intervalo de $0,1 = 1 / 3$ a $0,1222\dots = 2 / 3$ (mas mantendo essas pontas uma vez que têm outra representação, que não contém um $1$ : por exemplo, $1 / 3 = 0,0222 ...$ ) então da mesma maneira, removendo dos dois segmentos laterais seu terço central (intervalo aberto), etc.
O analógico de base dois, $0,111\dots = 1$ , aparece quando adaptamos outra obra de Cantor - seu argumento diagonal de 1891 - para mostrar que o intervalo de unidade real não é contável : se raciocinarmos na base n = 2 , levando em consideração a dupla expansão de frações diádicas requer precauções. Mas esse problema desaparece assim que escolhemos n > 2.

Ceticismo estudantil

Os alunos de matemática frequentemente rejeitam a igualdade de $0,999 ...$ e $1$ , por razões que vão desde sua aparência diferente até profundas dúvidas sobre o conceito de limite e divergências sobre a natureza do infinitesimal . Existem muitos fatores que contribuem para essa confusão em comum:

Os alunos geralmente são "mentalmente apegados à noção de que um número só pode ser representado por uma expansão decimal". A visão de duas expansões decimais claramente diferentes do mesmo número parece um paradoxo , que é amplificado pelo aparecimento do número aparentemente bem conhecido: $1$ .
Alguns alunos interpretam $0,999\dots$ , ou qualquer notação semelhante, como uma sequência de $9$ , certamente longa, mas finita, de comprimento variável, não especificado. Contanto que aceitem uma sequência infinita, eles esperam que o último dígito "infinito" seja um $9$ .
A intuição e o ensino ambíguo levam os alunos a pensar no limite de uma sequência como um processo, e não como um valor fixo, uma vez que uma sequência não precisa atingir seu limite. Quando os alunos aceitam a diferença entre uma sequência de números e seu limite, eles podem ler $0,999 ...$ como a própria sequência, em vez de seu limite.

Essas idéias estão erradas no contexto da teoria dos números reais padrão, embora algumas possam ser válidas em outros sistemas numéricos; ou estes foram inventados para sua utilidade geral em matemática, ou são contra-exemplos para uma melhor compreensão da natureza de $0,999\dots$ .

Muitas dessas explicações foram encontradas por David Tall (as) , que estudou as características da educação e do conhecimento, o que levou a alguns mal-entendidos que encontrou em seus alunos na universidade. Ao questioná-los para determinar por que a grande maioria rejeita inicialmente a igualdade, ele descobriu que "os alunos continuam a pensar em $0,999 ...$ como uma sequência de números que sempre se aproxima de $1$ , mas não como um valor fixo, pela razão de que" não especificamos quantos decimais existem ", ou que" é o número decimal mais próximo abaixo de $1$ ". " .

Entre as provas elementares , multiplicar $0,333\dots = 1/3$ por $3$ é aparentemente uma boa estratégia para convencer os alunos relutantes de que $0,999\dots = 1$ . Porém, quando são obrigados a comparar sua aprovação da primeira equação com suas dúvidas sobre a segunda, alguns alunos começam a duvidar da primeira, outros ficam irritados. Métodos mais sofisticados não são mais garantidos: os alunos que são perfeitamente capazes de aplicar definições rigorosas podem recorrer à linguagem intuitiva quando são surpreendidos por um resultado matemático como $0,999\dots = 1$ . Por exemplo, um estudante de análise real foi capaz de mostrar que $0.333 ... = 1/3$ usando o limite superior definição , mas argumentou que $0.999 ...$ não é igual a $1$ , com base no seu entendimento inicial de $0,333 ... = 1/3$ pela posou divisão . Outros ainda podem demonstrar que $0,333\dots = 1/3$ mas, diante da prova por frações , insistem no fato de que a "lógica" tem precedência sobre os cálculos.

Joseph Mazur (en) conta a história de um de seus alunos em análise numérica, de outra forma brilhante, que "questionou tudo o que eu disse na aula, mas nunca duvidou de sua calculadora e acabou acreditando que nove dígitos eram tudo que você precisava para fazer qualquer matemática , incluindo o cálculo da raiz quadrada de $23$ . Este aluno permaneceu resistente a um argumento de limite para $9,999\dots = 10$ , chamando-o de um “processo imaginado descontroladamente em crescimento infinito” ” .

De acordo com sua teoria APOS ( Actions, Processes, Objects, Schemas ) da aprendizagem matemática, Dubinsky e seus colaboradores oferecem uma explicação: os alunos que percebem $0,999 ...$ como uma sequência finita, indeterminada, cuja distância a $1$ é infinitamente pequena, "têm não terminou de construir um conceito de desenvolvimento decimal infinito ”. Outros alunos que concluíram a construção desse conceito provavelmente não são capazes de encapsular esse conceito em um conceito de objeto, como o que eles têm para $1$ , e, portanto, veem esses dois conceitos como incompatíveis. Dubinsky et al. também relacione essa capacidade mental de encapsulamento para ver uma fração como $1/3$ como um número verdadeiro e, assim, trabalhar com conjuntos de números.

Na cultura popular

Com o desenvolvimento da Internet , debates sobre $0,999\dots$ deixaram de ser $usados$ na sala de aula e podem ser encontrados com frequência em fóruns de discussão ou anúncios, incluindo muitos que normalmente têm pouco a ver com matemática.

No fórum sci.math, a discussão de $0,999\dots$ tornou-se um “esporte de base”, e esta é uma das questões abordadas em suas FAQs . O FAQ rapidamente ultrapassa $1/3$ , multiplicação por $10$ , limita e até faz alusão a sequências de Cauchy.
A edição de 2003 do de Chicago Reader Geral Coluna O Straight Dope discute $0.999 ...$ através de $1/3$ e limites, e fala de mal-entendidos internas nestes termos:

“O primata inferior em nós ainda resiste, dizendo que $0,999 ...$ não representa realmente um número , mas em uma pitada de um processo . Para encontrar um número, você tem que parar o processo, mas então a história de $0,999\dots = 1 entra em$ colapso. Qualquer que seja... "

No mesmo espírito, a questão de $0.999 ...$ tem encontrado tal sucesso durante os primeiros sete anos do fórum Battle.net empresa Blizzard Entertainment como a empresa emitiu um comunicado de imprensa em 1 st abril de 2004, para dizer definitivamente que é $1$ :

“Estamos muito animados para fechar este livro de uma vez por todas. Testemunhamos dores de cabeça e preocupações sobre se $0,999\dots = 1$ ou não , e temos o orgulho de informar que a demonstração a seguir é uma solução definitiva e conclusiva para nossos clientes. "

Em seguida, duas demonstrações são propostas, com base nos limites e na multiplicação por 10.

$0,999 ...$ também faz parte do folclore matemático, e principalmente na seguinte piada:

"Pergunta: Quantos matemáticos são necessários para aparafusar uma lâmpada?
Resposta: $0,999999\dots$ ”

Em sistemas numéricos alternativos

Embora os números reais sejam um sistema numérico extremamente útil, a decisão de interpretar a notação $0,999 ...$ como a representação de um número real é, no balanço, apenas uma convenção, e Timothy Gowers argumenta que a identidade $0,999 ... = 1$ que resulta de também é uma convenção:

“Você pode definir outros sistemas de numeração usando novas regras, ou novos objetos; neste tipo de sistema, as provas acima teriam que ser reinterpretadas, e alguém poderia muito bem descobrir que em tal ou tal sistema $0,999 ...$ e $1$ não são idênticos. No entanto, muitos sistemas são extensões - ou alternativas - ao sistema de número real e $0,999\dots = 1$ continua a ser verdadeiro. Mas mesmo neste tipo de sistema, vale a pena examinar o comportamento de $0,999\dots$ (na medida em que esta representação tem um significado, e além disso único), mas também para o comportamento de fenômenos relacionados. Se esses fenômenos diferem daqueles do sistema de números reais, então pelo menos uma das suposições básicas desse sistema está errada. "

Números infinitesimais

Algumas provas de que $0,999\dots = 1$ são baseadas na propriedade arquimediana dos números reais padrão: não há infinitesimais diferentes de zero. Existem estruturas algébricas matematicamente coerentes, compreendendo várias alternativas aos padrões reais, que não são arquimedianos. O significado de $0,999\dots$ depende da estrutura em que é usado. Por exemplo, os números duais têm um novo item, infinitesimal , semelhante em números complexos à unidade imaginária $i$ , exceto no caso de números duais . A estrutura resultante pode ser usada como uma derivação algorítmica . Os números duplos podem ser ordenados por ordem lexicográfica , caso em que os múltiplos tornam-se elementos não arquimedianos. Observe, entretanto, que, considerados como uma extensão dos reais, os duais ainda satisfazem $0,999\dots = 1$ . Observe novamente que, uma vez que existe como um número dual, também existe, de modo que “o menor número dual positivo” não existe, e além disso, quanto aos reais, esse número não existe. $\ varejpsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0}$ $\ varejpsilon$ $\ varejpsilon$ $\ varejpsilon / 2$ $\ varejpsilon$

A análise fora do padrão fornece um sistema de numeração com todo um conjunto de infinitesimais (e seus inversos, que são infinitamente grandes). AH Lightstone desenvolveu uma expansão decimal para números hiperreais no intervalo . Mostra como associar a qualquer número uma sequência de casas decimais $0,$ $d$ $1$ $d$ $2$ $d$ $3$ $\dots;\dots$ $d$ $\infty - 1$ $d$ $\infty$ $d$ $\infty + 1$ $\dots$ indexada por números hipernaturais . Embora ele não discuta diretamente $0,999 ...$ , ele mostra que o número real $1/3$ é representado por $0,333 ...; ... 333 ...$ , que é uma consequência do axioma de transferência . Multiplicando por 3, obtemos uma representação semelhante para expansões com 9s repetidos. Mas Lightstone mostra que neste sistema, as expressões $0,333\dots;\dots 000\dots$ - ou $0,999\dots;\dots 000\dots$ - não correspondem a nenhum número. ${\ displaystyle \ left] 0,1 \ right [^ {\ ast}}$

Ao mesmo tempo, o número hiperreal com a última casa decimal 9 em uma classificação hipernatural infinita $H$ satisfaz a desigualdade estrita . Na verdade, o seguinte: e . De acordo com este escrito, Karin e Mikhail Katz propuseram uma avaliação diferente de $0,999 ...$ : ${\ displaystyle u_ {H} = 0 {,} 999 \ ldots; \ ldots 999000 \ ldots}$ ${\ displaystyle u_ {H} <1}$ ${\ displaystyle u_ {1} = 0,9 \ ,; \ u_ {2} = 0,99 \ ,; \ u_ {3} = 0,9999}$ ${\ displaystyle u_ {H} = 1-10 ^ {- H} <1}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {cl} 0 {,} \ underbrace {999 \ ldots} & = \, 1-1 / 10 ^ {[\ mathbb {N}]} \\ [- 1ex] [\ mathbb {N}] & \ end {array}}}

onde é um hipernatural infinito dado posteriormente , módulo de um determinado ultrafiltro . Ian Stewart caracteriza esta interpretação como uma forma "bastante razoável" de justificar rigorosamente a intuição de que "há algo faltando entre $0,999 ...$ e $1$ ". Como Karin e Mikhail Katz, Robert Ely questiona a suposição de que as ideias dos alunos sobre a desigualdade $0,999 ... <1$ são equívocos sobre números reais e ele prefere interpretá-los como palpites fora do padrão , que podem ter algum significado. Interesse em aprender infinitesimal cálculo . ${\ displaystyle [\ mathbb {N}]}$ ${\ displaystyle 1,2,3, \ ldots}$

Hackenbush

A teoria dos jogos combinatórios também fornece alternativas aos números reais, com o jogo Hackenbush (in) LR infinito como exemplo particularmente notável. Em 1974, Elwyn Berlekamp descreveu uma correspondência entre as strings do jogo Hackenbush e os desenvolvimentos binários dos reais, motivada pela ideia de compressão de dados . Por exemplo, o valor da string Hackenbush LRRLRLRL… é . No entanto, o valor de LRLLL… (correspondendo a é infinitesimalmente menor que $1.$ A diferença entre os dois é o número surreal , onde é o primeiro ordinal infinito ; a representação correspondente é LRRRR… , ou . ${\ displaystyle 0 {,} 010101 \ ldots _ {\ mathrm {(base2)}} = 1/3}$ ${\ displaystyle 0 {,} 111 \ ldots _ {\ mathrm {(base \ 2)}}}$ ${\ displaystyle 1 / \ omega}$ $\ómega$ ${\ displaystyle 0 {,} 000 \ ldots _ {\ mathrm {(base \ 2)}}}$

Quebrando a subtração

Outra maneira pela qual as provas podem ser invalidadas é o caso em que simplesmente não existe, porque a subtração nem sempre é possível. Estruturas matemáticas onde existe uma operação de adição, mas onde a operação de subtração nem sempre é definida incluem meios grupos comutativos , o monóide comutativo e meios anéis . Fred Richman considera tal sistema - construído de forma que $0,999\dots <1$ - em um artigo intitulado “ $0,999\dots$ é igual a $1$ ? Da Mathematics Magazine , um jornal para professores universitários e seus alunos. ${\ displaystyle 1-0 {,} 999 \ ldots}$

Nas expansões decimais positivas, Richman define a ordem lexicográfica e uma operação de adição, observando que $0,999 ... <1$ , simplesmente porque $0 <1$ na classificação das unidades, mas para qualquer expansão infinita $x$ , temos $0,999 ... + x = 1 + x$ . Portanto, uma particularidade das expansões decimais é que nem todas são simplificáveis para a adição. Outra é que não há expansão decimal $x$ correspondente a $1/3$ , ou seja, verificando $x + x + x = 1$ . Depois de definir a multiplicação, as expansões decimais positivas formam um meio-anel positivo, totalmente ordenado e comutativo. Embora essa estrutura satisfaça algumas propriedades interessantes, muitas das regras da aritmética usual não são mais válidas.

Paralelamente, Richman propõe uma variante paradoxal dos cortes de Dedekind : ele inova ao chamar "corte de Dedekind" do anel D dos números decimais qualquer parte não vazia própria A de D estável pelo limite inferior , mas sem proibir que A tenha um item grande positivo . A qualquer elemento $d$ de D , ele pode então associar dois “cortes” : o conjunto , que ele denota $d$ $-$ , e o conjunto , que ele assimila $ad$ e chama de “corte principal” . Lembrando que Dedekind identificou esses dois "cortes" entre si ao dizer que eles "diferem apenas inessencialmente" - o que equivale a excluir o segundo, como na clássica apresentação dos cortes de Dedekind mencionados acima. Acima , porém, Richman analisa a estrutura onde todos seus “cortes Dedekind” são permitidos e onde $d$ $-$ e $d$ não são considerados iguais. Seus “cortes” contendo $0$ estão então em bijeção com as expansões decimais positivas, associando a qualquer expansão o conjunto de números decimais inferiores no sentido amplo com um certo truncamento da expansão. O conjunto correspondente à expansão infinita $0,999\dots$ é portanto o cutoff $1$ $-$ , enquanto o conjunto correspondente ao desenvolvimento $1$ é o “cutoff principal $1$ ”. ${\ displaystyle \ {x \ in D \ mid x <d \}}$ ${\ displaystyle \ {x \ in D \ mid x \ leq d \}}$

Não há infinitesimais positivos em seus “cortes” em D , mas existe uma espécie de “infinitesimal negativo” $0 -$ , que não tem expansão decimal. Ele conclui que $0,999\dots = 1 + 0 -$ , enquanto a equação $0,999\dots + x = 1$ não tem solução.

Números P-ádicos

Quando questionados sobre $0,999\dots$ , os novatos muitas vezes acreditam que deve haver um “último $9$ ”, então eles pensam que é um número positivo, escreva $0,000\dots 1$ . Quer isso faça sentido ou não, o objetivo intuitivo é claro: se adicionarmos $1$ ao último dos $9s,$ isso causará transições em cascata, substituindo todos os $9s$ por $0s$ e o $0$ das unidades por $1$ . Entre outras razões, essa ideia falha, porque não há “últimos $9$ ” em $0,999\dots$ . No entanto, existe um sistema que contém uma infinidade de 9s, incluindo os últimos 9. ${\ displaystyle 1-0 {,} 999 \ ldots}$

Os números p -adic são um sistema de numeração alternativo de interesse na teoria dos números . Como os números reais, os números p -adic podem ser construídos a partir de números racionais, usando sequências de Cauchy ; a construção usa uma métrica diferente, em que $0$ está mais perto de $p$ , e ainda mais perto de $p n$ , do que de $1$ . Os números p -adic formam um campo comutativo se p for primo , e um anel comutativo se não for, incluindo se $p = 10$ . Portanto, podemos fazer aritmética com números p -adic, e não há infinitesimais.

Em números 10 adic, análogos de expansões decimais se estendem para a esquerda. O desenvolvimento $\dots 999$ tem um último $9$ enquanto não tem um primeiro $9$ . Você pode adicionar 1 ao dígito da unidade, e as deduções em cascata deixam apenas $0s$ :

{\ displaystyle \ ldots 999 + 1 = \ ldots 000 = 0}

portanto $\dots 999 = -1$ . Outra demonstração usa uma série geométrica . A série infinita implícita na notação $... 999$ não converge nos números reais, mas converge nos 10-adics, e podemos reutilizar a fórmula familiar:

{\ displaystyle \ ldots 999 = 9 + 9 (10) +9 (10) ^ {2} +9 (10) ^ {3} + \ cdots = {\ frac {9} {1-10}} = - 1 }

- compare com a série ( veja acima ).

Uma terceira demonstração foi inventada por um aluno do quinto ano, que duvidou do argumento limite dado por seu professor, que $0,999 ... = 1$ , mas foi inspirado pela demonstração multiplicando por 10 ( veja acima ), mas ao contrário: se então , e conseqüentemente . ${\ displaystyle x = \ ldots 999}$ ${\ displaystyle 10x = \ ldots 9990 = x-9}$ $x = -1$

Uma extensão final, uma vez que $0,999\dots = 1$ nos reais e $\dots 999 = -1$ nos 10-ádicos, “por fé cega e malabarismo imprudente com símbolos”, podemos somar as duas relações e chegar a $\dots 999.999\dots = 0$ . Esta equação não faz sentido como uma expansão de 10 ádicos ou como uma expansão decimal, mas acontece que pode-se dar um significado se desenvolvermos uma teoria de "decimais duplos", com lados esquerdos periódicos, para representar um sistema familiar : o dos números reais.

Assuntos relacionados

Veja o artigo Lógica intuicionista .
Os paradoxos de Zenão , e em particular o de Aquiles e a tartaruga , estão próximos do aparente paradoxo de que $0,999\dots = 1$ . O paradoxo pode ser modelado matematicamente, e como $0,999\dots$ , resolvido por uma série geométrica. No entanto, não está claro se esse tratamento matemático se aplica às questões metafísicas que Zenão estava explorando.
A divisão por zero faz parte das discussões populares de $0,999 ...$ e também desperta polêmica. Enquanto a maioria dos autores opta por definir $0,999 ...$ , quase todo o processamento moderno deixa a divisão por zero indefinida, porque não pode ser atribuído um significado no campo dos números reais padrão. No entanto, a divisão por zero pode ser definida em alguns outros sistemas, como na análise complexa , onde se pode adicionar um ponto no infinito aos números finitos para obter a esfera de Riemann . Nesse caso, faz sentido definir $1/0$ como infinito; e, de fato, os resultados são profundos e aplicáveis a muitos problemas em engenharia e física. Alguns eminentes matemáticos defenderam esse tipo de definição muito antes de qualquer um desses sistemas de numeração ser desenvolvido.
O zero negativo (en) é mais um exemplo de redundância na escrita de números. Em sistemas de numeração, como os números reais, onde $0$ denota o elemento neutro para adição, não é nem positivo nem negativo, e a interpretação usual de $-0$ é que é o elemento simétrico de $0.$ para a adição, que força $-0 = 0$ . No entanto, algumas aplicações científicas usam zeros positivos e negativos separados. Na ciência da computação, existem padrões para codificação de inteiros armazenados na forma de sinal e valor absoluto , e esta também é a regra para números de ponto flutuante, especificada pelo padrão IEEE 754 para pontos flutuantes. Pode-se citar também o complemento de um , porém em desuso. O resultado final é que se a maioria dos sistemas de tempo sabem, eles deveriam responder "verdadeiro" à pergunta "é $0 = -0$ ?" ”, Isso pode causar resultados diferentes, especialmente ao dividir por $0$ .

Notas e referências

( fr ) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " 0.999 ... " ( ver a lista de autores ) .

Notas

As várias provas desta última etapa utilizam inevitavelmente uma das caracterizações axiomáticas do campo dos números reais .
A síntese histórica é reivindicada por Griffiths e Hilton 1970 , p. xiv, então por Pugh 2002 , p. 10; na verdade, ambos preferem os cortes de Dedekind aos axiomas. Para o uso de recortes em livros didáticos, consulte Pugh 2002 , p. 10 ou Rudin 1976 , p. 17. Para pontos de vista sobre lógica, consulte Pugh 2002 , p. 10, Rudin 1976 , p. ix ou Munkres 2000 , p. 30
Richman 1999 observa que os números racionais podem ser substituídos por qualquer subanel da Parte Densa , em particular o anel numérico decimal .
Richman 1999 explica: “Por que estamos fazendo isso? Justamente para eliminar a possibilidade da existência de números distintos e $1$ [...] Vemos então que na definição tradicional de números reais, a equação é incorporada desde o início. " $0, {\ ponto {9}}$ ${\ displaystyle 0 {,} {\ dot {9}} = 1}$
Na verdade, é igual à série telescópica ${\ displaystyle \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {k} {(k + 1)!}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k \ geq 1} \ left ({\ frac {1} {k!}} - {\ frac {1} {(k + 1)!}} \ right) = {\ frac { 1} {1!}}.}$
Matemático esloveno nascido em 1955, aluno de Dana Scott , co-autor de Herbert Wilf e Doron Zeilberger e professor da Universidade de Ljubljana .
Ver o § “Caso não primo p ” do artigo sobre o teorema de Midy.
Bunch 1982 , p. 119, Tall e Schwarzenberger 1978 , p. 6. A última sugestão é devida a Burrell 1998 , p. 28: “Talvez o mais reconfortante de todos os números seja $1$ . [...] Portanto, é particularmente preocupante ver alguém passar de $0,9 ...$ por $1$ . "
Richman 1999 acredita que este argumento "deriva sua força do fato de que as pessoas foram condicionadas a aceitar a primeira linha sem pensar sobre ela" .
Para um tratamento completo de números não padrão, consulte, por exemplo, Robinson 1996 .
Berlekamp, Conway e Guy 1982 , p. 79–80, 307–311 discuta $1$ e $1/3$ e o endereço . O jogo para segue diretamente da regra de Berlekamp e é discutido por Walker 1999 . ${\ displaystyle 1 / \ omega}$ ${\ displaystyle 0 {,} 111 \ ldots _ {\ mathrm {(base \ 2)}}}$
Que ele chama de "decimais" , enquanto ele chama de "frações decimais" o que é comumente chamado de decimais .
Richman 1999 . Rudin 1976 , p. 23 apresenta essa construção alternativa (estendida a todos os racionais) como o último exercício de seu capítulo I.
Ver, por exemplo, o tratamento das transformações de Möbius em Conway 1978 , p. 47–57.

Referências

Byers 2007 , p. 39-41.
Richman 1999 .
Peressini e Peressini 2007 , p. 186.
(em) Leonhard Euler ( traduzido do francês por John Hewlett e Francis Horner), Elements of Algebra , Elm Longman1822, 3 e ed. ( 1 st ed. 1770) ( ISBN 0387960147 , ler em linha ) , p. 170.
Grattan-Guinness 1970 , p. 69; (pt) John Bonnycastle, Uma introdução à álgebra ,1811( leia online ) , p. 177.
(em) Charles Davies, The University Arithmetic: Embracing the Science of Numbers, and their Numerous Applications , AS Barnes,1846( leia online ) , p. 175.
Smith e Harrington 1895 , p. 115
Bartle e Sherbert 1982 , p. 60-62; Pedrick 1994 , p. 29; Sohrab 2003 , p. 46; Stewart e Tall 1977 , p. 34
Apostol 1974 , p. 9, 11-12; Rosenlicht 1985 , p. 27
(em) Richard Beals Analysis: An Introduction , Cambridge University Press ,2004, 261 p. ( ISBN 978-0-521-60047-7 , leitura online ) , p. 22.
Apostol 1974 , p. 12
(en) John J. O'Connor e Edmund F. Robertson , “Os números reais: Stevin to Hilbert” , no arquivo MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( ler online ).
Griffiths e Hilton 1970 , §24.2, "Sequences", p. 386.
Griffiths e Hilton 1970 , p. 388, 393.
Griffiths e Hilton 1970 , p. 395.
Protter e Morrey 1991 , p. 503; Bartle e Sherbert 1982 , p. 61
(em) Paul Erdős , Miklos Horváth e István Joó, " Sobre a singularidade das expansões $1 = Σ q -n i$ " , Acta Math. Hungar. , vol. 58, n o 3,1991, p. 333-342 ( DOI 10.1007 / BF01903963 ).
Komornik e Loreti 1998 , p. 636.
Petkovšek 1990 , p. 409-410.
Petkovšek 1990 .
Tall e Schwarzenberger 1978 , p. 6-7.
Alto, 2000 , p. 221.
Tall e Schwarzenberger 1978 , p. 6
(em) David Tall, " Limits, infinitesimals and infinities " na University of Warwick .
Tall 1976 , p. 10-14.
Edwards e Ward 2004 , p. 416–417. Para um exemplo semelhante, consulte Pinto e Tall 2001 , p. 5
Mazur 2005 , p. 137–141.
(em) Ed Dubinsky, Kirk Weller, Michael McDonald e Anne Brown, " Algumas questões históricas e paradoxos Em relação ao conceito de infinito: uma análise APOS: parte 2 " , Estudos Educacionais em Matemática , Vol. 60,2005, p. 253-266 ( DOI 10.1007 / s10649-005-0473-0 )( p. 261-262 ).
de Vreught 1994 , retomado em Por que 0,9999 ... = 1? , em mathforum.org.
Conforme observado por Richman 1999 , citando de Vreught 1994 .
Adams 2003 .
(em) " Blizzard Entertainment Anuncia .999 ~ (Repetindo) = 1 " , Blizzard Entertainment,1 ° de abril de 2004.
Renteln e Dundes 2005 , p. 27
Gowers 2002 .
Berz 1992 , p. 439-442.
Lightstone 1972 , p. 245–247.
Katz e Katz 2010a .
Stewart 2009 , p. 175; a discussão de $0,999\dots$ é estendida na p. 172-175 .
Katz e Katz 2010b ; Ely 2010 .
Gardiner 2003 , p. 98, Gowers 2002 , p. 60
Fjelstad 1995 , p. 11
Fjelstad 1995 , p. 14-15.
DeSua 1960 , p. 901.
DeSua 1960 , p. 902–903.
Wallace 2003 , p. 51, Maor 1987 , p. 17
Maor 1987 , p. 54
Munkres 2000 , Exercício 1 (c), p. 34
(em) Herbert Kroemer e Charles Kittel, Thermal Physics , Nova York, WH Freeman,1980, 2 nd ed. , 473 p. ( ISBN 0-7167-1088-9 ) , p. 462 ; (pt) MSDN , " Tipos de ponto flutuante " ,2016.

Livros e artigos citados

(pt) Cecil Adams, “ Uma pergunta infinita: Por que não 0,999 ~ = 1? " , The Straight Dope,11 de julho de 2003
(pt) Tom M. Apostol , Mathematical Analysis , Addison-Wesley ,1974, 2 nd ed. , 492 p. ( ISBN 0-201-00288-4 )- Transição da análise elementar para a análise avançada, este livro pretende ser “honesto, rigoroso, atualizado e, ao mesmo tempo, não muito pedante. ” (Prefácio). As expansões de Apostol em números reais usam o axioma do limite superior e introduzem expansões decimais duas páginas depois (p. 9-11).

(pt) RG Bartle e DR Sherbert , Introdução à Análise Real , Wiley ,1982( ISBN 0-471-05944-7 )- Este manual pretende ser “um manual acessível, a um ritmo razoável, que trate dos conceitos e técnicas fundamentais da análise real”. Seu desenvolvimento nos reais é baseado no axioma do limite superior (p. Vii-viii).

(pt) Elwyn R. Berlekamp , JH Conway e RK Guy , Winning Ways for your Mathematical Plays , Academic Press,1982( ISBN 0-12-091101-9 )
(en) Martin Berz, "Automatic differentiation as nonarchimedean analysis" , em L. Atanassova e J. Herzberger, Computer Arithmetic and Enclosure Methods , Elsevier ,1992( leia online ) , p. 439-450
(pt) Bryan H. Bunch , Mathematical Fallacies and Paradoxes , Van Nostrand Reinhold,1982, 216 p. ( ISBN 0-442-24905-5 )- Este livro apresenta uma análise de paradoxos e falsidades, como uma ferramenta para explorar seu tema central "a relação bastante tênue entre a realidade matemática e a realidade física". Ele assume que a álgebra do segundo é conhecida; matemática adicional é fornecida pelo livro, incluindo a série geométrica no capítulo 2. Embora $0,999 ...$ não seja um dos paradoxos totalmente cobertos, ela é brevemente mencionada durante um desenvolvimento do método de Cantor (p. ix-xi, 119).

(pt) Brian Burrell , Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference , Merriam-Webster,1998, 373 p. ( ISBN 0-87779-621-1 , leia online )
(pt) William Byers , How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics , Princeton University Press ,2007, 415 p. ( ISBN 978-0-691-12738-5 e 0-691-12738-7 , leia online )
(pt) John B. Conway (pt) , Funções de uma variável complexa I , Springer , col. " GTM " ( n o 11)1978, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1973), 317 p. ( ISBN 978-0-387-90328-6 , leia online )- Este texto pressupõe "um curso sólido de cálculo analítico" como pré-requisito; seus objetivos declarados são apresentar a análise complexa como "uma introdução à matemática" e explicar seus assuntos com clareza e precisão (p. vii).

(pt) Frank C. DeSua , “ A system isomorphic to the reals ” , American Mathematical Monthly , vol. 67, n o 9,1960, p. 900-903 ( DOI 10.2307 / 2309468 )
(pt) Barbara Edwards e Michael Ward , “ Surpresas da pesquisa em educação matemática: o (mal) uso de definições matemáticas pelos alunos ” , American Mathematical Monthly , vol. 111, n o 5,2004, p. 411-425 ( ler online )
(pt) Robert Ely , “ Nonstandard student conceptions about infinitesimals ” , Journal for Research in Mathematics Education , vol. 41, n o 22010, p. 117-146- Este artigo é um estudo de campo sobre uma estudante, que desenvolveu uma teoria dos infinitesimais à la Leibniz , para ajudá-la a entender o cálculo diferencial e, em particular, para explicar o fato de que $0,999 ...$ difere de $1$ por um valor infinitesimal $0,000 \dots 1$ .

(en) George B. Thomas, Ross Finney, Maurice D. Weir e Frank R. Giordano, Thomas 'Calculus: Early Transcendentals , New York, Addison-Wesley,2001, 10 th ed.
(pt) Paul Fjelstad , “ The repeating integer paradox ” , The College Mathematics Journal , vol. 26, n o 1,1995, p. 11-15 ( DOI 10.2307 / 2687285 )
(pt) Anthony Gardiner , Understanding Infinity: The Mathematics of Infinite Processes , Dover,2003( 1 st ed. 1982), 308 p. ( ISBN 0-486-42538-X , leia online )
(pt) Timothy Gowers , Mathematics: A Very Short Introduction , Oxford, Oxford University Press ,2002, 143 p. ( ISBN 0-19-285361-9 , leia online )
(pt) Ivor Grattan-Guinness , O Desenvolvimento dos Fundamentos da Análise Matemática de Euler a Riemann , MIT Press ,1970( ISBN 0-262-07034-0 )
(pt) HB Griffiths e PJ Hilton , A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation , Londres, Van Nostrand Reinhold,1970, 640 p. ( ISBN 978-0-387-90342-2 , leia online )- Este livro é o culminar de um curso para professores de matemática do ensino médio na área de Birmingham . O curso pretendia dar uma perspectiva acadêmica sobre a educação matemática na escola, e o livro é voltado para alunos "que estão aproximadamente no nível exigido após um ano de especialização em matemática na universidade". Os números reais são construídos no Capítulo 24, "talvez o capítulo mais difícil de todo o livro", embora os autores atribuam grande parte da dificuldade ao uso da teoria dos ideais , que não é reproduzida aqui. (P. Vii, xiv) . Este livro foi escrito especialmente para permitir uma segunda visão de conceitos familiares, com uma perspectiva contemporânea (p. Viii).

(pt) K. Katz e M. Katz , “ Quando é 0,999… menor que 1? ” , The Montana Mathematics Enthusiast , vol. 7, n o 1,2010, p. 3-30 ( ler online )
(pt) Karin Usadi Katz e Mikhail G. Katz, “ Zooming in infinitesimal 1 - .9 .. in a post-triunvirate era ” , Educational Studies in Mathematics , vol. 74, n o 3,2010, p. 259-273 ( DOI 10.1007 / s10649-010-9239-4 , arXiv 1003.1501 )
(pt) Vilmos Komornik e Paola Loreti , “ Unique development in non-inteiras bases ” , American Mathematical Monthly , vol. 105, n o 7,1998, p. 636-639 ( DOI 10.2307 / 2589246 )
(pt) AH Lightstone , " Infinitesimals " , American Mathematical Monthly , vol. 79, n o 3,1972, p. 242-251 ( DOI 10.2307 / 2316619 )
(pt) Eli Maor , To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite , Birkhäuser,1987, 275 p. ( ISBN 3-7643-3325-1 , leia online )- Revisão do infinito, por temas e não cronológicos, este livro é "destinado ao leitor em geral", mas "contado do ponto de vista de um matemático". Em relação ao dilema entre rigor e legibilidade, o autor "espera ter resolvido adequadamente esse problema" (p. X-xiii).

(pt) Joseph Mazur , Euclid in the Rainforest: Discovering Universal Truths in Logic and Math , Pearson: Pi Press ,2005, 334 p. ( ISBN 0-13-147994-6 )
(pt) James Munkres , Topologia , Prentice Hall ,2000, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1975), 537 p. ( ISBN 978-0-13-181629-9 , leia online )- Concebido como uma introdução à topologia, “ao nível do 2 nd ciclo universidade”, sem o conhecimento prévio: “Eu nem sequer supor que o leitor sabe muito na teoria dos conjuntos” ( p. Xi ). O tratamento dos reais por Munkres é axiomático; afirma ter construído à mão: “Esta forma de abordar o assunto exige muito tempo e esforço, e tem um valor mais lógico do que matemático. ” ( P. 30 ).

(pt) Rafael Núñez , “Os números reais realmente se movem? Linguagem, pensamento e gesto: os fundamentos cognitivos corporificados da matemática ” , em Reuben Hersh, 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics , Springer,2006( ISBN 978-0-387-25717-4 , leitura online ) , p. 160-181
(pt) George Pedrick , A First Course in Analysis , Springer,1994, 279 p. ( ISBN 0-387-94108-8 , leia online )
( fr ) Anthony Peressini e Dominic Peressini , “Filosofia da matemática e educação matemática” , em Bart van Kerkhove e Jean Paul van Bendegem, Perspectives on Mathematical Practices , Springer, col. "Lógica, Epistemologia, e a Unidade de Ciência" ( n o 5),2007( ISBN 978-1-4020-5033-6 , ler online ) , p. 175-189
(pt) Marko Petkovšek , “ Ambiguous numbers are dense ” , American Mathematical Monthly , vol. 97, n o 5,1990, p. 408-411 ( DOI 10.2307 / 2324393 )
(en) Márcia Pinto e David Tall , Seguindo o Desenvolvimento de Alunos em um Curso de Análise Universitária Tradicional , PME25 ,2001( leia online ) , v4: 57-64
(pt) MH Protter e Charles B. Morrey , A First Course in Real Analysis , Springer,1991, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1977), 536 p. ( ISBN 978-0-387-97437-8 , leia online )- Este livro tem como objetivo "apresentar uma base teórica de análise adequada para alunos que concluíram um curso padrão em cálculo analítico" (p. Vii). No final do capítulo 2, os autores assumem como um axioma para os reais que as sequências crescentes limitadas convergem , comprovando posteriormente o teorema dos segmentos aninhados e a propriedade do limite superior (p. 56-64). As expansões decimais aparecem no apêndice 3, “expansões de reais em qualquer base” (p. 503-507).

(pt) Charles Chapman Pugh , Real Mathematical Analysis , Springer,2002, 440 p. ( ISBN 978-0-387-95297-0 , ler online )- Supondo que o leitor esteja familiarizado com os racionais, Pugh apresenta os cortes de Dedekind o mais rápido possível, falando do tratamento axiomático: “Isso é uma espécie de truque, já que toda análise é baseada no sistema de reais. ”(P. 10). Depois de demonstrar a propriedade do limite superior e alguns fatos relacionados, as quebras não são mais usadas para o resto do livro.

(pt) Paul Renteln e Alan Dundes , “ À prova de falhas : uma amostra do humor folclórico matemático ” , Notices of the AMS , vol. 52, n o 1,2005, p. 24-34 ( ler online )
( fr ) Fred Richman , “ É 0,999… = 1? ” , Mathematics Magazine , vol. 72, n o 5,1999, p. 396-400 ( ler online )
(en) Abraham Robinson , Non-Standard Analysis , Princeton, NJ, Princeton University Press,1996, 293 p. ( ISBN 0-691-04490-2 , leia online )
(pt) Maxwell Rosenlicht , Introdução à Análise , Dover,1985, 254 p. ( ISBN 0-486-65038-3 , leia online )- Este livro oferece uma introdução “cuidadosa e rigorosa” à análise real. Ele fornece os axiomas dos reais e os constrói (p. 27-31) como expansões decimais infinitas, com $0,999\dots = 1$ como parte da definição.

(pt) Walter Rudin , Principles of Mathematical Analysis , New York / St. Louis / San Francisco etc., McGraw-Hill ,1976, 3 e ed. ( 1 st ed. 1953), 342 p. ( ISBN 0-07-054235-X , leia online )- Livro didático para um curso universitário avançado de segundo ciclo. “A experiência me convenceu de que é pedagogicamente mal aconselhado (embora logicamente correto) iniciar a construção de reais a partir de lógicas. No início, a maioria dos alunos simplesmente não vê por que fazer isso. Portanto, apresentamos o sistema de números reais como um campo ordenado que satisfaz a propriedade do limite superior e rapidamente mostramos algumas propriedades. No entanto, a construção de Dedekind não é omitida. Ele está anexado ao Capítulo 1, onde pode ser estudado e apreciado no momento certo. »(P. Ix).

(pt) Charles Smith e Charles Harrington , Arithmetic for Schools , Macmillan,1895( apresentação online )
(pt) Houshang Sohrab , Basic Real Analysis , Birkhäuser,2003, 559 p. ( ISBN 0-8176-4211-0 , leia online )
(pt) Ian Stewart e David Tall, The Foundations of Mathematics , Oxford University Press,1977( ISBN 0-19-853165-6 , leia online )
(pt) Ian Stewart , Hoard of Mathematical Treasures , Profile Books do Professor Stewart ,2009( ISBN 978-1-84668-292-6 )
(pt) Ian Stewart, Calculus: Early Transcendentals , Cengage Learning ,2011, 1344 p. ( ISBN 978-0-538-49790-9 , ler online )- Este livro tem como objetivo “ajudar os alunos a descobrirem a análise” e “focar na compreensão de conceitos” (p. V). Omite as demonstrações dos fundamentos da análise.

(pt) DO Tall e RLE Schwarzenberger , “ Conflitos na aprendizagem de números reais e limites ” , Mathematics Teaching , vol. 82,1978, p. 44-49 ( ler online )
(pt) David Tall , “ Conflicts and Catastrophes in the Learning of Mathematics ” , Mathematical Education for Teaching , vol. 2, n o 4,1976( leia online )
(pt) David Tall , “ Desenvolvimento Cognitivo em Matemática Avançada Usando Tecnologia ” , Mathematics Education Research Journal , vol. 12, n o 3,2000, p. 210-230 ( ler online )
(de) Hans von Mangoldt , Einführung in die höhere Mathematik , Leipzig, Verlag von S. Hirzel,1911, 1 r ed. , "Indivíduo. : Reihenzahlen "
(pt) Hans de Vreught, “ sci.math FAQ: Por que 0,9999… = 1? "
(pt) AN Walker, "Hackenstrings and the 0.999…? = 1 FAQ" (versão de 20 de janeiro de 2007 no Internet Archive )
(pt) David Foster Wallace , Everything and More: A Compact History of Infinity , Nova York, Norton,2003, 319 p. ( ISBN 0-393-00338-8 )

Veja também

links externos

(pt) “ Gostaria de saber porque 0,9999 ... = 1? » , Em mathcentral.uregina.ca
(pt) “ Repeating Nines ” , em descmath.com
(pt) “ Ponto nove recorrente igual a um ” , em qntm.org
( fr ) Timothy Gowers , “ O que há de tão errado em pensar em números reais como decimais infinitos? " ,2004

Leitura adicional

(pt) Bob Burn , " 81.15 Um caso de conflito " , The Mathematical Gazette , vol. 81, n o 490,1997, p. 109-112 ( JSTOR 3618786 )
(pt) JB Calvert, ER Tuttle, Michael S. Martin e Peter Warren, “ A idade de Newton: um curso interdisciplinar intensivo ” , The History Teacher , vol. 14, n o 2Mil novecentos e oitenta e um, p. 167-190 ( JSTOR 493261 )
(pt) Younggi Choi e Jonghoon Do, " Igualdade envolvida em 0,999 ... e (-8) $1 / 3$ ” , For the Learning of Mathematics , vol. 25, n o 3,2005, p. 13-15, 36 ( JSTOR 40248503 )
(pt) Tony Gardiner, “ Processos infinitos em matemática elementar: quanto devemos dizer às crianças? ” , The Mathematical Gazette , vol. 69, n o 448,1985, p. 77-87 ( JSTOR 3616921 )
(pt) Richard Mankiewicz , The Story of Mathematics , London, Cassell ,2000, 192 p. ( ISBN 0-304-35473-2 ) - Mankiewicz procura apresentar "a história da matemática de uma forma acessível", combinando os aspectos visuais e qualitativos da matemática, os escritos de matemáticos e esboços históricos (p. 8).

(pt) John Monaghan, “ Real mathematic: one aspect of the future of A-level ” , The Mathematical Gazette , vol. 72, n o 462,1988, p. 276-281 ( JSTOR 3619940 )
(pt) Malgorzata Przenioslo, “ Imagens do limite da função formadas no curso de estudos matemáticos na universidade ” , Educational Studies in Mathematics , vol. 55, n o 1,2004, p. 103-132 ( DOI 10.1023 / B: EDUC.0000017667.70982.05 )
(pt) James T. Sandefur, “ Using self-similarity to find length, area, and dimension ” , American Mathematical Monthly , vol. 103, n o 21996, p. 107-120 ( JSTOR 2975103 )
(pt) Anna Sierpińska, “ Estudantes de humanidades e obstáculos epistemológicos relacionados com os limites ” , Estudos Educacionais em Matemática , vol. 18, n o 4,1987, p. 371-396 ( DOI 10.1007 / BF00240986 , JSTOR 3482354 )
(pt) Jennifer Earles Szydlik, “ Crenças matemáticas e compreensão conceitual do limite de uma função ” , Journal for Research in Mathematics Education , vol. 31, n o 3,2000, p. 258-276 ( JSTOR 749807 )
(pt) David O. Tall, “ Dynamic mathematics and the blending of knowledge structure in the calculus ” , ZDM Mathematics Education , vol. 41, n o 4,2009, p. 481-492 ( DOI 10.1007 / s11858-009-0192-6 )
(pt) David O. Tall, " Intuitions of infinito " , Mathematics in School ,Mil novecentos e oitenta e um, p. 30-33